Cálculo de Variáveis Complexas - AVAs e Exercícios Resolvidos

AVA 1 Cálculo de Variáveis Complexas Nenhuma das respostas anteriores Uma casa retangular deve ser construída num terreno com a forma de triângulo Aplicando o Método dos Multiplicadores de Lagrange chegamos ao seguinte sistema y λ 0 x 2λ 0 x 2y 20 0 A partir deste sistema determine a área máxima possível para a casa 100 m² 50 m² 60 m² 40 m² 20 m² AVA 2 Cálculo de Variáveis Complexas Podemos afirmar que I x² a² y² b² z² c² 1 é um hiperbolóide de uma folha e o traço xy é a elipse x² a² y² b² 1 II x² a² y² b² z² c² 1 é um hiperbolóide de uma folha e o traço xy é a elipse x² a² y² b² 1 III x² a² y² b² z² c² 1 é um hiperbolóide de uma folha e o traço xz é a hiperbole x² a² z² c² 1 I e II sao verdadeiras e III falsa I e III sao falsas e II verdadeira I e III sao verdadeiras e II falsa I II e III são falsas I II e III sao verdadeiras Seja fxy xy 3 xy² Verifique o limite da função fxy quando xy tende a 12 O limite será 1 O limite será 14 O limite será 14xy O limite será xy O limite será 0 F xy xy tem domínio D todos os pares ordenados xy R² tais que Df xy R² x y Df xy R² x y Nenhuma das respostas anteriores Df xy R² x y Df xy R² x y Calcule o gradiente da função fxyz ln x² y² no ponto P34 f 35 45 f 35 45 f 325 425 f 25 35 f 325 425 9 Qual das equações a seguir representa um plano que contém o ponto 3 1 2 e tem N 1 2 3 como vetor normal x 2y 3z 1 0 2x 3y z 1 0 x 2y 3z 1 0 x 2y 3z 1 0 3x 2y z 1 0 10 Usamos o Método dos Multiplicadores de Lagrange para resolvermos o seguinte problema Maximizar xy Sujeito a x 2y 20 Determine a função Lagrangeana do problema dado Lxyλ λ x 2y 20 Lxyλ xy λ x 2y 20 Lxyλ xy λ x 2y 20 Lxyλ xy λ x 2y 20 Lxyλ λ x 2y 20 AVA 2 Cálculo de Variáveis Complexas 1 Um trem sai de SP A equação que representa a posição dos trens são TRJ t t² com t maior ou igual a 0 Determine a velocidade escalar mínima do trem Solução Como a velocidade é dada pela taxa de variação da posição com relação ao tempo a velocidade de do trem pode ser calculada na forma vt TRJ t 1 2t Assim a magnitude da velocidade do trem é vt 1² 2t² 1 4t² Como o menor valor possível para t 0 e vt cresce à medida que t aumenta o valor mínimo procurado pode ser obtido quando t 0 ou seja v0 1 40² 1 Resposta final Opção 2 vt 1 2 Dada a seguinte equação Z 3t² 4t i 1 2t j 2t k as equações paramétricas que representam Z são Solução Basta atribuir para cada componente da equação Z a respectiva expressão definida Como Z xi yj zk obtemos pela igualdade entre vetores x 3t² 4t y 1 2t z 2t Resposta final Opção 4 x 3t² 4t y 4t² 2t z 2t 8 Calcule o gradiente da função fxy ln x² y² no ponto P 34 Solução Para encontrar o vetor gradiente inicialmente calculamos as derivadas parciais de fxy Como a função dada é composta aplicaremos a regra da cadeia Para tal defina u x² y² x² y²¹2 Temos então que fx xy x lnu dudx 1u x x² y²¹2 1x² y² 12 x² y²¹2 x x² y² 1x² y² 12 1x² y² 2x xx² y² fy xy y lnu dudy 1u y x² y²¹2 1x² y² 12 x² y²¹2 y x² y² 1x² y² 12 1x² y² 2y yx² y² Assim obtemos que o gradiente de fxy é dado por fx y xx² y² yx² y² Calculando o gradiente no ponto P34 obtemos f3 4 33² 4² 43² 4² 39 16 49 16 325 425 Resposta final Opção 3 f 325 425 4 Qual das equações a seguir representa um plano que contém o ponto 325 e tem N 632 como vetor normal Solução Sabese que a equação geral de um plano tem a forma axbyczd 0 na qual os valores a b e c são as componentes do vetor normal ao plano Como N 632 temos que 6x3y2zd 0 ou ainda 6x3y2zd 0 Como o plano de interesse contém o ponto 325 as coordenadas deste ponto devem satisfazer a equação obtida Ou seja 633225d 0 18610d 0 d 34 Portanto a equação procurada é 6x3y2z34 0 Resposta final Opção 3 6x3y2z34 0 4 5 Podemos afirmar que I x2a2 y2b2 z2c2 1 é um hiperbolóide de uma folha e o traço xy é a elipse x2a2 y2b2 1 II x2a2 y2b2 z2c2 1 é um hiperbolóide de uma folha e o traço xy é a elipse x2a2 y2b2 1 III x2a2y2b2z2c2 1 é um hiperbolóide de uma folha e o traço xz é a hipérbole x2a2 z2c2 1 Solução De fato a equação x2a2y2b2z2c2 1 tratase da equação reduzida de um hiperbolóide de uma folha o que tona parte das premissas I e III verdadeiras Observe que o traço xy do hiperbolóide de uma folha é obtido ao considerar a componente z nula de modo a obter x2a2y2b2 1 que é a equação reduzida de uma elipse centrada na origem do sistema Dessa forma a afirmação I é verdadeira Perceba também que o traço xz do hiperbolóide de uma folha é obtido ao considerar a componente y nula de modo a obter x2a2z2c2 1 que é a equação reduzida de uma hipérbole Dessa forma a afirmação III também é verdadeira Por fim lembramos que a equação x2a2y2b2z2c2 1 corresponde à equação reduzida de um elipsóide e portanto a afirmação II é falsa Resposta final Opção 3 I e III são verdadeiras e II falsa 5 6 Seja fxy xy 3xy² Verifique o limite da função fxy quando xy tende a 12 Solução Por substituição direta podemos calcular o limite requisitado como segue lim xy12 fxy lim xy12 xy 3xy² 12 312² 2 34 2 12 14 Resposta final Opção 2 O limite será 14 7 Fxy xyxy tem domínio D todos os pares ordenados xy R2 tais que Solução Temos que Fxy xy xy Observe que para o numerador de Fxy não há nenhuma restrição de valores que x e y podem assumir Por outro lado o denominador da expressão não pode assumir valor nulo Neste caso temos que garantir que xy 0 ou seja x y Consequentemente o domínio de Fxy pode ser definido na forma Df xy R2x y Resposta final Opção 4 D f xy R2x y 7 3 Dada a função vetorial rt sent i cost j t k determine o vetor normal que representa a curva entre 0 t π4 Solução Como rt sent i cost j t k temos que rt cost i sent j k Ou seja rt cos²t sen²t 1² 1 1 2 Logo T t rtrt 12 cost sent 1 Dessa forma Tt 12 sent cost 0 Então Tt 12 sent² cost² 0² 12 sen²t cos²t 12 Portanto Nt TtTt 12 sent cost 0 12 sent cost 0 senti costj Resposta final Opção 2 senti costj 9 Qual das equações a seguir representa um plano que contém o ponto 312 e tem N 123 como vetor normal Solução Sabese que a equação geral de um plano tem a forma axbyczd 0 na qual os valores a b e c são as componentes do vetor normal ao plano Como N 123 temos que 1x2y3zd 0 ou ainda x2y3zd 0 Como o plano de interesse contém o ponto 312 as coordenadas deste ponto devem satisfazer a equação obtida Ou seja 32132d 0 326d 0 d 1 Portanto a equação procurada é x2y3z1 0 Resposta final Opção 3 x2y3z1 0 9 10 Usamos o Método dos Multiplicadores de Lagrange para resolvermos o seguinte problema Maximizar xy sujeito a x2y 20 Determine a função Lagrangeana do problema dado Solução Observe que a restrição dada pode ser escrita na forma gxy x2y20 0 Por sua vez podemos definir a função que desejase maximizar como fxy xy Como a função Lagrangeana é dada por Lxyλ fxyλgxy podemos escrever que Lxyλ xyλx2y20 Resposta final Opção 2 Lxyλ xyλx2y20 10 AVA 1 Cálculo de Variáveis Complexas 1 Seja x 3t 4 e y 62t Determine a equação cartesiana da curva Solução Temos que x 3t 4 y 62t Multiplicando a primeira equação por 2 e multiplicando a segunda equação por 3 obtemos 2x 6t 8 6t 2x8 3y 186t 6t 183y Assim obtemos que 6t 6t 2x8 183y ou ainda 3y2x818 0 3y2x10 0 Resposta final Opção 2 3y2x10 0 1 2 Determine o limite da função t cost 8 t34 t2 quando t tende a 2 Solução Como o limite de uma função vetorial é igual ao vetor constituído pelo limite de cada componente podemos calcular cada limite separadamente e em seguida organizálos em um vetor Nesta perspectiva obtemos por substituição direta lim t2 t 2 lim t2 cost cos2 lim t2 8 t3 4 t2 8 23 4 22 00 Indeterminação Para o cálculo do terceiro limite observamos que t 2 é raiz dos polinômios que estão no numerador e no denominador da expressão racional Então ambas as partes da fração são divisíveis por t 2 t3 8 t2 t3 2t2 t2 2t 4 t2 4 t2 t2 2t t 2 2t2 8 2t 4 2t2 4t 2t 4 4t 8 0 4t 8 0 Dessa forma obtemos que lim t2 8 t3 4 t2 lim t2 t 2t2 2t 4 t 2t 2 lim t2 t2 2t 4 t 2 22 22 4 2 2 4 4 4 4 124 3 Logo reunindo os três resultados em um único vetor obtemos lim t2 t cost 8 t3 4 t2 2 cos2 3 Resposta final Opção 3 2 cos2 3 3 Dois carros R1 e R2 percorrem respectivamente as estradas A e B tendo seus movimentos descritos por s1t 10t 50t2 e s2 7t 70t 50 t 0 Sabendo que o limite de velocidade na estrada onde os carros estão percorrendo é de 80 Kmh determine se algum dos carros será multado e se for o caso qual deles será multado Solução Como a velocidade é dada pela taxa de variação da posição com relação ao tempo as velocidades de R1 e R2 podem ser calculadas respectivamente na forma v1t s1t 10 100t v2t s2t 7 70 Assim as magnitudes das velocidades de cada carro são v1t 102 100t2 100 10000t2 v2t 72 702 49 4900 4949 7035 Kmh 80 Kmh Observe que o valor de v2t é constante e possui magnitude inferior ao limite de velocidade Consequentemente o carro R2 não será multado Por outro lado v1t depende de t e à medida que t aumenta a magnitude da velocidade também aumenta Considere por exemplo t 1 Para esta situação hipotética teríamos v11 102 1002 100 10000 100 Kmh 80 Kmh Portanto o carro R1 será multado Resposta final Opção 4 O carro R1 será multado 4 Qual das equações a seguir representa um plano que contém o ponto 012 e tem N 011 como vetor normal Solução Sabese que a equação geral de um plano tem a forma axbyczd 0 na qual os valores a b e c são as componentes do vetor normal ao plano Como N 011 temos que 0x1y1zd 0 ou ainda yzd 0 Como o plano de interesse contém o ponto 012 as coordenadas deste ponto devem satisfazer a equação obtida Ou seja 12d 0 d 3 Portanto a equação procurada é yz3 0 Resposta final Opção 3 yz3 0 4 5 Determine o traço do elipsóide no plano xy Solução Sem perda de generalidade podemos considerar a equação de um elipsóide não rotacionado e centrado na origem x2 a2 y2 b2 z2 c2 1 Isso pode ser considerado pois podemos transladar e rotacionar um elipsóide que esteja em um formato diferente para um sistema que no qual o elipsóide tenha as caraterísticas consideradas Para determinar o traço do elipsóide no plano xy basta considerar que a componente z seja nula na equação apresentada Fazendo isso obtemos x2 a2 y2 b2 02 c2 1 ou ainda x2 a2 y2 b2 1 que representa a equação reduzida de uma elipse Resposta final Opção 5 plano xy Elipse 5 6 Considere a função de produção P L05K05 em que L representa o trabalho envolvido e K o capital As curvas de níveis c 1 e c 2 são Solução Estabelecendo uma relação entre P L e K respectivamente aos eixos coordenados z y x podemos escrever z y05x05 y12x12 Assim para c 1 temos a curva de nível y12x12 1 xy 1 y 1 x que representa uma hipérbole que passa pelo ponto 11 e está localizada no primeiro quadrante uma vez que x e y estão associadas a grandezas positivas Por outro lado para c 2 temos a curva de nível y12x12 2 xy 4 y 4 x que representa uma hipérbole que passa pelo ponto 22 e novamente está localizada no primeiro qua drante considerando as característivas extraídas obtemos duas curvas com comportamentos assintóticos com relação às partes positivas dos eixos x e y conforme ilustra Figura a seguir Resposta final Opção 4 6 7 Podemos afirmar sobre a parametrização de uma curva que Solução A respeito da parametrização de uma curva de modo geral a única coisa que podemos afirmar é que ela não é única Suponha por exemplo a curva dada pela parábola y x2 Uma forma de paramétrizála seria supor x t e obter dessa forma y t2 Outra forma possível seria supor x cost obtendo assim y cos2t Alternativamente podemos considerar um escalar real não nulo a e definir x at obtendo assim y a2t2 Diante do expoxto podemos assumir que podem haver incontáveis maneiras de parametrizar uma curva o que nos leva a concluir que a parametrização de uma curva não é única Resposta final Opção 3 A parametrização de uma curva não é única 7 8 Seja a função fxy 2x3 xy A derivada na direção do vetor unitário u 35i 45j no ponto P 1 2 tem valor de Solução Primeiro precisamos encontrar o gradiente de fxy Para tal calculamos as derivadas parciais fx x 2x3 xy 6x2 y fy y 2x3 xy x Assim obtemos que o gradiente de fxy é dado por fxy 6x2 y x Calculando o gradiente no ponto P1 2 obtemos f1 2 612 2 1 4 1 Por fim como u já é um vetor e não precisa ser normalizado podemos obter a derivada na direção do vetor u através do produto escalar entre fP e u Ou seja Du fP fp u 41 35 45 435 145 125 45 85 Resposta final Opção 2 85 9 Determine a curvatura da função y x2 na origem Solução Inicialmente vamos parametrizar a função y x2 Uma maneira simples de fazer isso seria supor x t o que resulta em y t2 Dessa forma podemos definir rt t t2 Então rt 1 2t rt 12 2t2 1 4t2 Assim Tt rtrt 1 2t 11 4t2 1 4t212 2t1 4t212 Portanto Tt 121 4t2321 4t2 21 4t212 2t121 4t2321 4t2 4t1 4t232 21 4t212 2t4t1 4t232 4t1 4t232 21 4t212 8t21 4t232 Para que a curvatura seja determinada na origem basta considerar t 0 pois r0 0 02 0 0 Fazendo t 0 obtemos T0 401 40232 21 40212 8021 40232 0 2 r0 1 402 1 Portanto a curvatura da função estudada na origem é dada por κ0 T0r0 02 221 4 2 Resposta final Opção 4 2 10 Uma casa retangular deve ser construída num terreno com a forma de um triângulo Aplicando o Método dos Multiplicadores de Lagrange chegamos ao sistema y λ 0 x 2λ 0 x 2y 20 0 A partir deste sistema determine a área máxima possível para a casa Solução Das duas primeiras equações temos y λ 0 x 2λ 0 Isolando λ na primeira equação chegamos em y λ Substituindo este resultado na segunda equação obtemos x 2y 0 x 2y Levando esta última relação para a última equação do sistema dada obtemos x 2y 20 0 2y 2y 20 0 4y 20 y 5 Mas x 2y o que implica em x 25 10 Como a casa tem formato retangular a área procurada é dada por A xy 105 50 m2 Resposta final Opção 2 50 m2