Equações Diferenciais de 1ª Ordem Separáveis - Cálculo IV

Equação Diferencial de 1ª Ordem Separável Parte 01 Cálculo IV Facens Prof Isaías Goldschmidt EQUAÇÃO DIFERENCIAL GERAL A equação diferencial é aquela que contém uma função desconhecida com uma ou mais de suas derivadas A ordem de uma equação diferencial é aquela ordem da derivada de mais alta que ocorre na equação Por exemplo a taxa de crescimento populacional que segue abaixo é uma equação diferencial de primeira ordem já que está relacionada com uma derivada primeira Enquanto que um sistema massamola sem amortecimento é descrito pela equação diferencial de segunda ordem porque envolve uma derivada segunda Equação Diferencial de 1ª Ordem Cálculo IV 𝑑𝑃 𝑡 𝑑𝑡 𝑘𝑃 𝑑𝑥𝑡 𝑑𝑡 𝑘 𝑚 𝑥 EQUAÇÃO DIFERENCIAL GERAL A solução de uma equação diferencial ordinária é uma função do tipo 𝑦 𝑓𝑥 que quando substituída na equação diferencial satisfaça a igualdade Exemplo 1 A equação diferencial de primeira ordem tem como solução geral um conjunto de funções e uma solução particular para o caso específico de valor inicial 𝑦 0 2 igual a Equação Diferencial de 1ª Ordem Cálculo IV 𝑦 𝑥 𝑦 𝑥 4 𝐶 𝑦 𝑥 4 2 EQUAÇÃO DIFERENCIAL GERAL O raciocínio para determinar a solução geral é Equação Diferencial de 1ª Ordem Cálculo IV 𝑦 𝑥 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑥 A solução desta equação diferencial de primeira é uma função primitiva de Cálculo II que derivada em relação a variável x é igual a 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑 𝑑𝑥 𝑥 4 1 4 𝑑 𝑑𝑥 𝑥 1 4 4𝑥 𝑥 Mas será que apenas a solução 𝑦 é possível Se tivesse 𝑦 3 então 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑 𝑑𝑥 𝑥 4 3 1 4 𝑑 𝑑𝑥 𝑥 𝑑 𝑑𝑥 3 1 4 4𝑥 0 𝑥 Independente do valor real arbitrário C que acompanhar a função o resultado da derivada será 𝑥 Generalizando a solução geral será 𝒚 𝒙𝟒 𝟒 𝑪 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM SEPARÁVEL Uma das equações diferenciais de 1ª Ordem mais simples é aquela que é possível separar as variáveis 𝑥 e 𝑦 na igualdade dada isto é a variável 𝑦 no primeiro membro da igualdade lado esquerdo é separada da variável 𝑥 que fica no segundo membro da igualdade lado direito De outra forma uma equação diferencial ordinária de 1ª ordem separável é aquela em que o lado direito da igualdade pode ser separado em duas funções uma em função da variável 𝑥 𝑔𝑥 e outra da variável 𝑦 𝑓𝑦 Equação Diferencial de 1ª Ordem Cálculo IV 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑔 𝑥 𝑓𝑦 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM SEPARÁVEL Equação Diferencial de 1ª Ordem Cálculo IV 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑔 𝑥 𝑓𝑦 1 𝑓𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑔 𝑥 Se ℎ 𝑦 então ℎ𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑔 𝑥 ℎ𝑦𝑑𝑦 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 Integrando ambos os lados obtémse 5 ℎ𝑦𝑑𝑦 5 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 Agora resolvese ambas as integrais e encontra a solução geral 𝑦 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM SEPARÁVEL Exemplo 2 A partir da equação diferencial de 1ª ordem Determine a a solução geral da equação diferencial b a solução particular que satisfaça a condição inicial 𝑦 0 2 Equação Diferencial de 1ª Ordem Cálculo IV 𝑦6𝑦7 𝑥6 0 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM SEPARÁVEL Equação Diferencial de 1ª Ordem Cálculo IV a 𝑦𝑦 𝑥 0 A primeira observação que se faz é identificar que é uma equação diferencial de primeira ordem Neste caso é aconselhável tentar deixar como uma equação diferencial de primeira ordem separável Para isso tenta deixar a variável y no primeiro membro da igualdade enquanto a variável x fica no segundo membro 𝑦𝑦 𝑥 Como 𝑦 então 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑥 𝑦𝑑𝑦 𝑥𝑑𝑥 5 𝑦𝑑𝑦 5 𝑥𝑑𝑥 𝑦 3 𝐶 𝑥 3 𝐶 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM SEPARÁVEL Equação Diferencial de 1ª Ordem Cálculo IV 𝑦 3 𝐶 𝑥 3 𝐶 Como 𝐶 𝐶 𝐶 a soma subtração multiplicação ou divisão entre dois valores arbitrários 𝐶 e 𝐶 resulta em uma valor arbitrário C então é desnecessário trabalhar com a constante 𝐶 e 𝐶 e usase apenas uma constante C 𝑦 3 𝑥 3 𝐶 A solução geral é dada pela função 𝑦 𝑓𝑥 então devese isolar a variável 𝑦 𝑦 3𝑥 3 3𝐶 Como 3𝐶 continua sendo uma constante arbitrária então colocase apenas uma constante 𝐾 𝑦 𝑥 𝐾 Assim a solução geral da EDO é 𝒚 𝟑 𝒙𝟑 𝑲 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM SEPARÁVEL Equação Diferencial de 1ª Ordem Cálculo IV b 𝒚 𝟑 𝒙𝟑 𝑲 A condição inicial 𝑦 0 2 significa que quando x vale zero 𝑥 0 então y é igual a dois 𝑦 2 Substituindo esses valores na solução geral determinada no item a 𝑦 𝑥 𝐾 2 0 𝐾 2 0 𝐾 8 𝐾 A constante arbitrária é 𝐾 8 A solução particular para a condição inicial 𝑦 0 2 é dada por 𝑦 𝑥 𝐾 𝒚 𝟑 𝒙𝟑 𝟖 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM SEPARÁVEL Exemplo 3 Determine a solução geral da equação diferencial de 1ª ordem Equação Diferencial de 1ª Ordem Cálculo IV 𝑦7 𝑥𝑦 0 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM SEPARÁVEL Equação Diferencial de 1ª Ordem Cálculo IV 𝑦 𝑥𝑦 0 𝑦 𝑥𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑥𝑦 1 𝑦 𝑑𝑦 𝑥𝑑𝑥 5 1 𝑦 𝑑𝑦 5 𝑥𝑑𝑥 ln 𝑦 𝑥 4 𝐶 É necessário isolar 𝑦 Para isso usase uma propriedade de logaritmo log 𝑎 𝑥 então 𝑏 𝑎 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM SEPARÁVEL Equação Diferencial de 1ª Ordem Cálculo IV ln 𝑦 𝑥 4 𝐶 log 𝑎 𝑥 então 𝑏 𝑎 𝑦 𝑒 01 𝑦 𝑒 𝑒1 O número neperiano 𝑒 27183 elevado a uma constante arbitrária 𝐶 continua sendo uma constante arbitrária que será denotada por 𝐾 isto é 𝑒2 𝐾 Então 𝑦 𝑒 𝑒1 𝑒 𝐾 𝒚 𝑲𝒆 𝒙𝟒 𝟒 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM SEPARÁVEL Exemplo 4 Determine a solução geral e a solução particular para a condição inicial 𝑦 0 2 da equação diferencial de 1ª ordem Equação Diferencial de 1ª Ordem Cálculo IV 1 𝑒J 𝑦𝑦7 𝑒J 0 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM SEPARÁVEL Equação Diferencial de 1ª Ordem Cálculo IV 1 𝑒J 𝑦𝑦7 𝑒J 0 1 𝑒J 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑒J 1 𝑒J 𝑦𝑑𝑦 𝑒J𝑑𝑥 𝑦𝑑𝑦 𝑒J 1 𝑒J 𝑑𝑥 𝑦 𝑑𝑦 𝑒J 1 𝑒J 𝑑𝑥 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM SEPARÁVEL Equação Diferencial de 1ª Ordem Cálculo IV 5 𝑦 𝑑𝑦 5 𝑒 1 𝑒 𝑑𝑥 Usando a regra da cadeia aplicada a integrais chamase 𝑢 1 𝑒 e deriva u em relação a variável x 3 4 4 1 𝑒 𝑒 então 𝑑𝑢 𝑒dx e por fim 5 𝑑𝑢 𝑑x Substituindo 𝑢 1 𝑒 e 5 𝑑𝑢 𝑑x na integral y𝑑y 05 𝑑x então 𝑦 2 5 𝒆𝒙 𝑢 1 𝒆𝒙 𝑑u 𝑦 2 5 𝟏 𝑢 𝑑u EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM SEPARÁVEL Equação Diferencial de 1ª Ordem Cálculo IV 𝑦 2 5 𝟏 𝑢 𝑑𝑥 𝑦 2 ln 𝑢 𝐶 𝑦 2 ln 1 𝑒 2𝐶 𝒚 𝟐 𝐥𝐧 𝟏 𝒆𝒙 𝑲 Usando a condição inicial 𝑦 0 2 temse que 2 2 ln 1 𝑒6 𝐾 2 2ln 2 K 𝑲 𝟒 𝟐𝐥𝐧𝟐 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM SEPARÁVEL Equação Diferencial de 1ª Ordem Cálculo IV Substituindo o valor da constante arbitrária K 4 2ln2 na solução geral 𝑦 2 ln 1 𝑒 𝐾 determinase a solução particular dada a seguir 𝒚 𝟐 𝐥𝐧 𝟏 𝒆𝒙 𝟒 𝟐𝐥𝐧𝟐 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM SEPARÁVEL Exemplo 5 Considere um circuito elétrico resistivo indutivo 𝑅𝐿 que contém uma força eletromotriz dado por uma pilha ou um gerador que produz uma tensão 𝐸𝑡 volts 𝑉 e uma corrente elétrica 𝐼𝑡 amperes 𝐴 em um instante 𝑡 O circuito também possui um resistor com resistência de 𝑅 ohms Ω e um indutor com indutância de 𝐿 henrys 𝐻 Considere que a resistência seja 12 Ω a indutância 4 𝐻 e a pilha forneça uma tensão constante de 60 𝑉 Equação Diferencial de 1ª Ordem Cálculo IV EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM SEPARÁVEL Determine a a função corrente elétrica em um instante t qualquer b a corrente elétrica máxima no circuito c a função corrente elétrica no instante em que o interruptor é ligado Equação Diferencial de 1ª Ordem Cálculo IV EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM SEPARÁVEL Equação Diferencial de 1ª Ordem Cálculo IV a a corrente elétrica em um instante t As leis de Kirchhoff são utilizadas em circuitos elétricos mais complexos quando não é simples determinar as correntes elétricas do circuito elétrico A primeira lei ou Lei dos Nós diz que a soma das correntes que entram é igual a soma das correntes que saem A segunda lei mais conhecida pela Lei das Malhas diz que em um determinado sentido percorrido a soma da tensão de cada elemento da malha é nula 𝑡𝑒𝑛𝑠ã𝑜7895 𝑡𝑒𝑛𝑠ã𝑜597 𝑡𝑒𝑛𝑠ã𝑜8397 0 𝑡𝑒𝑛𝑠ã𝑜8397𝑡𝑒𝑛𝑠ã𝑜597 𝑡𝑒𝑛𝑠ã𝑜7895 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM SEPARÁVEL Equação Diferencial de 1ª Ordem Cálculo IV 𝑡𝑒𝑛𝑠ã𝑜7895 𝑡𝑒𝑛𝑠ã𝑜597 𝑡𝑒𝑛𝑠ã𝑜8397 0 𝑡𝑒𝑛𝑠ã𝑜8397𝑡𝑒𝑛𝑠ã𝑜597 𝑡𝑒𝑛𝑠ã𝑜7895 𝑈 𝑈 𝐸𝑡 Como a tensão no indutor é 𝑈 𝐿 9 9 e a tensão no resistor é 𝑈 𝑅 𝐼𝑡 então a equação básica da lei das malhas em um circuito elétrico RL é 𝑳 𝒅𝑰𝒕 𝒅𝒕 𝑹 𝑰 𝒕 𝑬𝒕 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM SEPARÁVEL Equação Diferencial de 1ª Ordem Cálculo IV 𝑳 𝒅𝑰𝒕 𝒅𝒕 𝑹 𝑰 𝒕 𝑬𝒕 Sendo 𝐿 4 𝐻 𝑅 12 Ω e 𝐸 𝑡 60 𝑉 então temse uma equação diferencial de 1ª ordem 4 𝑑𝐼𝑡 𝑑𝑡 12 𝐼 𝑡 60 𝑑𝐼𝑡 𝑑𝑡 3 𝐼 𝑡 15 Essa EDO pode ser deixada na forma separável 𝒅𝑰𝒕 𝒅𝒕 𝟏𝟓 𝟑 𝑰 𝒕 Para simplificar a função corrente que varia com o tempo 𝐼𝑡 pode ser representada simplesmente como 𝐼 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM SEPARÁVEL Equação Diferencial de 1ª Ordem Cálculo IV 𝑑𝐼 𝑑𝑡 15 3𝐼 𝑑𝐼 15 3𝐼 𝑑𝑡 1 15 3𝐼 𝑑𝐼 𝑑𝑡 5 1 15 3𝐼 𝑑𝐼 5 𝑑𝑡 Usando a regra da cadeia aplicada a integrais chamase 𝑢 15 3𝐼 e deriva u em relação a variável I 3 15 3𝐼 3 então 𝑑𝑢 3𝑑𝐼 e por fim 𝑑𝑢 𝑑𝐼 Substituindo 𝑢 15 3𝐼 e 𝑑𝑢 𝑑𝐼 na integral A 𝑑𝐼 𝑑𝑡 então EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM SEPARÁVEL Equação Diferencial de 1ª Ordem Cálculo IV Substituindo 𝑢 15 3𝐼 e 𝑑𝑢 𝑑𝐼 na integral A 𝑑𝐼 𝑑𝑡 então 5 1 𝑢 1 3 𝑑𝑢 5 𝑑𝑡 1 3 5 1 𝑢 𝑑𝑢 5 𝑑𝑡 1 3 ln 𝑢 𝑡 𝐶 Como 𝑢 15 3𝐼 então 1 3 ln 15 3𝐼 𝑡 𝐶 1 3 ln 15 3𝐼 𝑡 𝐶 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM SEPARÁVEL Equação Diferencial de 1ª Ordem Cálculo IV 1 3 ln 15 3𝐼 𝑡 𝐶 ln 15 3𝐼 3𝑡 3𝐶 15 3𝐼 𝑒91 15 3𝐼 𝑒9𝑒1 Substituindo a constante 𝑒1 por outra constante mais simples 𝐾 15 3𝐼 𝑒9𝐾 3𝐼 15 𝐾𝑒9 3𝐼 15 𝐾𝑒9 𝐼 5 𝐾 3 𝑒9 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM SEPARÁVEL Equação Diferencial de 1ª Ordem Cálculo IV 𝐼 5 𝐾 3 𝑒9 Podese chamar a constante B de outra constante 𝐴 e obtémse a solução geral da EDO isto é a corrente elétrica no circuito segue a função 𝐼 5 𝐴𝑒9 Ou 𝑰𝒕 𝟓 𝑨𝒆𝟑𝒕 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM SEPARÁVEL Equação Diferencial de 1ª Ordem Cálculo IV b a corrente elétrica máxima no circuito 𝑰𝒕 𝟓 𝑨𝒆𝟑𝒕 A corrente máxima no circuito equivale dizer o limite da corrente elétrica quando o tempo tende ao infinito 𝐼DE lim 9 G 𝐼𝑡 lim 9 G 𝐼 𝑡 lim 9 G 5 𝐴𝑒9 lim 9 G 5 lim 9 G 𝐴𝑒9 5 𝐴 lim 9 G 𝑒9 𝐼DE lim 9 G 𝐼 𝑡 5 𝐴 lim 9 G 1 𝑒9 5 𝐴 0 5 𝑰𝒎𝒂𝒙 𝟓 𝑨 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM SEPARÁVEL Equação Diferencial de 1ª Ordem Cálculo IV c a função corrente elétrica no instante em que o interruptor é ligado 𝑰𝒕 𝟓 𝑨𝒆𝟑𝒕 A corrente em função do tempo no circuito admite uma solução particular dado a condição inicial 𝐼 𝑡 0 𝑠 0 𝐴 ou simplesmente 𝐼 0 0 𝐼𝑡 5 𝐴𝑒9 𝐼 𝑡 0 5 𝐴𝑒6 0 5 𝐴 0 𝐴 5 Assim a corrente elétrica no instante inicial é dado pela função 𝑰𝒕 𝟓 𝟓𝒆𝟑𝒕