Conceito e Cálculo da Integral Dupla

DESCRIÇÃO Aplicação do conceito de Integração Dupla PROPÓSITO Definir a integral dupla e suas propriedades por meio das integrais simples iteradas em coordenadas cartesianas e em coordenadas polares bem como a integração dupla em alguns problemas de cálculo integral com duas variáveis PREPARAÇÃO Antes de iniciar o conteúdo deste tema tenha em mãos papel caneta e uma calculadora científica ou use a calculadora de seu smartphonecomputador OBJETIVOS MÓDULO 1 Calcular a integral dupla MÓDULO 2 Processing math 11 Calcular a integral dupla na forma polar MÓDULO 3 Aplicar o conceito de integração dupla INTRODUÇÃO MÓDULO 1 Calcular a integral dupla INTRODUÇÃO Processing math 11 A integração definida estudada no cálculo de uma variável foi uma operação criada por meio de um somatório para resolver problemas que envolviam determinação de áreas AO SE APLICAR PROCEDIMENTOS ANÁLOGOS SERÁ DEFINIDA A INTEGRAL DUPLA POR MEIO DE UM SOMATÓRIO DUPLO COM O OBJETIVO PRINCIPAL DE CALCULAR VOLUME DE UM SÓLIDO GERADO ENTRE O GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO ESCALAR DO R² E O PLANO XY Este módulo definirá a integração dupla e ensinará a realizar o seu cálculo DEFINIÇÃO DE INTEGRAL DUPLA Você já deve ter estudado o procedimento em que se substituía a área que se desejava calcular por um somatório de áreas retangulares Esse somatório era denominado soma de Riemann Vamos relembrar rapidamente esse procedimento SOMA DE RIEMANN PARA FUNÇÕES REAIS Desejavase obter a área entre uma função real fx isto é de apenas uma variável real e o eixo x para um domínio definido pelo intervalo ab com a e b reais O primeiro passo foi a criação de uma partição P desse intervalo P u0 u1 un que dividia ab em n subintervalos ui 1 ui tal que a u0 u1 un 1 un b A amplitude de cada subintervalo ui 1 ui era dada por Δui u1 ui 1 Depois em cada subintervalo ui 1 ui da partição P foi escolhido arbitrariamente um ponto pi Assim foi definida a soma de Riemann de fx em relação à partição P e ao conjunto de pontos pi por meio da expressão N I 1F PI UI F P1 U1 F P2 U2 F PN UN Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Cada parcela f pi ui pode ser analisada com a área de um retângulo de base ui e altura f pi Portanto podiase cobrir toda a área por um conjunto de retângulos correspondente a cada subintervalo da partição do domínio ab conforme mostra a Figura 1 Dessa forma a soma de Riemann foi vista como uma boa aproximação para o valor da área desejada Processing math 11 Fonte O autor Figura 1 É óbvio que essa aproximação ficava cada vez melhor quando se diminuía a largura da base dos retângulos por meio do aumento do número de subintervalos da partição P Quando esse número de retângulos tendia para infinito tinhase a melhor aproximação COM ISSO FOI POSSÍVEL DEFINIR A INTEGRAL DEFINIDA COMO UM LIMITE DA SOMA DE RIEMANN PARA QUANDO O NÚMERO DE SUBINTERVALOS TENDE AO INFINITO B AFXDX LIM N N I 1F PI UI Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal SOMA DUPLA DE RIEMANN PARA FUNÇÕES ESCALARES A integral dupla será uma operação matemática definida para uma função escalar com domínio em um subconjunto do R² isto é dependendo de duas variáveis reais Seja um retângulo fechado R definido por R X Y R2 A X B E C Y D COM A B C E D REAIS Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Processing math 11 COMENTÁRIO De forma análoga ao realizado no caso da função de uma variável com o intervalo ab vamos definir uma partição P para o retângulo R A diferença agora é que essa partição é por área envolvendo duas dimensões Seja P1 a x0 x1 xn b eP2 c y0 y1 ym d partições dos intervalos ab e cd respectivamente As amplitudes dos intervalos serão definidas por xi e yj O conjunto definido por P XI YJ 0 I N E 0 J M I E J INTEIROS Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal é denominado de partição do retângulo R Para esse caso a partição P determinará mn retângulos cada qual definido por RIJ X Y R2 XI 1 X XI E YJ1 Y YJ Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Fonte GUIDORIZZI H L Cálculo Vol 3 5 ed São Paulo LTC 2013 Figura 2 Considere agora um conjunto S R² O conjunto S será limitado se existir um retângulo R tal que todo S está contido nesse retângulo isto é S R Processing math 11 ATENÇÃO Agora já podemos utilizar procedimentos semelhantes e definir a soma dupla de Riemann para a função escalar com domínio no R² Seja a função escalar fxy com domínio no conjunto S R² com S limitado Assim existirá um retângulo R tal que S está totalmente contido em R Seja a partição P do retângulo R isto é P xi yj 0 i n e 0 j m com i e j inteiros Para cada subretângulo Rij da partição P escolhese um ponto pij arbitrariamente PIJ UI VJ COM XI 1 UI XI E YJ1 VJ YJ Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal DESEJAMOS DEFINIR UM SOMATÓRIO CUJAS PARCELAS SERÃO DO TIPO F PIJ XI YJ O PROBLEMA É QUE A FUNÇÃO FXY SOMENTE É DEFINIDA PARA S E OS PONTOS PIJ PODEM CAIR EM UMA REGIÃO DO RETÂNGULO R QUE NÃO PERTENCE A S Por exemplo na Figura 3 a seguir o ponto p11 está contido em S existindo portanto fp11 No entanto o ponto p34 não está contido em S não sendo possível definir fp34 Fonte O autor Figura 3 Para resolver esse problema usaremos a seguinte definição para fpij Processing math 11 F PIJ F PIJ SE PIJ S 0 SE PIJ S Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Agora podemos definir a soma dupla de Riemann da função fxy relativa a uma partição P e aos pontos arbitrários pij pela expressão N I 0 M J0F PIJ XI YJ Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Se o valor de f pij 0 a parcela f pij xi yj pode ser interpretada como o volume do paralelepípedo de base no retângulo Rij e alturaf pij conforme mostra a figura 4 Caso o valor de f pij 0 a parcela representará o volume do paralelepípedo multiplicado por 1 ATENÇÃO Repare que como os pontos que não pertencem a S tem valor de função zero as parcelas do somatório referentes a eles serão nulas Portanto a soma dupla de Riemann em S será igual à soma dupla de Riemann em R Fonte GUIDORIZZI H L Cálculo Vol 3 5 ed São Paulo LTC 2013 Figura 4 Se fxy 0 para todos os pontos do seu domínio S a soma dupla de Riemann pode ser considerada uma aproximação do volume do sólido formado entre o gráfico da função z fxy e o plano xy para a região S definida pelo seu domínio Processing math 11 Para o caso de se ter em alguns pontos fxy 0 a soma dupla de Riemann será a aproximação da diferença entre o volume do sólido formado por fxy acima do plano xy e o volume do sólido formado por fxy abaixo do plano xy COMENTÁRIO É obvio que quanto menor for a base dos paralelepípedos definidos na partição ou quanto maior for o número deles n e m tendendo a infinito melhor será a aproximação do volume do sólido pela soma de Riemann Portanto a integral dupla da função fxy na região S será definida por um limite da soma dupla de Riemann S FX YDXDY LIM 0 N I 0 M J0F PIJ XI YJ Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal em que 0 representa que todas as amplitudes de xi e yj tendem para zero Se o limite existir então a função f será integrável em S e o valor da integral dupla será o valor obtido pelo cálculo do limite De forma similar fxy será denominada de integrando e a integral dupla terá um limite inferior e superior de integração para cada uma das integrais EXEMPLO 1 Determine S 3 dxdy em que S é o retângulo formado por 0 x 2 e 0 y 3 SOLUÇÃO S 3DXDY LIM 0 N I 0 M J0F PIJ XI YJ Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Entretanto f pij 3 para todos pij S 3DXDY LIM 0 N I 0 M J03 XI YJ Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Processing math 11 N I 0 M J03 XI YJ 3 N I 0 M J0 XI YJ 3 N I 0 XI M J0 YJ Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Pela propriedade da soma telescópica T K0 ZK ZT Z0 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Assim 3 N I 0 XI M J0 YJ 3B AD C 3 2 0 3 0 18 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal S 3DXDY LIM 0 N I 0 M J03 XI YJ LIM 0 18 18 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal DA MESMA FORMA QUE OCORREU COM O CÁLCULO DE INTEGRAIS SIMPLES A DETERMINAÇÃO DAS INTEGRAIS DUPLAS NÃO SERÁ FEITA PELO CÁLCULO DO LIMITE DE SUA DEFINIÇÃO CONFORME VISTO NO EXEMPLO ANTERIOR EM TÓPICO POSTERIOR SERÁ ESTUDADO O TEOREMA DE FUBINI QUE NOS PERMITE CALCULAR A INTEGRAL DUPLA POR MEIO DO CÁLCULO DE DUAS INTEGRAIS SIMPLES PROPRIEDADES DA INTEGRAL DUPLA Podemos apresentar algumas propriedades para a integral dupla A demonstração de todas elas é feita por meio de sua definição pela soma dupla de Riemann Considere as funções fxy e gxy integráveis em S e k uma constante real 1 Processing math 11 S FX Y GX YDXDY S FX YDXDY S GX YDXDY Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 2 S KFX YDXDY K S FX YDXDY Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 3 Se fxy 0 em S S FX YDXDY 0 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal ATENÇÃO Podese utilizar a mesma analogia para fxy 0 fxy 0 e fxy 0 4 Se fxy gxy em S S FX YDXDY S GX YDXDY Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Obs Podese usar a mesma analogia para fxy gxy fxy gxy e fxy gxy 5 Seja S1 e S2 tais que S1 S2 S e S1 S2 S FX YDXDY S1 FX YDXDY S2 FX YDXDY Processing math 11 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal CÁLCULO DE INTEGRAIS DUPLAS No cálculo integral de uma variável foi estudado que era possível se calcular as integrais definidas de uma forma mais direta usando as integrais imediatas por meio do Teorema Fundamental do Cálculo Assim não se necessitava determinar as integrais pelo cálculo do limite da soma de Riemann Para o caso da integral dupla o cálculo do limite da soma dupla de Riemann é ainda mais complicado Desse modo buscaremos uma alternativa mais simples A SOLUÇÃO SERÁ CALCULAR A INTEGRAL DUPLA POR MEIO DE DUAS INTEGRAIS SIMPLES QUE SERÃO DENOMINADAS DE INTEGRAIS ITERADAS COM PROCEDIMENTO DEFINIDO PELO TEOREMA DE FUBINI E SEUS COROLÁRIOS TEOREMA DE FUBINI O Teorema de Fubini não será demonstrado neste Tema mas daremos uma interpretação geométrica para o caso de fxy positivo que justificará a sua validade Seja fxy uma função escalar integrável definida em S R2 O conjunto S é um retângulo definido por S X Y R2 A X B E C Y D Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal com abc e d reais Mantendo a variável y fixa podemos integrar parcialmente fxy em relação a variável x pela expressão AY B AFX YDX Y C D Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Processing math 11 ATENÇÃO A integração apresentada segue a mesma lógica da derivada parcial isto é integrase em x mantendo a variável y constante Para cada valor fixo de y dentro do intervalo cd por exemplo y0 obteremos uma função Ay0 Para o caso de fxy0 0 essa função pode ser interpretada como a área entre o gráfico da função fxy0 e o plano xy Vejamos a Figura 5 a seguir Fonte GUIDORIZZI H L Cálculo Vol 3 5 ed São Paulo LTC 2013 Figura 5 Podemos então enxergar o cálculo do volume do sólido entre fxy e o plano xy por meio da soma de vários prismas com base dada por Ay e a altura dada por dy para c y d Portanto S FX YDXDY D CAYDY D C B AFX YDX DY Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal A integral ao lado direito da expressão apresentada é denominada integral iterada Esse nome se deve ao fato de que primeiro integramos parcialmente em relação a uma variável e depois integraremos em relação a outra O uso ou não dos colchetes separando as integrais é opcional NA INTEGRAL INDICADA OS VALORES A E B SERÃO OS LIMITES DA INTEGRAL EM X E DE C E D LIMITES DA INTEGRAL EM Y A ORDEM DA COLOCAÇÃO DE DX E DY DEVE SEGUIR O APRESENTADO ISTO É O PRIMEIRO DIFERENCIAL SE REFERE À INTEGRAL DE DENTRO E O ÚLTIMO DIFERENCIAL A INTEGRAL DE FORA Vamos agora enunciar o Teorema de Fubini após ter visto uma justificativa de sua validade Processing math 11 TEOREMA DE FUBINI Seja fxy uma função escalar integrável no retângulo por S X Y R2 A X B E C Y D Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Suponha que b afx ydx exista para todo c y d e que d cfx ydy exista para todo a x b então S FX YDXDY D CB AFX YDXDY B AD CFX YDYDX Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Observe que para esse caso tanto faz integrar parcialmente em relação à variável x e depois y ou viceversa Em certos casos a escolha da ordem de integração pode simplificar ou complicar o cálculo da integral REPARE NA NOTAÇÃO QUE DEPENDENDO DA ORDEM ESCOLHIDA A POSIÇÃO DE DX E DY MUDA COMO DITO OS LIMITES DA INTEGRAL DE DENTRO ESTÃO RELACIONADAS AO PRIMEIRO DIFERENCIAL QUE APARECE E DA INTEGRAL DE FORA AO SEGUNDO DIFERENCIAL Pode ser provado que para o caso de se ter fxy gxhy a integral dupla para quando os limites são numéricos pode ser analisada como um produto de duas integrais simples S FX YDXDY D CB AGXHYDXDY B AGXDX D CHYDY Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Por exemplo D CB A8 XY2DXDY B A8XDX D CY2DY Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Por fim como a integral dupla será calculada com a determinação de duas integrais simples é importante relembramos as integrais simples imediatas e os métodos de integração estudados no cálculo de uma variável Processing math 11 EXEMPLO 2 Determine o valor de S 2x2 3y dxdy em que S é um retângulo definido por 1 x 3 e 0 y 4 SOLUÇÃO Usando as integrais iteradas 𝑆 2𝑥2 3𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦 0 4 1 3 2𝑥2 3𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal ou 𝑆 2𝑥2 3𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦 1 3 0 4 2𝑥2 3𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Escolheremos a segunda mas você pode realizar a primeira como exercício e verificar o mesmo resultado 𝑆 2𝑥2 3𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦 1 3 0 4 2𝑥2 3𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Vamos integrar parcialmente 0 4 2𝑥2 3𝑦𝑑𝑦y em relação à variável y mantendo x constante Lembremos da regra de integração 𝑦𝛽 𝑑𝑦 𝑦𝛽 1 𝛽 1 𝑘 K REAL E 𝛽 1 E 𝑘 𝑑𝑦 𝑦 𝑘 𝑘 𝑟𝑒𝑎𝑙 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Então 𝐴𝑥 0 4 2𝑥2 3𝑦𝑑𝑥 2𝑥2 𝑦0 4 3 1 2𝑦 2 0 4 2𝑥2 4 0 3 242 02 8𝑥2 24 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Portanto Processing math 11 𝑆 2𝑥2 3𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦 1 3 8𝑥2 24𝑑𝑥 1 3 8𝑥2 24𝑑𝑥 8 3𝑥3 1 3 24𝑥1 3 8 333 13 243 1 𝑆 2𝑥2 3𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦 8 3 26 242 208 3 48 352 3 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal EXEMPLO 3 Calcule o volume do sólido formado por todos os pontos xyz tais que 1 x e 1 y 2e e 0 z ln xy SOLUÇÃO Repare que o exercício está pedindo o cálculo do volume entre o gráfico de uma função z fxy e o plano xy Observe que fxy 0 para todo seu domínio 1 x e 1 y e Esse volume pode ser obtido por meio da integral dupla 𝑆 𝑙𝑛𝑥𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦 1 𝑒 1 2𝑒 ln 𝑥𝑦𝑑𝑦 𝑑𝑥 1 2𝑒 1 𝑒 ln 𝑥𝑦𝑑𝑥 𝑑𝑦 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Resolvendo inicialmente em relação à variável x mantendo a variável y constante 1 𝑒 ln 𝑥𝑦𝑑𝑥 1 𝑒 ln 𝑥 ln 𝑦𝑑𝑥 1 𝑒 ln 𝑥 𝑑𝑥 1 𝑒 ln 𝑦 𝑑𝑥 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal A segunda integral é mais rápida 1 𝑒 ln 𝑦 𝑑𝑥 ln 𝑦 1 𝑒 𝑑𝑥 𝑙𝑛𝑦 𝑥1 𝑒 𝑒 1𝑙𝑛𝑦 Processing math 11 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Na primeira integral devemos utilizar a integração por partes 1 𝑒 ln 𝑥 𝑑𝑥 ONDE 𝑢 ln 𝑥 𝑑𝑢 1 𝑥 𝑒 𝑑𝑣 𝑑𝑥 𝑣 𝑥 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Assim 1 𝑒 ln 𝑥 𝑑𝑥 x ln 𝑥1 𝑒 1 𝑒 𝑥1 𝑥𝑑𝑥 x ln 𝑥1 𝑒 1 𝑒 𝑑𝑥 x ln 𝑥1 𝑒 𝑥1 𝑒 1 𝑒 ln 𝑥 𝑑𝑥 𝑒ln 𝑒 1ln 1 𝑒 1 𝑒 0 𝑒 1 1 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Dessa forma 1 𝑒 ln 𝑥𝑦𝑑𝑥 1 𝑒 1ln 𝑦 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Retornando 𝑆 𝑙𝑛𝑥𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦 1 2𝑒 1 𝑒 1ln 𝑦 𝑑𝑦 1 2𝑒 1 𝑒 1ln 𝑦 𝑑𝑦 1 2𝑒 𝑑𝑦 𝑒 1 1 2𝑒 ln 𝑦 𝑑𝑦 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal a 1 2𝑒 𝑑𝑦 𝑦1 2𝑒 2𝑒 1 b 𝑒 1 1 2𝑒 ln 𝑦 𝑑𝑦 usando a integral por partes já realizadas para o x Processing math 11 ln𝑦 𝑑𝑦 𝑦𝑙𝑛 𝑦 𝑦 𝑘 𝑘 𝑟𝑒𝑎𝑙 𝑒 1 1 2𝑒 ln 𝑦 𝑑𝑦 𝑒 1y ln 𝑦1 2𝑒 𝑦1 2𝑒 𝑒 12𝑒ln 2𝑒 1ln 1 2𝑒 1 𝑒 12𝑒ln 2𝑒 2𝑒 1 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal No entanto ln 2𝑒 𝑙𝑛2 ln 𝑒 ln 2 1 𝑒 12𝑒ln 2𝑒 2𝑒 1 𝑒 12𝑒ln 2 2𝑒 2𝑒 1 𝑒 12𝑒ln 2 1 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Finalmente 𝑆 𝑙𝑛𝑥𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦 1 2𝑒 1 𝑒 1ln 𝑦 𝑑𝑦 2𝑒 1 𝑒 12𝑒𝑙𝑛2 1 𝑆 𝑙𝑛𝑥𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦 2𝑒 1 2𝑒2 𝑙𝑛2 𝑒 2𝑒𝑙𝑛2 1 3𝑒 2 2𝑒2 𝑙𝑛2 2𝑒𝑙𝑛2 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Até o momento aplicamos o Teorema de Fubini para quando o domínio é um retângulo Vejamos agora um corolário desse teorema que permite calcular a integral dupla para qualquer domínio fechado de fxy Veremos que a única diferença em relação ao caso anterior é que neste os limites de integração da variável y dependerão da variável x ou viceversa A consequência disso é que não teremos mais a liberdade de escolher a ordem das integrações Processing math 11 TEOREMA DE FUBINI COROLÁRIO 1 Seja fxy uma função escalar integrável no domínio S R² Sejam cx e dx duas funções contínuas em ab e tais que cx dx Seja o conjunto 𝑆 𝑥 𝑦 𝑅2 𝑎 𝑥 𝑏 𝑒 𝑐𝑥 𝑦 𝑑𝑥 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Então 𝑆 𝑓𝑥 𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑎 𝑏 𝑐𝑥 𝑑𝑥 𝑓𝑥 𝑦𝑑𝑦𝑑𝑥 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Observe que como a variação de y depende de x obrigatoriamente a integração parcial em relação à variável y deve ser realizada primeiro TEOREMA DE FUBINI COROLÁRIO 2 Seja fxy uma função escalar integrável no domínio S R2 Sejam ay e by duas funções contínuas em cd e tais que ay by Seja o conjunto 𝑆 𝑥 𝑦 𝑅2 𝑎𝑦 𝑥 𝑏𝑦 𝑒 𝑐 𝑦 𝑑 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Então 𝑆 𝑓𝑥 𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑐 𝑑 𝑎𝑦 𝑏𝑦 𝑓𝑥 𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal De forma contrária nesse caso como a variação de x depende da variável y a integração parcial em relação a x deve ser feita primeiramente EXEMPLO 4 Determine o valor de 𝑆 2𝑥2 3𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦 em que Processing math 11 𝑆 𝑥 𝑦 0 𝑥 1 𝑒 0 𝑦 𝑥 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal SOLUÇÃO Observe que diferentemente do exemplo já resolvido para essa função não estamos mais integrando em um retângulo mais sim em uma região como mostra a Figura 6 Fonte O autor Figura 6 ATENÇÃO Como os limites da variável y dependerão de x a integral parcial em y deve ser feita em primeiro lugar uma vez que para um x fixo a variável y irá variar de 0 até x Usando as integrais iteradas 𝑆 2𝑥2 3𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦 0 1 0 𝑥 2𝑥2 3𝑦𝑑𝑦𝑑𝑥 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Vamos integrar parcialmente 0 𝑥 2𝑥2 3𝑦𝑑𝑦 em relação à variável y mantendo x constante 𝐴𝑥 0 𝑥 2𝑥2 3𝑦𝑑𝑥 2𝑥2 𝑦0 𝑥 3 1 2𝑦 2 0 𝑥 2𝑥2 𝑥 0 3 2𝑥2 02 2𝑥3 3 2𝑥2 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Processing math 11 Portanto 𝑆 2𝑥2 3𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦 0 1 2𝑥3 3 2𝑥2 𝑑𝑥 0 1 2𝑥3 3 2𝑥2 𝑑𝑥 2 4𝑥4 0 1 3 2 1 3𝑥3 0 1 1 214 04 1 213 03 1 2 1 2 1 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal É óbvio que a região S poderia ser analisada de outra forma escolhendo um valor de y e fazendo x variar entre 0 e y Assim a integral também poderia ser resolvida como 𝑆 2𝑥2 3𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦 0 1 𝑦 1 2𝑥2 3𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Só que para esse caso a integral parcial em relação à variável x deve ser feita primeiramente Essa segunda solução ficará como exercício para se verificar o mesmo resultado do anterior ATENÇÃO É preciso que as integrais sejam sempre separadas em regiões onde a dependência de uma variável em relação à outra seja igual Veja o caso representado na Figura 7 para um domínio S Fonte o Autor Figura 7 Processing math 11 Repare que a variação de y em relação a x tem uma composição para a x b e outra para b x c Dessa forma 𝑆 𝑓𝑥 𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑎 𝑏 𝑐1𝑥 𝑑1𝑥 𝑓𝑥 𝑦𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑏 𝑐 𝑐2𝑥 𝑑2𝑥 𝑓𝑥 𝑦𝑑𝑦𝑑𝑥 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal EXEMPLO 5 Determine o valor de 𝑆 2𝑥2 3𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦 em que 𝑆 𝑥 𝑦 0 𝑥 2 𝑒 0 𝑦 𝑔𝑥 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal e 𝑔𝑥 𝑥 0 𝑥 1 4 1 𝑥 2 SOLUÇÃO Observe que diferentemente do exemplo anterior devemos dividir o intervalo de integração em razão de a dependência da variação de y em relação a x ser diferente para cada intervalo 𝑆 2𝑥2 3𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦 0 1 0 𝑥 2𝑥2 3𝑦𝑑𝑦𝑑𝑥 1 2 0 4 2𝑥2 3𝑦𝑑𝑦𝑑𝑥 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal A primeira integral 0 1 0 𝑥 2𝑥2 3𝑦𝑑𝑦𝑑𝑥 já foi realizada no exemplo anterior e vale 1 Vamos resolver a segunda integral que está faltando 1 2 0 4 2𝑥2 3𝑦𝑑𝑦𝑑𝑥 Integrando inicialmente em y 0 4 2𝑥2 3𝑦𝑑𝑦 mantendo a variável x constante 0 4 2𝑥2 3𝑦𝑑𝑦 2𝑥2 𝑦0 4 3 1 2𝑦 2 0 4 2𝑥2 4 0 3 242 02 8𝑥2 24 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Portanto 1 2 0 4 2𝑥2 3𝑦𝑑𝑦𝑑𝑥 1 2 8𝑥2 24𝑑𝑥 Processing math 11 1 2 8𝑥2 24𝑑𝑥 8 3𝑥3 1 2 24𝑥1 2 8 323 13 242 1 64 3 48 𝑆 2𝑥2 3𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦 1 64 3 48 211 3 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal RESUMO DO MÓDULO 1 TEORIA NA PRÁTICA Use a integração dupla para determinar o volume de um cilindro de raio de 3 cm e altura de 10 cm SOLUÇÃO Veja a seguir a solução desta questão Processing math 11 MÃO NA MASSA 1 DETERMINE O VALOR DE 4 1 2 0 2𝑦 3𝑥 𝑑𝑦𝑑𝑥 A 30 12 2 B 15 2 C 40 D 54 E 75 3 2 DETERMINE 𝑆 𝑢 𝑠𝑒𝑛𝑢𝑣𝑑𝑢𝑑𝑣 SENDO 𝑆 𝑢 𝑣 𝑅2 0 𝑢 1 𝑒 0 𝑣 𝜋 2 ATENÇÃO PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL A 1 2𝜋 B 1 2 𝜋 C 2𝜋 D 2 𝜋 E 4 2 𝜋 3 DETERMINE O VALOR DA 𝑆 ℎ𝑢 𝑣𝑑𝑢𝑑𝑣 EM QUE HUV 4UV² E A REGIÃO 𝑆 𝑢 𝑣 𝑅2 0 𝑣 2 𝑒 2 𝑢 𝑣 Processing math 11 ATENÇÃO PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL A 64 15 B 128 5 C 128 15 D 64 5 E 256 15 4 DETERMINE O VALOR DA 𝑅 𝑓𝑥 𝑦𝑑𝑥 𝑑𝑦 EM QUE FXY 2LNY E A REGIÃO 𝑅 𝑥 𝑦 𝑅2 1 𝑦 2 𝑒 0 𝑥 1 𝑦 ATENÇÃO PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL A ln 2 B ln 4 C ln 8 D ln 4² E ln 2² 5 DETERMINE 𝑅 𝑔𝑥 𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦 EM QUE GXY X 2Y E R É UM PARALELOGRAMO DE VÉRTICES 00 30 22 E 52 A 27 B 54 C 76 D 81 E 98 6 DETERMINE A INTEGRAL DUPLA 𝑆 2𝑥𝑦 4𝑥3 𝑑𝑥𝑑𝑦 EM QUE S É A REGIÃO DELIMITADA PELAS CURVAS Y X² E X 2 Y COM X ENTRE 02 A 289 3 B 289 6 C 389 6 Processing math 11 D 589 6 E 589 3 GABARITO 1 Determine o valor de 4 1 2 0 2𝑦 3𝑥 𝑑𝑦𝑑𝑥 A alternativa C está correta Como os limites de integração não dependem entre si podemos integrar em qualquer ordem Integraremos parcialmente em relação ao y mantendo a variável x constante 2 0 2𝑦 3𝑥 𝑑𝑦 2 1 2𝑦2 0 2 3𝑥 𝑦0 2 22 02 3𝑥2 0 4 6𝑥 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Assim 4 1 2 0 2𝑦 3𝑥 𝑑𝑦𝑑𝑥 4 1 4 6𝑥𝑑𝑥 4 𝑥1 4 6 1 3 2 𝑥 3 2 1 4 4 𝑥1 4 6 2 3𝑥 3 2 1 4 4 1 2 0 2𝑦 3𝑥 𝑑𝑦𝑑𝑥 4 4 1 44 3 2 1 3 2 12 444 1 12 32 4 40 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 2 Determine 𝑆 𝑢 𝑠𝑒𝑛𝑢𝑣𝑑𝑢𝑑𝑣 sendo 𝑆 𝑢 𝑣 𝑅2 0 𝑢 1 𝑒 0 𝑣 𝜋 2 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal A alternativa B está correta Como os limites de integração não dependem entre si podemos integrar em qualquer ordem 1 0 𝜋 2 0 𝑢 𝑠𝑒𝑛𝑢𝑣𝑑𝑣 𝑑𝑢 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Integraremos parcialmente em relação a v mantendo a variável u constante 𝜋 2 0 𝑢 𝑠𝑒𝑛𝑢𝑣𝑑𝑣 𝑢 𝜋 2 0 𝑠𝑒𝑛𝑢𝑣𝑑𝑣 𝑢 1 𝑢 cos 𝑢𝑣0 𝜋 2 𝜋 2 0 𝑢 𝑠𝑒𝑛𝑢𝑣𝑑𝑣 𝑐𝑜𝑠𝜋 2𝑢 cos 0 1 𝑐𝑜𝑠𝜋 2𝑢 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Assim 1 0 𝜋 2 0 𝑢 𝑠𝑒𝑛𝑢𝑣𝑑𝑣 𝑑𝑢 1 0 1 𝑐𝑜𝑠𝜋 2𝑢𝑑𝑢 1 0 1 𝑐𝑜𝑠𝜋 2𝑢𝑑𝑢 1 0 𝑑𝑢 1 0 𝑐𝑜𝑠𝜋 2𝑢𝑑𝑢 𝑢0 1 2 𝜋𝑠𝑒𝑛𝜋 2𝑢 0 1 1 0 1 𝑐𝑜𝑠𝜋 2𝑢𝑑𝑢 1 0 2𝜋𝑠𝑒𝑛𝜋 2 𝑠𝑒𝑛0 1 2𝜋 Processing math 11 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 3 Determine o valor da 𝑆 ℎ𝑢 𝑣𝑑𝑢𝑑𝑣 em que huv 4uv² e a região 𝑆 𝑢 𝑣 𝑅2 0 𝑣 2 𝑒 2 𝑢 𝑣 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal A alternativa C está correta 𝑆 ℎ𝑢 𝑣𝑑𝑢𝑑𝑣 2 0 𝑣 2 4𝑢𝑣2 𝑑𝑢𝑑𝑣 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal A variação de u depende da variável v de modo que devemos realizar a integral em relação a u primeiramente 𝑣 2 4𝑢𝑣2 𝑑𝑢 4𝑣2 𝑣 2 𝑢𝑑𝑢 4𝑣2 1 2𝑢2 2 𝑣 2𝑣2 𝑣2 22 2𝑣4 8𝑣2 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Assim 𝑆 ℎ𝑢 𝑣𝑑𝑢𝑑𝑣 2 0 2𝑣4 8𝑣2 𝑑𝑣 2 1 5𝑣5 0 2 8 1 3𝑣3 0 2 2 525 8 323 𝑆 ℎ𝑢 𝑣𝑑𝑢𝑑𝑣 64 5 64 3 128 15 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 4 Determine o valor da 𝑅 𝑓𝑥 𝑦𝑑𝑥 𝑑𝑦 em que fxy 2lny e a região 𝑅 𝑥 𝑦 𝑅2 1 𝑦 2 𝑒 0 𝑥 1 𝑦 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal A alternativa E está correta 𝑅 𝑓𝑥 𝑦𝑑𝑥 𝑑𝑦 2 1 1 𝑦 0 2 ln𝑦𝑑𝑥 𝑑𝑦 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal A variação de x depende da variável y de forma que devemos realizar a integral em relação a x primeiramente 1 𝑦 0 2 ln 𝑦𝑑𝑥 𝑑𝑦 2 ln 𝑦 1 𝑦 0 𝑑𝑥 2 ln 𝑦1𝑦 0 2𝑦 𝑙𝑛𝑦 2 1 1 𝑦 0 2 ln 𝑦𝑑𝑥 𝑑𝑦 2 1 2𝑦 𝑙𝑛𝑦 𝑑𝑦 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Para resolver essa integral vamos fazer uma substituição de variável 𝑢 ln 𝑦 𝑑𝑢 1 𝑦 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Assim 2𝑦 𝑙𝑛𝑦 2𝑢 𝑑𝑢 Para y 1 u ln 1 0 e y 2 u ln 2 2 1 2𝑦 𝑙𝑛𝑦 𝑑𝑦 ln 2 0 2𝑢 𝑑𝑢 𝑢2 0 ln 2 ln 22 Processing math 11 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 5 Determine 𝑅 𝑔𝑥 𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦 em que gxy x 2y e R é um paralelogramo de vértices 00 30 22 e 52 A alternativa A está correta Veja a resolução da questão no vídeo a seguir 6 Determine a integral dupla 𝑆 2𝑥𝑦 4𝑥3 𝑑𝑥𝑑𝑦 em que S é a região delimitada pelas curvas y x² e x 2 y com x entre 02 A alternativa B está correta Veja a resolução da questão no vídeo a seguir GABARITO VERIFICANDO O APRENDIZADO 1 DETERMINE O VALOR DE 1 0 2 0 2𝑦𝑥 3𝑥2 𝑑𝑦𝑑𝑥 ATENÇÃO PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL A 1 B 2 Processing math 11 C 3 D 4 E 5 2 DETERMINE O VALOR DE 𝑆 4𝑥𝑦 𝑑𝑥 EM QUE S É A REGIÃO DELIMITADA PELA RETA Y X E A PARÁBOLA Y X² PARA X ENTRE 01 A 1 2 B 1 4 C 1 6 D 2 3 E 3 2 GABARITO 1 Determine o valor de 1 0 2 0 2𝑦𝑥 3𝑥2 𝑑𝑦𝑑𝑥 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal A alternativa D está correta Como os limites de integração não dependem entre si podemos integrar em qualquer ordem Integraremos parcialmente em relação ao y mantendo a variável x constante 2 0 2𝑦𝑥 3𝑥2 𝑑𝑦 2𝑥 1 2𝑦2 0 2 3𝑥2 𝑦0 2 𝑥22 02 3𝑥2 2 0 4𝑥 6𝑥2 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Assim 1 0 4𝑥 6𝑥2 𝑑𝑥 4 1 2𝑥 2 0 1 6 1 3𝑥3 0 1 21 0 21 0 2 2 4 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 2 Determine o valor de 𝑆 4𝑥𝑦 𝑑𝑥 em que S é a região delimitada pela reta y x e a parábola y x² para x entre 01 A alternativa C está correta Repare que os limites da variável x dependem de y ou viceversa Vamos considerar o valor de x variando de 01 e assim o valor de y irá variar entre os valores dados pela parábola e os valores dados pela reta Observe que para x entre o1 a reta y x sempre dará valores superiores do que a parábola y x² 1 0 𝑥 𝑥2 4𝑥𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Processing math 11 Resolvendo a integral em y mantendo x constante 𝑥 𝑥2 4𝑥𝑦 𝑑𝑦 4𝑥 1 2𝑦2 𝑥2 𝑥 2𝑥𝑥2 𝑥2 2 2𝑥3 2𝑥5 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Assim 1 0 𝑥 𝑥2 4𝑥𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 1 0 2𝑥3 2𝑥5 𝑑𝑥 21 4𝑥4 0 1 21 6𝑥6 0 1 1 0 𝑥 𝑥2 4𝑥𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 1 214 1 316 1 2 1 3 1 6 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal MÓDULO 2 Calcular a Integral dupla na forma polar INTRODUÇÃO Em alguns problemas devido à sua simetria pode ficar mais fácil resolver a integral dupla transformando o integrando para sua forma polar Este módulo apresentará o cálculo da integral dupla por meio de sua forma polar INTEGRAL DUPLA EM COORDENADAS POLARES O sistema de coordenada polares já foi estudado para representar curvas no plano Para definirmos esse sistema necessitamos de um ponto origem e de uma semirreta que parte dessa origem denominada eixo polar UTILIZANDO OS EIXOS CARTESIANOS X E Y COLOCAMOS A ORIGEM DO SISTEMA POLAR NA ORIGEM DO SISTEMA CARTESIANO ISTO É NO PONTO O QUE É A INTERSEÇÃO DOS DOIS EIXOS E O EIXO POLAR SERÁ O EIXO POSITIVO DO EIXO X As coordenadas polares de um ponto serão A distância do ponto à origem do sistema polar representada por ρ O ângulo que a reta OP faz com o eixo polar representada por θ medido no sentido antihorário Dessa forma o ponto P em coordenadas polares será representado por Pρθ Processing math 11 Fonte O autor Figura 08 A relação entre o sistema cartesiano xy e polar ρθ será dado pelas equações 𝑥 𝜌 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑦 𝜌 𝑠𝑒𝑛𝜃 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal e 𝜌 𝑥2 𝑦2 𝑡𝑔 𝜃 𝑦 𝑥 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Imaginemos agora a situação em que desejamos calcular a integral dupla 𝑆 𝑓𝑥 𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦 na qual a região S pode ser mais facilmente representada por sua equação polar do que sua equação retangular PARA ESSES CASOS SERIA MAIS FÁCIL TERMOS UM MÉTODO DE RESOLVER A INTEGRAL DUPLA COM A FUNÇÃO NA SUA FORMA POLAR NO ENTANTO A INTEGRAL DUPLA É DEFINIDA POR MEIO DE UMA SOMA DUPLA DE RIEMANN QUE FOI DEFINIDA ATRAVÉS DE UMA PARTIÇÃO DO DOMÍNIO DA FUNÇÃO EM RETÂNGULOS DESSE MODO TORNASE NECESSÁRIO PARA O CASO DA INTEGRAL EM COORDENADAS POLARES RETOMARMOS À DEFINIÇÃO DA INTEGRAÇÃO O desejo é obter os limites e integração determinados pelas variáveis polares ρ e θ Assim as partições da região S não poderiam mais serem feitas na forma de retângulos que possuem áreas do tipo xy mas sim de retângulos polares que serão definidos por ρ e θ Portanto a partição será dividida em subretângulos polares do tipo Processing math 11 𝑅𝑖𝑗 𝜌𝑖 𝜃𝑗 𝜌𝑖 1 𝜌 𝜌𝑖 𝑒 𝜃𝑗 1 𝜃 𝜃𝑗 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Fonte o Autor Figura 09 A área desse retângulo polar pode ser calculada pela subtração de dois setores circulares 𝐴𝑖𝑗 1 2𝜌𝑖 2 𝜃𝑖 1 2𝜌𝑖 1 2 𝜃𝑖 1 2𝜃𝑖 𝜌𝑖 2 𝜌𝑖 1 2 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Mas 𝜌𝑖 2 𝜌𝑖 1 2 𝜌𝑖 𝜌𝑖 1 𝜌𝑖 𝜌𝑖 1 𝜌𝑖 𝜌𝑖 1 𝜌𝑖 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Como vamos trabalhar com retângulo polares muito pequenos pois faremos posteriormente o número de retângulo tendendo a infinito 𝜌𝑖 𝜌𝑖 1 𝜌𝑖 𝜌𝑖 1 2𝜌𝑖 Assim 𝐴𝑖𝑗 1 2𝜌𝑖 2 𝜃𝑖 1 2𝜌𝑖 1 2 𝜃𝑖 1 2𝜃𝑖 𝜌𝑖 𝜌𝑖 1 𝜌𝑖 1 2𝜃𝑖 2𝜌𝑖 𝜌𝑖 𝜌𝑖 𝜃𝑖 𝜌𝑖 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal No caso das coordenadas retangulares a área de Rij era dada por 𝑥𝑖 𝑦𝑖 e deduzimos a soma dupla de Riemann como Processing math 11 𝑖 0 𝑛 𝑗 0 𝑚 𝑓𝑝𝑖𝑗 𝑥𝑖 𝑦𝑗 𝑖 0 𝑛 𝑗 0 𝑚 𝑓𝑥𝑝𝑖 𝑦𝑝𝑖 𝐴𝑖𝑗 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Para cada um desses subretângulos será escolhido arbitrariamente um ponto pij com coordenadas polares 𝜌𝑝𝑖 𝜃𝑝𝑗 O valor da área infinitesimal em relação às coordenadas polares será 𝐴𝑖𝑗 𝜌𝑖 𝜃𝑖 𝜌𝑖 Assim a soma dupla de Riemann será dada por 𝑖 0 𝑛 𝑗 0 𝑚 𝑓𝑥𝑝𝑖 𝑦𝑝𝑗 𝐴𝑖𝑗 𝑖 0 𝑛 𝑗 0 𝑚 𝑓𝜌𝑝𝑖 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑝𝑗 𝜌𝑝𝑖 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑝𝑗 𝜌𝑖 𝜃𝑖 𝜌𝑖 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Calculando o limite da soma dupla de Riemann temos 𝑆 𝑓𝑥 𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑆𝑝 𝑓𝜌 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝜌 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝜌𝑑𝜌𝑑𝜃 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal em que S é o domínio da função f em coordenadas retangulares e Sp é o domínio da função f em coordenadas polares COMO AS INTEGRAIS SÃO CALCULADAS EM RELAÇÃO AOS LIMITES DE INTEGRAÇÃO DIFERENTES TORNASE NECESSÁRIO UM FATOR DE CORREÇÃO NO INTEGRANDO PARA O CASO DA TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADA RETANGULAR PARA POLAR ESSE FATOR É Ρ CONFORME DEMONSTRAMOS PELOS NOSSOS CÁLCULOS Caso não fosse colocado o fator de correção ρ os limites de integração em relação a ρ e θ não representariam uma região de forma polar mas sim um retângulo normal não representando corretamente a região S RESUMINDO Seja fxy integrável no retângulo polar definido por aρb e α θ β com β α menor do que uma volta completa isto é β α 2π Então 𝑆 𝑓𝑥 𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦 𝛼 𝛽 𝑎 𝑏 𝑓𝜌 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝜌 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝜌𝑑𝜌𝑑𝜃 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Processing math 11 Para o caso de as variações angulares de θ dependerem da variável radial ρ ou viceversa deve ser usado os corolários do Teorema de Fubini para determinar a ordem de integração EXEMPLO 1 Determine o volume do cilindro de raio de 3 cm e altura de 10 cm SOLUÇÃO No item Teoria na Prática do Módulo 1 resolvemos esse exercício por meio de coordenadas retangulares solucionando a integral dupla 𝑆 𝑓𝑥 𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦 3 3 9 𝑥2 9 𝑥2 10 𝑑𝑦𝑑𝑥 90𝜋 𝑐𝑚3 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal No entanto se observarmos o domínio S utilizado x2 y2 9 pela sua simetria poderia ser representado pela curva polar ρ 3 com 0 θ 2π Desse modo 𝑆 𝑓𝑥 𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦 0 2𝜋 0 3 10 𝜌𝑑𝜌𝑑𝜃 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Como os limites são números podemos resolver a integrais iteradas em qualquer ordem inicialmente resolvendo em relação à variável ρ 0 3 10 𝜌𝑑𝜌 10 0 3 𝜌𝑑𝜌 101 2𝜌2 0 3 532 02 45 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Assim 𝑆 𝑓𝑥 𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦 0 2𝜋 45 𝑑𝜃 45 𝜃0 2𝜋 452𝜋 0 90𝜋 𝑐𝑚3 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Processing math 11 DICA Compare as duas soluções e veja como foi muito mais rápido pelo uso das coordenadas polares EXEMPLO 2 Determine 𝑠 2 𝑐𝑜𝑠𝑥2 𝑦2 𝑑𝑥𝑑𝑦 sendo 𝑆 𝑥 𝑦 𝑅2 𝑥2 𝑦2 1 𝑒 𝑦 0 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal SOLUÇÃO A superfície S é uma semicircunferência de raio 1 Como x2y2ρ2 em coordenadas polares esta terá uma equação ρ 1 com 0 θ π O valor de θ foi limitado a π pois é apenas metade da circunferência e não ela inteira Convertendo a função cosx2y2 para coordenada polar temos cosρ2 Então 𝑠 2 𝑐𝑜𝑠𝑥2 𝑦2 𝑑𝑥𝑑𝑦 0 𝜋 0 1 𝑐𝑜𝑠𝜌2 𝜌𝑑𝜌𝑑𝜃 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Resolvendo primeiramente a integral em θ mantendo ρ constante 0 𝜋 𝑐𝑜𝑠𝜌2 𝜌𝑑𝜃 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜌2 0 𝜋 𝑑𝜃 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜌2 𝜃0 𝜋 𝜋𝜌𝑐𝑜𝑠𝜌2 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Então 0 1 𝑐𝑜𝑠𝜌2 𝜌𝑑𝜌𝑑𝜃 0 1 𝜋𝜌 𝑐𝑜𝑠𝜌2 𝑑𝜌 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Fazendo a substituição u ρ2 du 2ρdρ Para ρ 0 u 0 e ρ 1 u 1 Processing math 11 0 1 𝜋𝜌 𝑐𝑜𝑠𝜌2 𝑑𝜌 𝜋 2 0 1 𝑐𝑜𝑠𝑢𝑑𝑢 𝜋 2 𝑠𝑒𝑛𝑢0 1 0 1 𝜋𝜌 𝑐𝑜𝑠𝜌2 𝑑𝜌 𝜋 2 𝑠𝑒𝑛𝑢0 1 𝜋 2𝑠𝑒𝑛1 𝑠𝑒𝑛0 𝜋 2 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal ATENÇÃO Caso montássemos a integral de forma errada como 0 𝜋 0 1 𝑐𝑜𝑠𝜌2 𝑑𝜌𝑑𝜃 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal isto é sem colocar o fator ρ não estaríamos integrando em relação a um semicírculo de raio 1 mas sim em relação a um retângulo de lados π 0 π e lado 1 0 1 Não sendo isso o que foi pedido no problema EXEMPLO 3 Determine o valor da integral 𝑆 4 𝜌𝑑𝜌𝑑𝜃 em que S é uma região definida por 𝑆 𝜌 𝜃 𝜋 4 𝜃 𝜋 4 𝑒 0 𝜌 2𝑐𝑜𝑠𝜃 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal SOLUÇÃO 𝜋 4 𝜋 4 2𝑐𝑜𝑠𝜃 0 4 𝜌𝑑𝜌𝑑𝜃 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Como a variação de ρ depende de θ a integral de ρ deve ser feita primeiramente Processing math 11 2𝑐𝑜𝑠𝜃 0 4 𝜌𝑑𝜌 4 1 2𝜌2 0 2𝑐𝑜𝑠𝜃 22 𝑐𝑜𝑠𝜃2 8 𝑐𝑜𝑠2 𝜃 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Assim 𝜋 4 𝜋 4 2𝑐𝑜𝑠𝜃 0 4 𝜌𝑑𝜌𝑑𝜃 𝜋 4 𝜋 4 8 𝑐𝑜𝑠2 𝜃 𝑑𝜃 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Usando a fórmula do arco duplo 𝑐𝑜𝑠2 𝜃 1 2cos 2𝜃 1 2 𝜋 4 𝜋 4 8 𝑐𝑜𝑠2 𝜃 𝑑𝜃 𝜋 4 𝜋 4 4cos 2𝜃 4𝑑𝜃 4 𝜋 4 𝜋 4 cos 2𝜃 𝑑𝜃 4 𝜋 4 𝜋 4 𝑑𝜃 𝜋 4 𝜋 4 8 𝑐𝑜𝑠2 𝜃 𝑑𝜃 4 1 2𝑠𝑒𝑛2𝜃 𝜋 4 𝜋 4 4 𝜃𝜋 4 𝜋 4 2𝑠𝑒𝑛𝜋 2 𝑠𝑒𝑛𝜋 2 4𝜋 4 𝜋 4 𝜋 4 𝜋 4 2𝑐𝑜𝑠𝜃 0 4 𝜌𝑑𝜌𝑑𝜃 21 1 4𝜋 4 𝜋 4 4 2𝜋 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Este módulo apresentou apenas o caso das coordenadas polares A análise também poderia ter sido feita com a obtenção da expressão geral para mudança de variável em uma integral dupla sendo a mudança de coordenadas retangulares para polares um caso particular dessa expressão geral DICA As mudanças gerais não serão abordadas neste Tema mas podem ser estudadas em nossa bibliografia de referência Processing math 11 RESUMO MÓDULO 2 TEORIA NA PRÁTICA Um reservatório de água tem a forma de um paraboloide de concavidade para baixo Sua forma pode ser modelada por meio de um sólido formado entre o paraboloide de equação z 4 x2 y2 e o plano z 0 Determine o volume desse reservatório RESOLUÇÃO Veja a seguir a solução desta questão Processing math 11 MÃO NA MASSA 1 MARQUE A ALTERNATIVA QUE REPRESENTA CORRETAMENTE A INTEGRAL 𝑆 2𝑥𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 EM QUE S É UMA SEMICOROA CIRCULAR LIMITADA PELAS EQUAÇÕES X² Y² 1 E X² Y² 4 COM Y 0 A 2 0 2𝜋 0 𝜌3 𝑐𝑜𝑠2𝜃 𝑑𝜌𝑑𝜃 B 2 1 𝜋 0 𝜌3 𝑠𝑒𝑛2𝜃 𝑑𝜌𝑑𝜃 C 2 1 2𝜋 0 𝜌2 𝑠𝑒𝑛2𝜃 𝑑𝜌𝑑𝜃 D 2 1 𝜋 0 𝜌3 𝑐𝑜𝑠2𝜃 𝑑𝜌𝑑𝜃 E 2 0 𝜋 0 𝜌4 𝑐𝑜𝑠2𝜃 𝑑𝜌𝑑𝜃 2 MARQUE A ALTERNATIVA QUE PERMITE CALCULAR A INTEGRAL 𝜋 0 1 1 𝑐𝑜𝑠2 𝜃 0 1 2𝜌4 𝑠𝑒𝑛2𝜃cos 𝜃𝑑𝜌 𝑑𝜃 POR MEIO DE SUA FORMA RETANGULAR A 2 0 1 2 1 2𝑥2 1 2 1 2𝑥2 2𝑥2 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 B 1 1 1 2 1 2𝑦2 1 2 1 2𝑦2 4𝑥𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 C 1 2 1 2𝑥2 1 2𝑥2 𝑥 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 D 1 0 1 2 1 2𝑦2 1 2 1 2𝑦2 𝑥2 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 E 1 0 1 2𝑥2 0 2𝑥 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 3 DETERMINE 4 0 4 𝑥2 0 𝑥2 2𝑦2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 ATENÇÃO PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL USANDO A INTEGRAL NA FORMA POLAR A π B 2π Processing math 11 C 3π D 4π E 5π 4 DETERMINE O VOLUME DO SÓLIDO FORMADO ABAIXO DO PARABOLOIDE DE EQUAÇÃO Z X² Y² E ACIMA DO DISCO X² Y² 4 A 4π B 8π C 24π D 54π E 72π 5 A ÁREA DE UMA REGIÃO R PODE SER DETERMINADA PELA INTEGRAL DUPLA 𝑅 𝑑𝑥𝑑𝑦 SEJA R A REGIÃO DEFINIDA POR 𝜋 8 𝜃 𝜋 8 E 𝜌 𝑐𝑜𝑠4𝜃 MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA O VALOR DE SUA ÁREA A 𝜋 6 B 𝜋 64 C 𝜋 8 D 𝜋 32 E 𝜋 16 6 DETERMINE A INTEGRAL 𝑅 2𝑥 2 𝑦 2 𝑑𝑥𝑑𝑦 ATENÇÃO PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL ONDE R É UMA REGIÃO CONTIDA PELA FIGURA DEFINIDA PELA EQUAÇÃO X² Y² 2X 0 A π B 2π C 3π D 4π E 5π Processing math 11 GABARITO 1 Marque a alternativa que representa corretamente a integral 𝑆 2𝑥𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 em que S é uma semicoroa circular limitada pelas equações x² y² 1 e x² y² 4 com y 0 A alternativa B está correta Usando a transformação de retangular para polar x ρ cosθ e y ρ sen θ A circunferência x² y² 1 será representada por ρ² 1 ρ 1 A circunferência x² y² 4 será representada por ρ² 4 ρ 2 Como está limitada apenas para y 0 a variação angular será de 0 θ π Assim a região S em coordenadas polares será representada por 1 ρ 2 com 0 θ π Por fim fxy 2xy fρθ 2ρ cosθ ρ senθ 2ρ² cosθ senθ ρ² sen2θ Portanto 𝑆 2𝑥𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑆𝑝 𝑓𝜌 𝜃𝜌 𝑑𝜌𝑑𝜃 𝑆 2𝑥𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 2 1 𝜋 0 𝜌2 𝑠𝑒𝑛2𝜃𝜌 𝑑𝜌𝑑𝜃 2 1 𝜋 0 𝜌3 𝑠𝑒𝑛2𝜃 𝑑𝜌𝑑𝜃 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal A alternativa correta é a letra B 2 Marque a alternativa que permite calcular a integral 𝜋 0 1 1 𝑐𝑜𝑠 2𝜃 0 1 2𝜌4 𝑠𝑒𝑛2𝜃cos 𝜃𝑑𝜌 𝑑𝜃 por meio de sua forma retangular A alternativa D está correta Veja a resolução da questão no vídeo a seguir 3 Determine 4 0 4 𝑥2 0 𝑥2 2𝑦2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal usando a integral na forma polar A alternativa C está correta Ao se analisar a região coberta pelos limites de integração verificase que 0 𝑥 4 e 0 𝑦 4 𝑥2 Essa região corresponde a um quarto de um círculo de equação y² 4 x² x² y² 4 Passando para coordenadas polares a região será representada por ρ² 4 ρ 2 com o valor de 0 𝜃 𝜋 2 Processing math 11 Transformando a função x² 2y² x² y² y² ρ² ρ senθ² ρ² 1 sen²θ Portanto 4 0 4 𝑥2 0 𝑥2 2𝑦2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝜋 2 0 2 0 𝜌2 1 𝑠𝑒𝑛2 𝜃𝜌𝑑𝜌𝑑𝜃 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Mas 𝜋 2 0 2 0 𝜌2 1 𝑠𝑒𝑛2 𝜃𝜌𝑑𝜌𝑑𝜃 2 0 𝜌3 𝑑𝜌 𝜋 2 0 1 𝑠𝑒𝑛2 𝜃𝑑𝜃 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 2 0 𝜌3 𝑑𝜌 1 4𝜌4 0 2 16 4 4 𝜋 2 0 1 𝑠𝑒𝑛2 𝜃𝑑𝜃 𝜋 2 0 𝑑𝜃 𝜋 2 0 𝑠𝑒𝑛2 𝜃𝑑𝜃 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 𝜋 2 0 1 𝑠𝑒𝑛2 𝜃𝑑𝜃 𝜋 2 0 𝑑𝜃 𝜋 2 0 1 2 1 2𝑐𝑜𝑠2𝜃𝑑𝜃 3 2 𝜋 2 0 𝑑𝜃 1 2 𝜋 2 0 cos 2𝜃𝑑𝜃 𝜋 2 0 1 𝑠𝑒𝑛2 𝜃𝑑𝜃 3 2 𝜃0 𝜋 2 1 2 1 2𝑠𝑒𝑛2𝜃0 𝜋 2 3𝜋 4 1 4𝑠𝑒𝑛𝜋 𝑠𝑒𝑛0 3𝜋 4 4 0 4 𝑥2 0 𝑥2 2𝑦2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 4 3𝜋 4 3𝜋 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 4 Determine o volume do sólido formado abaixo do paraboloide de equação z x² y² e acima do disco x² y² 4 A alternativa B está correta Verificando o enunciado o sólido é definido entre um disco do plano xy e um paraboloide centrado na origem de concavidade para cima conforme indica a figura a seguir Fonte O autor Figura 10 Processing math 11 Para calcular o volume do sólido podemos considerar que o paraboloide é definido pela função z fxy x² y² de modo que o volume entre o gráfico e o plano é obtido pela integral dupla 𝐷 𝑥2 𝑦2 𝑑𝑥𝑑𝑦 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal em que D é o disco dado pela equação x² y² 4 que é um disco centrado na origem de raio 2 Essa integral é mais simples em coordenadas polares 𝑓𝑥 𝑦 𝑥2 𝑦2 𝑓𝜌 𝜃 𝜌2 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal A região de integração o disco de raio 2 Podemos considerar em coordenadas polares o seguinte limite de integração 0 θ 2π e 0 ρ 2 Assim 𝐷 𝑥2 𝑦2 𝑑𝑥𝑑𝑦 2𝜋 0 2 0 𝜌2 𝜌𝑑𝜌𝑑𝜃 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Como os limites de integração são números 2𝜋 0 2 0 𝜌2 𝜌𝑑𝜌𝑑𝜃 2𝜋 0 𝑑𝜃 2 0 𝜌3 𝑑𝜌 𝜃0 2𝜋 1 4𝜌4 0 2 2𝜋1 424 8𝜋 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 5 A área de uma região R pode ser determinada pela integral dupla 𝑅 𝑑𝑥𝑑𝑦 Seja R a região definida por 𝜋 8 𝜃 𝜋 8 e 𝜌 𝑐𝑜𝑠4𝜃 marque a alternativa que apresenta o valor de sua área A alternativa E está correta 𝐴 𝑅 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑅𝑝 𝜌𝑑𝜌𝑑𝜃 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Assim 𝐴 𝜋 8 𝜋 8 𝑐𝑜𝑠4𝜃 0 𝜌 𝑑𝜌𝑑𝜃 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Resolvendo inicialmente a integral em ρ 𝑐𝑜𝑠4𝜃 0 𝜌 𝑑𝜌 1 2𝜌2 0 𝑐𝑜𝑠4𝜃 1 2𝑐𝑜𝑠2 4𝜃 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Usando a fórmula do arco duplo 𝑐𝑜𝑠2 4𝜃 1 2 1 2𝑐𝑜𝑠8𝜃 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Assim 𝐴 𝜋 8 𝜋 8 𝑐𝑜𝑠4𝜃 0 𝜌 𝑑𝜌𝑑𝜃 𝜋 8 𝜋 8 1 4 1 4𝑐𝑜𝑠8𝜃𝑑𝜃 1 4𝜃𝜋 8 𝜋 8 1 4 1 8 𝑠𝑒𝑛8𝜃𝜋 8 𝜋 8 𝐴 𝜋 8 𝜋 8 𝑐𝑜𝑠4𝜃 0 𝜌 𝑑𝜌𝑑𝜃 1 4 𝜋 8 𝜋 8 1 32𝑠𝑒𝑛𝜋 𝑠𝑒𝑛𝜋 1 4 𝜋 4 𝜋 16 Processing math 11 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 6 Determine a integral 𝑅 2𝑥 2 𝑦 2 𝑑𝑥𝑑𝑦 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal onde R é uma região contida pela figura definida pela equação x² y² 2x 0 A alternativa C está correta Veja a resolução da questão no vídeo a seguir GABARITO VERIFICANDO O APRENDIZADO 1 DETERMINE O VALOR DA INTEGRAL 𝑆 2𝑥2 𝑦2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 ATENÇÃO PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL EM QUE S É UM CÍRCULO CENTRADO NA ORIGEM DE RAIO 1 A 3𝜋 8 B 3𝜋 4 C 𝜋 4 D 3𝜋 5 E 3𝜋 2 2 A ÁREA DE UMA REGIÃO R PODE SER DETERMINADA PELA INTEGRAL DUPLA 𝑅 𝑑𝑥𝑑𝑦 ESTABELEÇA A ÁREA DE UMA PÉTALA DE UMA ROSÁCEA DEFINIDA PELA EQUAÇÃO 𝜋 4 𝜃 𝜋 4 Processing math 11 E 𝜌 𝑐𝑜𝑠2𝜃 MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA O VALOR DE SUA ÁREA A 𝜋 6 B 𝜋 4 C 2𝜋 3 D 𝜋 8 E 𝜋 2 GABARITO 1 Determine o valor da integral 𝑆 2𝑥2 𝑦2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal em que S é um círculo centrado na origem de raio 1 A alternativa B está correta A região de integração terá equação x² y² 1 que será em coordenadas polares ρ² 1 ρ 1 com 0 θ 2π Transformando a função 2x² y² x² y² x² ρ² ρ cosθ² ρ² 1 cos²θ Portanto 𝑆 2𝑥2 𝑦2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 2𝜋 0 1 0 𝜌2 1 𝑐𝑜𝑠2 𝜃𝜌𝑑𝜌𝑑𝜃 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Mas 2𝜋 0 1 0 𝜌2 1 𝑐𝑜𝑠2 𝜃𝜌𝑑𝜌𝑑𝜃 1 0 𝜌3 𝑑𝜌 2𝜋 0 1 𝑐𝑜𝑠2 𝜃𝑑𝜃 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 1 0 𝜌3 𝑑𝜌 1 4𝜌4 0 1 1 4 2𝜋 0 1 𝑐𝑜𝑠2 𝜃𝑑𝜃 2𝜋 0 𝑑𝜃 2𝜋 0 𝑐𝑜𝑠2 𝜃𝑑𝜃 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 2𝜋 0 1 𝑐𝑜𝑠2 𝜃𝑑𝜃 2𝜋 0 𝑑𝜃 2𝜋 0 1 2 1 2𝑐𝑜𝑠2𝜃𝑑𝜃 3 2 2𝜋 0 𝑑𝜃 1 2 2𝜋 0 cos 2𝜃𝑑𝜃 2𝜋 0 1 𝑠𝑒𝑛2 𝜃𝑑𝜃 3 2 𝜃0 2𝜋 1 2 1 2𝑠𝑒𝑛2𝜃0 2𝜋 6𝜋 2 1 4𝑠𝑒𝑛4𝜋 𝑠𝑒𝑛0 3𝜋 4 0 4 𝑥2 0 𝑥2 2𝑦2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 1 4 3𝜋 3𝜋 4 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 2 A área de uma região R pode ser determinada pela integral dupla 𝑅 𝑑𝑥𝑑𝑦 Estabeleça a área de uma pétala de uma rosácea definida pela equação 𝜋 4 𝜃 𝜋 4 e 𝜌 𝑐𝑜𝑠2𝜃 marque a alternativa que apresenta o valor de sua área Processing math 11 A alternativa D está correta 𝐴 𝑅 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑅𝑝 𝜌𝑑𝜌𝑑𝜃 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Assim 𝐴 𝜋 4 𝜋 4 𝑐𝑜𝑠2𝜃 0 𝜌 𝑑𝜌𝑑𝜃 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Resolvendo inicialmente a integral em ρ 𝑐𝑜𝑠2𝜃 0 𝜌 𝑑𝜌 1 2𝜌2 0 𝑐𝑜𝑠2𝜃 1 2𝑐𝑜𝑠2 2𝜃 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Usando a fórmula do arco duplo 𝑐𝑜𝑠2 2𝜃 1 2 1 2𝑐𝑜𝑠4𝜃 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Assim 𝐴 𝜋 4 𝜋 4 𝑐𝑜𝑠2𝜃 0 𝜌 𝑑𝜌𝑑𝜃 𝜋 4 𝜋 4 1 4 1 4𝑐𝑜𝑠4𝜃𝑑𝜃 1 4𝜃𝜋 4 𝜋 4 1 4 1 4 𝑠𝑒𝑛4𝜃 𝜋 4 𝜋 4 𝐴 𝜋 4 𝜋 4 𝑐𝑜𝑠3𝜃 0 𝜌 𝑑𝜌𝑑𝜃 1 4 𝜋 4 𝜋 4 1 16𝑠𝑒𝑛𝜋 𝑠𝑒𝑛𝜋 1 4 𝜋 2 𝜋 8 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal MÓDULO 3 Aplicar o conceito de integração dupla INTRODUÇÃO Existem várias aplicações no cálculo diferencial e integral com duas variáveis em que a ferramenta da integração dupla é usada Entre tais aplicações podemos citar cálculo de área de superfície densidades superficiais momentos e centro de massa Este módulo apresentará algumas dessas aplicações na resolução de alguns problemas de cálculo Processing math 11 CÁLCULO DE ÁREA DE UMA REGIÃO NO PLANO A integral dupla pode ser utilizada para se calcular área de um conjunto de pontos em um plano Foi visto que 𝑆 𝑓𝑥 𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦 representa o volume entre a função fxy e o plano xy Esse volume foi obtido dividindose o domínio da função em retângulos com dimensões que tendiam a zero desse modo aproximandose o volume por uma soma de paralelepípedos com base dxdy e altura fxy Se fizermos o valor de fxy 1 o volume se converte apenas à área da base Como estamos integrando em S a área do conjunto de pontos que compões a região S Assim seja S R² Á𝑟𝑒𝑎 𝑆 𝑆 𝑑𝑆 𝑆 𝑑𝑥𝑑𝑦 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal EXEMPLO 1 Determine a área da superfície S definida por 𝑆 𝑥 𝑦 𝑅2 0 𝑥 2 𝑒 0 𝑦 𝑒𝑥 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal SOLUÇÃO A área S pode ser representada pela figura a seguir Fonte O autor Figura 11 Assim Processing math 11 Á𝑟𝑒𝑎 𝑆 𝑆 𝑑𝑆 0 2 0 𝑒𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Como o limite da variável y depende da variável x a integral parcial em y deve ser resolvida primeiramente 0 𝑒𝑥 𝑑𝑦 𝑦0 𝑒𝑥 𝑒𝑥 Á𝑟𝑒𝑎 𝑆 0 2 𝑒𝑥 𝑑𝑥 𝑒𝑥 0 2 𝑒2 𝑒0 𝑒2 1 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Vamos agora repetir a solução do exercício analisando a área S contendo uma variação de x dependendo da variável y COMENTÁRIO A resolução da integral por esse caminho é mais complexa do que a primeira solução mas serve como exercício para fixar o conteúdo Esse é um bom exemplo de que às vezes a ordem escolhida para integração pode simplificar ou complicar a resolução de um problema Para tal caso a área S deveria ser separada em duas regiões 𝑆 𝑆1 𝑆2 𝑆1 𝑥 𝑦 𝑅2 0 𝑦 𝑒0 𝑒 0 𝑥 2 𝑆2 𝑥 𝑦 𝑅2 𝑒0 𝑦 𝑒2 𝑒 𝑙𝑛 𝑦 𝑥 2 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Lembrese de que se y ex x ln y Processing math 11 A região S1 é um retângulo de área 2e0 2 1 2 Para região S2 Á𝑟𝑒𝑎 𝑆2 𝑆2 𝑑𝑆 1 𝑒2 𝑙𝑛𝑦 2 𝑑𝑥 𝑑𝑦 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Resolvendo a integral em x 𝑙𝑛𝑦 2 𝑑𝑥 𝑥ln 𝑦 2 2 ln 𝑦 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Assim Á𝑟𝑒𝑎 𝑆2 1 𝑒2 2 ln 𝑦 𝑑𝑦 1 𝑒2 2𝑑𝑦 1 𝑒2 ln 𝑦𝑑𝑦 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal A primeira parcela 1 𝑒2 2𝑑𝑦 2𝑦1 𝑒2 2𝑒2 2 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Para a segunda parcela já foi calculado neste tema o valor da integral por meio da integração por partes ln 𝑧 𝑑𝑧 𝑧𝑙𝑛 𝑧 𝑧 𝐶 𝐶 𝑐𝑡𝑒 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Portanto Á𝑟𝑒𝑎 𝑆2 1 𝑒2 ln 𝑦 𝑑𝑦 𝑦𝑙𝑛 𝑦 𝑦1 𝑒2 𝑒2 ln 𝑒2 𝑒2 1ln 1 1 2𝑒2 𝑒2 1 𝑒2 1 Processing math 11 𝐴 á𝑟𝑒𝑎 𝑆2 2𝑒2 2 𝑒2 1 𝑒2 3 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Dessa forma a área S 2 e2 3 e2 1 que foi o mesmo resultado obtido anteriormente EXEMPLO 2 Determine por meio de uma integração dupla a área de um círculo de 2 cm de raio SOLUÇÃO Para esse caso pela simetria de S é mais fácil usarmos as coordenadas polares Assim a região S será dada por ρ 2 e 0 θ 2π Portanto Á𝑟𝑒𝑎 𝑆 𝑆 𝑑𝑆 𝑆 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑆 𝜌 𝑑𝜌𝑑𝜃 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Obs Essa mudança de variável na integral já foi vista no módulo anterior Portanto Á𝑟𝑒𝑎 𝑆 𝑆 𝜌 𝑑𝜌𝑑𝜃 0 2 0 2𝜋 𝜌𝑑𝜃𝑑𝜌 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Resolvendo inicialmente a integral em θ 0 2𝜋 𝜌𝑑𝜃 𝜌 𝜃0 2𝜋 𝜌 2𝜋 0 2𝜋𝜌 Á𝑟𝑒𝑎 𝑆 0 2 2𝜋𝜌 𝑑𝜌 2𝜋 1 2𝜌2 0 2 𝜋 𝜌2 0 2 4𝜋 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Processing math 11 CÁLCULO DE MASSA E CENTRO DE MASSA A massa de um objeto plano pode ser definida por meio de uma função que determina a densidade superficial de massa δ Lembremos do conceito que estabelece que δ é a razão entre a massa e a área da superfície de modo que 𝛿 lim 𝑆 0 𝑚 𝑆 𝑑𝑚 𝑑𝑆𝑘𝑔 𝑚² Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Se a massa se dividir igualmente em toda superfície então δ será constante e a massa pode ser obtida multiplicandose δ pela área Entretanto quando a superfície não é homogênea tendo densidade superficial de massa diferente em cada ponto devemos usar a integração dupla para obter a massa 𝛿 𝑑𝑚 𝑑𝑆 𝑑𝑚 𝛿𝑑𝑆 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Então 𝑀𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑆 𝑆 𝛿𝑥 𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal ATENÇÃO Foi dado um exemplo de aplicação para densidade superficial de massa mas ele pode ser estendido para várias grandezas estudadas na Física por exemplo densidade superficial de carga densidade superficial de corrente etc Em todos os casos o valor da grandeza será obtido pelo cálculo de uma integral dupla similar à utilizada para calcular a massa A Física também nos ensina que o centro de massa de um objeto plano pode ser obtido pela divisão do momento pela massa total Para um objeto com densidade superficial e massa dada por δxy as coordenadas do centro de massa podem ser obtidas pelas expressões 𝑥 𝑆 𝑥𝛿𝑥 𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑚 e 𝑦 𝑆 𝑦𝛿𝑥 𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑚 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Em que Processing math 11 𝑚 𝑆 𝛿𝑥 𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Vamos fazer um exercício para verificar a aplicação das expressões EXEMPLO 3 Uma chapa tem a forma de um triângulo retângulo de catetos 3 4 e 5 Este triângulo possui vértices nos pontos 00 30 e 04 Determine a massa e o centro de massa da chapa sabendo que δ 5 kgm² SOLUÇÃO Se tem uma chapa homogênea m δ Área Como é um triângulo retângulo de catetos 3 e 4 a área será 𝐴 1 234 6 Logo a massa será m 5 6 30 kg Para centro de massa 𝑥 𝑆 𝑥𝛿𝑥 𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑚 1 30 𝑆 5𝑥 𝑑𝑥𝑑𝑦 1 6 𝑆 𝑥 𝑑𝑥𝑑𝑦 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Para sabermos os limites de integração necessitamos da equação da reta que une os vértices 30 e 40 uma vez que fixando o valor de x a variável y irá variar de zero até essa reta hipotenusa do triângulo A geometria analítica nos ensina que a equação da reta poderá ser tirada através do determinante 𝑥𝑦1 301 041 0 12 4𝑥 3𝑦 0 𝑦 4 4 3𝑥 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Portanto para o triângulo poderíamos definir os limites de duas formas i 0 𝑥 4 e 4 4 3𝑥 ou ii 0 𝑦 3 e 0 𝑥 3 4𝑦 Usaremos o primeiro caso Processing math 11 𝑥 1 6 𝑆 𝑥 𝑑𝑥𝑑𝑦 1 6 0 4 0 4 4 3𝑥 𝑥𝑑𝑦𝑑𝑥 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Resolvendo a integral em y 1 6 0 4 4 3𝑥 𝑥 𝑑𝑦 1 6𝑥 𝑦0 4 4 3𝑥 𝑥 64 4 3𝑥 2 3𝑥 2 9𝑥2 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Assim 𝑥 0 4 2 3𝑥 2 9𝑥2 𝑑𝑥 2 3 1 2 𝑥2 0 4 2 9 1 3 𝑥3 0 4 16 3 128 27 16 9 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Continuando 𝑦 𝑆 𝑦𝛿𝑥 𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑚 1 6 𝑆 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Já calculamos os limites de integração mas usaremos a segunda configuração para esse caso 𝑦 1 6 𝑆 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 1 6 0 3 0 3 3 4𝑦 𝑦𝑑𝑥 𝑑𝑦 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Resolvendo a integral em x 1 6 0 3 3 4𝑦 𝑦 𝑑𝑥 1 6𝑦 𝑥0 3 3 4𝑦 𝑦 63 3 4𝑦 1 2𝑦 1 8𝑦2 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Assim Processing math 11 𝑦 0 3 1 2𝑦 1 8𝑦2 𝑑𝑦 1 2 1 2 𝑦2 0 3 1 8 1 3 𝑦3 0 3 9 4 9 24 25 24 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Desse modo as coordenadas do centro de massa serão 16 9 25 24 EXEMPLO 4 Uma chapa tem a forma de um triângulo retângulo de catetos 3 4 e 5 Esse triângulo possui vértices nos pontos 00 30 e 04 Determine a massa e o centro de massa da chapa sabendo que δxy 1 x y kgm² SOLUÇÃO Nesse caso a chapa é não homogênea de forma que 𝑚 𝑆 𝛿𝑥 𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Os limites de integração já foram definidos no exemplo anterior 𝑚 𝑆 1 𝑥 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 0 4 0 4 4 3𝑥 1 𝑥 𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Resolvendo a integral em y 0 4 4 3𝑥 1 𝑥 𝑦 𝑑𝑦 1 𝑥𝑦0 4 4 3𝑥 1 2 𝑦2 0 4 4 3𝑥 1 𝑥4 4 3𝑥 1 24 4 3𝑥 2 4 4 3𝑥 4𝑥 4 3𝑥2 8 16 3 𝑥 8 9𝑥2 12 8 3𝑥 4 9𝑥2 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Assim 𝑚 0 4 12 8 3𝑥 4 9𝑥2 𝑑𝑥 12𝑥0 4 8 3 1 2 𝑥2 0 4 4 9 1 3 𝑥3 0 4 48 64 3 256 27 464 27 𝑘𝑔 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Para centro de massa Processing math 11 𝑥 𝑆 𝑥𝛿𝑥 𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑚 1 𝑚 𝑆 1 𝑥 𝑦𝑥 𝑑𝑥𝑑𝑦 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Substituiremos m apenas no fim 𝑥 1 𝑚 𝑆 1 𝑥 𝑦𝑥 𝑑𝑥𝑑𝑦 1 𝑚 0 4 0 4 4 3𝑥 𝑥 𝑥2 𝑥𝑦𝑑𝑦𝑑𝑥 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Resolvendo a integral em y 0 4 4 3𝑥 𝑥 𝑥2 𝑥𝑦 𝑑𝑦 𝑥 𝑥2 𝑦0 4 4 3𝑥 𝑥 1 2𝑦2 0 4 4 3𝑥 0 4 4 3𝑥 𝑥 𝑥2 𝑥𝑦 𝑑𝑦 𝑥 𝑥2 4 4 3𝑥 𝑥 24 4 3𝑥 2 4𝑥 4 3𝑥2 4𝑥2 4 3𝑥3 8𝑥 16 3 𝑥2 8 3𝑥3 12𝑥 8 3𝑥2 4 9𝑥3 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Assim 0 4 12𝑥 8 3𝑥2 4 9𝑥3 𝑑𝑥 121 2𝑥2 0 4 8 3 1 3 𝑥3 0 4 4 9 1 4 𝑥4 0 4 96 512 9 256 9 32 3 𝑥3 𝑥 1𝑚 𝑆 1 𝑥 𝑦𝑥 𝑑𝑥𝑑𝑦 1 464 27 32 3 27 464 32 3 18 19 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Continuando 𝑦 𝑆 𝑦𝛿𝑥 𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑚 1 𝑚 𝑆 1 𝑥 𝑦 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 Processing math 11 𝑦 1 𝑚 𝑆 𝑦 𝑥𝑦 𝑦2 𝑑𝑥𝑑𝑦 1 𝑚 0 3 0 3 3 4𝑦 𝑦 𝑥𝑦 𝑦2 𝑑𝑥𝑑𝑦 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Resolvendo a integral em x 0 3 3 4𝑦 𝑦 𝑥𝑦 𝑦2 𝑑𝑥 𝑦 𝑦2 𝑥0 3 3 4𝑦 𝑦 1 2𝑥2 0 3 3 4𝑦 𝑦 𝑦2 3 3 4𝑦 𝑦 23 3 4𝑦 2 3𝑦 3 4𝑦2 3𝑦2 3 4𝑦3 9 2𝑦 9 4𝑦2 9 32𝑦3 15 2 𝑦 15 32𝑦3 0 3 15 2 𝑦 15 32𝑦3 𝑑𝑦 15 2 1 2𝑦2 0 3 15 32 1 4𝑦4 0 3 135 4 1215 128 3105 128 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal CÁLCULO DE MOMENTO DE INÉRCIA A MECÂNICA ESTUDA O MOMENTO DE INÉRCIA DE UM OBJETO O MOMENTO DE INÉRCIA QUANTIFICA A DIFICULDADE DE MUDAR UM ESTADO DE ROTAÇÃO DE UM OBJETO EM TORNO DE UM EIXO E DE UM PONTO QUANTO MAIOR FOR O MOMENTO DE INÉRCIA DE UM OBJETO MAIS DIFÍCIL SERÁ GIRÁLO OU ALTERAR SUA ROTAÇÃO Considere uma partícula pontual de massa m O momento de inércia dessa partícula em torno de um eixo é dado por md2 em que d é a distância da partícula ao eixo Vamos agora considerar um objeto no plano com massa dada por sua densidade superficial de massa δxy Esse objeto está definido por uma área dada por S Estamos interessados em calcular o momento de inércia do objeto em relação ao eixo x e ao eixo y Dividiremos o objeto em partículas pontuais de massa dm localizada em um ponto xy Dessa forma o momento de inércia em relação ao eixo x será dado por y2dm do mesmo modo que em relação ao eixo x será de x2dm Se somarmos os momentos de inércia de todas as partículas que compõem o objeto obteremos o momento de inércia do corpo desejado Devemos lembrar que dm δ dS Assim 𝐼𝑥 𝑆 𝑦2 𝑑𝑚 𝑆 𝑦2 𝛿𝑥 𝑦𝑑𝑆 Processing math 11 𝐼𝑦 𝑆 𝑥2 𝑑𝑚 𝑆 𝑥2 𝛿𝑥 𝑦𝑑𝑆 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Também podemos calcular o momento de inércia referente a origem lembrando que a distância de um ponto xy para origem é dada por 𝑥2 𝑦2 Assim o momento de inércia em torno da origem é dado por 𝐼𝑜 𝑆 𝑥2 𝑦2 𝑑𝑚 𝑆 𝑥2 𝑦2 𝛿𝑥 𝑦𝑑𝑆 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal EXEMPLO 5 Determine o momento de inércia em torno da origem para o disco de 2 cm de raio e centro na origem que apresenta densidade superficial de massa de 4 kgm² SOLUÇÃO 𝐼𝑜 𝑆 𝑥2 𝑦2 𝛿𝑥 𝑦𝑑𝑆 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Pela simetria é melhor trabalharmos com coordenadas cartesianas da seguinte forma 𝐼𝑜 𝑆 𝜌2 𝛿𝜌 𝜃 𝜌𝑑𝜌𝑑𝜃 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Mas o disco é homogêneo isto é δ é constante e vale 4 𝐼0 0 2 0 2𝜋 𝜌2 4𝜌 𝑑𝜌𝑑𝜃 4 0 2 0 2𝜋 𝜌3 𝑑𝜌𝑑𝜃 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Resolvendo a integral em θ 4 0 2𝜋 𝜌3 𝑑𝜃 4𝜌3 2𝜋 Processing math 11 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Assim 𝐼0 0 2 8𝜋𝜌3 𝑑𝜌 8𝜋1 4𝜌4 0 2 32𝜋 𝑘𝑔 𝑐𝑚2 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal RESUMO DO MÓDULO 3 TEORIA NA PRÁTICA A placa de um capacitor tem a forma de um disco de 4 cm raio Considere que a origem do sistema se encontra no centro do disco Sabese que esse disco é carregado eletricamente com uma densidade superficial de carga dada por σxy 2x² x y 2y² medido em Cm² Determine a carga total da placa do capacitor RESOLUÇÃO Veja a seguir a solução desta questão Processing math 11 MÃO NA MASSA 1 SEJA A REGIÃO S LIMITADA SUPERIORMENTE PELA RETA Y X 1 E INFERIORMENTE PELA PARÁBOLA Y X² 2X 1 DETERMINE A ÁREA DA REGIÃO S A 1 3 B 2 3 C 1 2 D 3 2 E 5 2 2 DETERMINE A ÁREA DA REGIÃO CONTIDA ABAIXO DA PARÁBOLA Y 4X² 4 E ACIMA DA PARÁBOLA Y 9 X² 9 A 52 3 B 26 3 C 52 5 D 442 3 E 28 3 3 DETERMINE A MASSA DE UM OBJETO PLANAR QUE OCUPA A REGIÃO DEFINIDA POR S E TEM UMA DENSIDADE DE MASSA SUPERFICIAL ΔXY LNX SABESE QUE 𝑆 𝑥 𝑦 1 𝑥 2 𝑒 0 𝑦 2 𝑥 ATENÇÃO PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL Processing math 11 A ln 2 B ln²2 C ln³2 D ln²3 E ln³3 4 DETERMINE O MOMENTO DE INÉRCIA EM TORNO DO EIXO Y DO OBJETO PLANAR QUE OCUPA A REGIÃO DEFINIDA POR S E TEM DENSIDADE DE MASSA SUPERFICIAL ΔXY 14X2Y SABESE QUE 𝑆 𝑥 𝑦 0 𝑥 2 𝑒 0 𝑦 𝑥 ATENÇÃO PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL A 64 B 128 C 256 D 512 E 1024 5 DETERMINE O MOMENTO DE INÉRCIA EM TORNO DA ORIGEM PARA UMA LÂMINA QUE APRESENTA UMA DENSIDADE SUPERFICIAL DE MASSA ΔXY XY E QUE OCUPA UMA ÁREA DEFINIDA POR 𝑅 𝜌 𝜃 0 𝜃 𝜋 2 𝑒 1 𝜌 2 ATENÇÃO PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL A 1 4 B 17 4 C 29 4 D 21 4 E 51 4 6 DETERMINE A ABSCISSA DO CENTRO DE MASSA DE UMA LÂMINA QUE TEM A FORMA DE UM TRIÂNGULO COM VÉRTICES NOS PONTOS 02 10 E 10 SABESE QUE A DENSIDADE Processing math 11 SUPERFICIAL DE MASSA DO OBJETO VALE ΔXY 2X 3Y A 1 6 B 1 6 C 1 3 D 1 3 E 2 5 GABARITO 1 Seja a região S limitada superiormente pela reta y x 1 e inferiormente pela parábola y x² 2x 1 Determine a área da região S A alternativa D está correta A área da região S é obtida por 𝑆 𝑑𝑥𝑑𝑦 É necessário inicialmente obterse a interseção entre a reta e a parábola Fonte o Autor Figura 12 As equações que definem as curvas representadas na figura são 𝑦 𝑥 1 𝑦 𝑥2 2𝑥 1 𝑥 1 𝑥2 2𝑥 1 𝑥2 3𝑥 0 𝑥 0 𝑜𝑢 𝑥 3 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Assim a região S será definida por 0 x 3 e x² 2x 1 y x 𝐴 3 0 𝑥 𝑥2 2𝑥 1 𝑑𝑦𝑑𝑥 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Resolvendo a integral em y 𝑥 𝑥2 2𝑥 1 𝑑𝑦 𝑦𝑥2 2𝑥 1 𝑥 𝑥 𝑥2 2𝑥 1 𝑥2 3𝑥 1 Processing math 11 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Assim 𝐴 3 0 𝑥2 3𝑥 1𝑑𝑥 1 3𝑥3 0 3 3 2𝑥2 0 3 𝑥0 3 27 3 27 2 3 9 6 3 2 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 2 Determine a área da região contida abaixo da parábola y 4x² 4 e acima da parábola y 9 x² 9 A alternativa A está correta Achando as interseções entre as duas curvas 𝑦 4𝑥2 4 𝑦 9𝑥2 9 13𝑥2 13 0 𝑥 1 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Então as curvas se interceptam em x 1 e x 1 𝐴 1 1 4 4𝑥2 9𝑥2 9 𝑑𝑦𝑑𝑥 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Integrando inicialmente em relação à variável y 4 4𝑥2 9𝑥2 9 𝑑𝑦 4 4𝑥2 9𝑥2 9 13𝑥2 13 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Integrando na variável x 𝐴 1 1 13𝑥2 13𝑑𝑥 𝐴 13 1 3𝑥3 1 1 13 𝑥1 1 13 3 1 1 131 1 26 26 3 52 3 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 3 Determine a massa de um objeto planar que ocupa a região definida por S e tem uma densidade de massa superficial δxy lnx Sabese que 𝑆 𝑥 𝑦 1 𝑥 2 𝑒 0 𝑦 2𝑥 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal A alternativa B está correta Se a densidade superficial de massa vale 𝛿𝑥 𝑦 ln𝑥 𝑚 𝑆 ln 𝑥 𝑑𝑥𝑑𝑦 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Pela definição da região S 𝑚 2 1 2 𝑥 0 ln 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Integrando em y Processing math 11 2 𝑥 0 ln 𝑥𝑑𝑦 ln 𝑥 𝑦0 2 𝑥 2𝑥ln 𝑥 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Assim 𝑚 2 1 2𝑥ln 𝑥𝑑𝑥 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Fazendo 𝑢 ln𝑥 𝑑𝑢 1𝑥𝑑𝑥 portanto 2𝑥ln 𝑥𝑑𝑥 2𝑢 𝑑𝑢 Se x 1 u ln 1 0 e x 2 u ln 2 𝑚 ln 2 0 2𝑢 𝑑𝑢 2 1 2𝑢2 0 ln 2 𝑙𝑛2 2 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 4 Determine o momento de inércia em torno do eixo y do objeto planar que ocupa a região definida por S e tem densidade de massa superficial δxy 14x2y Sabese que 𝑆 𝑥 𝑦 0 𝑥 2 𝑒 0 𝑦 𝑥 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal A alternativa B está correta O momento de inércia em torno do eixo y será dado por 𝐼𝑦 𝑆 𝑥2 𝛿𝑥 𝑦𝑑𝑆 𝑆 𝑥2 14𝑥2 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑆 14𝑥4 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐼𝑦 𝑆 14𝑥4 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 2 0 0 𝑥 14𝑥4 𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Resolvendo inicialmente para variável y 0 𝑥 14𝑥4 𝑦 𝑑𝑦 14𝑥4 1 2𝑦2 0 𝑥 7𝑥6 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Assim 𝐼𝑦 𝑆 14𝑥4 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 2 0 7𝑥6 𝑑𝑥 71 7𝑥7 0 2 27 128 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 5 Determine o momento de inércia em torno da origem para uma lâmina que apresenta uma densidade superficial de massa δxy xy e que ocupa uma área definida por 𝑅 𝜌 𝜃 0 𝜃 𝜋 2 𝑒 1 𝜌 2 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal A alternativa D está correta Veja a resolução da questão no vídeo a seguir Processing math 11 6 Determine a abscissa do centro de massa de uma lâmina que tem a forma de um triângulo com vértices nos pontos 02 10 e 10 Sabese que a densidade superficial de massa do objeto vale δxy 2x 3y A alternativa A está correta Veja a resolução da questão no vídeo a seguir GABARITO VERIFICANDO O APRENDIZADO 1 DETERMINE A MASSA DE UMA LÂMINA QUE OCUPA A REGIÃO DEFINIDA POR S E TEM UMA DENSIDADE DE MASSA SUPERFICIAL ΔXY X 2Y SABESE QUE 𝑆 𝑥 𝑦 1 𝑦 2 𝑒 0 𝑥 𝑦 ATENÇÃO PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL A 3 2 B 7 2 C 6 5 D 4 5 E 2 3 Processing math 11 2 DETERMINE O MOMENTO DE INÉRCIA EM TORNO DO EIXO X DO OBJETO PLANAR QUE OCUPA A REGIÃO DEFINIDA POR S E TEM UMA DENSIDADE DE MASSA SUPERFICIAL ΔXY 15X² 2Y SABESE QUE 𝑆 𝑥 𝑦 0 𝑥 2 𝑒 0 𝑦 𝑥 ATENÇÃO PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL A 61 3 B 130 3 C 160 3 D 234 3 E 319 3 GABARITO 1 Determine a massa de uma lâmina que ocupa a região definida por S e tem uma densidade de massa superficial δxy x 2y Sabese que 𝑆 𝑥 𝑦 1 𝑦 2 𝑒 0 𝑥 𝑦 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal A alternativa B está correta Se a densidade superficial de massa vale 𝛿𝑥 𝑦 𝑥 2𝑦 𝑚 𝑆 x y 𝑑𝑥𝑑𝑦 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Pela definição da região S 𝑚 2 1 𝑦 0 x y 𝑑𝑥 𝑑𝑦 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Integrando em x 𝑦 0 x y𝑑𝑥 1 2𝑥2 0 𝑦 𝑦 𝑥0 𝑦 1 2𝑦2 2𝑦2 3 2𝑦 2 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Assim 𝑚 2 1 3 2𝑦2 𝑑𝑦 3 2 1 3𝑦3 1 2 1 223 13 7 2 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 2 Determine o momento de inércia em torno do eixo x do objeto planar que ocupa a região definida por S e tem uma densidade de massa superficial δxy 15x² 2y Sabese que Processing math 11 𝑆 𝑥 𝑦 0 𝑥 2 𝑒 0 𝑦 𝑥 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal A alternativa C está correta O momento de inércia em torno do eixo x será dado por 𝐼𝑦 𝑆 𝑦2 𝛿𝑥 𝑦𝑑𝑆 𝑆 𝑦2 15𝑥2 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑆 15𝑥2 𝑦2 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐼𝑦 𝑆 15𝑥2 𝑦2 𝑑𝑥𝑑𝑦 2 0 0 𝑥 15𝑥2 𝑦2 𝑑𝑦𝑑𝑥 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Resolvendo inicialmente para variável y 0 𝑥 15𝑥2 𝑦2 𝑑𝑦 15𝑥2 1 3𝑦3 0 𝑥 5𝑥5 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Assim 𝐼𝑦 𝑆 15𝑥2 𝑦2 𝑑𝑥𝑑𝑦 2 0 5𝑥5 𝑑𝑥 51 6𝑥6 0 2 5 626 160 3 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal CONCLUSÃO CONSIDERAÇÕES FINAIS Neste Tema apresentamos e aplicamos o conceito da integral dupla de funções escalares No primeiro módulo definimos a integral dupla e estudamos como se calcula a integral em coordenadas retangulares Vimos que o Teorema de Fubini permitiu o cálculo da integral dupla por meio de duas integrais simples iteradas No segundo módulo apresentamos a integral dupla em sua forma polar permitindo o cálculo mais simples para algumas simetrias Por fim vimos exemplos de aplicação de integral dupla no cálculo de áreas no cálculo de massa e centro de massa bem como no momento de inércia Acreditamos que você neste momento já saiba definir e trabalhar com a integração dupla de funções escalares AVALIAÇÃO DO TEMA Processing math 11 REFERÊNCIAS APOSTOL T M Cálculo 2 ed Estados Unidos John Wiley Sons 1969 Cap 11 p 353378 392405 Vol 2 GUIDORIZZI H L Cálculo 5 ed São Paulo LTC 2013 Cap 2 p 3748 Cap 3 p 4974 e Cap 4 p 75104 Vol 3 STEWART J Cálculo 5 ed São Paulo Thomson Learning 2008 Cap 16 p 9781019 Vol 2 EXPLORE Para saber mais sobre os assuntos tratados neste Tema pesquise sobre integrais duplas e suas aplicações na internet e em nossas referências CONTEUDISTA Jorge Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira CURRÍCULO LATTES Processing math 11