Vetores no Rⁿ: Descrição e Operações

GEOMETRIA ANALÍTICA Everton Coelho de Medeiros Vetores no Rⁿ Objetivos de aprendizagem Ao final deste texto você deve apresentar os seguintes aprendizados Descrever vetores no espaço Rⁿ para todo n natural Resolver operações de adição e multiplicação por escalar Relacionar vetores iguais em Rⁿ para todo n natural Introdução Neste capítulo você vai estudar as representações dos vetores em um espaço de até ndimensões Além disso você aprenderá a realizar operações básicas entre vetores e multiplicação por escalar e acompanhará o processo de normalização e verificação de igualdade entre vetores Descrição de vetores no espaço A descrição de eventos matemáticos ou físicos em grandezas escalares e vetoriais já não é novidade em livros de geometria analítica no entanto é sempre interessante apresentar a diferença entre essas grandezas no início do estudo de vetores ou cálculo vetorial De acordo com Santos e Ferreira 2009 uma grandeza é dita escalar quando se especifica apenas sua magnitude e uma unidade como o comprimento a massa e o tempo Já uma grandeza vetorial é expressa por sua magnitude direção e sentido de atuação e uma unidade como a força a velocidade a aceleração e o torque A representação gráfica de um vetor é dada por uma seta e possui em suas extremidades dois pontos que o determinam WINTERLE 2014 Na Figura 1 é apresentada a representação geométrica de um vetor As notações matemáticas para um vetor podem ser as mais diversas há autores que traba lham com chaves ou colchetes lembrando representações matriciais ou então como apresentado em linguagem de programação As mais usuais e as que aparecerão neste material serão as seguintes SANTOS FERREIRA 2009 uma letra seguida de uma flecha sobre ela v uma letra em negrito os dois pontos que deram origem ao vetor seguido de uma flecha sobre eles Para fins de padronização usaremos apenas a notação em negrito para indicar um vetor Figura 1 Representação gráfica de um vetor Fonte Adaptada de Santos e Ferreira 2009 v v AB A B Vetores no Rn 2 O módulo de um vetor é considerado o tamanho dele assim sendo caso tenhamos um vetor v na direção horizontal com origem em 00 e final em 20 o módulo será a distância do ponto de origem até o ponto de destino sendo então um valor de 2 A direção e o sentido são mais bem representados quando desenhados em um plano cartesiano por exemplo A Figura 2 apresenta vetores V1 e V2 com direção horizontal e sentido da esquerda para a direita no primeiro caso e direita para a esquerda no segundo Figura 2 Vetores na direção horizontal sentidos opostos e mesmo módulo Vetores orientados que tenham mesma magnitude ou módulo mesma direção e sentido são ditos equivalentes SANTOS FERREIRA 2009 Vamos a um exemplo físico com vetores Considerando um avião que saiu do aeroporto de São PauloBrasil com destino ao aeroporto de Toronto Canadá com velocidade constante de 800 kmh deslocando para noroeste 45º em relação ao norte qual é um possível vetor que um controlador de voo poderia desenhar sobre seu mapa considerando que cada diagonal dos quadrados maiores do mapa valem 200 kmh Na Figura 3 é apresentado o vetor v resultante de o avião estar alinhado para seu destino e com módulo v igual a 800 kmh 3 Vetores no Rn Figura 3 Orientação desenhada pelo controlador de voo com notação de vetor Canadá Norte α 45º Brasil Algumas vezes quando se apresenta mais de um vetor é possível que esses vetores sejam paralelos ou ortogonais possuem um ângulo de 90º entre si Quando isso ocorre é comum apresentar pares de vetores vu para vetores paralelos e vu para vetores ortogonais sem a necessidade de falar do ângulo entre eles Operações básicas com vetores Assim como fazemos com grandezas escalares podemos realizar com os vetores operações matemáticas SANTOS FERREIRA 2009 A primeira a ser vista é a multiplicação de um vetor por um escalar Um vetor pode ser esticado ou encolhido ou invertido quando multiplicado por um escalar ou seja se multiplicarmos todas as posições de um vetor por um escalar positivo real e maior do que 1 estamos aumentando a sua magnitude e assim esticando esse vetor Caso a multiplicação seja feita por um escalar positivo real menor do que 1 estamos diminuindo sua magnitude e consequentemente encurtando ou encolhendo o vetor Por fim caso o vetor seja multiplicado por um número real negativo o sentido será trocado e assim o estaremos invertendo A Figura 4 apresenta exemplos de multiplicação com escalares diferentes Vetores no Rn 4 Veja a seguir propriedades generalizadas para multiplicação de vetores em espaços de ndimensões STEINBRUCH WINTERLE 2014 Distributiva sobre os vetores α u v α u α v Distributiva sobre os escalares α β v α v β v Associativa α β v α β v Unitária 1 v v Exemplo Considere o vetor r 125 Encontre os vetores s t e v obtidos ao multiplicarmos o vetor r por escalares 3 02 e 8 respectivamente Solução s 3 r 3 125 3 6 15 t 02 r 02 125 0 2 04 v 8 r 8 125 8 16 40 A adição de vetores não nulos é definida como posicionamento dos vetores com suas origens coincidentes e em seguida formase um paralelogramo com os vetores u e v com magnitude direção e sentido dados pela diagonal do paralelogramo SANTOS E FERREIRA 2009 Essa regra para a adição de vetores apresentada na Figura 5 é conhecida como regra do paralelogramo Figura 5 Adição de vetores pela regra do paralelogramo Fonte Adaptada de Winterle 2014 A B u u v D C v Para o caso da soma de mais de dois vetores devese utilizar o mesmo método da regra do paralelogramo Também é possível ligar os vetores a origem de cada vetor no final do anterior ao fechar o polígono assim o vetor resultante t será o vetor que ao somar com os outros três dará valor nulo por isso basta inverter seu sentido A Figura 6 apresenta uma construção como essa Figura 6 Soma de mais de dois vetores Fonte Adaptada de Winterle 2014 u u v u v w v w u v t w Vetores no Rn 6 Veja a seguir propriedades generalizadas para adição de vetores em espaços de ndimensões STEINBRUCH WINTERLE 2014 Comutativa u v v u Associativa u v w u v w Elemento neutro v 0 v Elemento oposto v v 0 Vetores no R² Para realizar a operação de adição entre dois vetores u x₁ y₁ v x₂ y₂ e o escalar real α definese o seguinte SANTOS FERREIRA 2009 Adição u v x₁ x₂ y₁ y₂ Multiplicação por escalar α u α x₁ α y₁ Ou seja as operações de adição e multiplicação por escalar são realizadas por componente a componente Lembrese de que as propriedades de adição são as mesmas para esse espaço bidimensional A operação de módulo é realizada para obtenção do valor da magnitude de um vetor v A notação matemática de um módulo de vetor é v SANTOS FERREIRA 2009 O módulo é obtido a partir da soma dos quadrados de cada componente e em seguida retirase a raiz quadrada Veja a seguir um exemplo Exemplo Qual é o módulo dos vetores u 34 e v 68 u 3² 4² 25 5 v 6² 8² 100 10 Perceba que caso os vetores sejam equivalentes ou seja multiplicados por um escalar o módulo do vetor multiplicado é igual ao módulo do vetor anterior multiplicado pelo escalar Lembrese de que não há forma de o módulo ficar nega tivo Vetores podem ser obtidos por dois pontos no plano cartesiano por exemplo A x1y1 e B x2y2 Para gerar o vetor basta realizar uma subtração entre os pontos Sabendo que um vetor é definido entre os pontos A 23 e B 18 quais são os vetores AB e BA Para o vetor AB devemos subtrair B de A e para o vetor BA devemos subtrair A de B AB B A 1 2 8 3 3 5 BA A B 2 13 8 3 5 Vetores no R3 e Rn O tratamento de vetores em espaços de maiores dimensões acaba sendo apenas uma extensão das operações e propriedades apresentadas no espaço bidi mensional em R2 tornando apenas mais complicado nos momentos em que é necessário desenhar exigindo uma visão espacial A Figura 7 apresenta vetores desenhados no espaço de três dimensões Figura 7 Vetores em R3 6 G F 5 4 3 2 0 1 3 2 1 5 4 6 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 1 0 1 2 3 A f e Vetores no Rn 8 O link ou código a seguir disponibiliza um software para cálculos matemáticos o qual também está disponível para download gratuito e permite realização de diversos problemas de geometria e funções entre outros httpsgooglvxH7Y4 Vetores iguais Como dito anteriormente vetores são representados por sua magnitude ou módulo direção e sentido SANTOS FERREIRA 2009 Por isso se des considerarmos as variações de sentido eou de direção a probabilidade de encontrarmos vetores iguais em um mesmo plano ou então em planos diferentes é alta A Figura 8 apresenta um exemplo disso com a presença de vários vetores iguais em módulo porém posicionados em diferentes regiões de um plano Figura 8 Vetores iguais em um mesmo plano Fonte Adaptada de Santos e Ferreira 2009 v v v v 9 Vetores no Rn Vetores unitários Um vetor é chamado de unitário quando seu módulo é igual a 1 ou seja a raiz da soma dos valores das projeções ao quadrado será igual a 1 WINTERLE 2014 Vetores unitários são também conhecidos como versores Todo vetor que não seja unitário pode ser transformado em unitário por meio de um processo chamado de normalização O processo de normalização consiste das seguintes etapas 1 Encontrar o valor do módulo do vetor 2 Dividir o valor de cada posição do vetor pelo módulo 3 Verificar a transformação realizando o mesmo procedimento de cálculo do módulo caso seja igual a 1 o vetor foi normalizado e é chamado de unitário Há ainda vetores unitários chamados de i j e k SANTOS FERREIRA 2009 A Figura 9 apresenta esses vetores no plano tridimensional Figura 9 Vetores unitários i j e k k j i Vetores unitários são uma importante ferramenta para verificação da igualdade de vetores pois caso dois vetores diferentes possuam valores diferentes de vetores unitários significa que os dois vetores não são iguais Vetores no Rn 10 Verifique se os vetores u 115 e v 232 são iguais Os vetores unitários u e v de u e v são Verifique se os vetores u 246 e v 123 são iguais Podemos inicialmente verificar a dependência de uma multiplicação por um escalar caso não encontremos o mesmo valor de multiplicação para todas as posições partimos para o mesmo tratamento do exemplo anterior Após dividir todas as posições encontramos o mesmo valor em todas as posições ou seja o vetor v é igual ao vetor u multiplicado por um escalar de valor 05 11 Vetores no Rn Acesse o link a seguir para trabalhar com vetores no espaço tridimensional além de outros problemas que estejam nesse espaço Essa é uma extensão do software Geogebra Classic httpsgoogladZBJT Já no link a seguir é possível visualizar exercícios de inserção e geração de pontos com o uso do software Geogebra Há também uma lista de outros exercícios de geometria analítica disponibilizados pelo departamento de Matemática da UFRGS httpsgooglbaf3fa SANTOS F J FERREIRA S F Geometria analítica Porto Alegre Bookman 2009 STEINBRUCH A C WINTERLE P Geometria analítica 2 ed São Paulo Pearson 2014 WINTERLE P Vetores e geometria analítica 2 ed São Paulo Pearson 2014 Vetores no Rn 12 Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para esta Unidade de Aprendizagem Na Biblioteca Virtual da Instituição você encontra a obra na íntegra Conteúdo