Posições Relativas à Interseção de Duas Retas em Geometria Analítica

GEOMETRIA ANALÍTICA Everton Coelho de Medeiros Posicões relativas à interseção de duas retas Objetivos de aprendizagem Ao final deste texto você deve apresentar os seguintes aprendizados Identificar a existência de interseção entre retas Classificar duas retas em coincidentes paralelas concorrentes ou reversas Diferenciar retas coplanares de não coplanares Introdução Retas dispostas no espaço podem ter relações entre si e essa avaliação quando pensamos em um espaço tridimensional nos mostra que retas podem assumir várias condições Neste capítulo você verá as relações que pode haver entre duas retas distintas tais como a ocorrência de paralelismo concorrência reversão e coplanaridade entre retas em R³ Interseção entre retas As retas são representadas por meio de diversas formas de equações Essas retas apesar de expressas com equações diferentes podem ter relações de coincidência paralelismo e concorrência entre elas WINTERLE 2014 Como ponto de partida para análise das relações entre retas no espaço vamos observar a presença de pontos de interseção entre elas Quando duas retas r e s estão no espaço é possível haver um ponto de interseção I entre elas como mostra a Figura 1 Em diversos campos de estudos a busca por esse ponto pode ser um processo de otimização de sistemas ou mesmo melhor custobenefício Figura 1 Ponto de interseção I entre as retas r e s Fonte Adaptada de Winterle 2014 I r s Exemplo 1 Qual é o ponto de interseção entre as retas r e s representadas pelas equações a seguir Solução Para encontrar o ponto de interseção I entre as retas r e s substituímos os valores de x y e z dados pelas equações paramétricas da reta s nas mesmas posições do sistema de equação reduzida da reta r obtendo assim Da primeira equação obtemos t igual a 7 e da segunda obtemos t igual a 2 Como não há equivalência entre os resultados não há ponto de interseção I entre as retas Posições relativas à interseção de duas retas 2 Exemplo 2 Qual é o ponto de interseção entre as retas p e t representadas pelas equações a seguir Solução Novamente devemos iniciar a solução pela substituição das componentes de uma reta em outra equação de reta Da primeira e segunda equações obtemos x igual a 2 Como são valores iguais conseguimos encontrar os valores de y e z substituindo x por 2 O ponto de interseção será I 213 Em retas representadas no espaço é mais complicado identificar a presença de pontos de interseção sem o uso de um software 3D Por isso caso realize o desenho das retas em um software como o Geogebra busque alterar os ângulos de visão e se mesmo assim não tiver certeza do ponto de concorrência realize o cálculo analítico conforme visto antes Classificação de retas Retas dispostas no espaço podem ter diversas relações entre elas dentre as quais o paralelismo e a coincidência são analisados a partir dos vetores diretores A concorrência e a reversão são analisadas com os vetores diretores e a presença de ponto de interseção Por fim retas podem pertencer a um mesmo plano sendo assim chamadas de retas coplanares SANTOS FERREIRA 2009 3 Posições relativas à interseção de duas retas Paralelismo e coincidentes A determinação de paralelismo entre retas no espaço ocorre por meio de uma análise dos vetores diretores de cada uma delas SANTOS FERREIRA 2009 Se os vetores diretores u e v são múltiplos escalares consideramos que as retas terão a mesma direção e serão paralelas como mostra a Figura 2 Figura 2 Retas r e s paralelas Fonte Adaptada de Winterle 2014 s r É possível ainda existir uma coincidência total entre as retas chamando assim de retas coincidentes Para verificar isso é necessário inicialmente que os vetores diretores sejam múltiplos escalares e em seguida que se teste um ponto de uma reta na outra caso a inserção do ponto seja válida concluímos que as retas são coincidentes BOULOS CAMARGO 1987 Caso os vetores sejam diferentes é possível a existência ou não de concor rência para verificar isso basta igualar as duas equações de retas e ver se há um ponto de interseção I Veja nos exemplos a seguir a demonstração dessa verificação para paralelismo e coincidência Posições relativas à interseção de duas retas 4 Exemplo 3 Determine se há paralelismo entre as retas r e s a seguir Solução Inicialmente extraímos os vetores diretores u e v das retas r e s Caso os vetores possuam relação escalar entre eles as retas são paralelas O vetor diretor u e v serão u112 v224 Portanto analisando os vetores vemos que o vetor v é igual a u multiplicado pelo escalar 2 logo as duas retas r e s são paralelas ou seja r s Quando temos duas retas paralelas conforme apresentado na Figura 2 podemos ver que não haverá nenhum ponto de interseção entre elas A única maneira de isso acontecer é se os vetores diretores u e v forem iguais assim sendo toda a reta r será coincidente à reta s e portanto todos os pontos serão de interseção De qualquer maneira vamos verificar o ponto de coincidência substituindo r em s 5 Posições relativas à interseção de duas retas Se igualarmos dois a dois as partes das equações simétricas veremos que os valores de t encontrados não são iguais e portanto não haverá ponto de interseção entre as retas conforme duas retas paralelas devem se comportar Exemplo 4 Verifique a posição relativa entre as retas r e s dadas pelas equações a seguir Solução Novamente extraímos os vetores diretores u e v das retas r e s a reta s foi alterada para equações simétricas a fim de facilitar encontrar o vetor diretor O vetor diretor u e o v serão u111 v111 Como os vetores são iguais podemos concluir que as retas r e s são coincidentes Posições relativas à interseção de duas retas 6 Concorrentes e reversas Quando as retas são previamente determinadas como não paralelas eou coin cidentes elas podem ser classificadas como concorrentes quando há um ponto de interseção ou reversas quando não há interseção alguma STEINBRUCH WINTERLE 2014 Para a determinação de retas reversas é necessário provar que não há ponto algum de interseção como mostra a Figura 3 Veja a seguir exemplos de retas reversas e concorrentes Figura 3 Retas reversas Fonte Adaptada de Winterle 2014 r s Exemplo 5 As retas a seguir são reversas ou concorrentes 7 Posições relativas à interseção de duas retas Solução Substituindo r em s Resolvendo as igualdades obtemos um valor de t igual para todos ou seja t igual a 2 Desse modo concluímos que as retas são concorrentes Indo além substituímos t na equação de r e obtemos o ponto I O ponto de interseção das retas concorrentes é I 122 Exemplo 6 As retas a seguir são reversas ou concorrentes Solução Substituindo s em r Obtemos y igual a 11 e z igual a 19 Aparentemente isso nos leva a um ponto de interseção e assim a concluir que as retas são concorrentes no entanto devemos ficar atentos ao processo de verificação com x Nesse exemplo se substituirmos y e z obteremos diferentes valores de x logo não há ponto de interseção e assim classificamos as retas como reversas Posições relativas à interseção de duas retas 8 O software Octave disponível com licença livre pelo link a seguir permite a realização plotagem de retas no espaço e a análise de posições relativas entre elas de maneira mais visual httpsqrgopagelinkyupG Retas planares e coplanares Retas são ditas coplanares quando se localizam em um mesmo plano no espaço SANTOS FERREIRA 2009 Qualquer plano no espaço pode ser usado como comparação para analisar as retas por isso para determinar com exatidão a coplanaridade utilizamos novamente os vetores diretores das retas Se os vetores diretores uabc e vdef de uma reta e um novo vetor feito por dois pontos das retas por exemplo vetor ABx1 x2y1 y2z1 z2 tiverem como resultado da determinante entre eles igual a zero os vetores são coplanares Veja a seguir Caso os vetores sejam colocados em ordem diferente ou mesmo que o cálculo do vetor AB seja feito como BA não há problemas pois o objetivo é verificar apenas a igualdade com zero assim se o valor for diferente já é desconsiderada a coplanaridade entre retas Exemplo 7 Determinar se as retas r e s são coplanares 9 Posições relativas à interseção de duas retas Solução Vetores diretores u e v e vetor AB u102 v317 AB A B 226 000 226 Em seguida montamos o determinante 1 1 6 0 7 2 2 3 2 2 1 2 0 3 6 2 7 1 6 0 12 4 0 14 0 Concluímos então que as retas são coplanares Exemplo 8 Qual é o valor de m para que as retas r e s sejam coplanares Solução Vetores diretores u e v e vetor AB u213 v1m2m AB A B 011 102 113 Posições relativas à interseção de duas retas 10 Em seguida montamos o determinante 6m 2m 3 3m 4m 3 0 Para satisfazer o determinante m tem de ser igual a 23 Exemplo 9 Dadas as retas a seguir determine a relação entre elas Solução Inicialmente extraímos os vetores diretores u e v das retas r e s Caso os vetores possuam relação escalar entre eles as retas são paralelas O vetor diretor u e o v serão u203 v214 Portanto analisando os vetores percebemos que os vetores diretores u e v não possuem igualdade ou relação escalar entre eles logo as retas não são paralelas e portanto não podem ser coincidentes A seguir veremos como verificar se são concorrentes 11 Posições relativas à interseção de duas retas Substituindo r em s Resolvendo as igualdades obtemos um valor de t igual a 27 para a pri meira e a segunda partes da equação simétrica E obtemos t igual a 133 entre a segunda e a terceira partes da equação simétrica Logo se não há convergência entre os valores de t não há ponto de coincidência na reta e assim podemos classificála como reversa Indo além vamos verificar a condição de coplanaridade Vetores diretores u e v e vetor AB u203 v214 AB A B 011 134 125 Em seguida montamos o determinante 2 1 5 0 4 1 3 2 2 1 1 3 2 4 2 5 2 0 10 0 12 3 16 0 3 Como o resultado é diferente de zero dizemos que as retas também não são coplanares Isso porém já pode ser deduzido quando as retas são consideradas reversas se retas são reversas elas não são coplanares WINTERLE 2014 No link a seguir há um tutorial de geração de linhascurvas e exportação dos dados para o Excel mais uma ferramenta para problemas de geometria analítica no espaço em R3 httpsqrgopagelinkjrSn Posições relativas à interseção de duas retas 12 BOULOS P CAMARGO I Geometria analítica um tratamento vetorial 2 ed São Paulo McgrawHill1987 SANTOS F J FERREIRA S F Geometria analítica Porto Alegre Bookman 2009 STEINBRUCH A C WINTERLE P Geometria analítica 2 ed São Paulo Pearson 2014 WINTERLE P Vetores e geometria analítica 2 ed São Paulo Pearson 2014 13 Posições relativas à interseção de duas retas Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para esta Unidade de Aprendizagem Na Biblioteca Virtual da Instituição você encontra a obra na íntegra Conteúdo