10 Questões de Geometria Espacial

10 questões de Geometria Espacial 1 Dadas as afirmativas abaixo I Três pontos distintos determinam um plano II Um ponto e uma reta determinam um único plano III Duas retas distintas paralelas e uma concorrente com as duas determinam dois planos distintos IV Três retas distintas duas a duas paralelas determinam um ou três planos V Duas retas distintas determinam um plano Podese dizer que são verdadeiras as afirmativas a I II III e V b I II e III c II e IV d III e V e I e III 2 A medida do terceiro diedro do triedro cujos outros dois medem 70 e 130 deve ser a maior que 40 e menor que 120 b maior que 40 e menor que 180 c maior que 60 e menor que 160 d maior que 60 e menor que 180 e maior que 160 e menor que 200 3 Um poliedro convexo de onze faces tem seis faces triangulares e cinco faces quadrangulares Calcule o número de vértices desse poliedro a 6 b 8 c 10 d 12 e 20 4 Na figura abaixo temos duas pirâmides O lado do quadrado da base da pirâmide maior mede 10 cm e o lado do quadrado da base da pirâmide menor mede 5 cm Se os planos de suas bases são paralelos qual a razão entre os volumes das pirâmides menor e maior a vV 116 b vV 12 c vV 14 d vV 18 e vV 16 5 O sólido abaixo é um cone reto equilátero superposto a um cilindro reto equilátero Podemos afirmar que seu volume é 6 Um filtro de uma bomba de piscina tem o formato como o da figura abaixo O volume aproximado de areia necessário para enchêlo é de raio R 15 cm e altura L 40 cm a 32 dm³ b 28 dm³ c 11 dm³ d 16 dm³ e 35 dm³ 7 Considere um triedro trirretângulo faces de 90 de vértice V e arestas M N e P de medidas iguais Quanto medem os ângulos da face MNP a 60 60 e 60 b 60 70 e 50 c 40 60 e 80 d 45 45 e 90 e 50 50 e 80 8 Em uma experiência de laboratório de química um recipiente no formato de um cilindro equilátero continha outro recipiente no formato de um cone equilátero invertido cheio de uma substância líquida como na figura abaixo Uma falha no fundo do cone fez com que o elemento contido nele vazasse para o cilindro que estava vazio Podemos afirmar que após esse vazamento o cilindro ficou preenchido com aproximadamente a 33 do volume total b 29 do volume total c 32 do volume total d 30 do volume total e 50 do volume total 9 Calcule o volume do sólido gerado pela rotação de um triângulo equilátero de lado 2 cm em torno de um de seus lados a 4π b π c 3π d 2π e π2 10 O rendimento de cobertura de uma tinta é de 360 ml para cada m² A quantidade aproximada de tinta necessária para pintarmos um cone equilátero de 30 cm de altura é de a 113 ml b 102 ml c 75 ml d 180 ml e 120 ml Geometria Espacial 1 Dadas as afirmativas abaixo I Três pontos distintos determinam um plano II Um ponto e uma reta determinam um único plano III Duas retas distintas paralelas e uma concorrente com as duas determinam dois planos distintos IV Três retas distintas duas a duas paralelas determinam um ou três planos V Duas retas distintas determinam um plano Podese dizer que são verdadeiras as afirmativas Solução I Falsa 3 pontos distintos podem estar numa mesma reta ser colineares II Falsa o ponto pode pertencer a reta e assim determinar apenas uma reta pela qual passam infinitos planos III Falsa Duas retas distintas paralelas e uma concorrente com as duas determinam um único plano IV Verdadeira V Falsa as restas podem ser revervas e pertencerem a planos distintos Resposta Final c II e IV 2 A medida do terceiro diedro do triedro cujos outros dois medem 70 e 130 deve ser Solução Como 130 70 200 130 70 60 temos que a medida do terceiro diedro deve ser maior do que 60 mas a soma das três medidas deve ser menor do que 30º ou seja o terceiro diedro deve ser menor do que 360 200 160 Portanto a medida do terceiro diedro deve ser maior que 60º e menor que 160º Resposta Final c maior que 60º e menor que 160º 3 Um poliedro convexo de onze faces tem seis faces triangulares e cinco faces quadrangulares Calcule o número de vértices desse poliedro Solução Seja F3 a quantidade de faces triangulares F4 a quantidade de faces quadrangulares Por hipótese temos F3 6 e F4 5 Além disso a quantidade de faces é igual a F F3 F4 11 Para calcularmos a quantidade de arestas temos que fazer o seguinte cálculo 2A 3F3 4F4 Então 2A 3645 2A 1820 2A 38 A 19 A Relação de Euler nos diz que V F A 2 Sendo assim a quantidade de vértices do poliedro é igual a V 11 192 V 11 21 V 10 Solução Final c 10 4 Na figura abaixo temos duas pirâmides O lado do quadrado da base da pirâmide maior mede 10 cm e o lado do quadrado da base da pirâmide menor mede 5 cm Se os planos de suas bases são paralelos qual a razão entre os volumes das pirâmides menor e maior Solução O volume de pirâmide é dado por V 13 Ab h Por semelhança de triângulos a pirâmide menor tem a metade da altura da pirâmide maior Então v 13 25 h2 25h 6 V 13 100h 100h 3 Dessa forma vV 25h 6 100h3 25h 6 3 100h 18 Solução Final d vV 18 5 O sólido abaixo é um cone reto equilátero superposto a um cilindro reto equilátero Podemos afirmar que seu volume é Solução Convertendo as unidades em cm para dm R15 cm 1510 dm 15 dm Como um cilindro reto equilátero possui altura igual ao dobro do raio da base temos que a altura da parte cilíndrica é dada por h2R2153 Então o volume da parte cilíndrica é dado por Vcilindro πR2 h π1523 274 π dm3 Por outro lado o volume de um cone reto equilátero de raio R é dado por Vcone 13 πR2 2R 3 2 13 π3 153 98 3 π dm3 Então o volume total é dado por Vt 274 π 98 3 π 2733 9π dm3 Solução Final b 9π dm3 6 Um filtro de uma bomba de piscina tem o formato como o da figura abaixo O volume aproximado de areia necessário para enchêlo é de Solução Convertendo as unidades de cm para dm 15 cm 1510 dm 15 dm 40 cm 4010 dm 4 dm Calculando o volume do cilindro da base Vc Abase h πr2 h π152 4 9π dm3 Calculando o volume da semiesfera do topo Vs 12 43 πr3 12 43 π153 94 π dm3 Então o volume total é de Vt 9π 94 π 454 π 35 dm3 Solução Final e 35 dm3 7 Considere um triedro trirretângulo faces de 90 de vértice V e arestas M N e P de medidas iguais Quanto medem os ângulos da face MNP Solução Um triedro trirretângulo é formado por três planos perpendiculares entre si que se intersectam em um vértice V As três faces do triedro são triângulos retângulos com um ângulo reto no vértice V As arestas M N e P correspondem às interseções dos planos e formam os lados desses triângulos retângulos A face MNP é o triângulo formado pelas arestas M N e P no plano onde os três planos do triedro se intersectam Como as três arestas do triedro são iguais e todos os ângulos diedros são retos a face MNP é um triângulo equilátero Em um triângulo equilátero todos os lados são congruentes e todos os ângulos internos são iguais A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180 Portanto cada ângulo interno de um triângulo equilátero mede Ângulo interno 180 3 60 Solução Final a 60 60 e 60 Em uma experiência de laboratório de química um recipiente no formato de um cilindro equilátero continha outro recipiente no formato de um cone equilátero invertido cheio de uma substância líquida como na figura abaixo Uma falha no fundo do cone fez com que o elemento contido nele vazasse para o cilindro que estava vazio Podemos afirmar que após esse vazamento o cilindro ficou preenchido com aproximadamente Solução O volume total de um cilindro equilátero de raio R é dado por Vt πR2 2R 2R3 π O volume total ocupado pelo líquido corresponde à 13 do volume total ou seja Vl 2R33 π Contudo uma parte deste líquido fica contido dentro de um cone com 13 da altura do cone inicial por conta da pressão Devido às propriedades de semelhança o raio deste cone menor corresponde a 13 do raio original Então o volume de liquido contido neste cone reduzido é dado por Vcone 13π 2R3R32 2R3 27 π O volume preenchido no cilindro corresponde então a Vpreenchido 2R33 π 2R327 π 1627 R3 π Portanto a proporção de volume preenchido com relação ao volume total é dada por Vpreenchido Vt 1627 R3 π 2R33 π 029 ou 29 Solução Final b 29 do volume total Calcule o volume do sólido gerado pela rotação de um triângulo equilátero de lado 2 cm em torno de um de seus lados Solução O volume do sólido gerado pela rotação de um triângulo equilátero de lado 2cm em torno de um de seus lados pode ser calculado usando o método dos discos Primeiro precisamos encontrar a altura h do triângulo equilátero Usando a fórmula da altura de um triângulo equilátero temos h l32 232 3 Agora o volume V do sólido gerado pela rotação do triângulo em torno de um de seus lados é dado pela fórmula V π3 l h2 π3232 2π cm3 Solução Final d 2π 10 O rendimento de cobertura de uma tinta é de 360 ml para cada m² A quantidade aproximada de tinta necessária para pintarmos um cone equilátero de 30 cm de altura é de Solução Convertendo a medida da altura para m 30 cm 30100 m 03 m Como a altura de um cone equilátero com l 2R é dada por h l32 2R32 R3 Então o raio deste cone é dado por R h3 033 33 0333 013 Área total de um cone equilátero de raio R é dado por At πRg R 3R2 π 30132 π 30013 π 009 π m2 Logo a quantidade aproximada de tinta é dada por At 360 009 π 360 10179 ml 102 ml Resposta Final b 102 ml