Estudo da Reta no Plano: Geometria Analítica

GEOMETRIA ANALÍTICA Everton Coelho de Medeiros Estudo da reta no plano Figura 1 Reta r orientada pelo vetor v e com pontos A e P Fonte Adaptada de Winterle 2014 z A P O v x y r Figura 2 Retas construídas através de dois pontos Fonte Adaptada de Santos e Ferreira 2009 y1 x1 x0 A B y0 Imagine que uma reta é feita por dois pontos um ponto localizado na origem e outro na coordenada B 55 Quais são os pontos que pertencem à reta que tem como base esses pontos Se um ponto de referência da reta está na origem isso significa que a reta passa pelo ponto 00 O segundo ponto está em 55 Os demais pontos devem estar em coordenadas que são iguais nos valores de x e y Sendo assim alguns dos pontos que pertencem a essa reta são os seguintes Estudo da reta no plano 2 Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para esta Unidade de Aprendizagem Na Biblioteca Virtual da Instituição você encontra a obra na íntegra Ponto X Y A 2 2 C 1 1 D 1 1 E 2 2 A Figura 3 apresenta esses pontos no plano cartesiano Figura 3 Representação dos pontos de uma reta no plano cartesiano 6 4 2 0 2 4 f 4 2 2 4 6 8 10 12 A C O D E B Como os valores de x e y devem ser iguais para pertencer à reta podemos dizer que uma relaçãoequação que a representa é y x Assim todo valor de y será igual a x Mas o que ocorre se a equação da reta não é tão facilmente previsível Como determinála Veja o exemplo a seguir 3 Estudo da reta no plano Conteúdo Qual é a equação da reta que passa pelos pontos A 11 e B 33 Solução Uma equação de reta é descrita basicamente pela seguinte equação SANTOS FERREIRA 2009 y a x b Onde a e b são constantes que devem ser inseridas ou encontradas a partir dos pontos fornecidos O valor de a chamado de coeficiente angular é dado por Portanto para o exemplo o valor de a é O valor de b chamado de coeficiente linear é definido pela substituição de um dos pontos na equação de reta base juntamente do coeficiente angular calculado y a x b 3 2 3 b 3 6 b b 3 Assim a equação da reta é y 2x 3 No momento da construção de qualquer equação a inserção dos valores de um ponto deve se dar nas posições indicadas bem como o valor dos coeficientes calculados Caso haja inversão ou troca de alguma posição toda a equação da reta será inválida Estudo da reta no plano 4 Representação de retas no plano cartesiano Retas podem ser construídas a partir de dois pontos no plano cartesiano A Figura 3 vista anteriormente apresenta uma reta r construída a partir de dois pontos A x0y0 e B x1y1 O uso desses pontos também permite o cálculo do coeficiente angular da reta Esse coeficiente representa o valor da tangente referente ao ângulo de inclinação α De posse do coeficiente angular é possível gerar a equação da reta SAN TOS e FERREIRA 2009 y a x b O valor de b chamado de coeficiente linear representa o valor de translação da reta no sentido do eixo y Caso a reta passe pela origem esse valor será igual a zero Para encontrar o valor de b é preciso substituir o valor de y e x por um dos pontos que compõem a reta Qual é o ângulo de inclinação da reta formada pelos pontos A 13 e B 25 E qual é a equação de reta Solução O ângulo é dado pela relação 5 Estudo da reta no plano O valor do coeficiente angular representa o valor da tangente do ângulo Quando colocamos a função inversa com esse valor o valor do ângulo pode ser dado em radianos ou graus Outro ponto de atenção é com relação ao arredondamento e ao número de casas decimais os resultados podem variar a partir dos valores inseridos A equação de reta é b y ax 3 2 1 1 y a x b y 2x 1 Na Figura 4 os pontos A B e P geraram a reta no plano e o ângulo α representa a inclinação da reta SANTOS FERREIRA 2009 Perceba que quando o coeficiente angular é positivo a reta é ascendente quando é negativo a reta é descendente Figura 4 Retas com coeficientes angulares positivo reta ascendente e negativo reta descendente Fonte Adaptada de matmaShutterstockcom y x y x Estudo da reta no plano 6 A ferramenta Geogebra permite a geração de retas no plano cartesiano Funciona quando inserimos os pontos individualmente unindoos em seguida ou quando inserimos a equação diretamente em função da variável dependente Acesse o link a seguir httpsgooglvxH7Y4 Relações entre retas Retas paralelas aos eixos cartesianos Quando obtemos equações de retas em que o coeficiente linear é igual a zero a reta passa pela origem do sistema Quando o coeficiente angular é igual a zero o valor da tangente do ângulo de inclinação é igual a zero ou seja o único valor de ângulo que satisfaz essa tangente é zero grau Por isso podemos perceber que há retas sem as variáveis x ou y sendo x igual a uma constante ou y igual a uma constante Quando isso acontece dizemos que a reta está paralela aos eixos cartesianos STEINBRUCH WINTERLE 2014 Quando não houver x a reta está paralela ao eixo x quando não houver y a reta está paralela ao eixo y Observe a Figura 5 com as retas r e s paralelas aos eixos x e y respectivamente 7 Estudo da reta no plano Figura 5 Retas r e s paralelas aos eixos x e y 6 4 2 2 4 S r 4 2 2 4 6 8 10 12 0 As retas a seguir são paralelas a quais eixos r x 10 s y 8 t y x Solução A primeira reta r possui valor constante de 10 ou seja ela assume todos os valores de y na mesma posição x de 10 Tratase de uma reta paralela ao eixo y Figura 6 Estudo da reta no plano 8 Figura 6 Reta r paralela ao eixo y A segunda reta s possui valor constante de 8 ou seja ela assume todos os valores de x na mesma posição y de 8 Tratase de uma reta paralela ao eixo x Figura 7 Figura 7 Reta s paralela ao eixo x 9 Estudo da reta no plano A terceira reta t possui valores que variam x e y simultaneamente além de contar com um coeficiente angular no valor de 1 Assim a reta t não possui relação de paralelismo aos eixos coordenados do plano cartesiano Figura 8 Figura 8 Reta t sem paralelismo no plano cartesiano Avaliação das posições das retas em função do coeficiente angular As retas variam suas inclinações em função do coeficiente angular Quando temos coeficientes angulares iguais em retas diferentes temos retas com o mesmo grau de inclinação e portanto paralelas STEINBRUCH WINTERLE 2014 Quando temos coeficientes angulares diferentes temos um ângulo de diferença entre as retas comparadas Como cada reta possui um ângulo cor respondente em relação ao eixo horizontal se a diferença entre esses ângulos for igual a 90 ou igual a um múltiplo de 90º temos então um caso de orto gonalidade entre retas Observe na Figura 9 retas com inclinações diferentes em função de coeficientes angulares diversos Estudo da reta no plano 10 Figura 9 Retas r e s são paralelas coeficiente angular igual a 4 Retas s e u ortogonais entre si coeficientes angulares iguais a 1 e 1 No link a seguir está disponível um exercício de equação de reta para execução no Geogebra A atividade foi preparada pelo departamento de matemática da UFRGS httpsgooglug1GPx SANTOS F J FERREIRA S F Geometria analítica Porto Alegre Bookman 2009 STEINBRUCH A C WINTERLE P Geometria analítica 2 ed São Paulo Pearson 2014 WINTERLE P Vetores e geometria analítica 2 ed São Paulo Pearson 2014 11 Estudo da reta no plano