Lista de Exercícios Resolvidos - Cálculo Avançado - Funções Vetoriais Integrais Múltiplas e Integrais de Linha

1 Considere uma função vetorial Ft ft gt ht em que ft gt e ht são funções componentes dependendo do parâmetro t Para determinar se essa função é diferenciável em um intervalo é necessário verificar A existência do limite da derivada de Ft em todo o intervalo A derivabilidade das funções componentes ft gt e ht em todo o intervalo A continuidade da função Ft em todo o intervalo A existência do limite da função Ft em todo o intervalo A existência da derivada parcial de Ft em relação a t em todo o intervalo 2 Qual é o valor de G 0 para que a função G t et t 1 t1 1 t 2 sen t t seja contínua em t 0 2 12 1 0 12 2 1 0 0 1 2 1 1 12 2 3 O domínio de uma função de várias variáveis é o conjunto de todos os valores possíveis para as variáveis independentes que permitem que a função seja definida Sabendo disso com relação a limxy00 xy x4 y2 pode se afirmar que 0 2 m 1 3 4 Considere a função gxy arctg2x y Sabese que xuvu2 v e yuvuv Determine o valor da expressão 37 g u g v para uv12 12 14 11 13 15 5 Determine o valor da integral S x 2y dx dy sendo S a área definida pelas retas x y 4 0 x y e 0 x 3 863 763 963 563 463 6 As integrais duplas também são usadas para calcular o centro de massa de objetos sólidos com formas complicadas O centro de massa é um ponto que representa o equilíbrio de um objeto em relação a um sistema de coordenadas Calcule as coordenadas x e y do centro de massa de um conjunto B sendo um quadrado delimitado por 0 x 1 e 0 y 1 se a densidade da região é dada por δxy y 12 13 32 23 23 12 13 23 12 23 7 Uma integral tripla é uma extensão de uma integral dupla que é usada para calcular a área de superfícies bidimensionais Dessa forma calcule a integral 0π 0π 0π cosu v w du dv dw 3π2 π2 0 π 2π Quest 8 A integração tripla é uma das ferramentas fundamentais para o cálculo de volumes Determine o volume de sabendo que compreende a região contida dentro do cilindro acima do plano e abaixo do cone Quest 9 Determine a integral de linha onde a curva C é um retângulo centrado na origem percorrido no sentido antihorário com lados 12 12 1 2 e 1 2 Quest 10 Uma ferramenta matemática muito importante é a integral de linha pois permite trabalhar com um campo escalar quando se depende de várias variáveis Considere o caminho e para o campo escalar o valor de é 8 9 10 1 2 2 0 1 E x2dV E x2 y2 1 z 0 z2 4x2 4y2 2 5 π 5π 2 π 5 2π 5 C eydx 4xeydy 4e2 2e2 6e2 e2 6e2 e2 3e2 e2 32e2 e2 C rt t t2 t8 0 t 1 fx y z x2yz xz2 2xy2 x 2z 1senx Cf dr 1 Item correto A derivabilidade das funções componentes ft gt e ht em todo o intervalo Isto ocorre pois 𝐹𝑡 𝑓𝑡 𝑔𝑡 ℎ𝑡 2 Item correto 1 1 2 2 𝑡 0 lim 𝐺𝑡 𝑡 0 lim 𝑒 𝑡 𝑡1 𝑡 0 lim 𝑡11 𝑡 𝑡 0 lim 2𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑡 1 1 2 2 𝑡 0 lim 𝑒 𝑡 𝑡1 𝑒 0 01 1 1 1 u t1 𝑡 0 lim 𝑡11 𝑡 𝑢 1 lim 𝑢1 𝑢1 𝑢 1 lim 𝑢1 𝑢1 𝑢1 𝑢 1 lim 1 𝑢1 1 11 1 2 𝑡 0 lim 2𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑡 2 𝑡 0 lim 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑡 2 1 2 3 Item Correto 0 Pois se x 0 temos que e y 0 temos que 𝑦 0 lim 0𝑦 0 4𝑦 2 0 𝑦 0 lim 𝑥0 𝑥 40 2 0 4 Item Correto 13 𝑔𝑥 𝑦 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔2𝑥 𝑦 𝑔𝑢 𝑣 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔2𝑢 2𝑣 𝑢𝑣 𝑑𝑔 𝑑𝑢 4𝑢𝑣𝑣 12𝑢 2𝑣𝑢𝑣 2 10 37 𝑑𝑔 𝑑𝑣 2𝑢 2𝑢 12𝑢 2𝑣𝑢𝑣 2 3 37 37 𝑑𝑔 𝑑𝑢 𝑑𝑔 𝑑𝑣 10 3 13 5 Resposta Correta 76 3 2 3 𝑥4 𝑥 𝑥 2𝑦𝑑𝑦 𝑑𝑥 2 3 𝑥𝑦 𝑦 2 𝑥4 𝑥 𝑑𝑥 2 3 𝑥 2 𝑥 2 𝑥 𝑥 4 𝑥 4 2 𝑥4 𝑥 𝑑𝑥 2 3 2𝑥 2 𝑥 2 4𝑥 𝑥 2 8𝑥 16𝑑𝑥 2 3 2𝑥 2 4𝑥 16𝑑𝑥 2𝑥 3 3 2𝑥 2 16𝑥 2 3 18 18 48 16 3 8 32 12 16 3 20 3 0 2 𝑥 𝑥4 𝑥 2𝑦𝑑𝑦 𝑑𝑥 0 2 𝑥𝑦 𝑦 2 𝑥 𝑥4 𝑑𝑥 0 2 𝑥 𝑥 4 𝑥 4 2 𝑥 2 𝑥 2 𝑑𝑥 0 2 𝑥 2 4𝑥 𝑥 2 8𝑥 16 2𝑥 2𝑑𝑥 0 2 2𝑥 2 4𝑥 16𝑑𝑥 2𝑥 3 3 2𝑥 2 16𝑥 0 2 16 3 8 32 24 16 3 56 3 20 3 56 3 76 3 6 Resposta correta 1 2 2 3 0 1 0 1 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 0 1 1 2 𝑑𝑥 1 2 0 1 0 1 𝑥𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 0 1 1 2 𝑥 𝑑𝑥 1 4 0 1 0 1 𝑦 2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 0 1 1 3 𝑥 𝑑𝑥 1 3 𝑥 1 4 1 2 1 2 𝑦 1 3 1 2 2 3 7 Resposta Correta 0 0 π 0 π 0 π 𝑐𝑜𝑠𝑢 𝑣 𝑤𝑑𝑢𝑑𝑣𝑑𝑤 0 π 0 π 𝑠𝑖𝑛π 𝑣 𝑤 𝑠𝑖𝑛𝑣 𝑤𝑑𝑣𝑑𝑤 0 π 𝑐𝑜𝑠2π 𝑤 𝑐𝑜𝑠π 𝑤 𝑐𝑜𝑠π 𝑤 𝑐𝑜𝑠𝑤𝑑𝑤 𝑠𝑖𝑛3π 𝑠𝑖𝑛2π 2𝑠𝑖𝑛2π 2𝑠𝑖𝑛π 𝑠𝑖𝑛π 𝑠𝑖𝑛0 0 8 Resposta correta 2π 5 0 2π 0 1 0 2𝑟 𝑟 3𝑐𝑜𝑠 2θ 𝑑𝑧𝑑𝑟𝑑θ 2 0 2π 0 1 𝑟 4𝑐𝑜𝑠 2θ 𝑑𝑟𝑑θ 2 0 2π 0 1 𝑟 4𝑐𝑜𝑠 2θ 𝑑𝑟𝑑θ 2 0 2π 1 5 𝑐𝑜𝑠 2θ 𝑑θ 2 5 0 2π 𝑐𝑜𝑠 2θ 𝑑θ 2π 5 9 Item correto 6𝑒 2 𝑒 2 𝐹𝑥 𝑦 𝑒 𝑦 4𝑥𝑒 𝑦 A B 𝑟1𝑡 𝑡 2 𝑟1𝑡 1 0 𝑟1𝑡 1 2 0 2 1 𝑆1 1 1 𝐹𝑟1𝑡 𝑟1𝑡 𝑑𝑡 1 1 𝑒 2 4𝑡𝑒 2𝑑𝑡 𝑡𝑒 2 2𝑡 2𝑒 2 1 1 2𝑒 2 2𝑒 2 2𝑒 2 2𝑒 2 B C 𝑟2𝑡 1 𝑡 𝑟2𝑡 0 1 𝑟2𝑡 0 2 1 2 1 𝑆2 2 2 𝐹𝑟2𝑡 𝑟2𝑡 𝑑𝑡 2 2 𝑒 𝑡 4𝑒 𝑡𝑑𝑡 2 2 3𝑒 𝑡𝑑𝑡 3𝑒 𝑡 2 2 3𝑒 2 3𝑒 2 C D 𝑟3𝑡 𝑡 2 𝑟3𝑡 1 0 𝑟3𝑡 1 2 0 2 1 𝑆3 1 1 𝐹𝑟3𝑡 𝑟3𝑡 𝑑𝑡 1 1 𝑒 2 4𝑡𝑒 2𝑑𝑡 𝑡𝑒 2 3𝑡 2𝑒 2 1 1 2𝑒 2 3𝑒 2 3𝑒 2 2𝑒 2 D A 𝑟4𝑡 1 𝑡 𝑟4𝑡 0 1 𝑟4𝑡 0 2 1 2 1 𝑆4 2 2 𝐹𝑟4𝑡 𝑟4𝑡 𝑑𝑡 2 2 𝑒 𝑡 4𝑒 𝑡𝑑𝑡 2 2 5𝑒 𝑡𝑑𝑡 5𝑒 𝑡 2 2 5𝑒 2 5𝑒 2 𝑆1 𝑆2 𝑆3 𝑆4 2𝑒 2 3𝑒 2 3𝑒 2 2𝑒 2 5𝑒 2 5𝑒 2 6𝑒 2 𝑒 2 10 𝑓 2𝑥𝑦𝑧 𝑧 2 2𝑦 2 1 2𝑧 1𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑥 2𝑧 4𝑥𝑦 𝑥 2𝑦 2𝑥𝑧 2𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑓𝑟𝑡 2𝑡 11 𝑡 16 2𝑡 4 1 2𝑡 8 1𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑡 10 4𝑡 3 𝑡 4 2𝑡 9 2𝑠𝑒𝑛𝑡 𝑟𝑡 1 2𝑡 8𝑡 7 0 1 𝑓𝑟𝑡 𝑟𝑡𝑑𝑡 0 1 2𝑡 11 𝑡 16 2𝑡 4 1 2𝑡 8 1𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑡 10 4𝑡 3 𝑡 4 2𝑡 9 2𝑠𝑒𝑛𝑡 1 2𝑡 8𝑡 7 𝑑𝑡 0 1 2𝑡 11 𝑡 16 2𝑡 4 1 2𝑡 8 1𝑐𝑜𝑠𝑡 2𝑡 11 8𝑡 4 8𝑡 11 16𝑡 16 16𝑡 7𝑠𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑡 0 1 12𝑡 11 17𝑡 16 10𝑡 4 1 2𝑡 8𝑐𝑜𝑠𝑡 2𝑐𝑜𝑠𝑡 16𝑡 7𝑠𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑡 Item Correto 1