Constante Elástica e Inércia Equivalente em Sistemas de Engrenagens - Exercício Resolvido

ATENÇÃO A Atividade deve ser resolvida e enviada em formato PDF até a data estipulada Nenhum envio fora da plataforma Moodle será aceito Todas repito todas as passagens matemáticas devem ser explicadas linha a linha Sem as explicações corretas será atribuída nota zero Questão O sistema mostrado na figura abaixo consiste em duas engrenagens A e B montados em eixos circulares uniformes de igual Rigidez GJL as engrenagens são capazes de rolar entre si sem escorregar As duas engrenagens do sistema têm momento polar de massa de inércia IA e IB a Deduzo uma expressão para a Constante elástica equivalente do sistema para o razão de raios RA RB n b Deduzo uma expressão para o momento de inércia polar de massa equivalente para os raios razão RA RB n Inicialmente considerando que os eixos de ambas as engrenagens são fabricados num mesmo material a rigidez dos eixos será KA KB G J L 1 Sendo KA rigidez do eixo com a engrenagem A na coordenada θA e KB rigidez do eixo com a engrenagem B na coordenada θB Os momentos de inércia polares de cada par eixo engrenagem é IA momento de inércia polar de eixo engrenagem A na coordenada θA e IB momento de inércia polar de eixo engrenagem B na coordenada θB Fazendo o DCL das engrenagens com as forças atuando sobre elas O ponto de contato entre as engrenagens são os pontos O e O nas engrenagens B e A respectivamente Como as forças no contato são um par de ação e reação elas podem ser reescritas como função dos torques e raios das engrenagens TA FBA RA EQA TA RA TB FAB RB FAB TB RB Igualando FAB FBA TA RA TB RB TA TB n 2 Sendo n relação de transmissão especificada no enunciado Considerando que O e O estão em contato e não há escorregamento entre as engrenagens VoverlineO VoverlineO VoverlinegOescorregamentonulo θB RB θA RA θB θA RA RB θB θA n RB θA θB n Considerando que a mesma relação vale para a posição e a aceleração angular θB θA n θA θB n 5 θB θA n θA θB n 4 Em seguida aplicase somatório de torques a cada eixo engrenagem TA IA αA IAθA kAθA TA IAθA kAθA TA 5 Tβ IBαn Iβθβ kBθβ Tβ IBθβ kβθβ Tβ 6 Substituindo 1 2 3 e 4 em 5 IAθB GJθB TBn n L n IAθB GJθ IBθB GJθB n² L L IA IBn²θB GJ 1 n²θB L Assim a Constante elástica equivalente do sistema Keq GJ 1 n² L b Momento de inércia polar de massa equivalente do sistema Jeq IA IBn²