Lista de Exercícios Resolvidos Cálculo Múltiplas Variáveis e Funções Vetoriais

10 questões de Cálculo de Múltiplas Variáveis Questão 1 Questão 2 Questão 3 Questão 4 Questão 5 Questão 6 1 Questão 7 Questão 8 Questão 9 3 Marque a alternativa falsa em relação à função hxy x2 2y2 16 Solução Testando cada opção fornecida 1 verdadeiro Seja k R a constante que identifica as curvas de níveis Então x2 2y2 16 k Elevando ambos os membros da igualdade ao quadrado x2 2y2 16 k2 Ou seja x2 2y2 k2 16 k 4 2 Verdadeiro Suponha x y 0 Temos que h00 02 202 16 16 4 3 Falso O domínio de hxy é dado por x2 2y2 16 0 ou ainda x2 2y2 16 Como x2 e y2 são nãonegativos concluímos que Dh R 4 Verdadeiro pelo item 1 como k 4 a imagem de hxy é Imh 4 5 Verdadeiro Como a função hxy não é definida por componentes não pode ser uma função vetorial Logo é uma função escalar Resposta final Opção 3 O domínio da função é o conjunto xy R2 x2 2y2 16 Cálculo de Múltiplas Variáveis 1 Levandose em consideração uma função vetorial F t ftgtht em que ft gt e ht são funções componentes dependendo do parâmetro t Ao calcular a derivada de F t em um ponto específico o vetor resultante será Solução A resposta depende das funções componentes específicas ft gt e ht e da trajetória definida pela função vetorial Ft Se a derivada da função vetorial F t for proporcional à própria função Ft em todos os pontos da trajetória isso significa que Ft está em uma trajetória de reta ou seja é uma trajetória linear e o vetor resultante será paralelo à trajetória Se a derivada da função vetorial F t ou sempre ortogonal ou seja perpendicular à função vetorial Ft em todos os pontos da trajetória isso significa que Ft está em uma trajetória curvilínea e o vetor resultante será perpendicular à trajetória Se a derivada da função vetorial F t não for proporcional à própria função vetorial Ft e não for sempre ortogonal a ela então o vetor resultante não será nem paralelo nem perpendicular à trajetória Nesse caso o vetor resultante será tangente à trajetória em cada ponto o que significa que ele será um vetor normal à curva tangente naquele ponto específico Portanto a melhor opção de resposta dentre as opções fornecidas é paralelose a derivada for propor cional à própria função vetorial perpendicularse a derivada for sempre ortogonal à função vetorial ou normalse a derivada não for proporcional nem ortogonal mas tangente à trajetória A resposta exata de pende das funções componentes ft gt e ht e da trajetória definida pela função vetorial Ft ft gt e ht e da trajetória definida pela função vetorial Ft Dessa forma devemos escolher a opção que traz a interpretação mais geral que seria a posição diagonal Resposta final Opção 5 Diagonal à trajetória definida pela função vetorial 1 2 Considere uma curva parametrizada no espaço tridimensional O plano osculador em um ponto da curva é definido como Solução O plano osculador em um ponto de uma curva parametrizada no espaço tridimensional é um plano que toca a curva nesse ponto e que também contém a tangente à curva nesse ponto Ele descreve a melhor aproximação local da curva nesse ponto Para encontrar o plano osculador em um ponto da curva você pode seguir os seguintes passos 1 Escolha um ponto específico na curva e determine as coordenadas desse ponto 2 Calcule o vetor tangente à curva nesse ponto Para fazer isso você pode derivar a função de posição da curva em relação ao parâmetro em relação ao qual a curva é parametrizada O vetor tangente é então a derivada da função de posição em relação a esse parâmetro normalizado 3 Determine o vetor normal ao plano osculador Esse vetor é perpendicular ao vetor tangente e pode ser encontrado através de operações vetoriais ou cálculos específicos dependendo da parametrização da curva 4 Use o ponto da curva e os vetores tangente e normal para definir o plano osculador no ponto escolhido O plano osculador é um plano afim que passa pelo ponto e é gerado pelos vetores tangente e normal O plano osculador portanto é o plano que contém tanto o vetor tangente quanto o vetor normal a essa curva no ponto específico Ele descreve a orientação local da curva naquele ponto e é usado em cálculos relacionados a curvas e superfícies como na geometria diferencial e na teoria das curvas Resposta final Opção 5 O plano que contém o vetor tangente e o vetor normal à curva no ponto 2 Questão 10 Determine a integral C xdx ydy zdz com C definida pela equação paramétrica γt 2t2 t3 t com 0 t 1 Considere a orientação do percurso no sentido de crescimento do parâmetro t O 2 O 4 O 5 O 6 O 3 4 A derivada parcial é uma das principais ferramentas para analisar funções de várias variáveis Ela permite calcular a taxa de variação da função com relação a uma variável específica mantendo as demais constantes Sobre as derivadas parciais marque a afirmativa correta Solução De acordo com o Teorema de Schwarz se as derivadas parciais de uma função em um ponto são contí nuas então a função é diferenciável nesse ponto Ou seja se todas as derivadas parciais de uma função em um ponto específico são contínuas a função é diferenciável nesse ponto Resposta final Opção 1 Se uma função f R2 R possui derivadas parciais contínuas então ela é diferenciável 4 5 Determine a área da região contida abaixo da parábola y x2 4 e acima da parábola y x2 Solução Pelas funções apresentadas no enunciado da questão sabese que x2 y x2 4 Agora precisamos conhecer o intervalo de integração com relação a x fazendo y y x2 x2 4 2x2 4 x2 2 x 2 Então 2 x 2 Dessa forma A 2 to 2 x2 to x2 4 dydx 2 to 2 yx2 to x2 4 dx 2 to 2 x2 4 x2 dx 2 to 2 2x2 4 dx 2x33 4x 2 to 2 2233 42 2233 42 423 42 423 42 823 82 1623 Resposta final Opção 1 1632 6 As integrais duplas são uma ferramenta poderosa para calcular áreas e volumes de formas irregulares em duas ou três dimensões Elas também são usadas em uma variedade de campos desde a física e a engenharia até a economia e a biologia Calcule a área da região delimitada pelas curvas x y2 e y x 2 Solução Para obter os intervalos de integração com relação à variável x basta isolar a variável x na segunda equação chegando em x y 2 o que leva à conclusão de que y2 x y 2 Agora precisamos descobrir qual o intervalo de integração com relação a y o que pode ser encontrado igualando as duas equações dadas e resolvendo a equação do segundo grau resultante conforme desenvolvimento a seguir x x y2 y 2 y2 y 2 0 y 1 182 1 32 1 ou 2 Portanto 1 y 2 Dessa forma A D dA 12 y²y 2 dx dy 12 xy²y 2 dy 12 y 2 y² dy y²2 2y y³312 2²2 22 2³3 1²2 21 1³3 2 4 83 12 2 13 8 12 3 92 ua Resposta final Opção 1 92 7 Determine a carga elétrica de uma bola de forma esférica de raio 2 m com uma densidade volumétrica de carga de λrφθ 4π Cm3 onde r é a distância ao centro da esfera Solução Para calcular a carga elétrica total da bola esférica com raio de 2 metros e densidade volumétrica de carga λrφθ 4π Cm3 podemos usar a integral tripla em coordenadas esféricas A integral tripla permite encontrar a carga total ao somar todas as cargas infinitesimais em cada volume infinitesimal da esfera A integral tripla em coordenadas esféricas é dada por Q V λrφθr2 sinθ drdφdθ onde r varia de 0 a 2 φ varia de 0 a 2π e θ varia de 0 a π Então Q ₀π ₀2π ₀2 4π r2 sinθ drdφdθ Como os fatores são independentes podemos resolver cada integral separadamente de modo a obter Q ₀π ₀2π ₀2 4π r2 sinθ drdφdθ 4π ₀π sinθ dθ ₀2π dφ ₀2 r2 dr 4π cosθ₀π φ₀2π r33₀2 4π cosπcos02π0 233 0 4π 11 2π 83 4π 11 2π 83 64 Resposta final Opção 1 64 8 Determine a abscissa do centro de massa de um sólido na forma de um cubo definido por 0 x 1 0 y 1 e 0 z 1 com densidade volumétrica de massa δxyz 6x2 y2 z2 Solução A abscissa do centro de massa é dada por xcm 1M V xρxyzdV onde M é a massa total do cubo No nosso caso a massa total do cubo é dada por M V ρxyzdV V 6x2 y2 z2dV 6 ₀1 ₀1 ₀1 x2 y2 z2 dz dy dx 6 ₀1 ₀1 x2z y2z z3301 dy dx 6 ₀1 ₀1 x2 y2 13 dy dx 6 ₀1 x2y y33 y301 dx 6 ₀1 x2 13 13 dx 6 ₀1 x2 23 dx 6 x33 2x301 2 22 6 um Portanto a abscissa do centro de massa é dada por xcm 1M V x2 ρxyzdV 112 V 6x2 y2 z2 x dV 12 ₀1 ₀1 ₀1 x3 xy2 xz2 dz dy dx 12 ₀1 ₀1 x3 z xy2 z xz3301 dy dx 12 ₀1 ₀1 x3 xy2 13 x dy dx 12 ₀1 x3 y x y33 13 x y01 dx 12 ₀1 x3 x3 x3 dx 12 ₀1 x3 2x3 dx 12 x44 x2301 18 16 724 Resposta final Opção 4 724 9 Marque a alternativa abaixo que apresenta um campo conservativo Solução Sabese que todo campo conservativo é irrotacional essa forma vamos verificar primeiro qual campo satisfaz a igualdade rot F 0 Como as funções são bidimensionais considerando F xy PxyˆxQxyˆy basta verificar se P y Q x F xy 2xyˆxyx3 1ˆy P y 2x Q x 3x2 F xy ey ˆx4x2 cosyˆy P y ey Q x 8x F xy 4xyxˆx9xy3ˆy P y 4x Q x 9y F xy 2xˆxy3 xˆy P y 0 Q x 1 F xy 2xy2 ˆxy2yx2ˆy P y 4xy Q x Resposta final Opção 5 F xy 2xy2 ˆxy2yx2ˆy 9 10 Determine a integral C xdx ydy zdz com C definida pela equação paramétrica γt 2t² t³ t com 0 t 1 Considere a orientação do percurso no sentido de crescimento do parâmetro t Solução Como γt 2t² t³ t temos que γt 4t 3t² 1 dt Portanto C xdx ydy zdz 01 2t²4t dt t³3t² dt t dt 01 8t³ 3t5 t dt 8t44 3t66 t²201 214 162 1²2 2 12 12 3 Resposta final Opção 5 3