Integral de Linha: Conceitos e Exemplos Práticos

Cálculo IV Prof Isáias Goldschmidt Integral de linha As integrais de linha ou integral de curva envolve um caminho ou curva C no plano xy sendo que neste caso a integral de linha é a área compreendida entre a função fxy e o plano cartesiano ao longo do caminho C As principais aplicações nos estudos de escoamento de fluidos de forças e de magnetismo A integral curvilínea ao longo da curva C é dada por 𝑓 𝑥 𝑦 𝑑𝑠 𝐹𝑑𝑟 Integral de linha 1ª possibilidade Exemplo 1 Determine o trabalho realizado por uma força 𝐹 𝑥 𝑦 𝑦 𝚤 𝑥 𝑦 𝚥 representado pela integral curvilínea 𝑦𝑑𝑥 𝑥 𝑦 𝑑𝑦 ao longo do caminho 𝐶 sendo 𝐶 dado por 𝑦 𝑥 2𝑥 de 00 a 28 Integral de linha 1ª possibilidade Como 𝑦 𝑥 2𝑥 então 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑 𝑑𝑥 𝑥 2𝑥 2𝑥 2 𝑑𝑦 2𝑥 2 𝑑𝑥 𝑦𝑑𝑥 𝑥 𝑦 𝑑𝑦 𝑥 2𝑥 𝑑𝑥 𝑥 𝑥 2𝑥 2𝑥 2 𝑑𝑥 𝑥 2𝑥 𝑑𝑥 𝑥 3𝑥 2𝑥 2 𝑑𝑥 𝑥 2𝑥 𝑑𝑥 2𝑥 2𝑥 6𝑥 6𝑥 𝑑𝑥 Integral de linha 1ª possibilidade 𝑥 2𝑥 𝑑𝑥 2𝑥 2𝑥 6𝑥 6𝑥 𝑑𝑥 𝑥 2𝑥 2𝑥 2𝑥 6𝑥 6𝑥 dx 2𝑥 9𝑥 8𝑥 dx 2 𝑥 4 9 𝑥 3 8 𝑥 2 𝑥 2 𝑥 0 2 2 4 9 2 3 8 2 2 2 0 4 9 0 3 8 0 2 Integral de linha 1ª possibilidade 2 2 4 9 2 3 8 2 2 2 0 4 9 0 3 8 0 2 32 4 72 3 32 2 0 8 24 16 48 𝑾 𝟒𝟖 𝑱 Integral de linha 2ª possibilidade forma diferencial escalar Exemplo 2 Determine o trabalho realizado por uma força 𝐹 𝑥 𝑦 𝑦 𝚤 𝑥 𝑦 𝚥 representado pela integral curvilínea 𝑦𝑑𝑥 𝑥 𝑦 𝑑𝑦 ao longo do caminho 𝐶 sendo 𝐶 dado por 𝑦 𝑥 2𝑥 de 00 a 28 Integral de linha 2ª possibilidade forma diferencial escalar 3 𝐹𝑑𝑟 3 𝑀 𝑥 𝑦 𝑑𝑥 𝑁 𝑥 𝑦 𝑑𝑦 𝑓𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 𝑓 𝑥 𝑦 𝑓 𝑥 𝑦 Integral de linha 2ª possibilidade forma diferencial escalar 𝐹 𝑥 𝑦 𝑦 𝚤 𝑥 𝑦 𝚥 𝐹 𝑥 𝑦 𝑀𝑥 𝑦 𝚤 𝑁𝑥 𝑦 𝚥 𝐹 𝑥 𝑦 𝑥 𝑓𝑥 𝑦 𝚤 𝑦 𝑓𝑥 𝑦 𝚥 A função potencial 𝐹 𝑥 𝑦 é resultado da derivada parcial da função escalar 𝑓𝑥 𝑦 em relação a variável 𝑥 e em relação a variável 𝑦 Se a função potencial está em relação a três variáveis então 𝐹 𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 𝑓 𝑥 𝑦 𝑧 𝚤 𝑦 𝑓 𝑥 𝑦 𝑧 𝚥 𝑧 𝑓𝑥 𝑦 𝑧8𝑘 Integral de linha 2ª possibilidade forma diferencial escalar 𝐹 𝑥 𝑦 𝑦 𝚤 𝑥 𝑦 𝚥 𝐹 𝑥 𝑦 𝑀𝑥 𝑦 𝚤 𝑁𝑥 𝑦 𝚥 𝐹 𝑥 𝑦 𝑥 𝑓𝑥 𝑦 𝚤 𝑦 𝑓𝑥 𝑦 𝚥 𝑀 𝑥 𝑦 𝑦 𝑁 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 Nesta situação temse que determinar a função escalar 𝑓𝑥 𝑦 a partir da função potencial 𝐹 𝑥 𝑦 Integral de linha 2ª possibilidade forma diferencial escalar 1ª etapa 𝑀 𝑥 𝑦 𝑥 𝑓 𝑥 𝑦 𝑦 𝑥 𝑓 𝑥 𝑦 𝑦 𝑓 𝑥 𝑦 𝑦𝑥 1𝑑𝑓 𝑥 𝑦 𝑦𝑑𝑥 𝑓 𝑥 𝑦 𝑦 1𝑑𝑥 Integral de linha 2ª possibilidade forma diferencial escalar 𝑓 𝑥 𝑦 𝑦 1𝑑𝑥 𝑓 𝑥 𝑦 𝑦𝑥 𝑔𝑦 𝑓 𝑥 𝑦 𝑥𝑦 𝑔𝑦 2ª etapa 𝑁 𝑥 𝑦 𝑦 𝑓 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 𝑦 𝑥𝑦 𝑔𝑦 𝑥 𝑦 Integral de linha 2ª possibilidade forma diferencial escalar 𝑦 𝑥𝑦 𝑔𝑦 𝑥 𝑦 𝑦 𝑥𝑦 𝑦 𝑔 𝑦 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 𝑦 𝑦 𝑔 𝑦 𝑥 𝑦 𝑥 1 𝑦 𝑔 𝑦 𝑥 𝑦 𝑦 𝑔 𝑦 𝑥 𝑦 𝑥 Integral de linha 2ª possibilidade forma diferencial escalar 𝑦 𝑔 𝑦 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 𝑔 𝑦 𝑦 𝑔 𝑦 𝑦𝑦 𝑑𝑔𝑦 𝑦𝑑𝑦 𝑔 𝑦 𝑦 2 𝐶 Integral de linha 2ª possibilidade forma diferencial escalar 𝑔 𝑦 𝑦 2 𝐶 𝑓 𝑥 𝑦 𝑥𝑦 𝑔𝑦 𝑓 𝑥 𝑦 𝑥𝑦 𝑦 2 𝐶 𝐹𝑑𝑟 𝑀 𝑥 𝑦 𝑑𝑥 𝑁 𝑥 𝑦 𝑑𝑦 𝑓𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 𝑓 𝑥 𝑦 𝑓 𝑥 𝑦 𝑦𝑑𝑥 𝑥 𝑦 𝑑𝑦 E 𝑥𝑦 𝑦 2 𝐶 28 00 2 8 8 2 𝐶 0 0 0 2 𝐶 16 32 48 𝑾 𝟒𝟖 𝑱 Integral de linha 2ª possibilidade Exemplo 3 Determine a integral curvilínea 𝑥 3𝑦 2𝑧 𝑑𝑥 3𝑥 𝑦 𝑧 𝑑𝑦 2𝑥 𝑦 2𝑧 𝑑𝑧 ao longo do caminho 𝐶 sendo 𝐶 ao longo de 242 a 4 27 Integral de linha 2ª possibilidade 𝑥 3𝑦 2𝑧 𝑑𝑥 3𝑥 𝑦 𝑧 𝑑𝑦 2𝑥 𝑦 2𝑧 𝑑𝑧 𝐹𝑑𝑟 𝑀 𝑥 𝑦 𝑧 𝑑𝑥 𝑁 𝑥 𝑦 𝑧 𝑑𝑦 𝑃 𝑥 𝑦 𝑧 𝑑𝑧 𝑓𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 𝑦 𝑧 𝑓 𝑥 𝑦 𝑧 𝑓 𝑥 𝑦 𝑧 𝑀 𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 3𝑦 2𝑧 𝑁 𝑥 𝑦 𝑧 3𝑥 𝑦 𝑧 𝑃 𝑥 𝑦 𝑧 2𝑥 𝑦 2𝑧 Integral de linha 2ª possibilidade 𝑀 𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 3𝑦 2𝑧 𝑁 𝑥 𝑦 𝑧 3𝑥 𝑦 𝑧 𝑃 𝑥 𝑦 𝑧 2𝑥 𝑦 2𝑧 𝐹 𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 𝑓 𝑥 𝑦 𝑧 𝚤 𝑦 𝑓 𝑥 𝑦 𝑧 𝚥 𝑧 𝑓𝑥 𝑦 𝑧8𝑘 𝐹 𝑥 𝑦 𝑧 𝑀𝑥 𝑦 𝑧 𝚤 𝑁𝑥 𝑦 𝑧 𝚥 𝑃𝑥 𝑦 𝑧8𝑘 𝐹 𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 3𝑦 2𝑧 𝚤 3𝑥 𝑦 𝑧 𝚥 2𝑥 𝑦 2𝑧 8𝑘 1ª etapa 𝑀 𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 𝑓 𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 3𝑦 2𝑧 Integral de linha 2ª possibilidade 1ª etapa 𝑀 𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 𝑓 𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 3𝑦 2𝑧 𝑥 𝑓 𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 3𝑦 2𝑧 𝑓 𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 3𝑦 2𝑧 𝑥 1𝑑𝑓 𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 3𝑦 2𝑧 𝑑𝑥 Integral de linha 2ª possibilidade 1𝑑𝑓 𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 3𝑦 2𝑧 𝑑𝑥 𝑓 𝑥 𝑦 𝑧 𝑥𝑑𝑥 3 𝑦𝑑𝑥 2 𝑧𝑑𝑥 𝑓 𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 2 3𝑦 1𝑑𝑥 2𝑧 1𝑑𝑥 𝑓 𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 2 3𝑦𝑥 2𝑧𝑥 𝑔𝑦 𝑧 Integral de linha 2ª possibilidade 𝑓 𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 2 3𝑦𝑥 2𝑧𝑥 𝑔𝑦 𝑧 𝑓 𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 2 3𝑥𝑦 2𝑥𝑧 𝑔𝑦 𝑧 2ª etapa 𝑁 𝑥 𝑦 𝑧 𝑦 𝑓 𝑥 𝑦 𝑧 3𝑥 𝑦 𝑧 𝑦 𝑥 2 3𝑥𝑦 2𝑥𝑧 𝑔𝑦 𝑧 3𝑥 𝑦 𝑧 Integral de linha 2ª possibilidade 𝑦 𝑥 2 3𝑥𝑦 2𝑥𝑧 𝑔𝑦 𝑧 3𝑥 𝑦 𝑧 𝑦 𝑥 2 𝑦 3𝑥𝑦 𝑦 2𝑥𝑧 𝑦 𝑔𝑦 𝑧 3𝑥 𝑦 𝑧 0 3𝑥 0 𝑦 𝑔𝑦 𝑧 3𝑥 𝑦 𝑧 𝑦 𝑔 𝑦 𝑧 3𝑥 3𝑥 𝑦 𝑧 𝑦 𝑔 𝑦 𝑧 𝑦 𝑧 Integral de linha 2ª possibilidade 𝑔 𝑦 𝑧 𝑦𝑑𝑦 𝑧𝑑𝑦 𝑔 𝑦 𝑧 𝑦 2 𝑧𝑦 ℎ𝑧 𝑔 𝑦 𝑧 𝑦 2 𝑦𝑧 ℎ𝑧 𝑓 𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 2 3𝑥𝑦 2𝑥𝑧 𝑔𝑦 𝑧 𝑓 𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 2 3𝑥𝑦 2𝑥𝑧 𝑦 2 𝑦𝑧 ℎ𝑧 Integral de linha 2ª possibilidade 𝑓 𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 2 3𝑥𝑦 2𝑥𝑧 𝑦 2 𝑦𝑧 ℎ𝑧 3ª etapa 𝑃 𝑥 𝑦 𝑧 𝑍 𝑓 𝑥 𝑦 𝑧 2𝑥 𝑦 2𝑧 𝑧 𝑥 2 3𝑥𝑦 2𝑥𝑧 𝑦 2 𝑦𝑧 ℎ𝑧 2𝑥 𝑦 2𝑧 ℎ 𝑧 𝑧 𝐶 Integral de linha 2ª possibilidade 𝑓 𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 2 3𝑥𝑦 2𝑥𝑧 𝑦 2 𝑦𝑧 ℎ𝑧 ℎ 𝑧 𝑧 𝐶 𝑓 𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 2 3𝑥𝑦 2𝑥𝑧 𝑦 2 𝑦𝑧 𝑧 𝐶 Integral de linha 2ª possibilidade 𝑥 3𝑦 2𝑧 𝑑𝑥 3𝑥 3𝑦 𝑧 𝑑𝑦 2𝑥 𝑦 2𝑧 𝑑𝑧 𝐹𝑑𝑟 𝑀 𝑥 𝑦 𝑧 𝑑𝑥 𝑁 𝑥 𝑦 𝑧 𝑑𝑦 𝑃 𝑥 𝑦 𝑧 𝑑𝑧 𝑓𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 𝑦 𝑧 𝑓 𝑥 𝑦 𝑧 𝑓 𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 3𝑦 2𝑧 𝑑𝑥 3𝑥 3𝑦 𝑧 𝑑𝑦 2𝑥 𝑦 2𝑧 𝑑𝑧 Integral de linha 2ª possibilidade 𝑥 3𝑦 2𝑧 𝑑𝑥 3𝑥 3𝑦 𝑧 𝑑𝑦 2𝑥 𝑦 2𝑧 𝑑𝑧 E 𝑥 2 3𝑥𝑦 2𝑥𝑧 𝑦 2 𝑦𝑧 𝑧 𝐶 4 27 242 Integral de linha 2ª possibilidade 𝑥 3𝑦 2𝑧 𝑑𝑥 3𝑥 3𝑦 𝑧 𝑑𝑦 2𝑥 𝑦 2𝑧 𝑑𝑧 E 𝑥 2 3𝑥𝑦 2𝑥𝑧 𝑦 2 𝑦𝑧 𝑧 𝐶 4 27 242 53 Integral de linha 3ª possibilidade A integral de linha da função vetorial 𝐹 𝑥 𝑦 𝑧 ao longo da curva C é dada pela equação paramétrica 𝑟 𝑡 𝑥 𝚤 𝑦 𝚥 𝑧8𝑘 é dada por 𝐹𝑟 𝑡 𝑟 𝑡 𝑑𝑡 Integral de linha 3ª possibilidade forma de avaliação paramétrica vetorial Exemplo 4 Determine o trabalho realizado por uma força 𝐹 𝑥 𝑦 𝑦 𝚤 𝑥 𝑦 𝚥 representado pela integral curvilínea 𝑦𝑑𝑥 𝑥 𝑦 𝑑𝑦 ao longo do caminho 𝐶 sendo 𝐶 dado por 𝑦 𝑥 2𝑥 de 00 a 28 Integral de linha 3ª possibilidade 𝐹 𝑥 𝑦 𝑦 𝚤 𝑥 𝑦 𝚥 𝑦 𝑥 2𝑥 𝐹𝑟 𝑡 𝑟 𝑡 𝑑𝑡 Se 𝑥 𝑡 então 𝑦 𝑥 2𝑥 𝑦 𝑡 2𝑡 𝐹 𝑥 𝑦 𝑦 𝚤 𝑥 𝑦 𝚥 𝐹 𝑟 𝑡 𝑡 2𝑡 𝚤 𝑡 𝑡 2𝑡 𝚥 Integral de linha 3ª possibilidade 𝐹 𝑟 𝑡 𝑡 2𝑡 𝚤 𝑡 𝑡 2𝑡 𝚥 𝐹 𝑟 𝑡 𝑡 2𝑡 𝚤 𝑡 3𝑡 𝚥 A equação paramétrica é dada por 𝑟 𝑡 𝑥 𝚤 𝑦 𝚥 𝑧8𝑘 𝑟 𝑡 𝑥 𝚤 𝑦 𝚥 Como 𝑥 𝑡 e 𝑦 𝑡 2𝑡 então 𝑟 𝑡 𝑥 𝚤 𝑦 𝚥 𝑟 𝑡 𝑡 𝚤 𝑡 2𝑡 𝚥 𝑟 𝑡 1 𝚤 2𝑡 2 𝚥 Como 𝑥 𝑡 e 0 𝑥 2 então 0 𝑡 2 Integral de linha 3ª possibilidade 𝐹 𝑟 𝑡 𝑡 2𝑡 𝚤 𝑡 3𝑡 𝚥 𝑟 𝑡 1 𝚤 2𝑡 2 𝚥 0 𝑡 2 A partir dessas informações e sabendo que a integral curvilínea relacionada com a equação paramétrica é por 𝐹𝑟 𝑡 𝑟 𝑡 𝑑𝑡 então 𝐹𝑟 𝑡 𝑟 𝑡 𝑑𝑡 𝑡 2𝑡 𝚤 𝑡 3𝑡 𝚥 1 𝚤 2𝑡 2 𝚥 𝑑𝑡 Integral de linha 3ª possibilidade 𝑡 2𝑡 𝚤 𝑡 3𝑡 𝚥 1 𝚤 2𝑡 2 𝚥 𝑑𝑡 O produto escalar entre dois vetores resulta em uma expressão algébrica 𝑡 2𝑡 𝚤 𝑡 3𝑡 𝚥 1 𝚤 2𝑡 2 𝚥 𝑑𝑡 𝑡 2𝑡 𝚤 1 𝚤 𝑡 3𝑡 𝚥 2𝑡 2 𝚥 𝑑𝑡 𝑡 2𝑡 1 𝑡 3𝑡 2𝑡 2 𝑑𝑡 𝑡 2𝑡 2𝑡 2𝑡 6𝑡 6𝑡 𝑑𝑡 2𝑡 9𝑡 8𝑡 𝑑𝑡 Integral de linha 3ª possibilidade 2𝑡 9𝑡 8𝑡 𝑑𝑡 2 E 𝑡 4 9 𝑡 3 8 𝑡 2 𝑡 2 𝑡 0 2 2 4 9 2 3 8 2 2 2 0 4 9 0 3 8 0 2 2 2 4 9 2 3 8 2 2 32 4 72 3 32 2 8 24 16 48 𝑾 𝟒𝟖 𝑱 Integral de linha 3ª possibilidade Exemplo 5 Determine a integral curvilínea de linha da função vetorial 𝐹 𝑥 𝑦 𝑧 𝑦 𝑥 𝚤 𝑧 𝑦 𝚥 𝑥 𝑧𝑘 com equação paramétrica 𝑟 𝑡 𝑡 𝚤 𝑡 𝚥 𝑡𝑘 para o intervalo fechado 𝑡 01 Integral de linha 3ª possibilidade 𝑟 𝑡 𝑡 𝚤 𝑡 𝚥 𝑡8𝑘 𝑟 𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 𝚤 𝑦 𝚥 𝑧8𝑘 Z 𝑥 𝑡 𝑦 𝑡 𝑧 𝑡 𝑟 𝑡 1 𝚤 2𝑡 𝚥 3𝑡8𝑘 𝐹 𝑥 𝑦 𝑧 𝑦 𝑥 𝚤 𝑧 𝑦 𝚥 𝑥 𝑧8𝑘 𝐹 𝑟𝑡 𝑡 𝑡 𝚤 𝑡 𝑡 𝚥 𝑡 𝑡 8𝑘 𝐹 𝑟𝑡 0 𝚤 𝑡 𝑡 𝚥 𝑡 𝑡8𝑘 Integral de linha 3ª possibilidade A partir dessas informações e sabendo que a integral curvilínea relacionada com a equação paramétrica é por 𝐹𝑟 𝑡 𝑟 𝑡 𝑑𝑡 então 𝑡 01 𝐹𝑟 𝑡 𝑟 𝑡 𝑑𝑡 0 𝚤 𝑡 𝑡 𝚥 𝑡 𝑡8𝑘 1 𝚤 2𝑡 𝚥 3𝑡8𝑘 𝑑𝑡 0 1 𝑡 𝑡 2𝑡 𝑡 𝑡 3𝑡 𝑑𝑡 Integral de linha 3ª possibilidade 0 1 𝑡 𝑡 2𝑡 𝑡 𝑡 3𝑡 𝑑𝑡 2𝑡 2𝑡 3𝑡 3𝑡 𝑑𝑡 3𝑡 2𝑡 2𝑡 3𝑡 𝑑𝑡 3 E 𝑡 9 2 𝑡 6 2 𝑡 5 3 𝑡 4 𝑡 1 𝑡 0 Integral de linha 3ª possibilidade 3 E 𝑡 9 2 𝑡 6 2 𝑡 5 3 𝑡 4 𝑡 1 𝑡 0 3 1 9 2 1 6 2 1 5 3 1 4 3 0 9 2 0 6 2 0 5 3 0 4 3 1 9 2 1 6 2 1 5 3 1 4 3 9 2 6 2 5 3 4 1 3 1 3 2 5 3 4 2 3 2 5 3 4 40 24 45 60 69 60 Integral de linha 4ª possibilidade forma do comprimento do arco Exemplo 6 Determine o trabalho realizado por uma força 𝐹 𝑥 𝑦 𝑦 𝚤 𝑥 𝑦 𝚥 representado pela integral curvilínea 𝑦𝑑𝑥 𝑥 𝑦 𝑑𝑦 ao longo do caminho 𝐶 sendo 𝐶 dado por 𝑦 𝑥 2𝑥 de 00 a 28 Integral de linha 4ª possibilidade O comprimento de um arco ao longo do caminho C é dado por 𝑑𝑠 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑠 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑠 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑑𝑠 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Integral de linha 4ª possibilidade 𝑓 𝑥 𝑦 𝑑𝑠 𝑓 𝑥𝑡 𝑦𝑡 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑦 𝑥 2𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 2𝑥 2 𝑑𝑦 2𝑥 2 𝑑𝑥 𝑑𝑠 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑑𝑡 2𝑥 2 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑑𝑡 2𝑥 2 𝑑𝑥 𝑑𝑡 Integral de linha 4ª possibilidade 𝑑𝑠 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑑𝑡 2𝑥 2 𝑑𝑥 𝑑𝑡 1 𝑑𝑥 𝑑𝑡 2𝑥 2 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑑𝑠 𝑑𝑡 1 2𝑥 2 𝑑𝑥 𝑑𝑡 1 2𝑥 2 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑑𝑠 1 2𝑥 2 𝑑𝑥 𝑑𝑠 1 2𝑥 2 2𝑥 2 𝑑𝑥 𝑑𝑠 1 4𝑥 8𝑥 4 𝑑𝑥 Integral de linha 4ª possibilidade 𝑑𝑠 1 4𝑥 8𝑥 4 𝑑𝑥 𝑑𝑠 4𝑥 8𝑥 5𝑑𝑥 𝑓 𝑥 𝑦 𝑑𝑠 𝑓 𝑥 0 4𝑥 8𝑥 5𝑑𝑥 𝑓 𝑥 0 𝑓𝑥 𝑥 2𝑥 𝑓 𝑥 𝑦 𝑑𝑠 𝑥 2𝑥 4𝑥 8𝑥 5𝑑𝑥 Integral de linha 4ª possibilidade 𝑑𝑠 1 4𝑥 8𝑥 4 𝑑𝑥 𝑑𝑠 4𝑥 8𝑥 5𝑑𝑥 𝑓 𝑥 𝑦 𝑑𝑠 𝑓 𝑥 0 4𝑥 8𝑥 5𝑑𝑥 𝑓 𝑥 𝑦 𝑥𝑦 𝑦 2 𝐶 𝑓 𝑥 𝑦 𝑑𝑠 𝑥𝑦 𝑦 2 4𝑥 8𝑥 5𝑑𝑥 𝑥 𝑥 2𝑥 𝑥 2𝑥 2 4𝑥 8𝑥 5𝑑𝑥 Integral de linha 4ª possibilidade 𝑥 𝑥 2𝑥 𝑥 2𝑥 2 4𝑥 8𝑥 5𝑑𝑥 𝑥 2𝑥 𝑥 2𝑥 𝑥 2𝑥 2 4𝑥 8𝑥 5𝑑𝑥 𝑥 2𝑥 1 2 𝑥 4𝑥 4𝑥 4𝑥 8𝑥 5𝑑𝑥 𝑥 2 4𝑥 2 𝑥 4𝑥 2 2𝑥 4𝑥 8𝑥 5𝑑𝑥 Integral de linha 4ª possibilidade 𝑥 2 4𝑥 2 𝑥 4𝑥 2 2𝑥 4𝑥 8𝑥 5𝑑𝑥 𝑥 2 4𝑥 2 2𝑥 2 4𝑥 2 4𝑥 2 4𝑥 8𝑥 5𝑑𝑥 𝑥 2 6𝑥 2 8𝑥 2 4𝑥 8𝑥 5𝑑𝑥 𝑥 2 𝑥 6𝑥 8 4𝑥 8𝑥 5𝑑𝑥 Integral de linha 4ª possibilidade forma do comprimento do arco C Exemplo 7 Determine a integral curvilínea 𝑥𝑦𝑑𝑠 ao longo do caminho 𝐶 sendo 𝐶 dado por 𝑦 0 de 00 a 1 Integral de linha 4ª possibilidade O comprimento de um arco ao longo do caminho C é dado por 𝑑𝑠 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑠 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑠 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑑𝑠 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Integral de linha 4ª possibilidade 𝑓 𝑥 𝑦 𝑑𝑠 𝑓 𝑥𝑡 𝑦𝑡 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑦 𝑥 2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑥 𝑑𝑦 𝑥𝑑𝑥 𝑑𝑠 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑥𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑡 Integral de linha 4ª possibilidade 𝑑𝑠 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑥𝑑𝑥 𝑑𝑡 1 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑑𝑠 𝑑𝑡 1 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑡 1 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑑𝑠 1 𝑥𝑑𝑥 Integral de linha 4ª possibilidade 𝑑𝑠 1 𝑥𝑑𝑥 𝑓 𝑥 𝑦 𝑑𝑠 𝑥𝑦 1 𝑥𝑑𝑥 𝑥 𝑥 2 1 𝑥𝑑𝑥 𝑥 2 1 𝑥 𝑑𝑥 𝑢 1 𝑥 𝑥 𝑢 1 𝑑𝑢 𝑑𝑥 2𝑥 𝑑𝑢 2𝑥 𝑑𝑥 Integral de linha 4ª possibilidade 𝑢 1 𝑥 𝑥 𝑢 1 𝑑𝑢 𝑑𝑥 2𝑥 𝑑𝑢 2𝑥 𝑑𝑥 𝑥 2 1 𝑥 𝑑𝑥 𝑥 2 𝑢 𝑑𝑢 2𝑥 𝑥 2 𝑢 𝑑𝑢 2 𝑢 1 2 𝑢 𝑑𝑢 2 Integral de linha 4ª possibilidade 𝑢 1 2 𝑢 𝑑𝑢 2 1 4 𝑢 1 𝑢𝑑𝑢 1 4 𝑢 𝑢 𝑑𝑢 1 4 𝑢 5 2 𝑢 3 2 𝑥 1 𝑥 0 1 4 a 2 5 𝑢 2 3 𝑢 𝑥 1 𝑥 0 1 4 a 2 5 1 𝑥 2 3 1 𝑥 𝑥 1 𝑥 0 1 4 2 5 1 1 2 3 1 1 2 5 1 0 2 3 1 0 1 4 2 5 2 2 3 2 2 5 1 2 3 1 1 4 2 5 2 2 2 3 2 2 2 5 2 3 Integral de linha 4ª possibilidade 1 4 2 5 2 2 2 3 2 2 2 5 2 3 1 4 2 5 2 2 2 3 2 2 6 10 15 1 4 8 2 5 4 2 3 16 15 1 4 24 2 20 2 15 16 15 1 4 44 2 15 16 15 Integral de linha 4ª possibilidade 1 4 44 2 15 16 15 1 4 44 2 16 15 11 2 4 15