Vibração Livre Não Amortecida: Conceitos e Exercícios Resolvidos

Vibração Livre Não Amortecida Vibrações Mecânicas Prof Josemar dos Santos A vibração livre ocorre quando o movimento resulta apenas de condições iniciais não havendo nenhuma causa externa atuando durante o mesmo A imagem abaixo mostra um modelo simples de um sistema de um grau de liberdade sem amortecimento o conhecido sistema massamola F mx kx Vibrações Mecânicas 2 Prof Josemar dos Santos Vibração Livre Não Amortecida Vibração Livre Não Amortecida F mx kx Vibrações Mecânicas 3 Prof Josemar dos Santos 0 mx kx 2 0 0 0 m s X s x s x kX s 0 0 2 mx s mx X s ms k Vibração Livre Não Amortecida Vibrações Mecânicas 4 Prof Josemar dos Santos 2 0 0 0 m s X s x s x kX s 0 0 2 mx s mx X s ms k 0 0 cos n n n x x t x t sen t Vibração Livre Não Amortecida Vibrações Mecânicas 5 Prof Josemar dos Santos 0 0 cos n n n x x t x t sen t Essa solução corresponde à soma de duas parcelas harmônicas de mesma frequência com amplitude distintas As amplitudes têm dimensão de deslocamento Deslocamento inicial da massa Aplicação da quantidade de movimento mx0 Vibração Livre Não Amortecida Vibrações Mecânicas 6 Prof Josemar dos Santos 0 0 cos n n n x x t x t sen t Através de relações trigonométricas cos cos sen a b sen a b sen b a 0 n x t Asen t Vibração Livre Não Amortecida Vibrações Mecânicas 7 Prof Josemar dos Santos 0 n x t Asen t 1 2 2 2 0 0 n x A x 0 0 0 arctan nx x Vibração Livre Não Amortecida Vibrações Mecânicas 8 Prof Josemar dos Santos Exemplo A velocidade máxima obtida pela massa de um oscilador harmônico é de 10 cms e o período de oscilação de 2s Se a massa for solta com um deslocamento inicial de 2 cm determine a A amplitude do deslocamento b A velocidade inicial c A aceleração máxima d O ângulo de fase e Plotar os gráficos a posição aceleração e velocidade Vibração Livre Não Amortecida Vibrações Mecânicas 9 Prof Josemar dos Santos 0 0 2 mx s mx X s ms k Se considerarmos que o deslocamento inicial for nulo e quantidade de movimento inicial igual a 1 qual seria a solução da equação do movimento mx0 Vibração Livre Amortecida Vibrações Mecânicas Prof Josemar dos Santos Vibração Livre Amortecida O amortecimento representa a capacidade do sistema em dissipar energia Como modelo mais simples de amortecimento se apresenta o amortecimento viscoso assim chamado por representar a força dissipativa proporcionada por um fluido viscoso F mx kx cx Vibrações Mecânicas 11 Prof Josemar dos Santos Vibração Livre Amortecida Esta força tem como característica principal ser proporcional à velocidade relativa entre as superfícies em movimento quando existe um fluido separandoas F mx kx cx Vibrações Mecânicas 1 2 Prof Josemar dos Santos F x k F x c Vibração Livre Amortecida Considerando um sistema livre F 0 temos 0 0 mx kx cx c k x x x m m Vibrações Mecânicas 1 3 Prof Josemar dos Santos I Uma possível solução para a equação I pode ser dada por 1 st x t C e Vibração Livre Amortecida Aplicando o método das Transformadas de Laplace podemos obter a seguinte solução considerando as condições iniciais nulas 0 0 0 0 0 x t x x t x c k x x x m m Vibrações Mecânicas 1 4 Prof Josemar dos Santos Vibração Livre Amortecida Aplicando o método das Transformadas de Laplace podemos obter a seguinte solução considerando as condições iniciais nulas 2 0 0 0 0 0 0 2 0 c k s x s x s x sx s x x s m m c sx x x m x s c k s m s m Vibrações Mecânicas 1 5 Prof Josemar dos Santos A solução da equação I depende exclusivamente das raízes da equação característica Ds0 Vibração Livre Amortecida 2 0 c k s m s m Vibrações Mecânicas 1 6 Prof Josemar dos Santos As raízes podem ser dadas por 2 12 2 2 12 4 2 2 2 n c c k m m m s c c s m m II Vibração Livre Amortecida 2 2 2 0 n n s s Vibrações Mecânicas 1 7 Prof Josemar dos Santos Definese então o parâmetro 2 n c m Quantidade adimensional definido pela relação c c c Cte amortecimento do sistema Cte amortecimento crítico Vibração Livre Amortecida Vibrações Mecânicas 1 8 Prof Josemar dos Santos As duas raízes satisfazem I desta forma a solução será uma combinação linear do tipo III 1 2 1 2 s t s t x t C e C e A forma funcional da Eq III depende fundamentalmente da natureza das raízes expressas na Eq II complexas ou reais Vibração Livre Amortecida Constante de Amortecimento Crítico a constante de amortecimento crítico cc é definida como o valor de c que faz com que o discriminante Δ da Eq II se anule Isto porque é do sinal deste discriminante que depende a natureza das raízes Δ 0 implica em raízes reais enquanto que para Δ 0 as raízes formarão um par complexo Δ 0 se apresenta como o limite entre estas duas situações distintas Vibrações Mecânicas 1 9 Prof Josemar dos Santos Vibração Livre Amortecida Constante de Amortecimento Crítico Vibrações Mecânicas 20 Prof Josemar dos Santos 2 2 0 2 2 2 c n c c n c m k c m m c m Vibração Livre Amortecida Fator de Amortecimento a constante de amortecimento c dá uma indicação da relação entre a força de amortecimento e a velocidade relativa entre as partes em movimento Ela porém não proporciona uma visão da quantidade de amortecimento que atua sobre o sistema real uma vez que uma força de amortecimento pode ser grande para um sistema e pequena para outro dependendo fundamentalmente das massas envolvidas e da rigidez Define se então o fator de amortecimento que é uma quantidade adimensional e não depende da ordem de grandeza dos parâmetros do sistema indicando expressamente o quanto o sistema está sendo amortecido O fator de amortecimento é definido como a relação entre a constante de amortecimento do sistema e a constante de amortecimento crítica Vibrações Mecânicas 21 Prof Josemar dos Santos Vibração Livre Amortecida Fator de Amortecimento Vibrações Mecânicas 22 Prof Josemar dos Santos crítico c c 2 2 n n c k m m Vibração Livre Amortecida Vibrações Mecânicas 23 Prof Josemar dos Santos As duas raízes satisfazem I desta forma a solução será uma combinação linear do tipo 1 2 1 2 s t s t x t C e C e 2 2 n n c k m m como II Pode ser escrita da forma 2 12 1 n s Vibração Livre Amortecida Vibrações Mecânicas 24 Prof Josemar dos Santos Substituindo em III IV 2 2 1 1 1 2 n n t t x t C e C e 2 12 1 n s IV é dita equação geral para o movimento vibratório de um sistema de um grau de liberdade amortecido não forçado A forma do movimento representado pela Eq IV depende expressamente dos expoentes presentes reais complexos ou nulos Vibração Livre Amortecida Vibrações Mecânicas 25 Prof Josemar dos Santos CASO 1 Sistema Subamortecido IV 2 2 1 1 1 2 n n t t x t C e C e A Eq IV pode ser apresentada de diversas formas 1 ou 2 c c k c c m m Vibração Livre Amortecida Vibrações Mecânicas 26 Prof Josemar dos Santos CASO 1 Sistema Subamortecido IV 2 2 1 1 1 2 n n t t x t C e C e Considerando a fórmula de Euler cos e i isen 1 2 1 2 cos nt d d x t e C C t i C C sen t onde ωd é dita frequência natural amortecida 2 1 d n 1 ou 2 c c k c c m m Vibração Livre Amortecida Vibrações Mecânicas 27 Prof Josemar dos Santos CASO 1 Sistema Subamortecido nt d x t Xe sen t Considerando as devidas relações trigonométricas temos V 1 ou 2 c c k c c m m Vibração Livre Amortecida Vibrações Mecânicas 28 Prof Josemar dos Santos CASO 1 Sistema Subamortecido As constantes de integração X e φ são obtidas aplicandose as condições iniciais Substituindo em V 2 2 0 0 0 0 0 0 n d d n x x x X x arctg x x 0 0 0 e 0 x t x x t x 1 ou 2 c c k c c m m Vibração Livre Amortecida Vibrações Mecânicas 29 Prof Josemar dos Santos CASO 1 Sistema Subamortecido Decaimento exponencial gerado pela parte real do par de pólos complexos X Φ nt xe t1 t2 Xt x2 2 d d t wdt 1 ou 2 c c k c c m m x1 Vibração Livre Amortecida Vibrações Mecânicas 30 Prof Josemar dos Santos CASO 2 Sistema Criticamente Amortecido Raízes reais e iguais aplicando as condições iniciais temos 1 2 1 2 n n t s s x t C C e 1 c c c 1 0 2 0 0 e n C x C x x Vibração Livre Amortecida Vibrações Mecânicas 31 Prof Josemar dos Santos CASO 2 Sistema Criticamente Amortecido 0 0 0 nt n x t x x x t e 1 c c c O Movimento não é harmônico X0 Xt wdt Vibração Livre Amortecida Vibrações Mecânicas 32 Prof Josemar dos Santos CASO 3 Sistema Supermortecido Raízes reais Aplicando as condições iniciais 1 c c c 2 12 1 n s 2 2 0 0 0 0 1 2 2 2 1 1 2 1 2 1 n n n n x x x x C C Vibração Livre Amortecida Vibrações Mecânicas 33 Prof Josemar dos Santos CASO 3 Sistema Supermortecido 1 c c c O Movimento não é harmônico X0 Xt wdt Vibração Livre Amortecida Vibrações Mecânicas 34 Prof Josemar dos Santos Discussão Vibração Livre Amortecida Vibrações Mecânicas 35 Prof Josemar dos Santos Discussão Sistemas criticamente amortecido e superamortecidos apresentam como característica principal o fato de que toda a energia vibratória inicial se dissipa antes que ocorra um ciclo vibratório Consequência NÃO HÁ VIBRAÇÃO Vibração Livre Amortecida Vibrações Mecânicas 36 Prof Josemar dos Santos Decremento Logarítmico Um problema que se apresenta normalmente para quem estuda sistemas vibratórios é estimar o fator de amortecimento ζ Quando se possui um registro resultado de uma medição de um movimento vibratório é possível observar a queda exponencial da amplitude de vibração com o tempo O método do decremento logarítmico se fundamenta na comparação entre duas amplitudes consecutivas ou não medidas de um movimento vibratório livre amortecido Vibração Livre Amortecida Vibrações Mecânicas 37 Prof Josemar dos Santos Decremento Logarítmico Decaimento exponencial gerado pela parte real do par de pólos complexos X Φ nt xe t1 t2 Xt x2 2 d d t wdt Vibração Livre Amortecida Vibrações Mecânicas 38 Prof Josemar dos Santos Decremento Logarítmico 1 2 1 1 1 2 2 2 n n t d t d Xe sen t x t x t Xe sen t Vibração Livre Amortecida Vibrações Mecânicas 39 Prof Josemar dos Santos Decremento Logarítmico Se os dois deslocamentos são medidos em tempos separados por um período inteiro então t2 t1 τd com 1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 n n d n d n d t T t T T x t e e e x t e e 1 2 2 e d d d d t sen t sen t Vibração Livre Amortecida Vibrações Mecânicas 40 Prof Josemar dos Santos Decremento Logarítmico O decremento logarítmico pode ser definido por 1 1 1 2 2 2 2 2 ln 1 x t x x t x 2 2 1 1 1 2 2 x t e x t VI Vibração Livre Amortecida Vibrações Mecânicas 41 Prof Josemar dos Santos Decremento Logarítmico 1 1 1 2 2 2 2 2 ln 1 x t x x t x VI VI Vibração Livre Amortecida Vibrações Mecânicas 42 Prof Josemar dos Santos Decremento Logarítmico O método de estimativa do amortecimento através do decremento logarítmico funciona a partir da quantificação dos valores de X1 e X2 amplitudes consecutivas para o cálculo do decremento logarítmico λ por VI e a seguir o fator de amortecimento ζ é calculado por 2 2 2 VI Vibração Livre Amortecida Vibrações Mecânicas 43 Prof Josemar dos Santos Decremento Logarítmico Como em uma grande quantidade de casos é difícil distinguir entre dois deslocamentos separados por um único período o decremento logarítmico seguindo o mesmo raciocínio apresentado pode ser obtido a partis de duas medidas X1 e Xn1 temse de onde se obtém o decremento logarítmico como 1 1 1 2 1 2 3 n n d T n n n x x x x e x x x x 1 1 1 ln n x n x