Linearização de Modelos de Sistemas: Aplicações e Exemplos

Métodos Computacionais Aplicado TEORIA 7º semestre Profa Delba Nisi Cosme Melo Faculdade de Engenharia Facens20221 Faculdade Facens Profa Delba Nisi Cosme Melo AULA 03Linearização de modelos de sistemas de uma variável Linearização de um modelo expandindo a Série de Taylor Para ilustrar a linearização de modelo considere e equação diferencial não linear de uma variável de estado 𝑑 𝑥 𝑑𝑡 𝑓 𝑥 1 em que a função não linear fx pode ser expandida em uma série de Taylor em Torno de um estado estacionário xS Ao desprezarmos os termos de ordens 2 e superiores da série teremos uma aproximação linear de fx da seguinte forma Substituindo em 1 a função 3 aproximada linearmente temse Exemplo 1 Linearização do Sistema de nível Considere o sistema mostrado na Figura 1 a seguir que consiste de um tanque de seção reta com área uniforme A ao qual e adaptada uma resistência ao fluxo Exemplo 1 Linearização do Sistema de nível Suponha que a vazão F através da resistência R se relacione com a de liquido h pela relação linear FhR Para um líquido de massa específica constante o balanço de massa de líquido no tanque fornece Substituindo F em 5 resulta na seguinte equação diferencial linear 𝑑𝑉 𝑑 𝑡 𝐹𝑖 𝐹 5 𝐴 𝑑h 𝑑𝑡 𝐹𝑖 1 𝑅 h 6 A eq 6 é uma equação diferencial linear Exemplo 1 Linearização do Sistema de nível Suponha que a vazão F através da resistência R se relacione com a de liquido h pela relação não linear O que resulta na EDO não linear 𝐴 𝑑h 𝑑𝑡 1 𝑅 h𝐹𝑖 7 O termo ou parcela não linear da F dado por na eq 7 deve ser expandido em uma série de Taylor em torno do estado estacionário hS 1 𝑅 h 1 𝑅 h𝑠 1 2 𝑅h𝑠 hh𝑆 1 8 𝑅 3h𝑆 2 hh𝑆 28 1 𝑅 h 1 𝑅 h𝑠 1 2 𝑅h𝑠 hh𝑆 1 8 𝑅 3h𝑆 2 hh𝑆 29 Exemplo 1 Linearização do Sistema de nível 1 𝑅 h 1 𝑅 h𝑠 1 2 𝑅h𝑠 hh𝑆 1 8 𝑅 3h𝑆 2 hh𝑆 29 1 𝑅 h 1 𝑅 h 𝑠 1 2 𝑅h𝑠 hh𝑆 10 Desprezando os termos de segunda ordem e de ordens superiores da série o resultado é 𝐴 𝑑h 𝑑𝑡 1 2 𝑅h𝑠 h𝐹 𝑖 1 2 𝑅 h𝑠 11 Substituindo a equação 10 na equação 7 o resultado é o modelo linearizado Linearização por variáveis Desvios Subtraindo a equação 12 da 13 o resultado é Defininido a variável desvio o resultado é o modelo linearizado da eq14 é Suponha que xs seja o valor de x no seu estado estacionário inicial do sistema dinâmico então 𝑑 𝑥𝑆 𝑑𝑡 0 𝑓 𝑥𝑆 12 Suponha que a equação 12 seja linearizada em xs produzindo o seguinte modelo linerizado Linearização do Sistema de nível por variáveis desvios Voltando a equação 11 do exemplo 1 𝐴 𝑑h 𝑑𝑡 1 2 𝑅h𝑠 h𝐹 𝑖 1 2 𝑅 h𝑠 11 Voltando também a equação 7 do exemplo 1 O que resulta na EDO não linear 𝐴 𝑑h 𝑑𝑡 1 𝑅 h𝐹𝑖 7 Subtraindo a equação 7A da equação 11 No E E Ou regime permanente 0 𝐴 𝑑h𝑠 𝑑𝑡 0 1 𝑅 h𝑠 𝐹𝑖𝑠 7 𝐴