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Engenharia Química ·
Cálculo 4
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Cálculo IV Prof Isáias Goldschmidt Exercícios complementares Exemplos complementares Determine a solução geral da EDO de segunda ordem não homogênea a 𝑦 7𝑦 12𝑦 𝑐𝑜𝑠𝑥 b 𝑦 𝑦 𝑥 𝑥 Exercícios complementares a 𝑦 7𝑦 12𝑦 𝑐𝑜𝑠𝑥 Solução da parte homogênea 𝑦 7𝑦 12𝑦 0 𝑟 7𝑟 12 0 𝑏 4𝑎𝑐 7 4 5 1 5 12 49 48 1 𝑟 𝑏 2𝑎 7 1 2 5 1 7 1 2 𝑟 4 𝑟 3 Exercícios complementares 𝑟 4 𝑟 3 𝑦 𝑥 𝐶 3 𝑒 𝐶 3 𝑒 𝑦 𝑥 𝐶 3 𝑒 𝐶 3 𝑒 Exercícios complementares Solução da parte não homogênea 𝑦 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑥 𝐵𝑠𝑒𝑛𝑘𝑥 𝑦 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝐵𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑦 𝐴 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝐵𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝐴𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝐵𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑦 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝐵 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝐵𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑦 7𝑦 12𝑦 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝐵𝑠𝑒𝑛 𝑥 7 𝐴𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝐵𝑐𝑜𝑠 𝑥 12 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝐵𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝐵𝑠𝑒𝑛 𝑥 7𝐴𝑠𝑒𝑛 𝑥 7𝐵𝑐𝑜𝑠 𝑥 12𝐴𝑐𝑜𝑠 𝑥 12𝐵𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝐴 7𝐵 12𝐴 cos 𝑥 𝐵 7𝐴 12𝐵 𝑠𝑒𝑛 𝑥 1 cos 𝑥 0𝑠𝑒𝑛𝑥 Exercícios complementares 𝐴 7𝐵 12𝐴 cos 𝑥 𝐵 7𝐴 12𝐵 𝑠𝑒𝑛 𝑥 1 cos 𝑥 0𝑠𝑒𝑛𝑥 𝐴 7𝐵 12𝐴 1 𝐵 7𝐴 12𝐵 0 11𝐴 7𝐵 1 7𝐴 11𝐵 0 B 11𝐴 7𝐵 1 𝐵 7𝐴 11 11𝐴 7𝐵 1 11𝐴 7 7𝐴 11 1 11𝐴 49𝐴 11 1 Exercícios complementares 11𝐴 49𝐴 11 1 121𝐴 49𝐴 11 1 170𝐴 11 1 𝐴 11 170 𝐵 7𝐴 11 7 11 11 170 7 170 𝐵 7 170 Exercícios complementares 𝐴 e 𝐵 𝑦 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝐵𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑦 11 170 𝑐𝑜𝑠 𝑥 7 170 𝑠𝑒𝑛𝑥 A solução geral da EDO de 2ª ordem não homogênea 𝑦 7𝑦 12𝑦 𝑐𝑜𝑠𝑥 é igual a 𝑦 𝑥 𝑦𝑥 𝑦𝑥 𝑦 𝑥 𝐶 O 𝑒 𝐶 O 𝑒 11 170 𝑐𝑜𝑠 𝑥 7 170 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝒚 𝒙 𝑪𝟏 O 𝒆𝟒𝒙 𝑪𝟐 O 𝒆𝟑𝒙 𝟏𝟏 𝟏𝟕𝟎 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝟕 𝟏𝟕𝟎 𝒔𝒆𝒏𝒙 Exercícios complementares b 𝑦 𝑦 𝑥 𝑥 Solução da parte homogênea 𝑦 𝑦 0 𝑦 0𝑦 𝑦 0 𝑟 0𝑟 1 0 𝑟 1 0 𝑟 1 𝑟 1 𝑗 0 1𝑗 𝑟 𝛼 𝛽𝑗 Exercícios complementares 𝑟 1 𝑗 0 1𝑗 𝑟 𝛼 𝛽𝑗 𝛼 0 e 𝛽 1 𝑦 𝑥 𝑒 𝐶 cos 𝛽𝑥 𝐶 sen 𝛽𝑥 𝑦 𝑥 𝑒 𝐶 cos 1𝑥 𝐶 sen 1𝑥 𝑦 𝑥 𝐶 cos 𝑥 𝐶 sen 𝑥 Exercícios complementares Solução da parte não homogênea 𝑦 𝑥 𝐴𝑥 𝐵𝑥 𝐶 𝑦 𝑥 2𝐴𝑥 𝐵 𝑦 𝑥 2𝐴 𝑦 0𝑦 𝑦 𝑥 𝑥 2𝐴 0 2𝐴𝑥 𝐵 𝐴𝑥 𝐵𝑥 𝐶 1𝑥 1𝑥 0 Exercícios complementares 2𝐴 0 2𝐴𝑥 𝐵 𝐴𝑥 𝐵𝑥 𝐶 1𝑥 1𝑥 0 2𝐴 0 𝐴𝑥 𝐵𝑥 𝐶 1𝑥 1𝑥 0 𝐴𝑥 𝐵𝑥 2𝐴 𝐶 1𝑥 1𝑥 0 𝐴 1 𝐵 1 2𝐴 𝐶 0 𝐴 1 𝐵 1 𝐶 2𝐴 𝐴 1 𝐵 1 𝐶 21 𝐴 1 𝐵 1 𝐶 2 𝑦 𝑥 𝐴𝑥 𝐵𝑥 𝐶 𝑦 𝑥 1𝑥 1𝑥 2 Exercícios complementares A solução geral da EDO de 2ª ordem não homogênea𝑦 𝑦 𝑥 𝑥 é igual a 𝑦 𝑥 𝑦𝑥 𝑦𝑥 𝑦 𝑥 𝐶 cos 𝑥 𝐶 sen 𝑥 1𝑥 1𝑥 2 𝒚 𝒙 𝑪𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝑪𝟐 𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝒙𝟐 𝒙 𝟐 Exercícios complementares Exemplos complementares Suponha hipoteticamente um sistema massamola de massa 𝑚 10 𝑘𝑔 com amortecimento 𝑏 20 𝑁𝑠𝑚 e constante de elasticidade 𝐾 40 𝑁𝑚 que sofre a atuação de uma força externa dada por 𝐹 𝑐𝑜𝑠 3𝑡 𝑁 Determine a posição 𝑥𝑡 do corpo em metros m no instante 𝑡 18 𝑠 Considere a posição inicial igual a 1 𝑚 e a velocidade inicial 1 𝑚𝑠 e que a EDO de 2ª ordem apresentada abaixo representa o sistema massamola com amortecimento e atuação de uma força externa diferente de zero 𝒎𝒙 𝒕 𝒃𝒙 𝒕 𝒌𝒙 𝒕 𝑭𝒆𝒙𝒕 Exercícios complementares 𝒎𝒙 𝒕 𝒃𝒙 𝒕 𝒌𝒙 𝒕 𝑭𝒆𝒙𝒕 O sistema massamola com amortecimento e a atuação de uma força externa é representado por uma EDO de 2ª ordem não homogênea 10𝑥 𝑡 20𝑥 𝑡 40𝑥 𝑡 𝑐𝑜𝑠3𝑡 Solução da parte homogênea 1𝑥 𝑡 2𝑥 𝑡 4𝑥 𝑡 0 1𝑟 2𝑟 4 0 𝑏 4𝑎𝑐 4 4 1 4 12 𝑟 𝑏 2𝑎 2 12 2 2 12 1 2 2 12 1 2 2 2 2 3 2 𝑗 1 3𝑗 Exercícios complementares 𝑟 1 3𝑗 𝑟 𝛼 𝛽𝑗 𝛼 1 𝛽 3 𝑦 𝑥 𝑒 𝐶 cos 𝛽𝑥 𝐶𝑠𝑒𝑛𝛽𝑥 𝑥 𝑡 𝑒 𝐶 cos 𝛽𝑡 𝐶𝑠𝑒𝑛𝛽𝑡 𝑥 𝑡 𝑒 𝐶 cos 3𝑡 𝐶𝑠𝑒𝑛 3𝑡 𝑥 𝑡 𝑒 𝐶 cos 3𝑡 𝐶𝑠𝑒𝑛 3𝑡 Exercícios complementares 10𝑥 𝑡 20𝑥 𝑡 40𝑥 𝑡 𝑐𝑜𝑠3𝑡 Solução da parte não homogênea 𝑦 𝑥 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑥 𝐵𝑠𝑒𝑛𝑘𝑥 𝑥 𝑡 𝐴𝑐𝑜𝑠 3𝑡 𝐵𝑠𝑒𝑛3𝑡 𝑥 𝑡 𝐴 𝑠𝑒𝑛3𝑡 y 3 𝐵𝑐𝑜𝑠 3𝑡 y 3 3𝐴𝑠𝑒𝑛 3𝑡 3𝐵𝑐𝑜𝑠3𝑡 𝑥 𝑡 3𝐴𝑐𝑜𝑠 3𝑡 y 3 3𝐵 𝑠𝑒𝑛 3𝑡 y 3 9𝐴𝑐𝑜𝑠 3𝑡 9𝐵𝑠𝑒𝑛3𝑡 1𝑥 𝑡 2𝑥 𝑡 4𝑥 𝑡 𝑐𝑜𝑠3𝑡 1 9𝐴𝑐𝑜𝑠 3𝑡 9𝐵𝑠𝑒𝑛3𝑡 2 3𝐴𝑠𝑒𝑛 3𝑡 3𝐵𝑐𝑜𝑠3𝑡 4 𝐴𝑐𝑜𝑠 3𝑡 𝐵𝑠𝑒𝑛3𝑡 𝑐𝑜𝑠3𝑡 9𝐴𝑐𝑜𝑠 3𝑡 9𝐵𝑠𝑒𝑛 3𝑡 6𝐴𝑠𝑒𝑛 3𝑡 6𝐵𝑐𝑜𝑠3𝑡 4𝐴𝑐𝑜𝑠 3𝑡 4𝐵𝑠𝑒𝑛3𝑡 𝑐𝑜𝑠3𝑡 Exercícios complementares 9𝐴𝑐𝑜𝑠 3𝑡 9𝐵𝑠𝑒𝑛 3𝑡 6𝐴𝑠𝑒𝑛 3𝑡 6𝐵𝑐𝑜𝑠3𝑡 4𝐴𝑐𝑜𝑠 3𝑡 4𝐵𝑠𝑒𝑛3𝑡 𝑐𝑜𝑠3𝑡 9𝐴 6𝐵 4𝐴 cos 3𝑡 9𝐵 6𝐴 4𝐵 𝑠𝑒𝑛 3𝑡 1 cos 3𝑡 0𝑠𝑒𝑛3𝑡 5𝐴 6𝐵 cos 3𝑡 6𝐴 5𝐵 𝑠𝑒𝑛 3𝑡 1 cos 3𝑡 0𝑠𝑒𝑛3𝑡 b5𝐴 6𝐵 1 6𝐴 5𝐵 0 d 5𝐴 6𝐵 1 𝐴 01 2 5𝐴 6𝐵 1 5 5𝐵 6 6𝐵 1 25𝐵 6 6𝐵 1 Exercícios complementares 25𝐵 6 6𝐵 1 25𝐵 36𝐵 6 1 61𝐵 6 𝐵 6 61 𝐴 5𝐵 6 𝐴 5 6 6 61 5 61 𝐴 5 61 Exercícios complementares 𝐵 6 61 𝐴 5 61 𝑥 𝑡 𝐴𝑐𝑜𝑠 3𝑡 𝐵𝑠𝑒𝑛3𝑡 𝑥 𝑡 5 61 𝑐𝑜𝑠 3𝑡 6 61 𝑠𝑒𝑛3𝑡 𝑥 𝑡 5 61 𝑐𝑜𝑠 3𝑡 6 61 𝑠𝑒𝑛3𝑡 Exercícios complementares 𝑥 𝑡 𝑒01 𝐶 cos 3𝑡 𝐶𝑠𝑒𝑛 3𝑡 𝑥 𝑡 5 61 𝑐𝑜𝑠 3𝑡 6 61 𝑠𝑒𝑛3𝑡 𝑦 𝑥 𝑦2 𝑥 𝑦𝑥 𝑥 𝑡 𝑥2 𝑡 𝑥𝑡 𝑥 𝑡 𝑒01 𝐶 cos 3𝑡 𝐶𝑠𝑒𝑛 3𝑡 5 61 𝑐𝑜𝑠 3𝑡 6 61 𝑠𝑒𝑛3𝑡 Exercícios complementares 𝑥 𝑡 𝑒3 𝐶 cos 3𝑡 𝐶𝑠𝑒𝑛 3𝑡 5 61 𝑐𝑜𝑠 3𝑡 6 61 𝑠𝑒𝑛3𝑡 Para 𝑡 0 a posição é 𝑥𝑡 0 1 𝑥 0 𝑒 𝐶 cos 3 O 0 𝐶𝑠𝑒𝑛 3 O 0 5 61 𝑐𝑜𝑠 3 O 0 6 61 𝑠𝑒𝑛 3 O 0 1 𝐶 5 61 1 𝐶 1 5 61 61 5 61 66 61 𝐶 66 61 Exercícios complementares 𝑥 𝑡 𝑒3 𝐶 cos 3𝑡 𝐶𝑠𝑒𝑛 3𝑡 5 61 𝑐𝑜𝑠 3𝑡 6 61 𝑠𝑒𝑛3𝑡 𝐶 66 61 𝑥 𝑡 𝑒3 66 61 cos 3𝑡 𝐶𝑠𝑒𝑛 3𝑡 5 61 𝑐𝑜𝑠 3𝑡 6 61 𝑠𝑒𝑛3𝑡 Para 𝑡 0 a posição é v t 0 𝑥𝑡 0 1 𝑥 𝑡 𝑒3 1 O 66 61 cos 3𝑡 𝐶𝑠𝑒𝑛 3𝑡 𝑒3 O 66 61 𝑠𝑒𝑛 3𝑡 3 𝐶𝑐𝑜𝑠 3𝑡 3 15 61 𝑠𝑒𝑛 3𝑡 18 61 cos3𝑡 𝑒 66 61 cos 0 𝐶𝑠𝑒𝑛 0 𝑒 O 66 3 61 𝑠𝑒𝑛0 3𝐶𝑐𝑜𝑠 0 15 61 𝑠𝑒𝑛 0 18 61 cos 0 1 Exercícios complementares 66 61 0 3𝐶 18 61 1 66 61 3𝐶 18 61 1 3𝐶 48 61 1 3𝐶 1 48 61 3𝐶 61 48 61 3𝐶 109 61 Exercícios complementares 3𝐶 109 61 𝐶 109 61 3 109 3 61 3 109 3 183 𝐶 109 3 183 𝑥 𝑡 𝑒 66 61 cos 3𝑡 𝐶𝑠𝑒𝑛 3𝑡 5 61 𝑐𝑜𝑠 3𝑡 6 61 𝑠𝑒𝑛3𝑡 𝑥 𝑡 𝑒 66 61 cos 3𝑡 109 3 183 𝑠𝑒𝑛 3𝑡 5 61 𝑐𝑜𝑠 3𝑡 6 61 𝑠𝑒𝑛3𝑡 𝑥 𝑡 𝑒 66 61 cos 3𝑡 109 3 183 𝑠𝑒𝑛 3𝑡 5 61 𝑐𝑜𝑠 3𝑡 6 61 𝑠𝑒𝑛3𝑡 Exercícios complementares 𝑥 𝑡 𝑒3 66 61 cos 3𝑡 109 3 183 𝑠𝑒𝑛 3𝑡 5 61 𝑐𝑜𝑠 3𝑡 6 61 𝑠𝑒𝑛3𝑡 Para 𝑡 18 𝑠 então 𝑥 𝑡 𝑒3 66 61 cos 3𝑡 109 3 183 𝑠𝑒𝑛 3𝑡 5 61 𝑐𝑜𝑠 3𝑡 6 61 𝑠𝑒𝑛3𝑡 𝑥 𝑡 18 𝑒5 66 61 cos 3 O 18 109 3 183 𝑠𝑒𝑛 3 O 18 5 61 𝑐𝑜𝑠 3 O 18 6 61 𝑠𝑒𝑛3 O 18 𝑥 𝑡 18 030 𝑚 𝒙 𝒕 𝟏 𝟖 𝟎 𝟑𝟎 𝒎
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