Introdução à Geometria Analítica: Estudo de Retas no Espaço

GEOMETRIA ANALÍTICA Everton Coelho de Medeiros entanto orientada por vetores e alguns pontos de referência Um exemplo de equação de reta no espaço está representado a seguir r xyz x1 y1 z1 tabc Os valores dos coeficientes e dos pontos mudam de reta para reta são obtidas soluções por meio de pontos x y e z que satisfaçam a equação Como se trata de uma reta sabemos que dois pontos a definem Entretanto devemos atentar para o fato de que a reta contém uma infinidade de pontos SANTOS FERREIRA 2009 Veja na Figura 1 uma reta r no espaço R3 e alguns pontos distribuídos em sua extensão Figura 1 Reta r no espaço R3 E D C B A 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 2 1 0 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 r Exemplo 1 Como estão orientadas no espaço as retas r xyz 220 t232 e s xyz 732 t311 Solução Nas retas anteriores a primeira parte 220 e 732 são pontos que pertencem às retas r e s respectivamente As partes 732 e 311 são os vetores que orientam cada reta nesse caso r e s respectivamente Observe a Figura 2 Introdução ao estudo da reta no espaço 2 Figura 2 Construção das retas r verde e s laranja do Exemplo 1 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10 12 20181614 1210 8 6 4 2 2 4 6 8 10 y r 0 z 10 8 6 4 2 0 2 4 s vetor v vetor u A ferramenta Geogebra permite a geração de retas no plano cartesiano Basta inserir os pontos individualmente unindoos em seguida ou inserir diretamente a equação da reta em função da variável dependente httpsgooglvxH7Y4 Equações de retas no espaço As retas são representadas por meio de equações Essas equações podem ser obtidas por pontos no plano cartesiano e por relações com vetores SANTOS FERREIRA 2009 Dentre as diferentes apresentações de equações estão a equação vetorial a paramétrica a simétrica e a reduzida WINTERLE 2014 A seguir trataremos de cada um desses equacionamentos bem como de alguns exemplos de construção dessas equações 3 Introdução ao estudo da reta no espaço Equação vetorial Uma reta r pode ser construída com base na orientação ou referência de um vetor SANTOS FERREIRA 2009 Considerando um ponto A x1 y1z1 e um vetor diretor v abc temos que só existe uma reta que passa pelo ponto A e que possui a mesma direção do vetor diretor v Se buscarmos por um ponto P xyz que pertence à reta o vetor AP formado pelos pontos A e P é paralelo a v STEINBRUCH WINTERLE 2014 A Figura 3 apresenta a reta r paralela ao vetor diretor v A equação vetorial é descrita por AP t v P A t v P A t v xyz x1y1z1 t abc Figura 3 Reta r orientada pelo vetor v com os pontos A e P Fonte Adaptada de Winterle 2014 z A P O v x y r Exemplo 2 Qual é a equação vetorial da reta que passa pelo ponto A 114 e que tem mesma direção do vetor diretor v 232 Solução xyz x1y1z1 t abc xyz 114 t 232 Introdução ao estudo da reta no espaço 4 Perceba que a equação vetorial fica em função do parâmetro t que é a variável da reta Conforme variamos t obtemos pontos xyz que pertencem à reta r Equação paramétrica As equações paramétricas são derivadas da equação vetorial anteriormente apresentada A apresentação de uma reta por meio de equações paramétricas é feita pela geração de um sistema de equações para cada posição em relação ao espaço SANTOS FERREIRA 2009 Observe xyz x1y1z1 t abc xyz x1 a t y1 b t z1 c t O sistema de equações que representa as equações paramétricas da reta r é Exemplo 3 Quais são as equações paramétricas da reta r onde o ponto A234 pertence à reta e possui vetor diretor v 123 Solução Equação simétrica A apresentação de uma reta r pode ser feita com uma representação chamada de simétrica Esse modelo consiste basicamente em uma manipulação algé 5 Introdução ao estudo da reta no espaço brica onde o escalar t é isolado em cada uma das equações paramétricas posteriormente igualadas WINTERLE 2014 Veja a seguir a sua construção Exemplo 4 Quais são as equações simétricas da reta r onde o ponto A305 pertence à reta e possui vetor diretor v 221 Solução Equação reduzida Esse último modelo de equação de reta é obtido por meio de mais uma sim plificação algébrica das equações simétricas Nesse caso tomamos uma das posições e a transformamos em variável de duas novas equações SANTOS FERREIRA 2009 Observe a representação Introdução ao estudo da reta no espaço 6 Siga o exemplo a seguir para melhor compreensão Exemplo 5 Quais são as equações reduzidas da reta r onde o ponto A2 43 pertence à reta e possui vetor diretor v 123 Primeiramente devemos encontrar as equações simétricas Em seguida criamos duas equações em função de x Por fim as equações reduzidas em função de x são y 2x 8 e z 3x 3 Vamos observar agora um exemplo de transformação entre equações 7 Introdução ao estudo da reta no espaço Exemplo 6 Dada a equação vetorial t xyz 120 t213 quais são as equações paramétricas simétricas e reduzidas com base na variável x Solução Inicialmente extraímos da primeira equação o vetor diretor e o ponto de referência v 213 P 120 Com esses dados construímos as equações exigidas No momento da construção de qualquer equação a inserção dos valores do ponto de referência e do vetor diretor devem se dar nas posições indicadas Caso haja inversão ou troca de alguma posição toda a equação da reta será inválida Introdução ao estudo da reta no espaço 8 Determinação das equações a partir de pontos Com pontos no espaço é possível a determinação das equações de retas de maneira simples SANTOS FERREIRA 2009 Imagine a seguinte situação de dois pontos A e B com esses dois pontos é possível a construção do vetor diretor v A seguir a partir de um dos pontos A ou B podemos deduzir uma equação vetorial por exemplo Se aumentarmos a quantidade de pontos essa reta pode ser construída sendo utilizado o mesmo artifício de geração de vetores diretores Observe o exemplo a seguir Exemplo 7 Dados os pontos A 012 e B 401 quais são as equações vetorial paramétricas e simétricas da reta que os possui Solução v B A 401 012 v 413 Com o vetor diretor v e um dos pontos por exemplo o ponto A a equação vetorial da reta é definida xyz 012 t413 Em seguida são determinadas as equações paramétricas e simétricas Exemplo 8 Dada a reta t descrita pela equação reduzida a seguir verifique se o A 221 e B 101 estão na reta 9 Introdução ao estudo da reta no espaço Solução No ponto A 221 Ponto A pertence à reta t No ponto B 101 Ponto B não pertence à reta t Exemplo 9 Considerando a equação da reta anterior e o ponto A que pertence à reta qual é o valor de t necessário para que o ponto encontrado esteja na reta Solução Obtemos primeiramente as equações simétricas a partir das equações reduzidas Introdução ao estudo da reta no espaço 10 A equação vetorial é Ponto A 221 Para satisfazer o ponto A o valor de t deve ser igual a 1 No link a seguir é apresentado um material produzido pelos professores Jorge Capela e Marisa Capela do Instituto de Química da UNESP a respeito de retas e planos no espaço httpsgoogltYXju3 Já o próximo link traz um exercício de equação de reta a ser executado no Geogebra A atividade foi preparada pelo departamento de matemática da UFRGS httpsgooglug1GPx SANTOS F J FERREIRA S F Geometria analítica Porto Alegre Bookman 2009 STEINBRUCH A C WINTERLE P Geometria analítica 2 ed São Paulo Pearson 2014 WINTERLE P Vetores e geometria analítica 2 ed São Paulo Pearson 2014 11 Introdução ao estudo da reta no espaço