Lista de Exercícios Resolvidos Funções - Cálculos e Gráficos Detalhados

14 Questões a resolver com passo a passo e gráficos 1 Seja fx uma função definida por Os valores da constante k para que a função seja contínua em x 3 é igual a a k 0 ou k 1 b k 3 ou k 1 c k 43 ou k 1 d k 4 ou k 3 2 Seja fR R definida por O conjunto imagem de f é dado por a 1 b 1 1 c 1 d 1 e 0 3 Seja fR R definida por Podemos afirmar que a f é sobrejetora mas não é injetora b f é bijetora e f10 2 c f é bijetora e f10 1 d f é bijetora e f13 0 e f é injetora mas não é sobrejetora 4 A variação da pressão sanguínea de um determinado atleta pode ser modelada pela seguinte expressão Onde ft representa o valor da pressão em mmHG e t representa o tempo em segundos Assim após a análise do médico constatouse que o número de batimentos cardíacos por minuto bpm e a pressão arterial de determinado atleta na linguagem popular são respectivamente a 90 bpm 11 por 7 b 110 bpm 11 por 7 c 100 bpm 12 por 8 c 100 bpm 11 por 7 d 90 bpm 12 por 8 5 O crescimento de uma cultura de bactérias obedece à função Nt 6003kt em que N é o número de bactérias no instante t sendo t o tempo em horas A produção tem início em t 0 Decorridas 12 horas há um total de 1800 bactérias O valor de k e o número de bactérias após 24 horas do início da produção são respectivamente a 12 e 5400 b 112 e 100 c 112 e 64 d 112 e 5400 e 112 e 3600 6 Em determinado país em que a moeda é simbolizada por o imposto de renda é cobrado em função da renda mensal do trabalhador da seguinte forma I Isento se a renda mensal do trabalhador for igual ou inferior a 1000000 II 10 sobre a renda menos 100000 se a renda mensal do trabalhador for superior a 1000000 e inferior ou igual a 2000000 III 20 sobre a renda se a renda mensal do trabalhador for superior a 2000000 Se para uma renda mensal igual a x o trabalhador recolhe Ix de imposto então é correto afirmar que a A imagem da função I é 0 1000 U 4000 b A função I é uma função constante c A imagem da função I é 0 d Nenhuma das respostas anteriores e O domínio da função I é 10000 7 Seja fR R dada por fx senx Considere as seguintes afirmações São verdadeiras as afirmações a 2 e 4 apenas b 12 e 3 apenas c 3 e 4 apenas d 1 e 3 apenas e 123 e 4 8 Quantas soluções possui a equação x y z 7 se x y e z são números inteiros não negativos a 18 b 24 c 36 d 45 e 72 9 Um fabricante de garrafas ao analisar o ritmo de sua produção observou que suas máquinas produziam aproximadamente uma quantidade de garrafas segundo a lei da função Onde Gt representa o número de garrafas produzidas no tempo t em horas Qual é a produção máxima por hora das máquinas dessa fábrica e em quais horários do dia essa produção ocorre a 280 garrafas às 2h e às 14h b 120 garrafas às 7h e às 19h c 200 garrafas à 1h e às 13h d 280 garrafas às 1h e às 13h e 200 garrafas às 2h e às 14h 10 Assim como toda matéria existente no planeta os átomos de um elemento químico radioativo possuem a tendência de se desintegrar Com o passar do tempo a massa desse átomo diminui e se a massa inicial é M0 suponha que ela se decomponha segundo a fórmula M0 x 10t70 onde Mt representa a massa desse átomo após decorridos t anos Quantos anos serão necessários para que a massa do elemento se reduza até um oitavo da massa inicial Use que log 2 03 a 61 b 64 c 60 d 62 e 63 11 O módulo do vetor u 2x3 é igual a 5 Então a x 1 ou x 2 b x 2 ou x 2 c x 1 ou x 1 d x 1 ou x 2 e x 2 ou x 1 12 Seja fx uma função definida por a 2 b 5 c 2 d 3 e 0 13 Seja fx uma função definida por O valor da constante a para que a função seja contínua em x 1 é igual a a a 0 b a 1 c a 1 d a 2 e a 3 14 Calculando o limite abaixo encontramos a 0 b 1 c 3 d 1 e 27 4 A variação da pressão sanguínea de um determinado atleta pode ser modelada pela seguinte expressão ft 90 20cos10πt3 Onde ft representa o valor da pressão em mmHG e t representa o tempo em segundos Assim após a análise do médico constatouse que o número de batimentos cardíacos por minuto bpm e a pressão arterial de determinado atleta na linguagem popular são respectivamente a 90 bpm 11 por 7 b 110 bpm 11 por 7 c 100 bpm 12 por 8 d 100 bpm 11 por 7 e 90 bpm 12 por 8 Solução Observe que o único termo responsável pela mudança de pressão ao longo do tempo é o fator cos10πt3 Ao término de 60s ou 1 min teríamos cos10π603 cos200π cos1002π Como o período natural da função cosx é 2π obtemos que este período é alterado por um fator 100 que corresponde ao número de batimentos Para encontrar a pressão basta observar que min cos10πt3 1 max cos10πt3 1 Logo minfx 90 201 70 maxfx 90 201 110 Portanto a pressão obtida é de 11 por 7 Resposta d 100 bpm 11 por 7 2 Seja f R R definida por fx x1 x 1 x2 1 1 x 1 x1 x 1 O conjunto imagem de f é dado por a 1 b 11 c 1 d 1 e 0 Solução Começaremos inicialmente pelo conportamente de fx para x 1 Neste intervalo fx x 1 Tratase então de uma função afim estritametne decrescente pois tem apresenta coeficiente angular a 1 0 Então o valor mínimo para fx neste intervalo é obtido quando o valor de x é o maior possível Ou seja min x1 fx f1 11 0 Como uma função linear é ilimitada deduzimos que Im f 0 x 1 Esta informação por si só já elimina todas as alternativas anteriores à letra e Para a função fx quando 1 x 1 temos que a tratase de uma parte de uma parábola com conca vidade voltada para baixo já que a 1 0 cujas raízes são x2 1 0 x2 1 x 1 ou x 1 Além disso a parábola é simétrica em relação ao eixo y pois b 0 e intercepta o eixo y no ponto 01 pois c 1 Por fim para a última parte da função fx sabemos que o gráfico corresponde à uma reta crescente pois a 1 0 Então o valor mínimo para fx em x 1 é obtido quando o valor de x é o menor possível Ou seja min x1 fx f1 11 0 Um esboço do gráfico de f pode ser observado na Figura 1 Resposta e 0 2 3 Seja f R R definida por fx 3x 3 x 0 x2 4x 3 x 0 Podemos afirmar que a f é sobrejetora mas não é injetora b f é bijetora e f10 2 c f é bijetora e f10 1 d f é bijetora e f13 0 e f é injetora mas não é sobrejetora Solução Começaremos inicialmente pelo comportamento de fx para valores negativos de x Neste intervalo fx 3x 3 Tratase então de uma função afim que intercepta o eixo y em 0 3 já que o coeficiente linear b 3 e tem raiz dada por 3x 3 0 3x 3 x 1 Conhecidos os pontos 0 3 e 1 0 podemos traçar uma reta que vai de até x 0 Para a função que apresenta a parte positiva do domínio de fx sabemos que o gráfico corresponde à uma parábola Tal parábola intercepta o eixo y em 0 3 pois f0 02 40 3 3 Além disso fx é crescente para valores positivos de x pois fx 2x 4 0 x 0 Figura 2 Um esboço do gráfico de f pode ser observado na Figura 2 Como a Imfx R já que é ilimitada e não apresenta prontos de quebra fx é sobrejetora Por sua vez fx também é injetora já que é crescente em todo o domínio Consequentemente fx é bijetora No desenvolvimento até aqui descobrimos que f0 3 f1 0 Logo f 1f0 f 13 f 13 0 f 1 f1 f 10 f 10 1 Resposta d f é bijetora e f 13 0 4 1 Seja fx uma função definida por fx k2 k x 3 4 x 3 Os valores da constante k para que a função seja contínua em x 3 é igual a a k 0 ou k 1 b k 3 ou k 1 c k 43 ou k 1 d k 4 ou k 3 Solução Para que uma função seja contínua em um ponto é necessário que o limite exista neste ponto que a função seja definida neste ponto e que o valor da função aplicada ao ponto seja igual ao limite da função neste mesmo ponto Nesta perspectiva teríamos k2 k 4 k2 k 4 0 k b Δ2a 1 1 4142 1 172 x 256 ou x 156 Resposta Não há entre as opções 5 O crescimento de uma cultura de bactérias obedece à função Nt 6003kt em que N é o número de bactérias no instante t sendo t o tempo em horas A produção tem início em t 0 Decorridas 12 horas há um total de 1800 bactérias O valor de k e o número de bactérias após 24 horas do início da produção são respectivamente a 12 e 5400 b 112 e 100 c 112 e 64 d 112 e 5400 e 112 e 3600 Solução Como em t 12 há 1800 bactérias temos que N12 600312k 1800 312k 1800 600 3 12k 1 k 112 Logo o modelo é dado por Nt 6003t12 Então para t 24 obtemos N24 60032412 60032 6009 5400 Resposta d 112 e 5400 6 Em determinado país em que a moeda é simbolizada por o imposto de renda é cobrado em função da renda mensal do trabalhador da seguinte forma I Isento se a renda mensal do trabalhador for igual ou inferior a 1000000 II 10 sobre a renda menos 100000 se a renda mensal do trabalhador for superior a 1000000 e inferior ou igual a 2000000 III 20 sobre a renda se a renda mensal do trabalhador for superior a 2000000 Se para uma renda mensal igual a x o trabalhador recolhe Ix de imposto então é correto afirmar que a A imagem da função I é 01000U4000 b A função I é uma função constante c A imagem da função I é 0 d Nenhuma das respostas anteriores e O domínio da função I é 10000 Solução Da afirmação I temos que Ix 0 0 x 10000 Da afirmação II temos que Ix 01x1000 10000 x 20000 Da afirmação III temos que Ix 02x x 20000 Então 6 a função Ix é constante em 0 no intervalo 010000 a função Ix é afim crescente no intervalo 1000020000 Então a imagem de Ix neste intervalo tem extremidade inferior aberta em I10000 01100001000 0 e extremidade superior em I20000 01200001000 20001000 1000 Ou seja ImI 01000 em 1000020000 A imagem de Ix em 20000 é obtida por uma função linear crescente Isto significa que os valores da imagem vão crescer até infinito e tem um limitante inferior dado por I20000 0220000 4000 Das deduções acima concluímos que DI 0 ImI 010004000 Tais informações são resumidas na Figura 3 Figura 3 Resposta a A imagem da função I é 01000U4000 7 7 Seja R R dada por fx senx Considere as seguintes afirmações 1 A função fx é uma função par isto é fx fx para todo x real 2 A função fx é periódica de período 2π 3 A função fx é sobrejetora 4 f0 0 fπ3 3 2 e fπ2 1 São verdadeiras as afirmações a 2 e 4 apenas b 1 2 e 3 apenas c 3 e 4 apenas d 1 e 3 apenas e 1 2 3 e 4 Justificativa As afirmativas 2 e 4 estão corretas pela própria construção da função senx Esta função requer uma distância 2π como padrão natural de comportamento e as imagens apresentadas são oriundas dos casos de estudo de trigonometria em um triângulo retângulo A afirmação 1 é falsa pois as imagens da função senx mudam de sinal do primeiro para o terceiro quadrante A afirmação 3 é falsa porque a imagem de fx é dada por 11 e portanto não pode ser sobrejetora Figura 4 8 8 Quantas soluções possui a equação x y z 7 se x y e z são números inteiros não negativos a 18 b 24 c 36 d 45 e 72 Solução De modo geral o problema corresponde ao número de modos que podemos escolher n 3 objetos distintos variáveis x y e z ou não entre p 7 resultado da equação objetos distintos dados Portanto a situação tem a natureza de um problema de combinações completas para as quais existe a relação CRnp np1p n1 Para o exercício dado temse CR73 3717 31 972 98772 94 36 Resposta c 36 9 Um fabricante de garrafas ao analisar o ritmo de sua produção observou que suas máquinas produziam aproximadamente uma quantidade de garrafas segundo a lei da função Gt 200 80 sen πt6 π3 onde Gt representa o número de garrafas produzidas no tempo t em horas Qual é a produção máxima por hora das máquinas dessa fábrica e em quais horários do dia essa produção ocorre a 280 garrafas às 2h e às 14h b 120 garrafas às 7h e às 19h c 200 garrafas à 1h e às 13h d 280 garrafas às 1h e às 13h e 200 garrafas às 2h e às 14h Solução Para responder à primeira parte da pergunta basta encontrar o valor máximo de Gt Para obter tal valor observe que a única parte da equação que varia no tempo é o fator senπt6 π3 Além disso sabese o valor máximo obtido por uma função do tipo senα corresponde à uma unidade Logo maxsenπt6 π3 1 maxGt 200 801 200 80 280 garrafas Agora para descobrir em quais horários o valor máximo ocorre encontraremos t de modo que o arco de senα gere valor 1 ou seja senπt6 π3 1 πt6 π3 π2 2kπ k R t6 13 12 2k k R Isolando t na última equação t 612 13 2k k R 3 2 12k k R 1 12k k R Logo em um dia os horários de produção máxima são à 1h e às 13h Resposta d 280 garrafas às 1h e às 13h 10 Assim como toda matéria existente no planeta os átomos de um elemento químico radioativo possuem a tendência de se desintegrar Com o passar do tempo a massa desse átomo diminui e se a massa inicial é M0 suponha que ela se decomponha segundo a fórmula Mt M0 10t70 onde Mt representa a massa desse átomo após decorridos t anos Quantos anos serão necessários para que a massa do elemento se reduza até um oitavo da massa inicial Use que log 2 0 3 a 61 b 64 c 60 d 62 e 63 Solução Como a massa de interesse é de 18 da massa inicial temos que Mt M0 10t70 M08 M0 10t70 18 10t70 Aplicando log em ambos os membros da igualdade acima obtemos log18 log10t 70 log23 t70 log10 3log2 t70 t 7030 3 63 Resposta e 63 11 O módulo do vetor u 2x 3 é igual a 5 Então a x 1 ou x 2 b x 2 ou x 2 c x 1 ou x 1 d x 1 ou x 2 e x 2 ou x 1 Solução Calculando o módulo do vetor u u 2x 3 sqrt2x2 32 sqrt4x2 9 Igualando o resultado obtido ao valor 5 sqrt4x2 9 5 4x2 9 25 4x2 25 9 16 x2 4 x 2 ou x 2 Resposta b x 2 ou x 2 12 Seja fx uma função definida por fx 2x2 3x2 x2 x 2 x2 1 x 2 O limite limx2 fx é igual a a 2 b 5 c 2 d 3 e 0 Solução Calculando os limites laterais lim x2 fx lim x2 2x2 3x2 x2 Por substituição direta obtémse uma indeterminação Então 2 é raiz do polinômio do numerador Logo o numerador é divisível por x2 2x2 3x2 x2 2x2 4x 2x1 x2 x2 0 Assim obtemos lim x2 fx lim x2 2x2 3x2 x2 lim x2 2x1x2 x2 lim x22x1 221 5 Por outro lado lim x2 fx lim x2x2 1 22 1 5 Como lim x2 fx lim x2 fx 5 concluímos que o limite procurado é 5 Resposta b 5 11 13 Seja fx uma função definida por fx 1x2 x1 x 1 a x 1 O valor da constante a para que a função seja contínua em x 1 é igual a a a 0 b a 1 c a 1 d a 2 e a 3 Solução Para que uma função seja contínua em um ponto é necessário que o limite exista neste ponto que a função seja definida neste ponto e que o valor da função aplicada ao ponto seja igual ao limite da função neste mesmo ponto Inicialmente observe que os limites laterais são calculados sob a mesma expressão Dessa forma podemos calcular diretamente lim x1 1x2 x1 lim x1 1x1x x1 lim x1 x11x x1 lim x11x 11 2 Portanto f1 lim x1 fx f1 2 a 2 Resposta d a 2 14 Calculando o limite abaixo encontramos lim x0 x33 27 x a 0 b 1 c 3 d 1 e 27 Solução Desenvolvendo a potência e aplicando a simplicação necessária obtemos lim x0 x33 27 x lim x0 x3 3x32 3x233327 x lim x0 x3 27x9x2 2727 x Ou seja lim x0 x33 27 x lim x0 x3 27x9x2 x lim x0 xx2 279x x lim x0x2 279x 02 2790 27 Resposta e 27 12