Lista de Exercícios Resolvidos - Cálculo de Integrais Múltiplas

Cálculo de Integrais Múltiplas 2 5 Utilize o Teorema de Green para calcular o trabalho realizado pelo campo F x y 3y5 i 5y2 x3 j para mover uma partícula ao longo da circunferência x2 y2 4 partindo do ponto 2 0 e retornando a este ponto apenas uma vez 90π 160π 180π 150π 70π O volume de uma esfera de raio igual a 6 vale 36π 244π 188π 288π 144π Calcular c fds em que r é a hélice definida por rtsentcostt te02π e F o campo vetorial definido por Fxyzxyz 2π3 2π2 3π2 2π π2 Uma lâmina tem a forma da parte do plano z x recortada pelo cilindro x 12 y2 1 Determine a massa dessa lâmina se a densidade no ponto xyz é proporcional a distância desse ponto ao plano xy k3 um 2 um k um 2π um k2π um 9 Calcule o trabalho realizado pelo campo de força F xyz xx z2 yy x2 zZ y2 quando uma partícula se move sob sua influência ao redor da borda da esfera de raio 2 que esta no primeiro octante na direção antihorária quando vista por cima 12 10 22 85 16 Na cidade de Carmel existe um reservatório de água Desejase calcular o volume deste reservatório Sabendo que o reservatório tem o formato de um cilindro de raio R e altura h Determine o volume do reservatório pi R pi R2 h pi R h Nenhuma das respostas anteriores R h Cálculo de Integrais Múltiplas 1 5 Calcule c xzds onde C é a interseção da esfera x2 y2 z2 4 com o plano x y 6 0 10 8 16 Calcule o volume do sólido no primeiro octante limitado pelas superfície z 1 y2 x y2 1 e x y2 9 76 76¹5 Nenhuma das respostas anteriores 45 15 Seja Fxyz x2 2y 3z Calcular a integral da função Fxyz sobre a curva C definida por rxyz 2t i 3t j t k onde t varia no intervalo 0 1 14 212 4 212 4 1412 2 1412 4 Calcule o volume do sólido cuja base inferior é a região retangular no plano xy com x variando de 0 a 3 e y variando de 0 a 2 e cujo topo está na superfície fxy 4 y2 12 20 10 16 14 Ao calcularse a área da região encerrada pela elípse 4x216y264 encontrase o valor de 4pi 64pi 16pi 8pi 9pi Cálculo de Integrais Múltiplas 2 1 Calcule a integral dupla da função fxy yex onde R 1 1 0 π2 Solução Dada a função do integrando de interesse fxy yex e conhecidos intervalos de integração para x e y a integral do problema é dada por 11 0π2 fxydydx 11 0π2 yexdydx Integrando primeiro com relação a y e na sequência com relação a x podemos escrever 11 0π2 yexdydx 11 ex 0π ydy dx 11 ex y2 20π2 dx 11 ex π22 2 dx 11 ex π2 4 2 dx 11 ex π2 8 dx π2 8 11 ex dx π2 8 ex11 π2 8 e1 e1 e e1π2 8 Resposta final Opção 4 e e1π2 8 2 Determine o volume do sólido que é delimitado pelo parabolóide elíptico x2 2y2 z 16 os planos x 2 e y 2 e os três planos coordenados Solução Como a região está limitada pelos planos coordenados e pelos dois planos dados temos que 0 x 2 0 y 2 Além disso como x2 2y2 z 16 podemos escrever z 16 x2 2y2 Dessa forma o volume procurado é dado por V 02 02 016x22y2 dzdydx 02 02 z016x22y2 dydx 02 02 16 x2 2y2 dydx 02 16y x2y 2y3 302 dx 02 162 x22 223 3 dx 02 32 2x2 16 3 dx 02 80 3 2x2 dx 80 3 x 2x3 302 80 3 2 223 3 160 3 16 3 160 3 16 3 144 3 48 uv Resposta final Opção 3 48 3 Encontre o volume do sólido sob o gráfico da função fxy 5 e acima do domínio dado pelas inequações y x 3y e 0 y 5 Solução Desta vez conhecemos a função do integrando e os intervalos de integração Logo podemos integrar diretamente para obter o volume procurado V 05 y3y fxy dxdy 05 y3y 5 dxdy 05 5xy3y dy 05 53y 5y dy 05 15y 5y dy 05 10y dy 10y2 205 5y205 552 525 125 uv Resposta final Opção 5 125 4 Seja f R3 R definida por fxyz x 3y2 z e τ o segmento de reta que une 000 e 111 Calcule τ f ds Solução Primeiro precisamos parametrizar a curva dada Para tal defina x t Como as variações de x y e z são as mesmas extraímos o vetor da parametrização dado por r ttt Além disso como a mudança em x vai da origem até x 1 o intervalo compreendido por t será 01 De posse de r podemos encontrar ds conforme mostram os procedimentos seguintes rt dt dt dt dS rt dt2 dt2 dt2 3dt2 3dt Por fim observase que dx dt Isso permite escrever a integral dada na forma τ x 3y2 z ds 01 t 3t2 t 3 dt 3 01 3t2 2t dt 3 3t3 3 2t2 201 3 t3 t201 3 13 12 3 2 23 Resposta final Opção 2 23 5 Utilize o Teorema de Green para calcular o trabalho realizado pelo campo Fx y 3y5 i 5y2 x3 j para mover uma partícula ao longo da circunferência x2 y2 4 partindo do ponto 2 0 e retornando a este ponto apenas uma vez Solução Considerando que o caminho fechado correspondente á circunferência seja percorrido no sentido antihorário podemos aplicar o teorema de Green W C F dr D Qx Py dA Como Fx y 3 y5 i 5 y2 x3 j temos que Px y 3 y5 Qx y 5 y2 x3 Então Qx 15 y2 x2 Py 15 y4 Dessa forma a intergral se torna W D 15 y2 x2 15 y4 dA D 15 y2 x2 15 y4 dA 15 D y2 x2 y4 dA Como o contorno de interesse tratase de uma circunferência de raio r 2 podemos transformar a curva C por coordenadas polares x r cosθ y r sinθ onde 0 r 2 e 0 θ 2π Assim obtemos W 15 02 02π r sinθ2 r cosθ2 r sinθ4 r dθ dr 15 02 02π r2 sin2θ r2 cos2θ r4 sin4θ r dθ dr 15 02 02π r4 sin2θ cos2θ r4 sin2θ sin2θ r dθ dr 15 02 02π r4 sin2θ cos2θ sin2θ r dθ dr 15 02 r5 02π sin2 θ dθ dr 15 02 r5 02π 1 cos2θ2 dθ dr 15 02 r5 02π 12 cos2 θ2 dθ dr 15 02 r5 12 θ sin2θ 402π dr 15 02 r5 12 2π sin22π 4 dr 15 02 r5 π dr Dessa forma W 15 π 02 r5 dr 15 π r6 602 15 π 26 6 5 π 25 5 π 32 160 π Resposta final Opção 2 160π 6 O volume de uma esfera de raio 6 vale Solução Como os sólido corresponde a uma esfera completa podemos usar coordenadas esféricas para montar a integral Os intervalos de integração são conhecidos da teoria de coordenadas esféricas como 0 θ 2π 0 ϕ π 0 r 6 assim como o jacobiano J r2 sinϕ Temos então que V 02π 0π 06 r2 sinϕ dr dϕ dθ 02π 0π r3306 sinϕ dϕ dθ 02π 0π 633 sinϕ dϕ dθ 02π 72 cosϕ0π dθ 02π 72 cosπ cos0 dθ 02π 72 1 1 dθ 02π 144 dθ 144θ02π 1442π 288π uv Resposta final Opção 4 288π 7 Calcular C f ds em que r é a hélice definida por rt sint cost t t 0 2π e F o campo vetorial definido por Fx y z x y z Solução A derivação da parametrização dada pode ser escrita como rt cost dt sint dt dt cost sint 1 dt Portanto Dessa forma obtemos que C Fx y z dS 02π Frt r dt 02π sint cost t cost sint 1 dt 02π sint cost sint cost t dt 02π t dt t2 202π 2π22 4π22 2π2 Resposta final Opção 2 2π2 8 Uma lâmina tem a forma da parte do plano z x recortada pelo cilindro x 1² y² 1 Determine a massa dessa lâmina se a densidade no ponto x y z é proporcional à distância deste ponto ao plano xy Solução As figuras a seguir mostram a lâmina S e a sua projeção sobre o plano xy Observe que S é dada por S z zx y x com x y D x 1² y² 1 Então o comprimento dS pode ser obtido como segue dS 1 zx² zy² dxdy 1 1² 0² dxdy 2 dxdy Como a densidade é dada por fx y z kz onde k é uma constante real de proporcionalidade podemos obter a massa procurada fazendo M S fxyzdS S kz2 dxdy k2 S x dxdy Fazendo mudança para coordenadas polares definimos x r cosθ y r sinθ Os limites de intergração podem ser encontrados por meio da região D ilustrada como sendo 0 r 2 cosθ π2 θ π2 Assim obtemos M k2 π2π2 02 cosθ r cosθ r dr dθ k2 π2π2 02 cosθ r² cosθ dr dθ k2 π2π2 r³302 cosθ cosθ dθ k2 π2π2 2 cosθ³3 cosθ dθ k2 π2π2 8 cos³θ3 cosθ dθ 8k23 π2π2 cos⁴θ dθ 8k23 π2π2 1 cos2θ2² dθ 8k23 π2π2 1 2cos2θ cos²2θ4 dθ 2k23 π2π2 1 2cos2θ 1 cos4θ2 dθ 2k23 π2π2 1 2cos2θ 12 cos4θ2 dθ 2k23 π2π2 32 2cos2θ cos4θ2 dθ 2k23 32 θ 2 sin2θ2 sin4θ 24π2π2 2k23 32 π2 2 sin2π22 sin4π2 24 32 π2 2 sin2π22 sin4π2 24 2k23 32 π2 2 sinπ2 sin2π8 32 π2 2 sinπ2 sin2π8 2k23 3π4 sinπ sin2π8 3π4 sinπ sin2π8 2k23 6π4 k2 π um 2 Resposta final Opção 5 k2 π um 9 Calcule o trabalho realizado pelo campo de força Fxyz xx z2 yy x2 zz y2 quando a partícula se move sob sua influência ao redor da borda da esfera de raio 2 que está no primeiro octante na direção antihorário quando vista por cima Solução No contexto apresentado o teorema de Stokes se mostra uma opção mais viável pois precisamos calcular a integral de sobre uma superfície para encontrar o trabalho procurado W C F dr S rotF n dS Contudo precisamos verificar se o teorema de Stokes é aplicável à situação Primeiro pela figura a seguir observamos que curva fechada C em destaque delimita uma superfície S Agora observando F percebemos que as componentes que definem o campo vetorial são simples e sem singularidades ou pontos de descontinuidades Por fim definimos curva e superfície orientadas positivamente Com condições averiguadas podemos aplicar o teorema de Stokes Pata tanto calculamos o rotacional de F rotF F3y F2z F1z F3x F2x F1y 2y 0 2z 0 2x Para calcular a integral precisamos parametrizar a superfície Em se tratando de uma parte da casca de uma esfera podemos aplicar coordenadas esféricas de modo a obter x 2 sinϕ cosθ y 2 sinϕ sinθ z 2 cosϕ A superfície parametrizada se torna então σϕ θ 2 sinϕ cosθ 2 sinϕ sinθ 2 cosϕ Como a superfície s compreende o primeiro octante o ângulos são limitados na forma 0 ϕ π2 0 θ π2 Para encontrarmos o vetor normal fazemos n σφ σθ 2cosφ cosθ 2cosφ sinθ 2 sinφ 2 sinφ sinθ 2 sinφ cosθ 0 i j k 2 cosφ cosθ 2 cosφ sinθ 2 sinφ 2 sinφ sinθ 2 sinφ cosθ 0 i 2 cosφ sinθ 2 sinφ 2 cosφ cosθ 2 sinφ 2 sinφ cosθ 0 j 2 cosφ sinθ 2 sinφ 2 cosφ cosθ 2 sinφ sinθ 0 k 2 cosφ cosθ 2 cosφ sinθ 2 sinφ sinθ 2 sinφ cosθ 4 sin²φ cosθ 4 sin²φ sinθ 4 sinφ cosφ cos²θ 4 sinφ cosφ sin²θ 4 sin²φ cosθ 4 sin²φ sinθ 4 sinφ cosφcos² sin²θ 4 sin²φ cosθ 4 sin²φ sinθ 4 sinφ cosφ Ou seja n dS 4 sin²φ cosθ 4 sin²φ sinθ 4 sinφ cosφ dφ dθ De volta ao rotacional calculado anteriormente temos que rotFσφθ 4 sinφ sinθ 4 cosφ 4 sinφ cosθ Agora podemos montar nossa integral de superfície W S rotF n dS 0π2 0π2 4 sinφ sinθ 4 cosφ 4 sinφ cosθ 4 sin²φ cosθ 4 sin²φ sinθ 4 sinφ cosφ dφ dθ 0π2 0π2 16 sin³φ sinθ cosθ 16 sin²φ cosφ sinθ 16 sin²φ cosφ cosθ dφ dθ 16 0π2 0π2 sin³φ sinθ cosθ sin²φ cosφ sinθ sin²φ cosφ cosθ dφ dθ 16 0π2 0π2 sinφ sin²φ sinθ cosθ sin²φ cosφsinθ cosθ dφ dθ Como sin²φ 1 cos²φ obtemos W 16 0π2 0π2 sinφ1 cos²φ sinθ cosθ 1 cos²φ cosφsinθ cosθ dφ dθ 16 0π2 0π2 sinφ1 cos²φ sinθ cosθ dφ dθ 16 0π2 0π2 sin²φ cosφsinθ cosθ dφ dθ 16 0π2 0π2 sinφ sinθ cosθ sinφ cos²φ sinθ cosθ dφ dθ 16 0π2 0π2 sin²φ cosφsinθ cosθ dφ dθ Integrando em φ W 16 0π2 cosφ sinθ cosθ cos³φ3 sinθ cosθ0π2 dθ 16 0π2 sin³φ3 sinθ cosθ0π2 dθ 16 0π2 cosπ2 sinθ cosθ cos³π23 sinθ cosθ dθ 16 0π2 cos0 sinθ cosθ cos³03 sinθ cosθ dθ 16 0π2 sin³π23 sinθ cosθ sin³03 sinθ cosθ dθ 16 0π2 sinθ cosθ 13 sinθ cosθ dθ 16 0π2 13 sinθ cosθ dθ 16 0π2 sinθ cosθ 13 sinθ cosθ dθ 16 0π2 13 sinθ cosθ dθ 16 0π2 23 sinθ cosθ dθ 16 0π2 13 sinθ cosθ dθ Integrando agora com relaçâo a θ W 16 0π2 23 sinθ cosθ dθ 16 0π2 13 sinθ cosθ dθ 16 23 sin²θ2 13 cosθ 13 sinθ0π2 16 23 sin²π22 13 cosπ2 13 sinπ2 23 sin²02 13 cos0 13 sin0 16 23 12 13 13 16 13 23 16 Resposta final Opção 5 16 10 Na cidade de Carmel existe um reservatório de água Desejase calcular o volume deste reservatório Sabendo que o reservatório tem o formato de um cilindro de raio R e altura h determine o volume do reservatório Solução Como o raio do cilindro é R podemos pensar em uma projeção no plano base da forma x² y² R² Além disso como h é altura podemos definir que 0 z h Em coordenadas cilíndricas transformamos as coordenadas para x r cosθ y r sinθ onde extraímos também 0 r R 0 θ 2π Assim obtemos que V 02π 0R 0h r dz dr dθ 02π 0R rz0h dr dθ 02π 0R r h dr dθ 02π h r²20R dθ 02π h R²2 dθ h R²2 02π dθ h R²2 θ02π h R²2 2π hR²π πR²h Resposta final Opção 2 πR²h Cálculo de Integrais Múltiplas 1 1 Se fxy 1 x e a região de integração é definida por R 01 01 Defina a integral dupla e seu resultado Solução Dada a função do integrando de interesse fxy 1 x e intervalos de integração iguais para x e y 01 a integral do problema é dada por 0 1 0 1 f xy dxdy 0 1 0 1 1 x dxdy Integrando primeiro com relação a x podemos escrever 0 1 0 1 1 x dxdy 0 1 0 1 1 x dx dy 0 1 x x 2 2 1 0 dy 0 1 1 1 2 0 0 2 2 dy 0 1 1 1 2 dy 0 1 1 2 dy 1 2 0 1 dy 1 2 y 0 1 1 2 1 0 1 2 Resposta final Opção 5 0 1 0 1 1 x dxdy 12 2 Determine o volume do sólido que está abaixo do parabolóide z x 2 y 2 e acima da região do plano xy limitada pela reta y 2 x e y x 2 Solução O intervalo de integração de com relação à variável z é dado no enunciado como a variação entre o plano xy ou seja z 0 e z x 2 y 2 Para encontrar os intervalos de integração com relação à x e y encontraremos primeiro a intersecção entre as curvas y 2 x e y x 2 y y x 2 2 x x 2 2 x 0 x x 2 0 x 0 ou x 2 Logo x está limitado pelo intervalo 0 2 Por fim para definir o intervalo de integração para y observamos a representação gráfica seguinte que mostra y 2 x e y x 2 no mesmo plano A partir da figura construída extraímos que x 2 y 2 x Dessa forma chegamos à integral que define o volume procurado V 0 2 x 2 2 x 0 x 2 y 2 dzdydx 0 2 x 2 2 x z x 2 y 2 0 dydx 0 2 x 2 2 x x 2 y 2 0 dydx 0 2 x 2 2 x x 2 y 2 dydx 0 2 x 2 y y 3 3 2 x x 2 dx 0 2 x 2 2 x 2 x 3 3 x 2 x 2 x 2 3 3 dx 0 2 2 x 3 8 x 3 3 x 4 x 6 3 dx 2 x 4 4 8 x 4 3 4 x 5 5 x 7 3 7 2 0 x 4 2 2 x 4 3 x 5 5 x 7 21 2 0 2 4 2 2 2 4 3 2 5 5 2 7 21 8 32 3 32 5 128 21 840 1120 672 640 105 648 105 216 35 Resposta final Opção 4 21635 3 Determine o volume do sólido representado pela integral dupla onde a função a ser integrada f x y x 2 y 2 está definida em R 0 1 0 1 Solução Desta vez conhecemos a função do integrando e os intervalos de integração Logo podemos integrar diretamente 0 1 0 1 f x y dydx 0 1 0 1 x 2 y 2 dydx 0 1 x 2 y y 3 3 1 0 dx 0 1 x 2 1 1 3 dx 0 1 x 2 1 3 dx x 3 3 1 3 x 1 0 1 3 1 3 1 1 3 1 3 2 3 u v Resposta final Opção 3 23 4 Um homem dirige em uma estrada γ Supondo que a estrada percorrida é definida pela integral abaixo sendo γ o arco da parábola y x 2 da origem ao ponto A 2 4 Determine o valor da integral γ x y 2 d x Solução Primeiro precisamos parametrizar a curva dada Para tal defina x t Assim obtemos y t 2 Além disso como a mudança em x vai da origem até x 2 o intervalo compreendido por t será 0 2 Por fim observase que d x d t Isso permite escrever a integral dada na forma γ x y 2 d x 0 2 t t 2 2 d t 0 2 t t 4 d t 0 2 t 5 d t t 6 6 2 0 2 6 6 2 5 3 32 3 Resposta final Opção 5 323 5 Calcule C xzdS onde C é a interseção da esfera x² y² z² 4 com o plano x y Solução Para calcular a interseção entre a esfera e o plano substituimos a equação do plano dentro da equação da esfera resultando em x² x² z² 4 2x² z² 4 x²2 z²4 1 Então a curva de interesse corresponde à uma elipse com a 2 e b 2 Como parametrização natural da elipse podemos escrever x 2 cost y 2 cost z 2 sint com t 0 2π A derivação da parametrização obtida é então dada por 2 sintdt 2 sintdt 2 costdt Portanto dS 2 sintdt² 2 sintdt² 2 costdt² dS 2 sin²tdt² 2 sin²tdt² 4 cos²tdt² dS 2 sin²t 2 sin²t 4 cos²t dt dS 4 sin²t 4 cos²t dt dS 4sin²t cos²t dt dS 4 dt dS 2 dt Portanto C xzdS ₀²π 2 sint 2 cost 2 dt 4 2 ₀²π sint cost dt Para resolver à última integral defina u sint o que implica em du cost dt Além disso t0 u sin0 0 t2π u sin2π 0 Como o intervalo de integração não varia o resultado da integral é nulo que implica em C xzdS 4 2 ₀²π sint cost dt 4 2 0 0 Resposta final Oção 2 0 6 Calcule o volume do sólido no primeiro octante limitado pelas superfícies z 1 y2 x y2 1 e x y2 9 Solução Como o sólido está limitado ao primeiro octante os limites de integração com relação a z são claros pois tratase da região abaixo da função limitante em z 0 z 1y2 Para encontrar os intervalos de integração com relação a x e com relação a y calculamos à princípio as intersecções entre as curvas y2 1 y2 9 y2 y2 91 2y2 8 y2 4 y 2 ou y 2 Então y varia de 2 a 2 Contudo dentro deste intervalo apenas a parte positiva está no primeiro octante e o valor máximo que satisfaz a desigualdade que define z é y 1 Dessa forma 0 y 1 Por fim para decidir qual função é limitante superior do intervalo de integração para a variável x é interessante observar um esboço gráfico do domínio Para tanto calculamos as intersecções com os eixos das duas funções de interesse bem como a posição do vértice x y2 1 Encontrando as intersecçãos com o eixo y y2 1 0 y2 1 Não há intersecção com y Calculando discriminante e vértice da parábola b2 4ac 02 411 4 xv 4a 4 41 4 4 1 yv b 2a 0 21 0 V 10 x y2 9 Encontrando as intersecçãos com o eixo y y2 9 0 y2 9 y 3 ou y 3 Calculando discriminante e vértice da parábola b2 4ac 02 419 36 xv 4a 36 41 36 4 9 yv b 2a 0 21 0 V 90 Inserindo todas as informações obtidas em um plano cartesiano obtemos a representação gráfica se guinte 5 Assim obtemos y² 1 x y² 9 Dessa forma chegase na integral que produz o volume procurado V ₀¹ y²1y²9 dz dx dy ₀¹ y²1y²9 z₀1y² dx dy ₀¹ y²1y²9 1 y² dx dy ₀¹ x y²xy²1y²9 dy ₀¹ y² 9 y²y² 9 y² 1 y²y² 1 dy ₀¹ y² 9 y⁴ 9y² y² 1 y⁴ y² dy ₀¹ 2y⁴ 10y² 8 dy 2y⁵5 10y³3 8y01 21⁵5 101³3 81 25 103 8 6 50 12015 7615 uv Resposta final Opção 2 7615 7 Seja Fxyz x² 2y 3z Calcule a integral da função Fxyz sobre a curva C definida por rxyz 2t i 3t j t k onde t varia no intervalo 01 Solução A derivação da parametrização dada pode ser escrita como rt 2 dt 3 dt dt Portanto dS rt 2 dt² 3 dt² dt² 4 9 1 dt 14 dt Dessa forma obtemos que C FxyzdS ₀¹ 2t² 23t 3t 14 dt 14 ₀¹ 4t² 6t 3t dt 14 ₀¹ 4t² 9t dt 14 4t³3 9t²20¹ 14 41³3 91²2 14 43 92 14 8 276 356 14 Resposta final Opção 3 41412 8 Calcule o volume do sólido cuja base inferior é a região retangular no plano xy com x variando de 0 a 3 e y variando de 0 a 2 e cujo topo está na superfície fxy4y² Solução Como conhecemos a função do integrando e os intervalos de integração podemos integrar diretamente ₀³₀² fxydydx ₀³₀² 4y²dydx ₀³ 4yy³3₀² dx ₀³ 42 2³3 dx ₀³ 8 83 dx ₀³ 163 dx 163 x₀³ 163 3 16 uv Resposta final Opção 4 16 9 Ao calcularse a área da região encerrada pela elipse 4x² 16y² 64 encontrase o valor de Solução Assim como para o caso de um disco quando vamos integrar a região de uma elipse é prudente utilizar uma mudança de coordenadas para coordenadas poladas Para tal precisamos encontrar os comprimentos dos semieixos conforme procedimentos a seguir 4x² 16y² 64 4x²64 16y²64 1 x²16 y²4 1 Da última equação extraímos que a4 e b2 Então a mudança de coordenadas porde ser feita supondo x4r cosθ y2r sinθ Neste caso 0 r 1 0 θ 2π Antes de montar a integral precisamos descobrir qual é o jacobiano da transformação J 4cosθ 4r sinθ 2 sinθ 2r cosθ 8r cos²θ 8r sin²θ 8r sin²θ cos²θ 8r Então a área procurada é dada por A ₀²π ₀¹ 8r dr dθ ₀²π 8r²2₀¹ dθ ₀²π 81²2 dθ ₀²π 4 dθ 40₀²π 42π 8π ua Resposta final Opção 4 8π 10 Encontrar as equações paramétricas da superfície s que tem equação cartesiana 3y2z 6 com 0 x 1 no primeiro octante Solução Incialmente podemos identificar a projeção da superfície dada no plano xy Para tal calculemos pri meiro as com o eixo y 3y 6 y 2 Então no primeiro octante 0 y 2 É natural pensar em atribuir variáveis pra x e y em casos simples como esse e isolar a variável z para encontrar a expressão correspondente Neste perspectiva suponha x u e y v Assim obtemos que 3y2z 6 3v2z 6 2z 63v z 332v Dessa forma concluímos que φuv u v 332v 0 x 1 0 y 2 Resposta final Opção 4 φuv u v 232v 0 x 1 0 y 2 9