Lei de Gauss: Objetivos e Aplicações na Determinação de Campos Elétricos

Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss 3 Objetivos de aprendizagem Conhecer a Lei de Gauss e sua aplicação para determinação de campos elétricos de sistemas simétricos Tópicos de estudo Os tópicos apresentados nesta unidade são Fluxo do campo elétrico Definição da Lei de Gauss Aplicação da Lei de Gauss Iniciando os estudos Nesta unidade você aprenderá uma relação mais funda mental entre as cargas elétricas e o campo elétrico conhe cida como a Lei de Gauss Essa relação é mais abrangente que a Lei de Coulomb pois pode ser aplicada em sistemas que possuem cargas em movimento A Lei de Gauss é primordial para que você futuramente consiga entender a modelagem matemática das ondas eletromagnéticas Fluxo do campo elétrico O conceito de fluxo de campo elétrico ou fluxo elétrico pode ser definido de forma muito semelhante ao que se entende por vazão de um fluido que passa por uma determinada área de uma tubulação A vazão volumétrica do fluido em m³s é dada pela multiplicação da velocidade do fluido em ms pela área da seção transversal da tubulação em m² O campo elétrico não representa uma corrente de escoamento mas o conceito pode ser aplicado de forma semelhante O fluxo de campo elétrico é definido como o campo elétrico que atravessa uma determinada superfície e sua unidade é Nm²C O fluxo elétrico pode ser calculado para uma superfície plana e um campo elétrico constante como HALLIDAY et al 2009 Φ E A 1 Sendo Φ o fluxo elétrico E o vetor campo elétrico A nA um vetor normal à superfície do plano de módulo igual à área do plano n é um vetor unitário perpendicular ao plano e A a área do plano Note que o fluxo elétrico é uma grandeza escalar muito embora o cálculo seja realizado com vetores O cálculo do fluxo elétrico conforme a Eq 1 demonstra que ele depende da direção e sentido dos vetores de campo elétrico e do vetor normal à superfície do plano em que se deseja calculálo Uma forma de calcular a Eq 1 é através da obtenção dos componentes vetoriais de Ē e â que são paralelos Φ EAcossθ 2 sendo E o módulo do campo elétrico e θ o ângulo entre o vetor campo elétrico e o vetor normal à superfície em que se deseja calculálo Se o campo elétrico e o vetor normal à superfície são paralelos conforme apresentado na figura 1 então o campo elétrico é facilmente calculado como Φ EA afinal θ 0 e coscos0 1 No entanto caso o vetor campo elétrico e o vetor normal à superfície do plano não sejam perpendiculares então é necessário levar em consideração o ângulo entre esses dois vetores conforme apresentado na figura 2 Lei de Gauss 6 Para calcular o fluxo elétrico em uma superfície arbitrária e com um campo elétrico que pode variar é necessário dividir a superfície em vários segmentos de área e multiplicar pela componente do campo elétrico que é paralela ao vetor normal ao segmento de área calculando assim o fluxo FIGURA 2 Fluxo elétrico de uma superfície plana em que o vetor campo elétrico não é perpendicular ao vetor normal da superfície Fonte Tipler e Mosca 2011 APROFUNDESE Fundamentos de Física Eletromagnetismo Volume 3 Estude a seção 231 do livro indicado para entender como o fluxo elétrico varia de acordo com o ângulo formado entre o vetor campo elétrico e o vetor perpendicular à superfície em que se deseja calcular o campo elétrico A animação permite variar o ângulo entre os vetores e analisar o fluxo Autores HALLIDAY David RESNICK Robert WALKER Jearl Editora Grupo GEN Ano 2023 ISBN 9788521638575 Disponível em Minha Biblioteca Acesso em 14072023 elétrico do pequeno segmento de área Para saber o fluxo elétrico de toda a superfície você deve somar o fluxo elétrico em cada um dos segmentos de área HALLIDAY et al 2009 Φ i EiAi i Ei Acosθi 3 sendo ΔA um pequeno segmento de área Ao somar todos os pequenos segmentos de área devese encontrar a área total da superfície em que se deseja calcular o fluxo elétrico ou seja ΔA A A figura 3 apresenta um diagrama que representa uma parcela de área da superfície e as linhas do campo elétrico que se deseja calcular o fluxo elétrico Se você continuar a diminuir os segmentos de área no limite obterá parcelas infinitesimais de área da superfície portanto a somatória apresentada na Eq 3 se transforma em uma integral TIPLER MOSCA 2011 Φ EdA 4 A integral representa que todas as parcelas infinitesimais de área da superfície devem ser somadas para obter a área total da superfície Note também que o vetor campo elétrico pode ser diferente para cada uma das parcelas infinitesimais de área da superfície dificultando bastante o cálculo da integral No entanto se o vetor campo elétrico for uniforme ao longo de toda a superfície que você deseja calcular o fluxo elétrico ele pode ser movido para fora da integral na Eq 4 Assim com um vetor campo elétrico uniforme ao longo da superfície você obtém Φ E dA 5 Perceba ainda que se o ângulo entre o vetor campo elétrico e o vetor perpendicular à superfície for constante o cálculo da Eq 5 pode ser simplificado ainda mais Φ Ecossθ dA 6 Como a integral dA é a soma de todas as parcelas infinitesimais de área da superfície ela pode ser avaliada facilmente resultando em Φ EAcossθ 7 Note que ao depender das condições obtidas ao calcular o fluxo elétrico a Eq 4 pode ser simplificada significativamente resultando novamente na Eq 2 que é calculada muito mais facilmente Lei de Gauss 9 Nesta unidade o fluxo elétrico através de superfícies fechadas é bastante importante Uma superfície fechada necessariamente precisa estar definida em três dimensões Como exemplo de uma superfície fechada imagine a super fície externa de uma esfera ou de um cubo Por definição o vetor perpendicular à superfície fechada sempre aponta para fora da superfície Quando trabalhamos com uma superfície fechada a notação matemática difere um pouco da Eq 5 em que utilizamos o símbolo para denotar que a superfície que está sendo avaliada na integral é fechada Portanto ao calcular o fluxo elétrico em uma superfície fechada a Eq 5 se transforma em JEWETT JR SERWAY 2012 r r E dA 8 A superfície fechada é comumente denominada superfície gaussiana Veja o vídeo que apresenta alguns exemplos de como se deve calcular o fluxo elétrico em superfícies fechadas Lei de Gauss 10 ASSISTA O fluxo elétrico em superfícies fechadas O vídeo apresenta exemplos do cálculo de fluxo elétrico em superfícies fechadas Acesse na plataforma o vídeo Definição da Lei de Gauss Antes de definir a Lei de Gauss analise o fluxo elétrico através de uma superfície gaussiana esférica e concentrica a uma carga puntiforme conforme a figura 4 Pela Lei de Coulomb o campo elétrico a uma distância r da carga puntiforme q é igual a E 1 4πε₀ q r² Note que o vetor campo elétrico aponta radialmente para fora da carga puntiforme Para calcular o fluxo elétrico através da superfície gaussiana você deve utilizar a Eq 8 Note que como a superfície é concêntrica à carga puntiforme o vetor campo elétrico possui o mesmo módulo para todos os pontos da superfície Ainda perceba que o vetor campo elétrico faz um ângulo de 0 com o vetor perpendicular à parcela infinitesimal de área da superfície dA Portanto a Eq 8 se torna Φ Ecos0φ O termo Ecos0 pode ser retirado para fora da integral pois é constante para todas as parcelas infinitesimais de área da superfície gaussiana Você deve lembrar que cos01 e que a parcela φ dA é a somatória de todas as parcelas infinitesimais de área da superfície resultando portanto na área da superfície gaussiana que é a área de uma esfera igual a 4πr² Assim substituindo os termos conhecidos na Eq 10 temos Φ 1 4πε₀ q r² 4πr² q ε₀ Assim o fluxo elétrico que passa pela superfície gaussiana é igual ao valor da carga elétrica dividido pela permissividade elétrica no vácuo Você deve ter percebido que a escolha da superfície gaussiana facilitou imensamente o cálculo do fluxo elétrico no entanto é possível provar que para qualquer superfície gaussiana escolhida como por exemplo um cubo o resultado seria o mesmo Você pode compreender melhor imaginando que a mesma quantidade de linhas de força de campo elétrico passa através de qualquer superfície gaussiana que contenha uma carga elétrica em seu interior Lei de Gauss 13 A superfície gaussiana é um artifício matemático utilizado para calcular o fluxo elétrico não necessariamente precisa ter qualquer relação com as dimensões dos objetos carregados A Lei de Gauss é muito parecida com o que você estudou até a Eq 11 no entanto ainda há possibilidade de generali zação dessa equação Lembrese que o fluxo elétrico em uma superfície gaussiana dado um campo elétrico externo é sempre nulo portanto as cargas elétricas que estão no exterior da superfície gaussiana não interferem no fluxo elétrico calculado APROFUNDESE Física para Cientistas e Engenheiros Volume 3 Eletricidade e magnetismo Estude a Seção 22 do livro indicado página 38 a 40 para desenvolver uma intuição sobre como uma carga elétrica dentro de uma superfície gaussiana irá produzir um fluxo elétrico que independe da super fície escolhida Autores SERWAY Raymond A JEWETT JR John W Editora Cengage Learning Brasil Ano 2017 ISBN 9788522127115 Disponível em Minha Biblioteca Acesso em 14072023 Lei de Gauss 14 Outra característica usada para generalizar a Lei de Gauss é o princípio da superposição onde um sistema composto de diversas cargas elétricas tem seu campo elétrico determinado pela somatória dos campos elétricos gerados isoladamente por cada uma das cargas Como exemplo considere o sistema apresentado a seguir em que temos as cargas q1 e q2 no interior de uma superfície gaussiana e uma carga q3 no exterior da superfície gaussiana Assim o fluxo elétrico através da superfície gaussiana do sistema é calculado conforme a Eq 8 No entanto o campo elétrico do sistema pode ser decomposto utilizando o prin cípio da superposição resultando em r r uru u ru uru r E dA E E E dA 1 2 3 E dA E dA E dA 1 2 3 1 2 3 uru r u ru r uru r 12 FIGURA 5 Sistema composto de uma superfície gaussiana contendo duas cargas em seu interior e uma carga em seu exterior Fonte Tipler e Mosca 2011 Portant a Eq 12 sugere que o fluxo elétrico total na superfície gaussiana do sistema é igual à soma dos fluxos elétricos gerados isoladamente por cada uma das cargas Pela Eq 11 você obtém que Φ₁ q₁ ε₀ e Φ₂ q₂ ε₀ Ainda sabemos que Φ₃ 0 pois ela está no exterior da superfície gaussiana Assim o fluxo elétrico total na superfície gaussiana do sistema proposto é Φ Φ₁ Φ₂ q₁ q₂ ε₀ A Lei de Gauss portanto afirma que o fluxo elétrico que passa através de uma superfície fechada ou gaussiana é igual à somatória das cargas elétricas dentro da superfície fechada dividido pela permissividade elétrica do vácuo KNIGHT 2007 Φ φ EdA Qint ε₀ onde Qint é a somatória das cargas elétricas dentro da superfície gaussiana Note que a aplicação da Lei de Gauss pode ser dificultada ou facilitada a depender da superfície gaussiana escolhida para realizar o cálculo de fluxo elétrico Assista ao vídeo a seguir para entender alguns conceitos sobre simetria de cargas elétricas e campos elétricos e como a simetria pode ser utilizada para determinar uma superfície gaussiana que simplifique a determinação do fluxo elétrico Lei de Gauss 16 Agora aproveite para refletir um pouco sobre essas conside rações sobre a Lei de Gauss ASSISTA Cargas elétricas e campos elétricos simétricos O vídeo apresenta como a simetria pode ser utili zada para inferir possíveis campos elétricos em um sistema Acesse na plataforma o vídeo REFLITA A simetria é uma ferramenta importante na determinação do fluxo elétrico e aplicação da Lei de Gauss Analisando a simetria do sistema somos capazes de eliminar diversas configurações de campo elétrico e escolher uma superfície gaussiana que seja consistente com essa simetria Considere um cilindro de comprimento finito Como o comprimento é finito o cilindro não é mais simétrico para a translação paralela sobre qualquer eixo Ainda o cilindro finito não é simétrico para uma reflexão sobre qualquer plano perpendicular ao eixo do cilindro sendo simétrico apenas para uma reflexão sobre o plano que divida o cilindro ao meio No entanto há simetria em relação à reflexão sobre os planos que contenham o eixo do cilindro Você consegue determinar quais são as possíveis configurações de campo elétrico que atendem às condições de simetria do cilindro finito Pense nisso aplicando a Lei de Gauss Lei de Gauss 17 Aplicação da Lei de Gauss Para conseguir aplicar a Lei de Gauss como ferramenta de solução de problemas práticos não apenas como uma ferra menta de compreensão conceitual são necessárias três condições Condição 1 a Lei de Gauss só pode ser aplicada para uma superfície fechada ou Gaussiana Condição 2 a superfície gaussiana não precisa necessariamente estar associada à nenhuma caracterís tica física do objeto ou sistema que você deseja analisar Condição 3 a Lei de Gauss só pode ser aplicada facilmente quando o sistema tiver uma simetria tal que seja possível predizer a forma do seu campo elétrico Para conseguir aplicar a Lei de Gauss você deve seguir a seguinte estratégia 1 Determine a simetria do campo elétrico e escolha uma superfície gaussiana com a mesma simetria 2 Certifiquese de que os vetores campo elétrico são todos perpendiculares ou tangentes à superfície gaussiana 3 Aplique a Lei de Gauss conforme Eq 14 para determinar o campo elétrico Agora vamos aplicar a Lei de Gauss para determinar o campo elétrico de alguns objetos muito utilizados na física e na engenharia Lei de Gauss 18 Campo elétrico fora de uma esfera carregada Para determinar o campo elétrico de uma esfera carregada utilizando a Lei de Coulomb é necessário Definir uma densidade volumétrica de cargas Dividir o volume da esfera em diversas parcelas de volume infinitesimalmente pequeno e então Integrar a contribuição de cada um destes volumes para o campo elétrico em um determinado ponto fora da esfera No entanto no tópico 2 já foi discutido que uma esfera com distribuição uniforme possui uma simetria tal que o campo elétrico necessariamente só pode ter direção radial em relação ao centro da esfera Considerando uma superfície gaussiana esférica e concên trica à esfera uniformemente carregada conseguimos garantir que todos os vetores do campo elétrico serão para lelos aos vetores perpendiculares das parcelas infinitesimais da superfície gaussiana FIGURA 6 Superfície gaussiana concêntrica a uma esfera carregada APLICANDO A LEI DA GAUSS NO SISTEMA PROPOSTO VOCÊ OBTÉM A SEGUINTE EQUAÇÃO Φ ϕ 𝐸 d𝐴 Q ε₀ 15 SENDO Q A CARGA DA ESFERA NOTE QUE POR SIMETRIA O CAMPO ELÉTRICO POSSUI O MESMO MÓDULO PARA QUALQUER PONTO A UMA DISTÂNCIA r DO CENTRO DA ESFERA AINDA OS VETORES E E dA SÃO SEMPRE PERPENDICULARES NO SISTEMA PROPOSTO DESSA FORMA O CAMPO ELÉTRICO PODE SER MOVIDO PARA FORA DA INTEGRAL DA EQ 15 RESULTANDO EM ALONSO FINN 1972 Ecoscos0 ϕ dA Q ε₀ 16 ϕ dA 4πr² SUPERFICIE DA ESFERA E 1 4πε₀ Q r² NOTE QUE O RESULTADO DA EQ 16 SÓ É VÁLIDO QUANDO O RAIO DA SUPERFICIE GAUSSIANA É MAIOR QUE O RAIO DA ESFERA CARREGADA O CAMPO ELÉTRICO EM UM PONTO EXTERNO A UMA ESFERA CARREGADA É O MESMO CAMPO ELÉTRICO DE UMA CARGA PUNTIFORME ESSE RESULTADO NÃO ERA EVIDENTE E SE VOCÊ TENTAR OBTER O CAMPO ELÉTRICO DA ESFERA CARREGADA UTILIZANDO APENAS A LEI DE COULOMB IRÁ NECESSITAR DE MUITAS EQUAÇÕES MANIPULAÇÕES ALGÉBRICAS E RESOLUÇÃO DE INTEGRAIS PARA CHEGAR AO MESMO RESULTADO Lei de Gauss 20 Lei de Gauss em condutores carregados em equi líbrio eletrostático Considere um condutor de forma arbitrária eletricamente carregado e em equilíbrio eletrostático conforme a figura 7 Afirmar que um condutor está em equilíbrio eletrostá tico significa que não há movimento líquido de cargas elétricas no interior do condutor Dentro de um condutor o campo elétrico é sempre nulo pois as cargas elétricas podem se mover livremente até que ele seja nulo Você pode definir uma superfície gaussiana no interior do condutor com a mesma forma do condutor porém com dimensões ligeiramente menores que o condutor APROFUNDESE Física para Cientistas e Engenheiros Volume 3 Eletricidade e magnetismo Estude os exemplos 24 e 25 do livro indicado páginas 43 e 44 para entender como determinar o campo elétrico de uma linha infinita carregada e um plano infinito carregado utilizando a Lei de Gauss Autores SERWAY Raymond A JEWETT JR John W Editora Cengage Learning Brasil Ano 2017 ISBN 9788522127115 Disponível em Minha Biblioteca Acesso em 14072023 Lei de Gauss 21 Como o campo elétrico no interior do condutor é igual a zero então o fluxo elétrico na superfície gaussiana defi nida também é zero Com base nessas informações e sabendo que o condutor carregado apresenta um campo elétrico no seu exterior podemos concluir que as cargas elétricas em excesso no condutor localizamse na superfície do condutor Assista ao vídeo para compreender como é o campo elétrico no interior de um objeto condutor oco FIGURA 7 Superfície gaussiana no interior de um condutor carregado positivamente Fonte Knight 2007 Lei de Gauss 22 A análise do campo elétrico em objetos metálicos é funda mental pois o nosso dia a dia está permeado de diversos dispositivos que operam através de cargas elétricas Por isso é essencial compreender as principais características do campo elétrico em condutores ASSISTA Campo elétrico em condutor oco e a Lei de Gauss O vídeo mostra como determinar o campo elétrico no interior de um condutor oco com base na Lei de Gauss Acesse na plataforma o vídeo INFOGRÁFICO 1 Fonte adaptado de Knight 2007 Considerações finais Nesta unidade você estudou como obter o fluxo elétrico através de superfícies e aprendeu o que é considerada uma superfície gaussiana Ainda entendeu a Lei de Gauss e como ela pode ser aplicada para descobrir mais facilmente o campo elétrico em sistemas simétricos Referências ALONSO Marcelo FINN Edward J Física um curso universitário 2 ed São Paulo Blucher 1972 HALLIDAY David et al Fundamentos de física 8 ed Rio de Janeiro LTC 2009 v 3 JEWETT JR John W SERWAY Raymond A Física para cientistas e engenheiros 8 ed São Paulo Cengage Learning 2012 v 3 KNIGHT Randall D Physics for scientists and engineers 2 ed São Paulo Pearson 2007 TIPLER Paula A MOSCA Gene Física para cientistas e engenheiros eletricidade e magnetismo 6 ed Rio de Janeiro LTC 2011 YOUNG Hugh D FREEDMAN Roger A Física 12 ed São Paulo Pearson 2008