Lista de Exercicios Calculo Vetorial - Parametrização Circunferencia Cicloide e Regra da Cadeia

Valores Vetoriais Um trem sai de SP A equação que representa a posição dos trens são Teysttit com t maior ou igual a zero Determine a velocidade escalar minima do trem vt 50 vít30 O vd1 D vt15 vít 20 pes Dois carros R1 e R2 percorrem respectivamente as estradas Ae B tendo seus movimentos descritos por s1t 10t50t2 e s2t 7t70t50t 0 maior ou igual a zero Determine o ponto de encontro das estradas x10ey50 x30ey10 x1Qey5 xley0 x20ey30 E Seja F cost sent t Calcule lim féertiÃo h tendendo a zero FF o o o o Ê Ê Ê Ê Fa 6 sent cost 1 O Nenhuma das respostas anteriores O sent costt O costsent 1 O sentcost 1 E Determine a parametrização para y x24 use a parametrização natural O rbtt24 O flbtt4 O Hbtt34 O fpttê5 O Hbtt3 Sejax 3t4ey 6 2t Determine a equação cartesiana da curva O Nenhuma das respostas anteriores O 4xy34x0 O Não representa nenhuma curva 6 3y2x100 O 3y2x2100 E Determine a parametrização da ciclóide O Nenhuma das respostas anteriores O otr8cose r1sen60 O otsenercos68R O otr8sen8Brcos66 R A vermelho uma cicloide gerada por um circulo 6 ot rBsener1cos68R emmovimento FthFt Seja F t cost sent Determine lim h 0 K o sent cost O O sentcost O sentcost O E Determine a parametrização da circunferencia centrada na origem e raio r O Nenhuma das respostas anteriores O xltrcostiytrsent O xltrsentyltrcost O xltacostyt bsent e 6 xitrcostyltrsent Regra da Cadeia e Vetor Gradiente E a função o t t cost t então o vetor derivada será O 2t cost 3t2 O2sentt O t sent 3t O 2tsent 3t2 O Nenhuma das respostas anteriores E pa função t cos t 8t24t2 quando t tende a 2 O 2xc0545 O 2en 13 6 2c0523 O Nenhuma das respostas anteriores OÓ 203 que Sabendo que ot cost sent 2 representa o vetor posição de uma partícula que se move em cada instante t Determine o vetor velocidade Víteo vetor aceleração Alt O Vit sent cost0eAltcostsent0 O Vitsentcost0e Altcostsent0 O Mit sentcost0e Alt cost sent0 6 vitsentcost0e Aftcostsent0 O Vit sent cost0 e Alt costsent0 E Dada a seguinte equação Z 287 aui 1 2j 2tk as equações paramétricas que representa ela são O x 38º 4 ev2t o xe 6 40 eyettemy O zteyv2 o Ox 30 4º ev4 9eZ2t X 6e ey27t E Sabendo que a parametrização da hélice C é determinada por rt cos 2t sem 2t4t t 047 determine o comprimento da hélice C O 47 OT O 207 6 4207 O 20 pn quegt5cos3t 5sen 3t representa o vetor posição de uma partícula que se move em cada instante t Determine o vetor velocidade Vt e o vetor aceleração m Vit3sen3t3cos3te Alt 9cos3t 9sen3t O vit9cos3t sen3teAlt3tsen3t 3tcos 3t O Vitcos3t3sen 3te Alt 3 sent sent O Vit3sen3t cos3te At9 cos 3t 9 sen 3t O Mit sen 3t cos 3t e Alt cos 3t sen 3t pes x Dada a função vetorial rt senticostjtk determine o comprimento da curva entre O t 4 IN 10 v27 Vin o v24 Tx o v25 O 27 VI 2 o 2 pa Sabendo que a circunferencia de raio r tem como parametrização o r cost rsent0ts27 Determine o comprimento desta circunferência 6 2xr O 27 x 0a O 4mr3 O 47 ED Primeira Ordem E tt 3 t 7 t2 t parat 12 Considere tg O Determine o vetor normal unitário em to O NttoBltoxTto17401 O NitoBltoxTto2100 2 O NtoBltxTit1A2101 O NitoBltoxTlto13101 O NttoBltoxTto15100 Explicação N toB to xT to 152101 Determine o vetor tangente unitário em to Titoy0Ilyo 0 142 10 1 Determine o vetor binormal unitário em to Btoy0xy0ly 0xy OI 0 10 Determine o vetor normal unitário em tQ Resolução Temos N so B to x T to 142101 Ei Dada a curva descrita pelas equações paramétricasxt ste v3 2 Determiner o vetor tangente unitário Tt O TtRtIROt21 2t O TtoRbIIRollt2421 O TORb IR Ut3t O TIRt IR B22tt21 O TORBIRO21121 2t121 Explicação Uma equação vetorial da curva pode ser escrita como Rit t 3 sti3t 2 ou Ritt 3 att Rt3t296tj IIRt raiz quadrada 2t2 32 6t23t21 TtDRBIIRo t21t212tt241 E areta tangente para a curva alt t2 t no ponto P111 O Nenhuma das respostas anteriores O xtt3t1 yt2t1 zltt1 O x3tHiyv2H1 O x3tHly2t1272t1 O x3tH1 E É Seja ot t t2 té t Determine o vetor tangente unitário em tg O O 2300 1 O 2100 O 13101 O 152101 O 15100 Explicação Tiso 90 2º O1v2 101 o3t214t22t1 Iloo3t2 463 2t12 g0101 pa Dada a função vetorial rt senti cost tk determine o vetor normal que representa a curva Vin entre0 t 4 o Nt sentcost o Ntsenticostj senti costj o Nít senti costj 4 o Nítsenticostj 1 o Nít pes Dois carros R1 e R2 percorrem respectivamente as estradas A e B tendo seus movimentos descritos por s1t 10t50t2esZ27t70t50 t O maior ou igual a zero Sabendo que o limite de velocidade na estrada onde os carros estão percorrendo é de 80 Kmh determine se algum dos carros será multado e se for o caso qual deles será multado O Osdois carros Ri e R2 recebem multa por estar acima de 80 kmh 6 Ocarro Ri será multado O Nenhuma das respostas anteriores O Nenhum dos dois carros será multado O Ocarro R2 será multado ED Primeira Ordem Egas das equações a seguir representa um plano que passa pelos pontos 300030e003 2 O 6x 10y 15z 30 0 vOxtyz30 oXx2y3210 Ox 2y3290 06x 3y2230 Eq das equações a seguir representa um plano que passa pelos pontos 400020e001 9 06x 3y22 34 0 oOxyz30 0x2y4240 O 6x 10y 15z 30 0 Ox2y3210 EE sênio enoçã 2x3y4z 12 podemos afirmar que otraço no plano xy é dada por 2x 3y 12 Hotraço no plano yz é dado por 3y 47 12 Hlotraço no plano xz é dado por 2x 47 12 IV Temos 400 como interseção com o eixo x 040 interseção com o eixo y e 013 interseção com o eixo Z 6 Ill Illsãoverdadeiras e IV é falsa O 1H e IVsão verdadeiras O 1115a0 Verdadeiras III IV são falsas O Le IV sao falsas O 11 sao falsas Il IV são verdadeiras Ea lisando a equação zsenYy podemos afirmar que O gráfico é um plano ll o gráfico é um cilindro HI A diretriz do cilindro no plano yz tem como equação z seny IVA geratriz do cilindro paralela ao eixo x O Podemos afirmar que é verdadeira e Il Ille IV são falsas 6 Podemosafirmar que é falsa e II Ill e IV são verdadeiras O Podemos afirmar que Il Ille IV são Verdadeiras O Podemos afirmar que Ile IV são falsa O Podemos afirmar que Ill são verdadeiras ll e IV são falsa Eos das equações a seguir representa um plano que contém o ponto 325 etemN 632 como vetor normal 06x 3y22340 03x 2y 62 0 03x2y 62 170 03x 2y 62 170 O 6x 3y 22 34 0 o das equações a seguir representa um plano que contém o ponto 012etemN011 como vetor normal Oxy30 0yz30 Oxyz0 OoxtyzZz30 Oxyz30 E Podemos afirmar que x2a2 y2 b 22 C2 1 é um hiperbolóide de uma folha e o traço xy éa elipsex2a y2b 1 ED Segunda Ordem 1x2a2 y2b2 22 c2 1 é um hiperbolóide de uma folha e o traço xy é a elipse x a y2b 1 H 24 a y2 p 2202 1 é um hiperbolóide de uma folha e o traço xz é a hiperbole x222 22c 1 O Illelllsãofalsas O lelllsao falsas e Il verdadeira O 1 llelll são verdadeiras O lellsao verdadeiras e Ill falsa 6 lelllsao verdadeiras e Il falsa E Considere a superfície de revolução obtida pela rotação de z x em torno do eixo z Podemos afirma que zx2é uma parábola e a superficie de revolução obtida pela rotacao desta parábola em torno do eixo z é um parabolóide circular lzx2é uma parábola e a superfície de revolução obtida pela rotacao desta parábola em torno do eixo z é um cone lllzx2éumaretasa superfície de revolucoa obtida pela rotacao desta parábola em torno do eixo z é um cone O llelilsão verdadeiras O Illé verdadeira le Ilfalsas O ll são falsas e léverdadeira Ile Ill são falsas Wé verdadeira le Ill são falsas Eq das parametrizações abaixo é a parametrização da elipse xa2 yb 1 x maior ou igual a zero O cost sentjxpi2expi2 O lasentbcostxpiZ2ex pi2 O lasentc bcostdxpiZex pi2 O Nenhuma das respostas anteriores 6 acostbsent xpi2ex pi2 ED Segunda Ordem ES Seja flxyxy3 xy Verifique o limite da função flxy quando xy tende a 12 O Olimite será O O Olimite será 14xy O Olimite será xy 6 Olimiteserá 14 O Olimite será 1 Explicação Sejaflxyxy3 xy2 Verifique o limite da função fxy quando xy tende a 12 lim zu 1291 2 34142 14 A representação grafica do domínio da função f dada por FO yx12 1y12 C uma parábola passando na origem O um ponto na origem Õ CO Nenhuma das respostas anteriores 6 mt Determine caso exista o limite da função y0Cy quando xy tende a 12 O 3 O 56 26719 Nenhuma das respostas anteriores O 36 Es Descreva o dominio da função zxy2 2 O Gy RS xy 22 O Nenhuma das respostas anteriores O Ay eRZ xry 2 vo xyeRZ xy 22 o xy e R2 xy 2 En a função de produção P L 05 K 05 em que L representa o trabalho envolvido e K o capital As curvas denívelc1ec25são O Nenhuma das respostas anteriores ED ORDEM SUPERIOR Um trem sai de SP A equação que representa a posição dos trens são Tajsttit comt maior ou igual a zero Determine a velocidade escalar mínima dotrem O Nenhuma das respostas anteriores O vit20 º e vit1 O vtt30 O vtt50 Suponha fxy gxy hxy e o limite de fxy é igual a 5 quando xy tende a 00 e o limite de hxy é igual a 5 quando xy tende a 00 podemos afirmar que limite de gxy é igual a 5 quando xy tende a 00 limite de hxy gxy é igual a 7 quando xy tende a 00 limite de hxy gxy é igual a 3 quando xy tende a 00 limite de hxy gxy é igual a 5 quando xy tende a 00 limite de gxy é igual a 10 quando xy tende a 00 0006 Fá pes Sabendo que a função que satisfaz a equação de Laplace é dita harmônica Com base nessa definição analise a função fxy In x2 y3 econclua se fxy é harmônica O Afunção não é harmonica pois satisfaz a equacao de Laplace O Afunção é harmonica pois não satisfaz a equação de Laplace O Afunção não é harmonica pois não satisfaz a equacao de Laplace O Afunção não é harmônica 6 Afunção é harmonica pois satisfaz a equacao de Laplace Explicação A equação de Laplace é dada por E E Oque podemos escrever como fe fyy O Portanto precisamos encontra a fy fyy da função fx2xx2y2 fy2y62y2 bos 2242 p2y22 fyy 2x2 2y2 x2 4 y22 Portanto a soma dos dois temos será zero isto é foc fy O A função é harmonica pois satisfaz a equacao de Laplace a função flxy 3 y2 14 x y Calcule o limite da função fxy quando x y tende a 12 O o Limite será 2 O o Limite será 1 O o Limite será 5 6 o Limite será 12 O o Limite serão Ei Dada a função de várias váriáveis fxy 2 x y 3y determine o limite de fxy quando xy tende a 12 6 Olimite será 2 O O limite será 7 O Olimite será 9 O Olimite serãO O O limite será 3 Ei F xyxy tem domínio D todos os pares ordenados xy e R2 tais que O Df xy cRYxy O DEL xy eRxy O Df xy e Rxy O Df xy eRZxy O Nenhuma das respostas anteriores Erscemos afirmar sobre a parametrização de uma curva que O Nenhuma das respostas anteriores O Existe sempre n1 maneiras de parametrizar uma curva O Existe sempre duas maneiras de parametrizar uma curva O A parametrização de uma curva é única 6 Aparametrização de uma curva não é única ED ORDEM SUPERIOR E ocrir a equação cartesiana para x t24y 1t O yVT3 O vz1 O yvT4 O y1vz O vT1 pes Determine a derivadas direcionais para a função de duas variáveis flxy x2y ytt2 calcule a taxa de variação no Ponto P 21 na direção do vetoru52 O 5 Os O ota O 28 O 1283 Explicação Determine a derivadas direcionais para a função de duas variáveis fxy x2 y calcule a taxa de variação no Ponto P 21 na direção do vetoru52 fx2xy fyx212y 12 fex2y fyy of u du 21 VI 1 Tull 114 p9t12 Eos a derivada direcional da função fxy 2 y no ponto P1 2 na direção do vetor v 34 ÕO1 02 ÕO 5 Os O 4 Explicação ES V9FI65 FHxy 2º 9º Vf 222y dE 24 Vs12 24 did 55 DwzVf Dy 24 E 5 D 816 E PA a derivada direcional da função fxy 2 zye yze na direção do vetor v 221 O Dv uyze ee 4 ze zye ye 2 2 1 O Dy que zef que 2ef quye ge 2 1 O Do que uzef Te ze quy ef 2 2 1 O D que uzel que 2 quyel ye 2 O D y yzet quet zeft zye ye Explicação fxy 2 zye gze Vf ye ze xe ze nye ge vvIFTFI03 Vetor unitario sv 221 jul À333 DwVI z z z z z 221 Dy ve yze ze 2eº zye ye 2299 2 2 1 Dy que yzet que zef quyel ye E Seja a função fxy2xxy A derivada na direção do vetor unitário u 35i45j no ponto P12 tem valor de O 85 O 112 O 134 Õ 103 O 187 Explicação Vetor unitario 6x sv 34 Fz y Ey v255 Vi 629 D WzVI Vith 2 63 Do 41 5 5 5 5 1 4 D 5 M o gradiente da função fx y 2 In 22 yº no ponto P34 34 O Vf 55 3 4 2 O Vf 5 23 O vi 55 3 4 o vr 55 3 4 O Vi E E Explicação T v Vf í p ve 3 4 f 916916 ve a 4 t55 APLICAÇÕES EM DIVERSAS ÁREAS 1 EB mação a função flxy 3xy2x33x podemos afirmar que 6 Oponto 10 e ponto de Mínimo local O O ponto 01 e ponto de Máximo local O O ponto 10 e ponto de Sela O O ponto 11 e ponto de Máximo O O ponto 01 e ponto de Máximo UA a curvatura da elipse x22 y32 1 no ponto 03 034 O Nenhuma das respostas anteriores O4 O O 5 EM das equações a seguir representa um plano que passa pelos pontos 500030e002 Ox2y 3210 06x 3y 22 34 0 Ox yz30 Ox2y 472 40 0 6x 10y 152 30 0 Cf Determine a curvatura da função y x2 na origem O 55 02 O 5 O Nenhuma das respostas anteriores O 4 Ei Qual das equações a seguir representa um plano que contém ponto 3 12 etem N 123 como vetor normal O x2y37210 O x2y3210 6 x2y3210 O 2x9y210 O 3x2yz210 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEIS REAIS 2 Eres a equação diferencial abaixo por separação de variáveis de dy 0 Oy0C 1 Oy50 1 Ld Oyv 50 C O yve4C 1 O yv5C A função fbxy é dividida em duas partes é y3 Êy3 se bay 00 e O se xy 00 Determine se a função é continua o 00 e o porque da afirmação a No ponto 00 a função não esta definida portanto calculamos o limite quando xy tende a 00 ao longo de cada caminho estipulado e concluímos que o limite não existia Portanto não é continua no ponto 00 O No ponto 00 a função esta definida portanto calculamos o limite quando xy tende a 00 ao longo de um único caminho e concluímos que o limite existia Portanto é continua no ponto 00 O No ponto 00 a função esta definida Portanto é continua no ponto 00 O No ponto 00 a função esta definida portanto calculamos o limite quando xy tende a 00 ao longo de cada caminho estipulado e concluimos que o limite existia Portanto é continua no ponto 00 O Nenhuma das respostas anteriores Analisando as afirmações abaixo classifiqueas como verdadeira ou falsa Podemos afirmar que xº a y2 p2 224 c 1 representa uma hipérbole de uma folha HI x2r a y2 p z2 c 1 representa uma hipérbole de duas folha HI x2 a y2b3 227 c2 1 representa um cone elíptico O llellsãofalsas e Wéverdadeira le Il são falsa O lléverdadeira Ill é falsa O Vllellsão verdadeiras 9 Wéfalsa le llsão verdadeira E pn a curvatura de um círculo de raio a com centro na origem definida por ot a cos t a sen t t pertencendo ao intervalo fechado de 0 27 2 6 1a O Nenhuma das respostas anteriores O a O a2 O pi E Usamos o Método dos Multiplicadores de Lagrange para resolvermos o seguinte problema Minimizar x2y272 Sujeitoa2xy 37 6 Determine a função Lagrangeana do problema dado mM LixyA ey 27 Axy 316 O LbgyA A2xy 376 O LoeyA x y2 22 A2xy 376 PO LyA x y2z2A2xy 376 O LxyA x y 27 A2xy 376 Explicação Usamos o Método dos Multiplicadores de Lagrange para resolvermos o seguinte problema Minimizar x y2 z2 Sujeitoa2xy3z 6 Determine a função Lagrangeana do problema dado Lzy2 fzy2 Agzy 2 Ltcyax2y222A2xy 376 ES Usónos o Método dos Multiplicadores de Lagrange para resolvermos o seguinte problema Maximizar xy Sujeito ax 2y 20 Determine a função Lagrangeana do problema dado LbcyiA xy À x 2y 20 LxyA À x 2y 20 LbcyA À x2y20 O Ly xyA x 2y 20 000 PR Lx A xy À x 2y 20 pur Uma casa retangular deve ser construída num terreno com a forma de triângulo Aplicando o Método dos Multiplicadores de Lagrange chegamos ao seguinte sistema wAÃ0 x2A0 x2y200 A partir deste sistema determine a área máxima possível para a casa O som O som O 100m O 20m O 40m 1º Questão AS Sejax3t4ey62t Determine a equação cartesiana da curva Não representa nenhuma curva Bj 3y2x100 Nenhuma das respostas anteriores 1 3y22100 4xy 34x0 o Questão Acerto AS Determine o limite da função t cos t 8t34t2 quando t tende a 2 Nenhuma das respostas anteriores L 203 Elo 200523 0 25en 13 0 2c0s 45 o Questão Acerto AS Dois carros R1 e R2 percorrem respectivamente as estradas A e B tendo seus movimentos descritos por s1t 10t50t2es2t7t70t50t 0 maior ou igual a zero Sabendo que o limite de velocidade na estrada onde os carros estão percorrendo é de 80 Kmh determine se algum dos carros será multado e se for o caso qual deles será multado Nenhum dos dois carros será multado L Os dois carros R1 e R2 recebem multa por estar acima de 80 kmh L O carro R2 será multado Elo Ocarro R1 será multado Nenhuma das respostas anteriores 4º Questão Acerto me Qual das equações a seguir representa um plano que contém o ponto 012e tem No0 1 1 como vetor normal DU xy27230 DU xy230 Bi yz30 xy30 a xyz0 O Questão Acerto me Determine o traço do elipsóide no plano xy Plano xy vazio Plano xy plano Nenhuma das respostas anteriores Planoxyreta El Planoxy Elipse 6 Questão Acerto me Considere a função de produção P LO5 K 25 em que L representa o trabalho envolvido e Ko capital As curvas de nível c 1 ec 2 são 0 t 4 i Nenhuma das respostas anteriores 8 4 1 z E 4 7 Questão Acerto me Podemos afirmar sobre a parametrização de uma curva que Nenhuma das respostas anteriores Existe sempre n1 maneiras de parametrizar uma curva 8 A parametrização de uma curva não é única L Existe sempre duas maneiras de parametrizar uma curva A parametrização de uma curva é única 8º Questão Acerto me Seja a função fxy2xxy A derivada na direção do vetor unitário u 35i45j no ponto P12 tem valor de 187 Bj 85 134 103 112 Explicação fxy 62º wy Vf 6229 VHL 2 41 Vetor unitario dl 25 ul 5 5 D 2Vf s uWw 12 D 5 8 D 5 p Questão Acerto Determine a curvatura da função y x na origem LI 5 Nenhuma das respostas anteriores LI 55 Re 2 4 10 Questão Acerto me Uma casa retangular deve ser construída num terreno com a forma de triângulo Aplicando o Método dos Multiplicadores de Lagrange chegamos ao seguinte sistema yA0 x2A0 x2y200 A partir deste sistema determine a área máxima possível para a casa nm 100m Bl som 1 com 1 aom 1 vom o 1º Questão Acerto AS Um trem sai de SP A equação que representa a posição dos trens são Trytt2 com t maior ou igual a zero Determine a velocidade escalar mínima do trem vít30 Ee vt1 vít50 vít 20 vít 15 o Questão Acerto AS Dada a seguinte equação Z 38 ai 1 28j 2tk as equações paramétricas que representa ela são os 38 48 ey12t a x 68 2 ey2t 1 gtley2 El x 3 4 ey4 mez 1 x 887º 48 ey2t o Questão Acerto AS Dada a função vetorial rt senti costj tk determine o vetor normal que representa a curvaentre O t 4 L senti costj Nt J 2 Bl Nt senticostj a Nt senti costj 1 L senti costj Nt J L Nt sentcost 4º Questão Acerto me Qual das equações a seguir representa um plano que contém o ponto 325e tem N6 3 2 como vetor normal 1 3x2y620 DU 6x3y22340 Blo 6x 3y22340 DD 3x262170 DU 3x262170 E sº Questão Acerto Si mma Podemos afirmar que x2 a y2 b 22 10 1é um hiperbolóide de uma folha e o traço xy é a elipse x2 a y2 b 1 H x2 a y2 b 22 10 1 é um hiperbolóide de uma folha e o traço xy é a elipse x2 a y2 b 1 HI x2 a y2 b2 22 102 1 é um hiperbolóide de uma folha e o traço xz é a hiperbole x2 a 22 1C3 1 le Il sao verdadeiras e Ill falsa le Ill sao falsas e Il verdadeira RB lelllsao verdadeiras e Il falsa L le HI são falsas 0 Ile lllsao verdadeiras 6 Questão Acerto me Sejafixyxy3 xy2 Verifique o limite da função fxy quando xy tende a 12 O limite será 1 Re Olimite será 14 O limite será 14xy O limite será xy O limite será O Explicação Sejafxy xy3 xy2 Verifique o limite da função fxy quando xy tende a 12 ime191 243x1x 214 7 Questão Acerto me F xyxy tem domínio D todos os pares ordenados xy e R2 tais que Df xy eRYxy LI DD Dfxy e RYxy Nenhuma das respostas anteriores 8 LI DfxyeRZxzy Df xy eRYxy 8º Questão Acerto me Calcule o gradiente da função fx Yy 2 ln 4 fa y no ponto P34 v738 vi54 Elo v754 7 23 74 Explicação is E Vi TH Tre 724 9 Questão Acerto me Qual das equações a seguir representa um plano que contém o ponto 3 12 etem N 123 como vetor normal x2y3210 2x3y210 Bla x2y3210 x2y3210 3x2y210 10 Questão Acerto me Usamos o Método dos Multiplicadores de Lagrange para resolvermos o seguinte problema Maximizar xy Sujeito ax 2y 20 Determine a função Lagrangeana do problema dado LboyAAÀ x 2y 20 Dw LigyAxyAx2y 20 LigyAxy A x 2y 20 LoyAxyAx2y 20 LigyA Ax2y20