Vibrações em Sistemas Mecânicos

1 k1 k2 k3 x k1 k1 k2 k1 x Vibracoes em Sistemas Mecaˆnicos Lista de Exercícios 1 Conceitos e Elementos Preliminares Questao 1 Determine a constante elastica equivalente dos sistemas das figuras abaixo em relacao a coordenada x a b Questao 1 Questao 2 1Determine a constante elastica equivalente do sistema em relacao a coordenada θ Questao 2 1Adaptado de RAO S S Vibracoes Mecˆanicas 4a ed Pearson Prentice Hall 2009 2 k2 k2 x m Questao 3 Uma viga de aco E 2 1 1011 Pa de comprimento l 2 0 m largura b 0 1 m e espessura e 0 01 m esta montada conforme a figura Nela esta apoiada uma carga sobre suportes flexıveis que podem ser considerados como duas molas de constante elastica k2 4 0 kNm cada Determine a constante elastica equivalente de todo o sistema em relacao a coordenada x l Questao 3 Questao 4 Um perfil H 4x4 pol de aco de comprimento lp 0 8 m esta engastado em uma extremidade e na outra suporta um tambor onde um cabo de aco de diˆametro dc 6 35 mm e enrolado para elevar uma carga Determine a constante elastica equivalente do sistema em relacao a coordenada x quando o cabo esta desenrolado de lc 6 0 m Dados Eaco 2 1 1011 Pa Iperfil 4 5 106 m4 lc x Questao 4 lp m 3 Questao 5 1O eixo macico de uma turbina e feito de aco G 80 109 Pa e possui 1 0 m de comprimento e 0 15 m de diˆametro Determine a constante elastica de torcao do eixo Questao 5 Questao 6 A barra rıgida e homogˆenea da figura possui massa M e comprimento L Nela estao conectadas uma massa m e uma mola de constante k Determine a massa equivalente do sistema em relacao a coordenada x O θ k L2 x Barra de massa M L m Questao 6 Questao 7 Repita o exercıcio anterior agora em relacao a coordenada θ 4 l2 1 2 2 Questao 8 1Determine a massa equivalente do sistema da figura em relacao a coordenada x Questao 8 Questao 9 1Determine a massa equivalente do sistema da figura em relacao a coordenada x Questao 9 Respostas 1 akeq k3k1k2 b keq 2 k1 k2 2 kteq k1 k2 l1 k3l2 kt1 kt2 3 keq 4 54 kNm k1k2k3 3 4 keq 109 kNm 5 kt 4 0 106 N mrad 6meq m M 7Jeq L2 m M 8meq m1 a 2 m J0 9m m J 3 m l2 2 l1 3 3 eq b s b2 a As molas estão em paralelo logo Essa mola resultante está em série com a mola Portanto b Nesse item podemos observar a esquerda duas molas iguais em paralelo logo Essa mola está em série com uma outra mola igual logo O ramo esquerdo está em paralelo com o ramo da direita logo A forma mais fácil de se obter a constante elástica equivalente neste caso é através da energia causada pela deformação elástica de cada corpo combinada Desta forma temos que a energia de deformação nas molas de torção são dadas por Supondo que os corpos são rígidos Já a energia dissipada nas molas de traçãocompressão são dadas por Vibrações Mecanicas sábado 11 de maio de 2024 1810 Página 1 de Anotações Rápidas Assumindo pequenos deslocamentos angulares temos que Somando todas as parcelas temos que Logo Uma viga biapoiada sujeita a uma carga P no seu ponto médio sofre um deslocamento dado por desta forma temos que a relação entre carga e deslocamento é dada por logo Como a viga possui seção retangular 01x001 temos que Desta forma Nm A viga está montada em série com duas molas em paralelo de k2 levando a uma mola de k8kNm portanto A viga engastada sujeita a uma carga na extremidade oposta temos que portanto ou seja O cabo de aço está sob tração logo Página 2 de Anotações Rápidas Ou seja Como essas molas estão em série temos que Temos que a relação entre torque e deslocamento angular de um eixo é dado por Portanto sendo Portanto Para o cálculo da massa equivalente basta se obter a energia cinética do sistema em função da coordenada desejada O sistema possui dois corpos A barra que gira ao redor de uma das suas extremidades e A massa m que se move verticalmente Para um deslocamento x da extremidade da barra a mesma rotaciona de um ângulo portanto a energia cinética associada a este movimento é dada por Analisando agora o movimento verticalo da massa m temos que Somando as energias das duas massas Portanto Reescrevendo tudo em função de e Página 3 de Anotações Rápidas e Somando Portanto A energia cinética do sistema é dada por Porém e desta forma A energia cinética do sistema é dada por Página 4 de Anotações Rápidas Como e Portanto Página 5 de Anotações Rápidas