Funções de Várias Variáveis e suas Derivadas

DESCRIÇÃO Aplicação do conceito de funções de várias variáveis e suas derivadas PROPÓSITO Identificar a função de várias variáveis a valores reais as derivadas parciais e o gradiente da função além do conceito da regra da cadeia derivadas direcionais e derivadas parciais de ordem superior PREPARAÇÃO Antes de iniciar o conteúdo deste tema tenha em mãos papel caneta e uma calculadora científica ou use a calculadora de seu smartphonecomputador OBJETIVOS MÓDULO 1 Empregar as funções de várias variáveis MÓDULO 2 Processing math 100 Aplicar a derivação parcial e o gradiente de uma função escalar MÓDULO 3 Aplicar a regra da cadeia para funções escalares MÓDULO 4 Aplicar a derivada direcional e a derivada parcial de ordem superior INTRODUÇÃO Processing math 100 MÓDULO 1 EMPREGAR AS FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS INTRODUÇÃO Existem vários tipos de funções que são definidas dependendo do conjunto escolhido para seu domínio e sua imagem Diversos fenômenos naturais bem como diversas aplicações do nosso cotidiano fornecem como resultado saída um valor real mas que depende de várias variáveis em suas entradas ao invés de apenas uma EXEMPLO A temperatura em cada ponto de uma sala depende da posição desse ponto dentro dessa sala Assim a função que representa o valor dessa temperatura dependerá de três variáveis que representam a posição do ponto no espaço isto é xyz Dito isso necessitamos definir uma função matemática que possua uma entrada vetorial várias variáveis e forneça como resultado um valor real O DOMÍNIO É UM SUBCONJUNTO DE RN E A IMAGEM ESTÁ NO CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS ESTAS FUNÇÕES SÃO Processing math 100 DENOMINADAS DE FUNCOES DE VARIAS VARIAVEIS REAIS A VALORES REAIS OU SIMPLESMENTE FUNCOES ESCALARES Este modulo definira as fungées escalares e suas representagoes graficas Vamos relembra a definigao do conjunto R com n inteiro e n 1 RN X X5 Xy COM X Xo X REAIS 17 2 N 1 2 N Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal O elemento do conjunto uma nupla que representa um vetor com n componentes sendo que cada componente xj 1 j n é um numero real Seja uma fungao f cujo dominio esta em subconjunto de conjunto R e sua imagem esta em um subconjunto do R com n e m inteiros maiores ou iguais a 1 Dependendo dos valores de m en teremos definidas fungdes de tipos diferentes Vejamos as possibilidades ETAPA 01 ETAPA 02 ETAPA 03 ETAPA 04 Quando n 1 em 1 se tem uma fungao de uma variavel real a valores reais ou simplesmente fungoes reais f R R Em outras palavras a entrada e saida da fungao um numero real Este tipo de fungao é estudado no calculo integral e diferencial com uma variavel Por exemplo Processing math 100 fx 3x 5 x R que é uma função fR R gy 4 cos y 8 y R que é uma função gR R Quando n 1 e m 1 se tem uma função de uma variável real a valores vetoriais ou simplesmente funções vetoriais f R Rm Isto é a entrada é um número real e a imagem é um vetor Por exemplo ft t2 1 cos t 5t t R que é uma função f R R3 hu 3u 4 eu u R que é uma função h R R2 Quando n 1 e m 1 se tem uma função de uma variável vetorial a valores vetoriais ou simplesmente campos vetoriais f Rn Rm Ou seja a entrada e a saída são vetores Por exemplo fx y z x y tg x 2 que é uma função f R3 R2 guv 3u2 5v sen v 3u u 2v que é uma função f R2 R3 Por fim quando n 1 e m 1 se tem a função de uma variável vetorial ou de várias variáveis a valores reais ou simplesmente função escalar f Rn R Isto é a entrada é um vetor e a saída um número real Por exemplo fx y z 9xy que é uma função f R3 R huv u2 3uv que é uma função f R2 R As funções escalares que serão o objeto deste tema contêm diversas aplicações práticas pois de forma geral os fenômenos dependem de várias variáveis Por exemplo o volume de um recipiente depende do raio e da altura ou a temperatura de uma região na terra depende da latitude longitude e altura Vamos começar por definir formalmente a função escalar Processing math 100 DEFINICGAO UMA FUNCAO ESCALAR SERA UMA FUNGAO F S c RN R NA QUAL S E UM SUBCONJUNTO DO CONJUNTO RN COM N INTEIRO EN 1 Assim a cada elemento x Xo vey Xn S sera associado um unico numero real denotado por iter Xap voy Xn Portanto a imagem da fungao sera dada por IM F Fx Xp 115 Xy ERI X4 Xp Xy Sc RM Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal As variaveis X4 X59 X S40 denominadas de variaveis independentes enquanto que a variavel y X4 Xo xn denominada de variavel dependente ATENCAO Quando o dominio nao é especificado se considera este como o subconjunto do R que permite através da equagao que define a fungao se obter um numero real xt y2 Determine o dominio da fungao escalar fx y xy SOLUCGAO Processing math 100 numerador da fungao verificase a existéncia de uma raiz quadrada Sabemos que só existe raiz quadrada de um número maior ou igual a zero x y 2 0 x y 2 Outro ponto importante é que o numerador não pode ser zero x y 0 x y Portanto o domínio de fxy será Dom f x y R2 x y 2 e x y EXEMPLO 2 Determine caso seja possível os valores de fx y xy2 xy para x y 42 e x y 33 SOLUÇÃO Como calculado no exemplo anterior o domínio da função será o conjunto S tal que S x y x y 2 e x y O par ordenado 42 S assim fx y xy2 xy f42 422 42 2 2 1 O par ordenado 33 não pertence a S pois apesar de x y 2 o valor de x é igual a y não pertencendo portanto ao domínio da função não sendo possível obter f33 EXEMPLO 3 Determine o domínio da função escalar gx y z 33x 5 ln 2x yz y21 e calcule caso seja possível os valores de g1 0 2 e g1 0 3 Processing math 100 SOLUÇÃO Uma raiz cúbica não tem restrição de domínio Da mesma forma o denominador y2 1 nunca fornecerá um valor de zero Assim a única restrição de domínio da função será a referente à função log neperiano que só pode ser aplicado a um número maior do que zero Portanto devemos ter 2x y z 0 Então Dom f x y z R3 2x y z 0 Quanto aos valores pedidos para a função A trinca ordenada 1 0 2 dom g assim g1 02 331 5 ln 21 02 021 38 ln4 2ln4 A trinca ordenada 1 0 3 não pertence ao dom g pois 2x y z 1 0 não sendo possível obter g1 0 3 GRÁFICO CURVAS DE NÍVEL E SUPERFÍCIE DE NÍVEL Vimos a representação da função através de sua equação matemática que relaciona as suas variáveis independentes e o valor real a ser obtido no resultado da função Neste tópico analisaremos a representação gráfica da função escalar Só será possível uma representação gráfica que permite uma visualização geométrica para funções escalares cujo domínio está no R2 ou no R3 Quando o domínio é um subconjunto do R2 isto é S R2 o elemento de entrada da função será um vetor ou par ordenado x y A função então será visualizada através de sua representação gráfica no espaço através dos eixos cartesianos considerando que z fx y Assim o gráfico da função z fx y será o conjunto de todos os pontos do espaço x y z R3 tal que z fx y e x y pertence ao domínio de fx y Portanto o gráfico de fx y será definido por Processing math 100 Ge X YZ R Z FX Y COM X Y s Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal O grafico representara uma superficie que fica acima do conjunto que representa o dominio S da fungao fx y Z fXo Yo Gg yf S Xo Yo X 1 Grafico de uma fungdo escalar no R2 Esboce o grafico associado a fungao fx y 8 4x 2y SOLUCGAO O grafico de fxy sera definido como G tx 2 ER z 8 4x 2y Repare que a equagao z 8 4x 2y 6 uma fungao linear assim representara no espacgo um plano Processing math 100 o plano cartesiano obtemos alguns pontos Para x y 0 z 8 0 0 8 Para z 0 8 4x 2y 0 4x 2y 8 2x y 4 assim quando x 0 y 4 e para y 0 x 2 Assim a representação será Fonte Autor A figura apresenta apenas uma parte do plano pois ele vai tanto para cima quanto para baixo até o infinito Outra forma de visualizar as funções com domínio em um subconjunto do R2 são as curvas de nível ou curvas de contorno que é uma forma de representação planar para a função As curvas de nível são os contornos traçados no plano xy que representam todos os pontos em que o valor de z fx y é constante isto é z fx y k na qual k é uma constante real Assim definimos uma curva de nível para cada nível k EXEMPLO Um exemplo prático das curvas de níveis são os mapas topográficos ou mapas que fornecem temperaturas de determinada região EXEMPLO 5 Esboce o gráfico das curvas de nível da função fx y 8 2x 4y SOLUÇÃO Se fosse para traçar o gráfico de fx y seria representado uma figura espacial que neste caso seria um plano cuja equação se daria por z 8 2x 4y Como se deseja esboçar as curvas de nível é preciso desenhar no plano xy os pontos que atendem a equação 8 2x 4y k com k real Processing math 100 Portanto 2x 4y k 8 0 que é a equação de uma reta no plano xy Por exemplo Para k 0 2x 4y 8 0 x 2y 4 0 Para k 2 2x 4y 10 0 x 2y 5 0 Para k 4 2x 4y 4 0 x 2y 2 0 Assim as curvas de nível do gráfico que seria um plano serão retas paralelas Fonte Autor EXEMPLO 6 Seja a função gx y 4 x2 y2 Sabese que o valor de gx y determina o valor da grandeza G para os pontos em uma placa definidos pelas coordenadas x y Determine a superfície formada pelo gráfico da função gx y SOLUÇÃO O gráfico de gx y será definido como Gf x y z R3 z 4 x2 y2 Repare que gx y 4 x2 y2 4 x2 y2 como x2 y2 0 z 4 Para esboçar no plano cartesiano obtemos alguns pontos Para x y 0 z 4 0 0 4 Para z 0 0 4 x2 y2 x2 y2 4 que é uma circunferência de centro x y 0 0 e raio 4 2 Repare que se mantivermos um valor de z k k 4 k 4 x2 y2 x2 y2 4 k que é uma circunferência de centro x y 0 0 e Processing math 100 raio 4 k Esboçando a figura no plano cartesiano Fonte Autor Paraboloide elíptico com concavidade virada para baixo EXEMPLO 7 Seja a função gxy 16 x2 9y2 Sabese que o valor de gx y determina o valor da grandeza G para os pontos em uma placa definidos pelas coordenadas x y Determine a figura formada por todos os pontos do plano que apresentam o valor de G 7 SOLUÇÃO Neste caso o que está sendo pedido é o esboço de uma curva de nível para um nível igual a 7 gx y 16 x2 9y2 7 x2 9y2 16 7 x2 9y2 9 x2 9 y2 1 1 Que representa uma elipse em xy 00 Fonte Autor Paraboloide elíptico com concavidade virada para baixo Quando o domínio for um subconjunto do R3 isto é S R3 o elemento de entrada da função será um vetor ou terna ordenado x y z O gráfico da função fx y z será o conjunto de todos os pontos do espaço x y z w R4 tal que w fx y z e x y z pertence ao domínio de fx y z Esse gráfico será um subconjunto do R4 portanto não será possível a representação dele através de uma forma geométrica Para se ter uma visão geométrica de tal função vamos nos valer das superfícies de nível que serão o conjunto de pontos do R3 ou as superfícies do Processing math 100 espaço xyz tais que fx y z k na qual k é uma constante real Por isso definimos uma superfície de nível para cada nível w fx y z k k real EXEMPLO 8 Determine as superfícies de nível que representam graficamente a função escalar fx y z x2 y2 z2 SOLUÇÃO As superfícies de nível serão definidas por fx y z x2 y2 z2 k k real Como x2 y2 z2 0 para todo x y z então só é possível se definir níveis k 0 Para facilitar a visualização vamos definir k R2 que será um número sempre maior ou igual a zero Desse modo as superfícies de níveis definidas pela equação x2 y2 z2 R2 serão esferas de centro 0 0 0 com raio dado por R em que R 0 Processing math 100 RESUMO DO MÓDULO 1 TEORIA NA PRÁTICA Desejase montar um mapa topográfico que representa a altura de um monte de 900 m O topo do monte é considerado o ponto central do mapa Cada ponto será marcado pela distância x y determinada pela distância a dois eixos cartesianos que passam no ponto central O monte será aproximado por uma forma parabólica com concavidade para baixo com altura medida em metro dada por uma equação h x y H 2x2 3y2 com x e y também medidos em metros Esboce o mapa topográfico através das curvas de níveis RESOLUÇÃO VEJA A SOLUÇÃO DA QUESTÃO NO VÍDEO A SEGUIR MÃO NA MASSA Processing math 100 VERIFICANDO O APRENDIZADO MÓDULO 2 APLICAR A DERIVAÇÃO PARCIAL E O GRADIENTE DE UMA FUNÇÃO ESCALAR INTRODUÇÃO A operação matemática da derivação pode também ser definida para as funções escalares porém de uma forma um pouco diferente do que no caso das funções reais Como a função escalar depende de várias variáveis devemos obter uma operação que determina a variação da função em relação a uma variável mantendo as demais constantes Esta operação será denominada de derivação parcial PODEMOS OBTER UMA DERIVADA PARCIAL PARA CADA VARIÁVEL INDEPENDENTE ASSIM CONSEGUIMOS DEFINIR UM VETOR QUE APRESENTA COMO COMPONENTES ESTAS DERIVADAS PARCIAIS TAL VETOR É DENOMINADO DE GRADIENTE DA FUNÇÃO ESCALAR E APRESENTA APLICAÇÕES PRÁTICAS IMPORTANTES NA OBTENÇÃO DAS TAXAS DE VARIAÇÃO DA FUNÇÃO PARA QUALQUER DIREÇÃO Neste módulo estudaremos as derivadas parciais e o vetor gradiente Processing math 100 DERIVADAS PARCIAIS Quando estudamos a função real definimos a operação da derivação que representava a taxa de variação da função em relação a sua variável independente Isto é como a função variava em relação a sua variável de entrada em determinado ponto do seu domínio No caso de a função escalar a entrada é composta por várias variáveis Ao se tentar descobrir como uma função varia em relação a uma das variáveis devemos isolar o efeito das demais variáveis Este isolamento é obtido mantendo as demais variáveis constantes EXEMPLO Imaginemos o volume de um cone que depende de seu raio e de sua altura Para se obter a taxa de variação desse volume ao se alterar o raio do cone devemos manter o valor da altura constante e observar como o volume se altera ao se alterar o raio Esta operação será denominada de derivada parcial O nome parcial vem do fato que se está analisando a taxa de variação de apenas uma das variáveis Vamos iniciar a definição pelo caso mais simples ou seja para uma função com domínio no R2 ou z f x y Seja x0 y0 um ponto de o domínio da função escalar f Se fixarmos o valor y0 podemos definir uma função que depende de apenas uma variável dada por h x f x y0 A função hx será uma função real pois depende apenas de uma variável e a derivada de hx no ponto x0 será dada por h x0 lim xx0 hx h x0 xx0 Esta derivada representa como a função hx varia em relação a variável x no ponto x0 Substituindo a função hx pela função escalar fxy0 h x0 lim xx0 f xy0 f x0y0 xx0 Processing math 100 que representará como a função fx y irá variar em relação a variação de x com y constante e igual a y0 no ponto x0 y0 Esta função será denominada de derivada parcial de f em relação a variável x representada por f x x0 y0 h x0 lim xx0 f xy0 f x0y0 xx0 Se considerarmos que Δx x x0 podemos obter uma outra definição equivalente f x x0 y0 lim Δx0 f x0Δxy0 f x0y0 Δx Seja D o subconjunto de S formado por todos os pontos x y tais que f x existe Assim definirmos uma função indicada por f x x y definida em D S R2 tal que f xx y lim Δx0 fxΔxy fxy Δx ESTA FUNÇÃO SERÁ DENOMINADA DE DERIVADA PARCIAL DE PRIMEIRA ORDEM DE F EM RELAÇÃO A X OU SIMPLESMENTE DERIVADA PARCIAL DE F EM RELAÇÃO A X De forma análoga podemos definir f yx y lim Δy0 fxyΔy fxy Δy que é a derivada parcial de f em relação a y Outras notações utilizadas f xx y fxx y D1fx y f yx y fy x y D2f x y Resumindo A função fxx y obtida em um ponto x0 y0 representa a taxa de variação de fxy no ponto x0 y0 em relação apenas a variável x mantendo y constante e igual a y0 Processing math 100 A função fyx y obtida em um ponto x0 y0 representa a taxa de variação de fxy no ponto x0 y0 em relação apenas a variável y mantendo x constante e igual a x0 Podemos agora extrapolar para o caso de a função escalar definida no R3 f xx y z fxx y z D1fx y z lim Δx0 fxΔxyz fxyz Δx f yx y z fyx y z D2fx y z lim Δy0 fxyΔyz fxyz Δy f zx y z fzx y z D3fx y z lim Δz0 fxyzΔz fxyz Δz IMAGINEMOS O CASO DE UMA FUNÇÃO ESCALAR QUE REPRESENTA O VALOR DO VOLUME DE UMA CAIXA RETANGULAR DESSA FORMA O VALOR DA FUNÇÃO DEPENDERÁ DE TRÊS VARIÁVEIS L C A COM L C E A NÚMEROS REAIS QUE REPRESENTAM A LARGURA O COMPRIMENTO E A ALTURA DA CAIXA ASSIM VL C A DESEJAMOS OBTER COMO O VOLUME DA CAIXA IRÁ VARIAR COM A VARIAÇÃO DE UMA DE SUAS DIMENSÕES OU SEJA QUAL SERIA A TAXA DE VARIAÇÃO DE V EM FUNÇÃO POR EXEMPLO DE L Assim necessitamos usar a derivada parcial da função em relação a variável L V L L C A lim h0 VLhCA fLCA h que será semelhante a derivada de uma função real pois dependerá da variação de apenas uma variável neste caso L mantendo todas as demais constantes C e A Para o caso geral da função com domínio em S Rn Seja fx1x2 xn a derivada parcial de f em relação a variável xj será definida por f xj x1 x2 xn lim h0 f x1x2 xjh xn f x1x2 xj xn h representando a variação de f em relação a xj mantendo as n 1 variáveis constantes Podemos também usar as notações Processing math 100 Djf x1 x2 xn fj x1 x2 xn ATENÇÃO A notação df dx é usada para derivar a função real f em relação a x quando a função depender apenas da variável x A notação f x é usada para derivar parcialmente a função escalar f em relação a x quando a função depender de outras variáveis além da variável x Na prática as derivadas parciais não serão obtidas pelo limite e sim por fórmulas e regras de derivação Como consideraremos a função dependendo de apenas uma variável pois todas as demais permaneceram como constantes então pode ser utilizada as mesmas propriedades e regras que utilizamos no caso da função real REGRA PARA OBTER A DERIVADA PARCIAL EM RELAÇÃO A VARIÁVEL XJ 1 CONSIDERE TODAS AS OUTRAS VARIÁVEIS QUE NÃO SEJAM XJ COMO CONSTANTES 2 USE AS REGRAS DE DERIVAÇÃO DA FUNÇÃO REAL PARA ACHAR A DERIVADA DE F EM RELAÇÃO A XJ Vejamos alguns exemplos EXEMPLO 1 Determine as derivadas parciais da função fx y 2xy 3x2 y3 5y 3x e obtenha seus valores no ponto 2 1 SOLUÇÃO Vamos obter fxx y considerando y como uma constante e aplicando as regras de derivação em relação a x O primeiro termo 2xy será observado como kx assim 2yx 2yx 2y Processing math 100 O termo 3x2 y3 será observado como kx2 assim 3y3 x2 3y3 x2 3y3 2x 6xy3 O termo 5y será observado apenas como uma constante independente de x assim 5y 0 Por fim 3x 3 Então fx x y 2y 6xy3 3 e fx 2 1 2 1 6 2 13 3 11 Vamos obter fyx y considerando x como uma constante e aplicando as regras de derivação em relação a y O primeiro termo 2xy será observado como ky assim 2xy 2xy 2x O termo 3x2 y3 será observado como ky3 assim 3x2 y3 3x2 y3 3x2 3y2 9x2 y2 O termo 3x será observado apenas como uma constante independente de y assim 3x 0 Por fim 5y 5 Logo fy x y 2x 9x2 y2 5 e fy 2 1 2 2 9 22 12 5 45 EXEMPLO 2 Deseja obter a taxa de variação da função hx y z w 2yz lnx 3xew2 zw2y3 em relação a variável w no ponto x y z w1 1 1 1 SOLUÇÃO O que está se pedindo é a derivada parcial da função h em relação a variável w Assim se mantém na função h todas as demais variáveis x y z como constantes e aplica as regras de derivação em relação a variável w O termo 2yz lnx será observado como uma constante pois independe de w então 2yz lnx 0 O termo 3xew2 será observado como kew2 assim 3xew2 3x ew2 3x 2wew2 6xwew2 Processing math 100 Por fim o termo zwy sera observado como kw assim vw zyw zy2w 2zyw Entao fx y z w 6xwe 2zy4we F11 11 61 1e1 2111 26e Seja uma fungao de varias variaveis a valores reais com dominio em Sc R2 e que admite as derivadas parciais em um ponto X9Yo para todas as suas duas variaveis independentes x e y Define o vetor gradiente da fungao f como FX Y oF X Y oF X Y V 0 o ox 0 0 TA 0 o Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal A outra notagao para o vetor gradiente sera grad f Observe que so existe gradiente de uma fungao escalar e 0 resultado é um vetor cujas componentes sao as derivadas parciais de cada uma das variaveis independentes Portanto of oF V fx Yo Ox x ox 5 o Yo Processing math 100 Obtenha o vetor gradiente para a função fx y 3x2y no ponto x y 1 2 SOLUÇÃO Obtendo as derivadas parciais f x x 3yx2 3y x x2 3y 2x 6xy f y y 3x2y 3x2 yy 3x2 Logo fx y 6xy 3x2 e f12 61 23 12 12 3 12 𝑥 3 𝑦 O vetor gradiente da função escalar pode ser definido de forma análoga para quando o domínio for S Rn Assim f x1 x2 xn f x1 x1 x2 xn f xj x1 x2 xn f xn x1 x2 xn O vetor gradiente tem uma interpretação geométrica Ele apontará para direção e sentido no qual a função f terá a sua maior variação em relação a suas variáveis independentes no ponto analisado Por exemplo obtivemos que no ponto 1 2 a função fx y 3x2y tem um vetor gradiente f 12 3 12ˆx 3ˆy Vamos supor que esta função fx y represente a temperatura em um ponto xy de uma placa plana Assim se estivermos no ponto de coordenada xy 12 e desejarmos saber para que direçãosentido teremos a maior variação de temperatura ao variar a posição ela será dada pela direçãosentido definida pelo vetor f 12ˆx 3ˆy EXEMPLO 4 Obtenha o versor que representa a direção e o sentido da maior variação da função fx y z x2 y2 z2 no ponto 1 1 1 SOLUÇÃO Obtendo as derivadas parciais de fx y z Processing math 100 f x 2x f y 2y e f z 2z Assim o vetor gradiente será fx y z 2x 2y 2z No ponto 1 1 1 se tem f1 1 12 2 2 Portanto o vetor 22 2 2ˆx 2ˆy 2ˆz representa a direção de maior variação da função no ponto 1 1 1 Como foi pedido o versor isto é o vetor unitário devemos dividir pelo seu módulo f11 1 22 2 f 22 22 22 12 23 Portanto o versor será f f 1 2322 2 1 3 1 3 1 3 3 3 3 3 3 3 Quanto a amplitude do vetor f ele representará a maior taxa de variação da função em relação à variação de suas variáveis No exemplo anterior a função terá uma variação de 23 unidades quando ocorre uma variação s xˆx yˆy zˆz de módulo unitário na direção do vetor 3 3 3 3 3 3 Por fim uma última característica do vetor gradiente de uma função é o fato de ser sempre normal às curvas de nível da função ou seja às curvas ou superfícies de nível da função EXEMPLO 5 Determine a reta tangente a curva de nível da função fx y 2x2 y2 no ponto 1 2 SOLUÇÃO Obtendo o gradiente da função f x 4x e f y 2y então fx y 4x 2y No ponto 1 2 f1 2 4 4 que é um vetor normal à curva de nível no ponto 1 2 sendo portanto um vetor normal à reta tangente neste ponto Processing math 100 Por isso para se obter a equação da reta tangente seguindo conceitos de geometria analítica x y x0 y0 nr 0 x y x0 y0 f x0 y0 0 Portanto x y 12 f12 0 x 1 y 2 44 0 4x 1 4y 2 0 4x 4y 12 0 x y 3 0 Então a reta x y 3 0 e tangente à curva de nível da função fxy 2x2 y2 no ponto 1 2 RESUMO DO MÓDULO 2 Processing math 100 TEORIA NA PRÁTICA As derivadas parciais de uma função escalar podem ser utilizadas para se determinar a equação de um plano tangente ao gráfico de uma função z fx y em um ponto x0 y0 e com ele realizar uma aproximação linear para a função A equação do plano tangente ao gráfico no ponto x0 y0 fx0y0 será dada por z f x0 y0 fx x0 y0 x x0 fy x0 y0 y y0 Determine a equação do plano tangente ao gráfico da função fx y x2 2y2 1 no ponto 1 1 e verifique através de uma aproximação linear a partir deste ponto o valor de f 1 1 100 1 1 100 RESOLUÇÃO VEJA A SOLUÇÃO DA QUESTÃO NO VÍDEO A SEGUIR MÃO NA MASSA VERIFICANDO O APRENDIZADO MÓDULO 3 Processing math 100 APLICAR A REGRA DA CADEIA PARA FUNCOES ESCALARES INTRODUCGAO Seja uma fungao escalar Suponha que se conhega a dependéncia desta fungao em relagao a um conjunto de variaveis denominadas de intermediarias que por sinal depende de outro conjunto que sao denominados de variaveis independentes A REGRA DA CADEIA PODE SER USADA PARA SE OBTER AS DERIVADAS DA FUNGAO ESCALAR EM RELAGAO AS VARIAVEIS INDEPENDENTES MESMO NAO SE OBTENDOA FUNGAO QUE EXPLICITA DIRETAMENTE ESTA RELAGAO Estudaremos neste modulo trés teoremas que definem esta regra da cadeia para serem aplicadas em fungoes escalares REGRA DA CADEIA Para o caso de uma fungao real ou melhor que dependa de apenas uma variavel a regra da cadeia permitia a diferenciagao de uma fungao composta Se y fx e x gt com as fungoes f e g diferenciaveis se obtinha a derivada de y em relagao a t de uma forma indireta DY DY DX DT DXDT Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Assim mesmo no se tendo a relagao direta de y em relagao a t podia se obter como a Processing math 100 va em relagao a variavel t Vamos agora definir esta regra que permitirá também calcular a derivada de funções compostas para as funções escalares Iremos propor o seguinte teorema TEOREMA 1 SEJA A FUNÇÃO FX Y DIFERENCIÁVEL EM X E Y COM X HT E Y GT SE AS FUNÇÕES HT E GT FOREM DIFERENCIÁVEIS EM T ENTÃO DF DT XT YT F X DX T DT F Y DY T DT Repare que a regra acima permite calcular a derivada de f em relação a t por uma forma indireta Não se conhece a relação explicita da função em relação a variável t mas se conhece a relação da função com x e y e destas variáveis em relação a variável t Outra forma de se representar essa regra seria através do gradiente da função f Seja γt xt yt df dt y t fγt γ t Vejamos um exemplo de sua aplicação EXEMPLO 1 Seja a função fx y 2xy2 e que x t3 e y 2t 5 Obtenha a derivada de f em relação à variável t SOLUÇÃO Usando a regra da cadeia df dt f x dx dt f f dy dt Como f x 2y2 f y 4xy dx dt 3t2 e dy dt 2 se tem df dt f x dx dt f f dy dt 2y23t2 4xy 2 6y2t2 8xy Processing math 100 Substituindo x e y em relação a variável t df dt 6y2t2 8xy 62t 52t2 8t32t 5 É obvio que neste caso poderíamos obter o valor de f em relação apenas a t e depois obter a derivada f x y 2xy2 f t3 2t 5 g t 2 t3 2t 52 Assim a derivada df dt será obtida se derivando em relação a t através da regra do produto df dt 2t 52 6 t2 2t3 2 2t 5 2 62t 52t2 8t32t 5 obtendo o mesmo valor Todavia às vezes essa forma de obter a dependência e depois derivar é mais complexa do que usar a regra da cadeia diretamente EXEMPLO 2 Sabendo que o volume de um cilindro é dado pela fórmula Vr h πr2h na qual r é o raio da base e h é a altura do cilindro ambas medidos em metros Determine a taxa de variação do volume do cilindro para r 1 m e h 1 m sabendo que o raio está variando a uma taxa de 05 ms e a altura a uma taxa de 025 ms SOLUÇÃO Se Vr h πr2h usando a regra da cadeia se tem dV dt V r dr dt V h dh dt Como V r 2πhr V h πr2 dr dt 05 e dh dt 025 ms se tem dV dt r h 2πhr 05 πr2 025 dV dt r h πhr π 4 r2 Para r 1m e h 1m dV dt 1 1 π π 4 3π 4 m3s Processing math 100 ATENÇÃO A demonstração do teorema 1 não será vista neste módulo e pode ser analisada nos livros que constam na referência bibliográfica deste material Agora vamos analisar outra situação Seja z fx y mas x hu v e y gu v Então a função f depende indiretamente de u e de v Podemos usar o seguinte teorema para obter as derivadas parciais de f em relação a variável u e em relação a variável v TEOREMA 2 SEJA A FUNÇÃO FXY DIFERENCIÁVEL EM X E Y COM X HUV E Y GUV SE AS FUNÇÕES HUV E GUV SÃO DIFERENCIÁVEIS EM U E EM V ENTÃO F U F X X U F Y Y U E F V F X X V F Y Y V As variáveis u e v são denominadas de variáveis independentes enquanto as variáveis x e y serão denominadas de variáveis intermediárias pois serão usadas para obter a variável dependente z em relação às variáveis independentes Observe a aplicação da regra acima no exemplo a seguir EXEMPLO 3 Seja gxy 2eycos x na qual x u2v e y uv2 Determine as derivadas parciais de gxy em relação a u e a v para os pontos em que u 1 e v 2 SOLUÇÃO Obtendo as derivadas parciais de g em relação a x e a y g x 2eysenx e g y 2eycosx Além disso Processing math 100 x u 2uv x v u2 y u v2 y v 2uv Assim g u g x x u g y y u 2eysenx 2uv 2eycosxv2 g u 2v2 eycosx 4uv eysenx g v g x x v g y y v 2eysenx u2 2eycosx2uv g u 4uv eycosx 2u2eysenx Quando u 1 e v 2 x u2 v 2 e y uv2 4 Deste modo g u12 2 4 e4cos2 4 12 e4sen2 8e4cos2 8e4sen2 g u12 41 2 e4cos2 2 12e4sen2 8 e4cos2 2e4sen2 Podemos agora definir a situação geral Seja a função escalar f S Rn ou seja a função dependente z é função de n variáveis intermediárias x1x2xn Cada uma das variáveis intermediárias xj a seu tempo depende de m variáveis independentes u1u2um Se deseja agora obter o valor da derivada parcial de z em relação a uma das variáveis independentes ui TEOREMA 3 SEJA A FUNÇÃO F S RN DIFERENCIÁVEL EM RELAÇÃO AS N VARIÁVEIS X1 X2 XN EM QUE CADA XJ É DIFERENCIÁVEL EM RELAÇÃO A M VARIÁVEIS U1 U2 UM ENTÃO F UJ F X1 X1 UJ F X2 X2 UJ F XN XN UJ para cada j 12 m Vamos aplicar esse teorema em um exemplo Processing math 100 EXEMPLO 4 Seja a função hr s t sr2 2rst na qual r xz 2yz s 3x2z e t 2xy Determine as derivadas parciais da função h em relação as variáveis x y e z para os valores de x y z 1 0 2 SOLUÇÃO Neste exemplo as variáveis intermediárias serão rs e t enquanto as variáveis independentes serão x y e z Calculando as derivadas parciais da função h h r 2sr 2st h s r2 2rt e h t 2rs Mas r x z r y 2z e r y x 2y s x 6xz s y 0 e s z 3x2 t x 2y t y 2x e t z 0 Desta forma a h x h r r x h s s x h t t x h x 2rs 2stz r2 2rt 6xz 2rs 2y b h y h r r y h s s y h t t y h y 2rs 2st 2z r2 2rt 0 2rs 2x c h z h r r z h s s z h t t z h z 2rs 2st x 2y r2 2rt 3x2 2rs 0 Para x y z 1 0 2 r xz 2yz 1 2 2 0 2 2 s 3x2z 3 1 2 6 e t 2xy 2 1 0 0 assim a h xx y z 22 6 26 0 2 22 22 0 61 2 22 620 h xx y z 48 48 0 96 Processing math 100 b h y 22 6 26 0 22 22 22 0 0 22 621 h y 96 0 48 144 c h z 22 6 26 0 1 20 22 22 0 31 22 60 h z 24 12 36 RESUMO DO MÓDULO 3 TEORIA NA PRÁTICA Processing math 100 Uma caixa com formato de um paralelepípedo retangular é feita de um material que apresenta um custo de R 1000 por m2 Sabendo que o comprimento da caixa cresce a uma taxa de 2 ms a largura decresce a uma taxa de 1 ms e a altura cresce a uma taxa de 3 ms determine a taxa de variação do custo de produção da caixa em relação ao tempo para quando comprimentoC 10 m larguraL 5m e altura A 2 m RESOLUÇÃO VEJA A SOLUÇÃO DA QUESTÃO NO VÍDEO A SEGUIR MÃO NA MASSA VERIFICANDO O APRENDIZADO MÓDULO 4 APLICAR A DERIVADA DIRECIONAL E A DERIVADA PARCIAL DE ORDEM SUPERIOR Processing math 100 INTRODUÇÃO Em algumas aplicações se torna necessário obter a taxa de variação de uma função escalar quando ocorre a variação das variáveis seguindo certa direção Esta derivada é denominada de derivada direcional e será determinada através do gradiente de uma função escalar A DERIVADA PARCIAL TAMBÉM SERÁ UMA FUNÇÃO ESCALAR CAPAZ DE POSSUIR POR SUA VEZ UMA DERIVADA PARCIAL ESTA DERIVADA É DENOMINADA DE FUNÇÃO PARCIAL DE ORDEM SUPERIOR E SERÁ CALCULADA ATRAVÉS DAS DERIVAÇÕES PARCIAIS SUCESSIVAS DERIVADAS DIRECIONAIS Certas práticas exigem a obtenção da taxa de variação de uma função escalar em determinada direçãosentido Essa taxa será denominada de derivação direcional da função e dependerá do ponto analisado e do vetor que determina a direçãosentido desejado ATENÇÃO A direçãosentido desejado deve ser definido através de um vetor unitário versor Vamos iniciar a definição para funções escalares com domínio em R2 Seja a função f S R2 R a derivada direcional de f em um ponto x0 y0 na direção e no sentido do vetor unitário vab é Processing math 100 FXAH Y9BH FX Yo DFXo Yo LM H0 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Esta derivada vai existir se o limite acima existir Observe que se Va b 1 0 a derivada direcional sera a propria derivada parcial em relagdo a variavel x E se vab 0 1 a derivada direcional sera a propria derivada parcial em relagao a variavel y Dizemos portando que as derivadas parciais de f em relagao a x e ay sao casos particulares da derivada direcional Nao iremos calcular a derivada direcional através de sua definigao ou melhor através do calculo do limite Para a determinagao da derivada direcional usaremos o teorema a seguir por permitir seu calculo pelo gradiente da fungao escalar f TEOREMA SE F E UMA FUNGAO ESCALAR DIFERENCIAVEL EM X E EMY ENTAO A DERIVADA DIRECIONAL NA DIREGAO E NO SENTIDO DE QUALQUER VETOR UNITARIO VA B E DADO POR DYAIX Y VFX VAB AFYX Y B FX Y Observe que o maior valor da derivada direcional sera quando o vetor unitario tiver a mesma diregao e sentido que o Vf tendo o mdédulo desta derivada o valor do modulo do Vf Este fato comprova o que foi dito que o gradiente da fungao é o vetor que representa a maior taxa de variagao da fungao A derivada direcional pode ser analisada como sendo a projegao do vetor gradiente sobre a diregao e sentido definidos pelo vetor unitario Vv mVrnAARDI Processing math 100 O 1 Determine a derivada direcional da função fx y 5x3 y 5 na direção do vetor v3 4 para o ponto x y 1 1 SOLUÇÃO Observe que o vetor v3 4 não é um versor ou seja um vetor unitário Assim necessitamos achar o vetor unitário na direçãosentido de v3 4 v 32 42 9 16 25 5 Dessa forma o versor será ˆv v v 1 534 3 5 4 5 Sabese que fx y 5x3 y 5 então f x 5y x3 5y 3x2 15yx2 f y 5x3y 5x3 Portanto fx y 15yx2 5x3 Assim a derivada direcional será dada por Dvx y f ˆv 15yx2 3 5 5x3 4 5 9yx2 4x3 Para o ponto xy11 Dvx y 91 12 4 13 9 4 13 DERIVADA PARCIAL DE ORDEM SUPERIOR A derivada parcial de uma função escalar conforme já estudada neste tema é também uma função escalar Por serem funções escalares podemos também determinar as suas derivadas parciais em relação as variáveis independentes A DERIVADA PARCIAL DE UMA FUNÇÃO QUE JÁ É DERIVADA PARCIAL DE UMA FUNÇÃO É DENOMINADA DE DERIVADA PARCIAL DE SEGUNDA ORDEM SE REPETIRMOS O Processing math 100 PROCESSO TEREMOS AS DERIVADAS PARCIAIS DE TERCEIRA QUARTA ENÉSIMA ORDEM ESTAS DERIVADAS PARCIAIS SÃO CONHECIDAS COMO DERIVADAS PARCIAIS DE ORDEM SUPERIOR Iniciaremos nosso estudo pelas derivadas parciais de segunda ordem para uma função escalar fxy isto é com domínio no R2 Por exemplo seja fx y 4x2y3 então fxx y 8xy3 e fyx y 12x2y2 Vamos agora determinar as derivadas parciais de segunda ordem ou a derivada parcial da função escalar fx x y 8xy3 fxx y 8xy3 fx x 8y3 fxx y 8xy3 fx y 24xy2 Usamos a seguinte notação fx x x f x 2f x2 8y3 ou fx x fxx 8y3 fx y y f x 2f yx 24xy2 ou fx y fxy 24xy2 De forma análoga podemos fazer o mesmo raciocínio para as derivadas parciais da função escalar fy x y 12x2 y2 fyx y 12x2y2 fy x 24xy2 fyx y 12x2y2 fy y 24x2y Usamos a notação fy x x f y 2f xy 24xy2 ou fy x fyx 24xy2 fy y y f y 2f y2 24x2y ou fy y fyy 24x2y Portanto as funções fxx y e fyx y são denominadas de derivadas parciais de primeira ordem da função fx y As funções fxxx y fxyx y fyxx y e fyyx y são as derivadas de segunda ordem da função fx y Processing math 100 ATENÇÃO É preciso cuidado com a notação utilizada pois a ordem das variáveis na notação determina a ordem da derivação Veja a primeira notação 2f xy a função f foi derivada parcialmente primeiro em relação a variável y e depois em relação a variável x 2f yx a função f foi derivada parcialmente primeiro em relação a variável x e depois em relação a variável y COMENTÁRIO Observe que a ordem de derivação parcial no denominador aparece da direita para a esquerda Agora analisemos a segunda notação fyx a função f foi derivada parcialmente primeiro em relação a variável y e depois em relação a variável x fxy a função f foi derivada parcialmente primeiro em relação a variável x e depois em relação a variável y COMENTÁRIO Observe que neste caso a ordem da derivação parcial no índice aparece da esquerda para a direita O número de derivadas parciais de segunda ordem dependerá do domínio da função Como vimos no exemplo a função fx y tinha domínio no R2 assim possuía 4 Processing math 100 derivadas de segunda ordem correspondendo a 2 variaveis vezes 2 variaveis Desse modo se 0 dominio da fungao escalar for no R ela possuira n derivadas de segunda ordem Vamos ver o caso do R3 seja gx y Z Sc R3 as derivadas de segunda ordem de gx y Z serao nove c G eG 6 G eG eG 2G E aG ax2 aYaX aZax axaY gy2 aZaY aXxaZ aYaZ 9gz2 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Determine as derivadas parciais de segunda ordem da fungao hx y 4xy y cosx SOLUCGAO Inicialmente precisamos obter as derivadas parciais de primeira ordem ah 2 v2 ax 12xyy sonx oF ay ay 4xy 2y cosx Agora iremos derivar parcialmente as derivadas parciais de primeira ordem para obter as quatro derivadas parciais de segunda ordem a an ah ax ox ax2 24xy y cosx 2 fan ah 2 ay ax ayax 12x 2y sen x afan h 9 ax ay axay 12xy 2y senx Processing math 100 y h y 2h y2 4x3 2 cos x ATENÇÃO Foram dados exemplos de derivadas parciais de segunda ordem mas as derivadas parciais de ordem maiores do que a segunda seguem a mesma notação e o mesmo procedimento EXEMPLO 3 Seja a função fx y z 2xez 3x2y3z 2 cos x Determine as derivadas parciais de ordem superior fxyz SOLUÇÃO Como visto na teoria a notação fxyz representa uma derivada parcial de terceira ordem com a seguinte sequência de derivadas x y e por último z Assim fxyz 3f zyx f x 2ezx 3y3z x2 2cosx 2ez 3y3z 2x 2senx f x 2ez 6xy3z 2senx 2f yx y f x 2ez 6xz y3 2senx 0 6xz 3y2 0 18xzy2 3f zyx z 2f yx 18xy2z 18xy2 As derivadas parciais de ordem superior que envolvem variáveis diferentes são denominadas derivadas mistas da função Processing math 100 NOS EXEMPLOS APRESENTADOS ATÉ AQUI AS DERIVADAS MISTAS ENVOLVENDO AS MESMAS VARIÁVEIS APRESENTARAM OS MESMOS VALORES MAS NEM SEMPRE ISSO ACONTECE AS DERIVADAS MISTAS ENVOLVENDO O MESMO CONJUNTO DE VARIÁVEIS APENAS EM ORDEM DIFERENTE SERÃO IGUAIS SE FOREM FUNÇÕES CONTÍNUAS Por exemplo para o caso do R2 elas serão 2f xy e 2f yx Estas derivadas serão iguais se e somente se as derivadas 2f xy e 2f yx forem contínuas Assim se uma for contínua obrigatoriamente a outra também será e terá o mesmo valor da primeira Esta conclusão diminui o número de cálculo para obter as derivadas de ordem superior pois necessitaremos apenas fazer a conta uma vez para cada conjunto de derivadas mistas RESUMO DO MÓDULO 4 Processing math 100 TEORIA NA PRÁTICA A temperatura em uma placa plana é dada pela equação Tx y x2 2y2 que apresenta a temperatura T medido em C em um ponto x y com x e y medida em metros Um objeto se encontra no ponto 12 Determine a taxa de variação da temperatura sofrida pelo objeto quando ele segue uma trajetória definida pelo vetor 2 4 RESOLUÇÃO VEJA A SOLUÇÃO DA QUESTÃO NO VÍDEO A SEGUIR MÃO NA MASSA VERIFICANDO O APRENDIZADO Processing math 100 CONCLUSÃO CONSIDERAÇÕES FINAIS Este tema apresentou e aplicou o conceito de função de várias variáveis também conhecida como função escalar e suas derivadas No primeiro módulo definimos a função escalar e vimos as suas representações além de analisarmos o gráfico e as curvas e superfícies de nível No segundo e terceiro módulos aplicamos as derivadas parciais o gradiente e a regra da cadeia bem como algumas de suas aplicações no cálculo diferencial e integral de várias variáveis Por fim apresentamos a derivada direcional e as derivadas parciais de ordem superior Temos certeza de que a partir deste momento você saberá definir e trabalhar com funções escalares e aplicar suas derivadas AVALIAÇÃO DO TEMA REFERÊNCIAS APOSTOL T M Cálculo Volume 1 1 ed Barcelona Espanha Editorial Reverte SA 1985 cap 8 p 243281 GUIDORIZZI H L Cálculo Volume 2 5 ed São Paulo LTC 2013 cap 8 p147162 cap 12 p 211225 cap 13 p 245273 e cap 14 p 274287 STEWART J Cálculo Volume 2 5 ed São Paulo Thomson Learning 2008 cap 14 p 884977 Processing math 100 EXPLORE Para saber mais sobre os assuntos tratados neste tema pesquise na internet e nas referências Sobre funções escalares derivadas parciais e derivadas direcionais Sobre as superfícies planas e espaciais de forma a conhecer possíveis representações gráficas obtidas por uma função escalar no plano ou no espaço CONTEUDISTA Jorge Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira CURRÍCULO LATTES Processing math 100