Lista de Exercicios Resolvidos Vibracoes Mecanicas Amortecidas

Vibrações em Sistemas Mecânicos Vibrações Livres Amortecidas Questão 1 A equação do movimento de um sistema mecânico com amortecimento viscoso subcrítico é xt X0 eξωnt cos ωdt ϕ0 onde ξ fracc2sqrtkm é o fator de amortecimento ωn sqrtfrackm a frequência natural de oscilação não amortecida ωd sqrt1ξ²ωn a frequência natural de oscilação amortecida e X0 e ϕ0 constantes arbitrárias a serem determinadas pelas condições iniciais x0 e dotx0 Mostre que X0 sqrtx0² leftfracdotx0 ξωnx0ωdright² e ϕ0 an1leftfracdotx0 ξωnx0x0ωdright Questão 2 Um bloco de 50 kg está ligado a uma mola de constante elástica k 500 Nm e a um amortecedor viscoso de constante c 30 Nsm O bloco é solto 20 cm a direita da sua posição de equilíbrio Determine a o tipo de amortecimento crítico subcrítico ou supercrítico b a frequência angular e o período de oscilação do bloco c a equação do movimento do bloco d a posição do bloco após 075 s de movimento e o tempo necessário para que a amplitude de oscilação reduzase a 13 da inicial f o decremento logarítmico g a constante de amortecimento crítico Questao 4 A barra da figura possui massa desprezıvel e esta articulada em O Nela estao conectados um bloco de massa m uma mola de constante elastica k e um amortecedor de constante c Determine a frequˆencia angular de oscilacao do sistema k A c O B m a b Questao 4 Questao 5 Na figura abaixo a barra possui massa M comprimento L e esta articulada em O Determine a frequˆencia angular de oscilacao k A c O B m L2 L Questao 5 Questao 6 Vocˆe deseja determinar a constante de amortecimento supostamente viscoso de um sistema mecˆanico Para isso vocˆe mediu a amplitude de duas oscilacoes consecutivas obtendo x1 6 0 mm e x2 3 0 mm Sabendo que a massa do sistema e 10 kg e a constante elastica da mola vale k 1000 Nm determine a constante de amortecimento Aproveite e determine tambem o perıodo de oscilacao 2 1 Equação do movimento amortecido mx Cx Kx 0 Supondo uma solução Xt A eBt x ABeBt x AB² eBt mAB² eBt C ABeBt KAeBt 0 A eBt mB² CB K 0 nunca nulo mB² CB K 0 B12 fracb pm sqrtb² 4ac2a fracC pm sqrtC² 4mK2m leftbeginmatrixB1 fracC sqrtC2 4 m K2m B2 leftfracC sqrtC2 4 m K2mright endmatrixright Xt X1t X2t A1 eB1 t A2 eB2 t duas soluções X1 e X2 No sistema subamortecido C² 4mk 0 B fracC2m pm sqrtleftfracC2mright2 frac4mk2m2 fracC2m pm sqrtleftfracC2mright2 frackm frackm ωn² fracC2m fracCCc fracCCc fracCc2m underbracefracCCcxi underbracefracCc2momegan xi omegan Rightarrow B xi omegan pm sqrt3 omegan2 omegan2 B 3 omegan I omegan sqrt32 1 omegan 3 pm sqrt32 1 Rightarrow B omeganxi pm i sqrt1 xi² Da identidade de Euler ei varphi cos varphi i sen varphi A1 eomeganxi i sqrt1 xi2t A1 exi omegan tei omegan sqrt1 xi2 t A1 exi omegan t cosomegan sqrt1 xi2 t i senomegan sqrt1 xi2 t omegan sqrt1 xi2 omegad Questao 7 1A vibracao livre de um motor eletrico de 500 N montado sobre uma fundacao e exibida na figura abaixo Determine a a constante elastica equivalente da fundacao b o coeficiente de amortecimento da fundacao c a frequˆencia de vibracao amortecida do motor d a frequˆencia natural de vibracao do motor Questao 7 Questao 8 A polia da figura possui momento de inercia J 1 0 kg m2 possui um bloco de massa m 10 kg e uma mola de constante elastica k conectados ao seu raio maior R 20 cm e uma amortecedor de constante c conectado ao seu raio menor R2 10 cm Sabese que a frequˆencia natural de vibracao do sistema e ωn 30 rads Quando o sistema e perturbado impondolhe uma deslocamento inicial a amplitude de vibracao e reduzida em 80 em 10 ciclos Determine os valores de k e c Lembre que o momento de inercia de uma polia girando em torno do seu centro e MR22 O B c A m k R R2 Questao 8 Questao 9 Uma massa de 10 kg e colocada para oscilar As amplitudes de duas oscilacoes consecutivas sao x1 9 0 mm num instante inicial t1 0 e x2 3 0 mm num instante t2 1 0 s Determine a constante de amortecimento supostamente viscoso e a constante elastica do sistema 1Adaptado de RAO S S Vibracoes Mecˆanicas 4a ed Pearson Prentice Hall 2009 3 Questão 10 ¹Um sistema mecânico com amortecimento viscoso executa cinco oscilações completas por segundo e em 50 ciclos sua amplitude diminui 10 a determine o decremento logarítmico do sistema b determine a taxa de amortecimento do sistema Questão 11 ¹Um sistema mecânico com amortecimento viscoso possui constante elástica de 5000 Nm constante de amortecimento crítica de 200 Nsm e decremento logarítmico igual a 20 Se é dada uma velocidade inicial ao sistema de 10 ms determine o deslocamento máximo do sistema Questão 12 Uma partícula de massa m 01 kg é presa a uma mola de constante elástica k 100 Nm e a um amortecedor de constante c 30 Nsm a escreva a equação diferencial para o movimento b identifique o tipo de amortecimento c escreva a equação do movimento considerando que a partícula parte do repouso na posição x 20 m d escreva a equação da velocidade e esboce o gráfico de xt Questão 13 Repita a questão 12 considerando agora que o amortecedor tem constante c 20 Nsm Questão 14 Um oscilador subamortecido perde 10 de sua energia a cada ciclo Quantos ciclos são necessários para dissipar 75 da energia inicial Nesse intervalo de tempo qual é a variação da amplitude Questão 15 Uma placa de peso P é suspensa por uma mola e posta a vibrar primeiro no ar depois num líquido cujo coeficiente de amortecimento viscoso desejase determinar Observamse os respectivos períodos de vibração Ta e Tf Desprezando a viscosidade e a resistência do ar determine o coeficiente de amortecimento viscoso desse líquido Respostas 2 a subcrítico bωd 954 rads e T 066 s c xt 0021 e3tcos954t 03 m d 19 mm e t 037 s f ξ 198 g 100 Nsm 3 c xt 0062 e3tcos954t 124 m d 61 mm 4 ωd sqrtleftfracabright² frackm leftfracc2mright² 5aωd sqrtfrac3k12m 4M leftfrac3c6m 2Mright² 6c 22 Nsm T 0632 7 ak 51 x 104 Nm bc 355 Nsm cωd 314 rads dωn 316 rads 8k 315 x 104 Nm c 240 Nsm 9ξ 0175 k 407 Nm 10aδ 215 x 103 bξ 342 x 104 11x 124 mm 12aẍ30ẋ100x0 bamortecimento supercrítico c xt 034e262t 234e330t dẋt 889e262t 889e330t 13aẍ 20ẋ 100x 0 bamortecimento crítico cxt 220te10t dẋt 2 10te10t 20e10t 14 13 ciclos amplitude é 0513 da inicial 15 c frac4πPTaTf g sqrtTf² Ta² A₁ eBt A₁ eξωₙt cosωd t i senωd t ωn1ξ² ωd A₂ eB₂t A₂ eωnξ i1ξ²t A₂ eξωₙt eiωd t A₂ eξωₙt cosωd t i senωd t A₂ eξωₙt cosωd t i senωd t A₂ eξωₙt cosωd t i senωd t A₁ eB₁t A₂ eB₂t eξωₙt A₁ cosωd t A₂ cosωd t A₁ i senωd t i A₂ senωd t eξωₙt A₁ A₂ cosωd t A₁ A₂ i senωd t eξωₙt k₁ cosωd t k₂ senωd t Dadas as seguintes condições iniciais X0 X₀ e V0 X0 V₀ X0 e⁰ k₁ cos0 k₂ sen0 X₀ k₁ 0 Xt ξωₙ eξωₙt k₁ cosωd t k₂ senωd t k₁1 senωd t ωd k₂ cosωd t ωd eξωₙt X0 ξωₙ1 k₁1 k₂0 k₁0ωd k₂ ωd1 1 V₀ ξωₙ k₁x₀ k₂ ωd k₂ V₀ ξ ωₙ X₀ ωd quando X é máximo V é mínimo nulo No caso do Xt encontrado seno é mínimo amplitude k₂ e cosseno é máximo Então a defasagem será dada por φ tg¹k₂k₁ tg¹V₀ ξ ωₙ X₀ ωd 1x₀ X₀ k₁² k₂² x₀² v₀ ξωₙX₀ ωd² Xt eξωₙt X₀ cosωd t v₀ ξωₙX₀ ωdsenωd t eξωₙt x₀² v₀ ξωₙX₀ ωd² cosωd t φ 2 m 5kg C 30 NSm k 500 Nm a Cc 2km 25500 100 NSm C Cc an ξ CCc 30100 03 1 rntão o sistema é subcritico b ωn k m 500 5 10 rads ωd 1 ξ² ωn 954 rads f ωd2π 152 hz T 1f 066s c x₀ 2 cm 002 v₀ 0 solto do repaso Xt e0310t 002² 0 0310002 954² cos954t 0305 φ tg¹0 0310002 002 954 0305 rad Xt e3t 0021 cos954t 0305 d X075 e3075 0021 cos954 075 0305 18610³ m 002 cm e1 A amplitude é dada por eξωₙt x₀ e3t 0021 x₀ 3 e3t 0021 002 3 e3t 03175 ln 3t ln 03175 t 038 s f δ decremento log ln x₁x₂ x₁ x₀ x₂ XT X066 X066 e3066 0021 cos954 075 0305 278 10³ δ ln 002 278 10³ 1973 g Cc 100 NSm calculado em a 3 v₀ 05 ms a ξ não se altera ξ 03 1 subamortecido subcritico b ωn e ωd também não muda ωn 10 rads ωd 954 rads c φ tg¹ 05 0310002 954 006 rad X x₀² v₀ ξωₙX₀ ωd² 002² 05 0310002 954² 0062 Xt e3t 0062 cos954t 0059 d x075 e3075 0062 cos 954 075 0059 45103 m el e3t 0062 002 3 e3t 10 93 3t ln10 93 t 074s f δ não muda apesar do valor de x1 e x2 mudar para este caso δ ξWnTd ξ2πWn W0l 2πξ 1 ξ2 a reação X1 X2 para este caso será igual a questão anterior g Cc constante xa aθ xb bθ xb bθ Da rotação ΣM₀ Iθ Kxa a Cxb b mgθb Iθ aKaθ Cbbθ mgbθ Iθ Iθ Cb2 θ Ka2 mgb θ 0 equação diferencial homogênea I Ics md2 M ab2 12 Mab2 a2 mb2 Como a barra tem massa desprezível M0 I mb2 mb2 θ cb2 θ ka2 mgb θ 0 ωd Cc 2 keq Ieq 2 ka2 mgb mb2 ceq cb2 ξ Ceq Cc cb2 2b ka2 mgb m ωd 1 ξ2 ωn ωn keq Ieq ka2 mgb mb2 ωn fd ωd 2π 1 ξ2 ωn 2π onde ωn keq Ieq e ξ 5 ΣM₀ Iθ xa L2 θ xb Lθ xb Lθ I ML2 12 para barra que rotaciona no seu centro I ML2 3 para barra que rotaciona na sua extremidade Kxa L2 Cxb L mgθ L Iθ KL2 L2 θ CLLθ mgLθ Iθ Iθ CL2 θ KL2 4 mgL θ 0 Cc 2keq I 2KL24 mgL ML2 3 2L KL2 4 mgL M 3 ξ Ceq Cc CL2 2L KL2 4 mgL M 3 KL2 4 mgL M 3 KL2 4 mgL 3 ML2 ωn f 1 ξ2 ωn 2π 6 dados x1 6 mm x2 3 mm m 10 kg K 1000 Nm C Td algumas equações úteis δ lnx1x2 ξWnTd ξWn2π ωd 2πξ 1 ξ2 δ usar esse inicialmente δ ln63 0693 ξ 0693 4π2 06932 0111 fator de amortecimento sabese que ξ C Cc Cc 2km 21000 10 200 Nsm C ξCc 0111 200 222 Nsm C Td 1 fd fd ωd 2π ωd 1 ξ2 ωn ωn km 1000 10 10 ωd 1 01112 10 994 rads fd 994 2π 158 Hz Td 1 fd 063 s período 7 500N é o peso mg do motor então 500 m 981 m 50 kg dados x1 8 mm x2 4 mm Td 02 0 02 s tempo entre os picos fd 1 Td 5 Hz ωd 2πfd 314 rads ωd c a k b c c wd d wn do decremento logaritmico δ lnx₁x₂ lnδ4 0693 ξ δ4π² δ² 0111 Sabendo que wd 1 ξ² wn wn 3141 0111² 316 rad5 d Sabendo que wn km k wn² m 316² 50 49928 Nm k a ξ CCc C 2Km c ξ 2Km 20111 4992850 C 35076 Nsm b 8 7 Σ T₀ J θ mgθR Kx₁R Cx₂ R2 Jθ torque resultante x₁ Rθ x₂ R2 θ x₁ R2 θ Jθ CR²4 θ KR² mgR θ 0 J MR²2 M2 R2² MR²2 1 14 1 M 02²2 54 1 polar massar M40kg K wn 30 Keqm krqJ krq K 02² 1098102 004K 1962 30² 004K 1962 K 2310³ Nm a questão não especifica se J1 é para ambas as polias resultante ou de apenas uma delas 004K1962 30²004K1962 K2310³ Nm a questão não especifica se J1 é para ambas as polias resultante ou de apenas uma delas Cc2Keq J Keq2310³ 004 1962 90038 290038 1 60 Nsm A redução em cada ciclo R1 é 1R¹⁰ᶜˡᶜᵒˢ 108 1 02¹⁰ R 01487 então x₁ 1 01487x₀ O decremento logarítmico é δ lnx₀ x₁ lnx₀08513x₀ 0161 ξ δ4π²δ² 256310³ ξ CCc C 256310³ 60 154 Nsm C 9 m10kg amplitudes x₁9mm t0 x₂3mm t1s Td1s achar c e k δ lnx₁x₂ ln93 11 ξ δ4π² δ² 0178 1 subcrítico Sabendo que wd 2πfd 2πTd 2π1 628 rad5 wd wn wd 1 ξ² 62810178² 639 rads wn wn² km k639² 10 4032 Nm k ξ CCc C 2Km c ξ 2Km 20178 403210 2275 Nsm c 10 5 oscilações a cada 1seg 02seg por ciclo Td025 período sabese que x₅₀09x₀ δ lnx₁xₙ ξ wn n Td lnx₀09x₀ ξ wn 50 T ξ wn T ln09¹50 211 10³ δ em 1 período de oscilação ξ δ4π²δ² 335 10⁴ fatortaxa de amortecimento K5000 Nm Cc200 Nsm δ2 V01 ms X0 Da eq 8 achar m Cc2km Cc22 1K m m20022 15000 2 kg m Da eq 5 achar Wn Wn km 50002 50 rads Da eq 13 achar δ ξ 24π222 0336 Da eq 6 achar wd wd103362 50 471 rads Xx02 x0 V0 ξWnwd2 encontrar X0 Da equação 1 e 2 δlnX0X1 eδ X0X1 e2 X0X1 739 X0739 X1 faltam dados para achar X0 10 fd wd2π 4712π 75 Hz Td 175 013 s Considerando X00 V0 será Vmax A amplitude é X 02 010336564712 0357 m X 12 a mX CX KX 0 01 X 3X 10X 0 b Cc 2Km 21601 2 Nsm CCc 32 15 1 Supercrítico c X02m A solução do sistema supercrítico é V00 m Xt c1 eξξ21Wnt c2 eξξ21Wnt c1 X0 Wn ξξ21 V0 2Wn ξ21 0 c2 X0 Wn ξ ξ21 V0 2Wnξ21 0 Wn Km 10 rads c12101515212101521 234 c2 2101515212101521 034 3321 038 3321 262 Xt 234 e03810t 034 e26210t 234 e38t 034 e262 t Xt c Vt1 Xt 23438 e38t 034262 e262t 89 e38t 89 e262t Xt d e graph showing xm starting at 2 and decaying over ts time 3 Para sistema crítico Xt c1 c2 t eξWnt c1 X0 c2 V0 Wn X0 a mX cX kX 0 01 X 2X 10X 0 b Cc 2Km 21001 2 Nsm ξ CCc 22 1 crítico c X02 V00 c1 X02 c2 0 Wn X0 10220 c2 Xt 220te10t 2 e10t 20te10t d Xt1 210e10t 201e10t 10 e10t t 20 e10t 20 e10t 2010 t e10t 200 t e10t Xt e graph showing xm starting at 2 and decaying over ts time A energia é dada por Wt1 Wo e2ξωn t dissipação no amortecedor em 1 ciclo t T período T 09Wo Wo e3ωnt2 2ξωnT ln 09 01054 ξωnT 00527 Para perder 75 da energia 025Wo Wo e2ξωnnT n ciclos ln 025 2ξωnTn 01054 n 1315 ciclos 13 Da amplitude x xo eξωnt em t 13T Sxo xo e3ξωn13T S redução eξωnT13 e0052713 0504 X025Wo 0504 Xo 15 No ar mx kx0 Xt X cosωn t Φ Ta Na agua mx cx kx0 xt e3ξωnt X cosωd t Φ Tf ωn iguais Ta 1fa 2πωa 2πωn Tf 2πωd ωn km ξ ccc ξ c2km ωd 1 c²4km ωn 2πTf 2πTa 1 c²4km TaTf² 1 c²4km 1 TaTf² c²4km isolar c mg P m Pg 1 TaTf² c²g4kp substituir k ωn² km k mωn² Pg 2πTa² 4π²PTa²g 1 TaTf² c²g4p Ta²4π²P c Ta g 4 π P² 1 TaTf² c Ta g 4πP C 4πP g Ta Tf² Ta² Tf² C 4πP g Ta Tf Tf² Ta²