Equação Diferencial de 1ª Ordem Separável - Cálculo IV

Equação Diferencial de 1ª Ordem Separável Parte 02 Cálculo IV Facens Prof Isaías Goldschmidt EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM SEPARÁVEL Exemplo 5 Considere um circuito elétrico resistivo indutivo 𝑅𝐿 que contém uma força eletromotriz dado por uma pilha ou um gerador que produz uma tensão 𝐸𝑡 volts 𝑉 e uma corrente elétrica 𝐼𝑡 amperes 𝐴 em um instante 𝑡 O circuito também possui um resistor com resistência de 𝑅 ohms Ω e um indutor com indutância de 𝐿 henrys 𝐻 Considere que a resistência seja 12 Ω a indutância 4 𝐻 e a pilha forneça uma tensão constante de 60 𝑉 Equação Diferencial de 1ª Ordem Cálculo IV EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM SEPARÁVEL Determine a a função corrente elétrica em um instante t qualquer b a corrente elétrica máxima no circuito c a função corrente elétrica no instante em que o interruptor é ligado Equação Diferencial de 1ª Ordem Cálculo IV EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM SEPARÁVEL Equação Diferencial de 1ª Ordem Cálculo IV a a corrente elétrica em um instante t As leis de Kirchhoff são utilizadas em circuitos elétricos mais complexos quando não é simples determinar as correntes elétricas do circuito elétrico A primeira lei ou Lei dos Nós diz que a soma das correntes que entram é igual a soma das correntes que saem A segunda lei mais conhecida pela Lei das Malhas diz que em um determinado sentido percorrido a soma da tensão de cada elemento da malha é nula 𝑡𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑡𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑡𝑒𝑛𝑠ã𝑜 0 𝑡𝑒𝑛𝑠ã𝑜𝑡𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑡𝑒𝑛𝑠ã𝑜 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM SEPARÁVEL Equação Diferencial de 1ª Ordem Cálculo IV 𝑡𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑡𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑡𝑒𝑛𝑠ã𝑜 0 𝑡𝑒𝑛𝑠ã𝑜𝑡𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑡𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑈 𝑈 𝐸𝑡 Como a tensão no indutor é 𝑈 𝐿 e a tensão no resistor é 𝑈 𝑅 𝐼𝑡 então a equação básica da lei das malhas em um circuito elétrico RL é 𝑳 𝒅𝑰𝒕 𝒅𝒕 𝑹 𝑰 𝒕 𝑬𝒕 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM SEPARÁVEL Equação Diferencial de 1ª Ordem Cálculo IV 𝑳 𝒅𝑰𝒕 𝒅𝒕 𝑹 𝑰 𝒕 𝑬𝒕 Sendo 𝐿 4 𝐻 𝑅 12 Ω e 𝐸 𝑡 60 𝑉 então temse uma equação diferencial de 1ª ordem 4 𝑑𝐼𝑡 𝑑𝑡 12 𝐼 𝑡 60 𝑑𝐼𝑡 𝑑𝑡 3 𝐼 𝑡 15 Essa EDO pode ser deixada na forma separável 𝒅𝑰𝒕 𝒅𝒕 𝟏𝟓 𝟑 𝑰 𝒕 Para simplificar a função corrente que varia com o tempo 𝐼𝑡 pode ser representada simplesmente como 𝐼 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM SEPARÁVEL Equação Diferencial de 1ª Ordem Cálculo IV 𝑑𝐼 𝑑𝑡 15 3𝐼 𝑑𝐼 15 3𝐼 𝑑𝑡 1 15 3𝐼 𝑑𝐼 𝑑𝑡 G 1 15 3𝐼 𝑑𝐼 G 𝑑𝑡 Usando a regra da cadeia aplicada a integrais chamase 𝑢 15 3𝐼 e deriva u em relação a variável I 15 3𝐼 3 então 𝑑𝑢 3𝑑𝐼 e por fim 01 2 𝑑𝑢 𝑑𝐼 Substituindo 𝑢 15 3𝐼 e 01 2 𝑑𝑢 𝑑𝐼 na integral 1 1302 𝑑𝐼 𝑑𝑡 então EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM SEPARÁVEL Equação Diferencial de 1ª Ordem Cálculo IV Substituindo 𝑢 15 3𝐼 e 01 2 𝑑𝑢 𝑑𝐼 na integral 1 1302 𝑑𝐼 𝑑𝑡 então G 1 𝑢 1 3 𝑑𝑢 G 𝑑𝑡 1 3 G 1 𝑢 𝑑𝑢 G 𝑑𝑡 1 3 ln 𝑢 𝑡 𝐶 Como 𝑢 15 3𝐼 então 1 3 ln 15 3𝐼 𝑡 𝐶 1 3 ln 15 3𝐼 𝑡 𝐶 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM SEPARÁVEL Equação Diferencial de 1ª Ordem Cálculo IV 1 3 ln 15 3𝐼 𝑡 𝐶 ln 15 3𝐼 3𝑡 3𝐶 15 3𝐼 𝑒02024 15 3𝐼 𝑒02𝑒024 Substituindo a constante 𝑒024 por outra constante mais simples 𝐾 15 3𝐼 𝑒02𝐾 3𝐼 15 𝐾𝑒02 3𝐼 15 𝐾𝑒02 𝐼 5 𝐾 3 𝑒02 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM SEPARÁVEL Equação Diferencial de 1ª Ordem Cálculo IV 𝐼 5 𝐾 3 𝑒02 Podese chamar a constante 5 2 de outra constante 𝐴 e obtémse a solução geral da EDO isto é a corrente elétrica no circuito segue a função 𝐼 5 𝐴𝑒02 Ou 𝑰𝒕 𝟓 𝑨𝒆0𝟑𝒕 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM SEPARÁVEL Equação Diferencial de 1ª Ordem Cálculo IV b a corrente elétrica máxima no circuito 𝑰𝒕 𝟓 𝑨𝒆0𝟑𝒕 A corrente máxima no circuito equivale dizer o limite da corrente elétrica quando o tempo tende ao infinito 𝐼89 lim 𝐼𝑡 lim 𝐼 𝑡 lim 5 𝐴𝑒02 lim 5 lim 𝐴𝑒02 5 𝐴 lim 𝑒02 𝐼89 lim 𝐼 𝑡 5 𝐴 lim 1 𝑒2 5 𝐴 0 5 𝑰𝒎𝒂𝒙 𝟓 𝑨 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM SEPARÁVEL Equação Diferencial de 1ª Ordem Cálculo IV c a função corrente elétrica no instante em que o interruptor é ligado 𝑰𝒕 𝟓 𝑨𝒆0𝟑𝒕 A corrente em função do tempo no circuito admite uma solução particular dado a condição inicial 𝐼 𝑡 0 𝑠 0 𝐴 ou simplesmente 𝐼 0 0 𝐼𝑡 5 𝐴𝑒02 𝐼 𝑡 0 5 𝐴𝑒02B 0 5 𝐴 0 𝐴 5 Assim a corrente elétrica no instante inicial é dado pela função 𝑰𝒕 𝟓 𝟓𝒆0𝟑𝒕 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM SEPARÁVEL Exemplo 6 Considere um tanque inicialmente fechado que contém 20 𝑘𝑔 de sal dissolvido em 5000 𝐿 de água Uma válvula é aberta e entra água salgada com 003 𝑘𝑔 de sal por litro a uma vazão volumétrica de 25 𝐿min A solução é misturada completamente e sai do tanque à mesma vazão volumétrica de entrada Determine a quantidade de sal que permanece no tanque após meia hora Equação Diferencial de 1ª Ordem Cálculo IV EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM SEPARÁVEL Equação Diferencial de 1ª Ordem Cálculo IV EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM SEPARÁVEL Equação Diferencial de 1ª Ordem Cálculo IV EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM SEPARÁVEL Equação Diferencial de 1ª Ordem Cálculo IV EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM SEPARÁVEL Equação Diferencial de 1ª Ordem Cálculo IV EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM SEPARÁVEL Equação Diferencial de 1ª Ordem Cálculo IV EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM SEPARÁVEL Equação Diferencial de 1ª Ordem Cálculo IV Nesta situação usase uma função 𝑦𝑡 para denotar a quantidade da substância no tanque em um instante t qualquer e yt é a vazão mássica acumulada no tanque na qual a substância está sendo adicionada vazão mássica de entrada menos a taxa na qual ela está sendo retirada vazão mássica de saída 𝒚𝒕 quantidade em kg de substância no tanque em um instante t qualquer 𝒚𝒕 vazão mássica kgmin de acúmulo da substância no tanque em um instante t qualquer A condição inicial foi dada implicitamente no enunciado do problema na expressão um tanque inicialmente fechado que contém 20 𝑘𝑔 de sal Isto significa que quando o tempo igual a zero o tanque tem 20 𝑘𝑔 de sal ou seja 𝑦0 20 𝒗𝒂𝒛ã𝒐 𝒎á𝒔𝒔𝒊𝒄𝒂𝒆𝒏𝒕𝒓𝒂𝒅𝒂 𝒗𝒂𝒛ã𝒐 𝒎á𝒔𝒔𝒊𝒄𝒂𝒂𝒄ú𝒎𝒖𝒍𝒐 𝒗𝒂𝒛ã𝒐 𝒎á𝒔𝒔𝒊𝒄𝒂𝒔𝒂í𝒅𝒂 𝒗𝒂𝒛ã𝒐 𝒎á𝒔𝒔𝒊𝒄𝒂𝒂𝒄ú𝒎𝒖𝒍𝒐 𝒗𝒂𝒛ã𝒐 𝒎á𝒔𝒔𝒊𝒄𝒂𝒆𝒏𝒕𝒓𝒂𝒅𝒂 𝒗𝒂𝒛ã𝒐 𝒎á𝒔𝒔𝒊𝒄𝒂𝒔𝒂í𝒅𝒂 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM SEPARÁVEL Equação Diferencial de 1ª Ordem Cálculo IV 𝒗𝒂𝒛ã𝒐 𝒎á𝒔𝒔𝒊𝒄𝒂𝒂𝒄ú𝒎𝒖𝒍𝒐 𝒗𝒂𝒛ã𝒐 𝒎á𝒔𝒔𝒊𝒄𝒂𝒆𝒏𝒕𝒓𝒂𝒅𝒂 𝒎á𝒔𝒔𝒊𝒄𝒂𝒔𝒂í𝒅𝒂 É importante diferenciar vazão volumétrica de vazão mássica A vazão volumétrica dado em 𝑳𝒎𝒊𝒏 é a quantidade de volume pelo tempo que entra que acumula ou que sai do tanque No exemplo em tela a vazão volumétrica de entrada é igual a vazão volumétrica de saída Isso significa apenas que por exemplo se entrou 25 litros de água salgada então sairá 25 litros de água salgada Agora qual é a quantidade de sal que entre e que sai nesses 25 litros de água salgada A quantidade que entra de sal é diferente da quantidade de que sai Assim para falar em quantidade de sal na água salgada que entra ou que sai é necessário falar em vazão mássica A vazão mássica dado em 𝒌𝒈𝒎𝒊𝒏 mede justamente a quantidade de sal que entra ou que sai em função do tempo 𝒗𝒂𝒛ã𝒐 𝒎á𝒔𝒔𝒊𝒄𝒂 𝑣𝑎𝑧ã𝑜 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑒𝑚 𝐿 𝑚𝑖𝑛 concentração em 𝑘𝑔 𝐿 𝐿 𝑚𝑖𝑛 𝑘𝑔 𝐿 𝑘𝑔 𝑚𝑖𝑛 𝑣𝑎𝑧ã𝑜 𝑚á𝑠𝑠𝑖𝑐𝑎 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM SEPARÁVEL Equação Diferencial de 1ª Ordem Cálculo IV 𝒗𝒂𝒛ã𝒐 𝒎á𝒔𝒔𝒊𝒄𝒂𝒂𝒄ú𝒎𝒖𝒍𝒐 𝒗𝒂𝒛ã𝒐 𝒎á𝒔𝒔𝒊𝒄𝒂𝒆𝒏𝒕𝒓𝒂𝒅𝒂 𝒎á𝒔𝒔𝒊𝒄𝒂𝒔𝒂í𝒅𝒂 𝒗𝒂𝒛ã𝒐 𝒎á𝒔𝒔𝒊𝒄𝒂𝒆𝒏𝒕𝒓𝒂𝒅𝒂 25 𝐿 𝑚𝑖𝑛 003 kg L 25003 𝑘𝑔 𝑚𝑖𝑛 𝟎 𝟕𝟓 𝒌𝒈 𝒎𝒊𝒏 𝒗𝒂𝒛ã𝒐 𝒎á𝒔𝒔𝒊𝒄𝒂𝒔𝒂í𝒅𝒂 25 𝐿 𝑚𝑖𝑛 𝐲 𝐭 kg 5000 L 𝟎 𝟎𝟎𝟓 𝒚𝒕 𝒌𝒈 𝒎𝒊𝒏 Agora que se identificou a taxa de massa pelo tempo que entra e que sai do tanque então voltase para a equação 𝒗𝒂𝒛ã𝒐 𝒎á𝒔𝒔𝒊𝒄𝒂𝒂𝒄ú𝒎𝒖𝒍𝒐 𝑣𝑎𝑧ã𝑜 𝑚á𝑠𝑠𝑖𝑐𝑎99 𝑣𝑎𝑧ã𝑜 𝑚á𝑠𝑠𝑖𝑐𝑎9í9 𝒗𝒂𝒛ã𝒐 𝒎á𝒔𝒔𝒊𝒄𝒂𝒂𝒄ú𝒎𝒖𝒍𝒐 𝟎 𝟕𝟓 𝒌𝒈 𝒎𝒊𝒏 𝟎 𝟎𝟎𝟓 𝒚𝒕 𝒌𝒈 𝒎𝒊𝒏 Como a taxa de acúmulo 𝑦𝑡 é a derivada da quantidade acumulada 𝑦𝑡 em relação ao tempo então 𝒗𝒂𝒛ã𝒐 𝒎á𝒔𝒔𝒊𝒄𝒂𝒂𝒄ú𝒎𝒖𝒍𝒐 𝒚N 𝒕 𝟎 𝟕𝟓 𝟎 𝟎𝟎𝟓 𝒚𝒕 em OP 8 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM SEPARÁVEL Equação Diferencial de 1ª Ordem Cálculo IV 𝒚N 𝒕 𝟎 𝟕𝟓 𝟎 𝟎𝟎𝟓 𝒚𝒕 A partir da situação proposta deduziuse uma equação diferencial ordinária de 1ª ordem separável Q 075 0005𝑦 𝑑𝑦 075 0005𝑦 𝑑𝑡 1 BS30BBB3Q 𝑑𝑦 𝑑𝑡 G 1 075 0005𝑦 𝑑𝑦 G 1 𝑑𝑡 Usando a regra da cadeia aplicada a integrais chamase 𝑢 075 0005𝑦 e deriva u em relação a variável 𝑡 075 0005𝑦 0005 então 𝑑𝑢 0005𝑑𝑡 e por fim 01 BBB3 𝑑𝑢 𝑑t EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM SEPARÁVEL Equação Diferencial de 1ª Ordem Cálculo IV Substituindo 𝑢 075 0005𝑡 e 01 BBB3 𝑑𝑢 𝑑𝑡 na integral 1 BS30BBB3Q 𝑑𝑡 1𝑑𝑡 então G 1 075 0005𝑦 𝑑𝑡 G 1𝑑𝑡 G 1 𝑢 1 0005 𝑑𝑢 G 1𝑑𝑡 1 0005 G 1 𝑢 𝑑𝑢 G 1𝑑𝑡 1 0005 ln 𝑢 𝑡 𝐶 1 0005 ln 𝑢 𝑡 𝐶 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM SEPARÁVEL Equação Diferencial de 1ª Ordem Cálculo IV 1 0005 ln 𝑢 𝑡 𝐶 ln 075 0005𝑦 0005𝑡 0005𝐶 Como 0005𝐶 𝐾 então ln 075 0005𝑦 0005𝑡 𝐾 075 0005𝑦 𝑒0BBB3T5 075 0005𝑦 𝑒0BBB3𝑒5 Como 𝑒5 𝐴 então 075 0005𝑦 𝑒0BBB3𝐴 0005𝑦 075 𝐴𝑒0BBB3 0005𝑦 075 𝐴𝑒0BBB3 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM SEPARÁVEL Equação Diferencial de 1ª Ordem Cálculo IV 0005𝑦 075 𝐴𝑒0BBB3 0005𝑦 075 𝐴𝑒0BBB3 𝑦 075 0005 𝐴 0005 𝑒0BBB3 Assim a solução geral da EDO é dada por 𝒚 𝟏𝟓𝟎 𝟐𝟎𝟎𝑨𝒆0𝟎𝟎𝟎𝟓𝒕 E a solução particular para a condição inicial dada 𝑦 0 20 é dada por 𝒚 𝟏𝟓𝟎 𝟐𝟎𝟎𝑨𝒆0𝟎𝟎𝟎𝟓𝒕 20 150 200𝐴𝑒0BBB3B sendo 𝑒0BBB3B 𝑒B 1 20 150 200𝐴 200𝐴 150 20 130 𝐴 12B WBB então 𝑨 𝟏𝟑𝟎 𝟐𝟎𝟎 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM SEPARÁVEL Equação Diferencial de 1ª Ordem Cálculo IV 𝒚 𝟏𝟓𝟎 𝟐𝟎𝟎𝑨𝒆0𝟎𝟎𝟎𝟓𝒕 e 𝑨 𝟏𝟑𝟎 𝟐𝟎𝟎 então 𝑦 150 200 130 200 𝑒0BBB3 Portanto a solução particular para a condição 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑦0 20 𝑘𝑔 é dada por 𝒚𝒕 𝟏𝟓𝟎 𝟏𝟑𝟎𝒆0𝟎𝟎𝟎𝟓𝒕 Por fim agora é possível determinar a quantidade de sal dissolvido no tanque após 30 min 𝑦𝑡 30 150 130𝑒0BBB32B 𝒚 𝒕 𝟑𝟎 𝟑𝟖 𝟏 𝒌𝒈 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM SEPARÁVEL Exemplo 7 Em uma reação química elementar as moléculas únicas de dois reagentes 𝐴 e 𝐵 formam a molécula do produto 𝐶 sendo 𝐴 𝐵 𝐶 A lei de ação das massas afirma que a taxa de reação é proporcional ao produto das concentrações de A e B Se adotar as concentrações iniciais como 𝐴 𝑎 𝑚𝑜𝑙𝑠𝐿 e 𝐵 𝑏 𝑚𝑜𝑙𝑠𝐿 e 𝑥 𝐶 então Considere a reação 𝐻 𝐵𝑟 2𝐻𝐵𝑟 Equação Diferencial de 1ª Ordem Cálculo IV 𝑑 𝑑𝑡 𝐶 𝑘 𝐴 𝐵 1 W 𝑑 𝑑𝑡 𝑥 𝑘 𝑎 𝑥 𝑏 𝑥 1 W EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM SEPARÁVEL Determine a concentração do ácido bromídrico 𝐻𝐵𝑟 em função do tempo considerando que as concentrações iniciais de 𝐻 e 𝐵𝑟 sejam iguais Equação Diferencial de 1ª Ordem Cálculo IV EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM SEPARÁVEL Equação Diferencial de 1ª Ordem Cálculo IV 𝑑 𝑑𝑡 𝐶 𝑘 𝐴 𝐵 1 W Como 𝐶 𝐻𝐵𝑟 𝑥 𝐴 𝐻W 𝑎 e 𝐵 𝐵𝑟W 𝑏 e sendo que o termo 𝑎 𝑥 representa a redução da concentração de 𝐻W conforme se produz 𝐻𝐵𝑟 e o termo b 𝑥 representa a redução da concentração de 𝐵𝑟W então a equação diferencial acima pode ser simplificada pela equação abaixo 𝑑 𝑑𝑡 𝑥 𝑘 𝑎 𝑥 𝑏 𝑥 1 W Se as concentrações iniciais são iguais isto é 𝐻W 𝐵𝑟W então 𝑎 𝑏 𝑥 𝑘 𝑎 𝑥 𝑎 𝑥 sendo 𝑎 𝑥 𝑎 𝑥 𝑎 𝑥 então 𝑑 𝑑𝑡 𝑥 𝑘𝑎 𝑥 2 W 𝑑𝑥 𝑘𝑎 𝑥 2 W𝑑𝑡 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM SEPARÁVEL Equação Diferencial de 1ª Ordem Cálculo IV 𝑑𝑥 𝑘𝑎 𝑥 2 W𝑑𝑡 1 𝑎 𝑥 2 W 𝑑𝑥 𝑘𝑑𝑡 G 1 𝑎 𝑥 2 W 𝑑𝑥 G 𝑘𝑑𝑡 Usando a regra da cadeia aplicada a integrais chamase 𝑢 𝑎 𝑥 e deriva 𝑢 em relação a variável 𝑡 𝑎 𝑥 1 então 𝑑𝑢 1𝑑𝑡 e por fim 𝑑𝑢 𝑑𝑡 Substituindo 𝑢 𝑎 𝑥 e 𝑑𝑢 𝑑𝑡 na integral 1 90 𝑑𝑥 𝑘𝑑𝑡 então EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM SEPARÁVEL Equação Diferencial de 1ª Ordem Cálculo IV G 1 𝑎 𝑥 2 W 𝑑𝑥 G 𝑘𝑑𝑡 G 1 𝑢 2 W 1 𝑑𝑢 G 𝑘𝑑𝑡 𝑢 𝑑𝑢 𝑘 1 𝑑𝑡 sendo 𝑥𝑑𝑥 T1 𝐶 então 𝑢 𝑑𝑢 𝐶 𝑢 01 W 1 2 𝑘𝑡 𝐶 1 2 1 𝑢 01 W 𝑘𝑡 𝐶 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM SEPARÁVEL Equação Diferencial de 1ª Ordem Cálculo IV 1 2 1 𝑢 01 W 𝑘𝑡 𝐶 2 𝑢 1 W 𝑘𝑡 𝐶 2 𝑘𝑡 𝐶 𝑢 1 W 𝑢 2 𝑘𝑡 𝐶 W 𝑢 Z OT4 como 𝑢 𝑎 𝑥 então 𝑎 𝑥 4 𝑘𝑡 𝐶 W 𝒙 𝒂 𝟒 𝒌𝒕 𝑪 𝟐 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM SEPARÁVEL Equação Diferencial de 1ª Ordem Cálculo IV A solução geral que representa a concentração de HBr formado em função do tempo é 𝒙𝒕 𝒂 𝟒 𝒌𝒕 𝑪 𝟐 No instante inicial havia apenas reagentes não tinha a presença do produto 𝐻𝐵𝑟 Isto significa que a condição inicial é dada por 𝑥0 0 Então 𝑥 𝑡 0 𝑎 4 𝑘 0 𝐶 W 0 𝑎 4 𝑘 0 𝐶 W 𝑎 4 𝐶W 𝐶W Z 9 então 𝐶 Z 9 Z 9 W 9 Assim 𝑪 𝟐 𝒂 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM SEPARÁVEL Equação Diferencial de 1ª Ordem Cálculo IV Como 𝒙𝒕 𝒂 𝟒 𝒌𝒕T𝑪 𝟐 e 𝑪 𝟐 𝒂 então A solução particular para a condição inicial dada que representa a concentração de HBr formado em função do tempo é 𝒙𝒕 𝒂 𝟒 𝒌𝒕 𝟐 𝒂 𝟐