Estudo do Plano na Geometria Analítica

GEOMETRIA ANALÍTICA Everton Coelho de Medeiros Estudo do plano Objetivos de aprendizagem Ao final deste texto você deve apresentar os seguintes aprendizados Definir equação geral e equação reduzida de um plano Descrever um plano por três pontos não colineares por uma reta e um ponto externo a ela por duas retas paralelas e por duas retas concorrentes Identificar planos paralelos aos eixos coordenados e planos paralelos aos planos coordenados Introdução Após a definição de ponto e reta no espaço o plano é mais um dos elementos da geometria analítica O uso desse elemento é importante para a elaboração de referências em espaços vetoriais por exemplo A descrição de problemas em planos abre visão espacial maior de como os problemas algébricos estão Para maior compreensão desse tópico é importante o conhecimento de vetores e suas operações de produto equações de retas e visão espacial no espaço de R³ Neste capítulo você vai iniciar os estudos de planos Nesse estudo está inserido como descrever planos por equações construílos a partir de pontos e retas e verificar o paralelismo ao sistema de referência XYZ Equações de um plano No espaço tridimensional uma reta pode ser descrita a partir de um vetor diretor que fornece as direções e sentidos da reta e um ponto de referência SANTOS FERREIRA 2009 Dessa forma iniciamos com as equações vetoriais e chegamos às formas paramétricas simétricas e reduzidas de uma reta No plano a obtenção das equações é semelhante ao tratamento de retas no entanto em vez de um único vetor e ponto é necessário utilizar o conceito de que o produto escalar entre dois vetores ortogonais n e AP deve ser igual a zero Nesse contexto o vetor AP é um vetor pertencente ao plano e o vetor n é um vetor ortogonal normal ao plano como se vê na Figura 1 Iniciando assim chegamos à equação geral do plano e posteriormente à reduzida WINTERLE 2014 Figura 1 Relação de ortogonalidade para cons trução da equação de um plano π Fonte Adaptada de Winterle 2014 A P n π Como ponto de partida para obtenção da equação geral iniciamos com o conceito de dois vetores ortogonais conforme apresentado na Figura 1 n AP 0 Em seguida desenvolvemos essa igualdade até isolar o ponto P xyz que serão as variáveis da equação do plano sendo assim n P A 0 abc x x1y y1z z1 0 ax x1 by y1 cz z1 0 ax by cz ax1 by1 cz1 0 Essa é a representação da equação geral do plano Como a soma de ax1 by1 cz1 será um número podemos chamálo de constante d A equação passa a ser chamada de equação reduzida do plano ax by cz d 0 Estudo do plano 2 Exemplo 1 Qual é a equação reduzida do plano π que tenha como ponto A 213 e vetor normal n 324 Solução Da forma geral apresentada anteriormente ax by cz d 0 As constantes a b e c são as componentes do vetor normal n 3x 2y 4z d 0 O valor de d é dado pela soma a seguir d ax1 by1 cz1 d 3 2 2 1 4 3 d 8 A equação reduzida fica sendo 3x 2y 4z 8 0 Exemplo 2 Determine a equação reduzida do plano π que tenha o ponto A213 e seja paralelo ao plano 3x 4y 2z 5 0 Solução Para que um plano seja paralelo a outro os vetores normais devem ser iguais logo da equação geral apresentada podemos aproveitar o vetor normal n que é 342 Em seguida repetimos os anteriores As constantes a b e c são as componentes do vetor normal n 3x 4y 2z d 0 3 Estudo do plano O valor de d é dado pela soma a seguir d ax1 by1 cz1 d 3 2 4 1 2 3 d 4 A equação reduzida fica sendo 3x 4y 2z 4 0 Os valores das componentes do vetor normal e do ponto fornecido devem ser atribuídos nos locais corretos incluindo no cálculo da constante d Caso alguma das posições seja alterado a equação geral do plano estará escrita de maneira errada Construção de planos por pontos e retas Construção por três pontos não colineares Quando temos três pontos no espaço não colineares podemos montar um plano π STEINBRUCH WINTERLE 1995 Digamos que esses pontos se chamam A xAyAzA B xByBzB e C xCyCzC Podemos montar dois vetores AB e AC e com esses vetores utilizar o produto vetorial para encontrar um terceiro vetor ortogonal aos dois vetores Com esse vetor n AB AC e qualquer um dos pontos por exemplo A xAyAzA temos condições de montar a equação geral ou reduzida de um plano Veja na Figura 2 a disposição desses pontos em um plano e a formação do vetor normal aos três pontos Estudo do plano 4 Figura 2 Pontos não colineares em um plano π Fonte Adaptada de Winterle 2014 C A AB AC B n π Exemplo 3 Dados os pontos não colineares A 112 B 213 e C 126 qual é a equação reduzida do plano π formado por eles Solução Inicialmente montamos os vetores AB e AC AB B A 125 AC C A 214 Em seguida calculamos o vetor normal ao plano que é dado pelo produto vetorial entre AB e AC Com o vetor normal n e o ponto A montamos a equação reduzida do plano 3x 6y 3z d 0 5 Estudo do plano O valor de d é dado pela soma a seguir d ax1 by1 cz1 d 3 1 6 1 3 2 d 3 A equação reduzida fica sendo 3x 6y 3z 3 0 Simplificando por 3 x 2y z 1 0 Construção por uma reta e um ponto externo Um plano também pode ser determinado por uma reta r e um ponto externo P que não pertença à reta r SANTOS FERREIRA 2009 Para tanto preci samos inicialmente montar um vetor QP em que Q é o ponto que pertence à reta r e o vetor diretor v da mesma reta Com esses dois vetores realizamos um produto vetorial v QP que gerará o vetor normal ao plano π como visto na Figura 3 Utilizando o ponto Q ou P terminamos de construir a equação como foi no procedimento de três pontos visto anteriormente Figura 3 Construção de plano com uma r e um ponto externo P Fonte Adaptada de Santos e Ferreira 2009 P P r r v n v QP π π Q Estudo do plano 6 Exemplo 4 Dada a reta r e o ponto P 221 que não pertence a r obtenha a equação reduzida do plano π que tenha essa reta e esse ponto Solução Inicialmente extraímos o ponto Q da r O vetor QP será então QP Q P 174 221 QP 153 Em seguida calculamos o vetor normal ao plano dado pelo produto vetorial entre v e QP Com o vetor normal n e o ponto P 221 montamos a equação reduzida do plano 4x 5y 7z d 0 O valor de d é dado pela soma a seguir d ax1 by1 cz1 d 4 2 5 2 7 1 d 11 7 Estudo do plano A equação reduzida fica sendo 4x 5y 7z 11 0 Construção por duas retas paralelas Com duas retas paralelas ou seja r s podemos construir um plano π no espaço em que elas estão Para isso é necessário construir um vetor QP em que o ponto Q é um ponto na reta s e P na reta r como visto na Figura 4 Com o vetor QP e qualquer um dos vetores diretores v ou w visto que eles são paralelos obtemos o vetor normal n pelo produto vetorial Em seguida construímos a equação do plano com o vetor e um dos pontos conhecidos SANTOS FERREIRA 2009 Figura 4 Construção de plano com duas retas paralelas r s Fonte Adaptada de Santos e Ferreira 2009 r r s s π n v QP P r v π Q Exemplo 5 Dadas as retas r e s paralelas a seguir qual é a equação reduzida do plano π em que elas se encontram Estudo do plano 8 Solução Das retas r e s obtemos os pontos P e Q respectivamente Perceba que na reta r houve a necessidade de transformar para equação paramétrica a fim de melhor visualização do ponto Q O vetor QP será então QP Q P 031 012 QP 023 Em seguida calculamos o vetor normal ao plano o qual é dado pelo produto vetorial entre v e QP Com o vetor normal n e o ponto P 012 montamos a equação reduzida do plano 9x 3y 2z d 0 9 Estudo do plano O valor de d é dado pela soma a seguir d ax1 by1 cz1 d 9 0 3 1 2 2 d 7 A equação reduzida fica 9x 3y 2z 7 0 Construção por duas retas concorrentes Quando as retas são concorrentes podemos utilizar os próprios vetores dire tores u e v para obter o vetor normal n SANTOS FERREIRA 2009 Para isso realizamos o produto vetorial com u e v Para montar a equação do plano π usamos mais alguns dos pontos que estão nas retas Veja no exemplo a seguir uma demonstração Exemplo 6 Qual é o plano π que possui as retas concorrentes r e s a seguir Solução Os vetores diretores u e v de r em s são respectivamente u 113 v 234 Estudo do plano 10 O vetor normal ao plano dado pelo produto vetorial entre u e v Com o vetor normal n e o ponto P 148 da reta r montamos a equação reduzida do plano 5x 2y z d 0 O valor de d é dado pela soma a seguir d ax1 by1 cz1 d 5 1 2 4 1 8 d 11 A equação reduzida fica 5x 2y z 11 0 O link a seguir LISTA 2013 contém uma lista de exercícios sobre equações de planos incluindo equações paramétricas disponibilizada pela UFABC httpsgoogliE3wfu 11 Estudo do plano Paralelismo dos planos ao sistema de referência XYZ Paralelismo aos eixos coordenados Ox Oy e Oz Quando a equação reduzida de um plano possui alguma de suas constantes abc que acompanham as variáveis x y e z iguais a zero isoladamente po demos deparar com situações em que o plano esteja posicionado paralelamente aos eixos coordenados WINTERLE 2014 Quando a que é a primeira posição do vetor normal for igual a zero encontramos um caso do plano localizado paralelamente ao eixo Ox como se vê na Figura 5 Quando a constante d iguala a zero também há então a coincidência do plano com o eixo Figura 5 Plano paralelo ao eixo Ox Fonte Adaptada de Winterle 2014 6 3 y z o x Quando b a segunda posição do vetor normal for igual a zero encontramos um caso do plano localizado paralelamente ao eixo Oy como mostra a Figura 6 Estudo do plano 12 Figura 6 Plano paralelo ao eixo Oy Fonte Adaptada de Winterle 2014 6 4 y z O x Quando c a terceira posição do vetor normal for igual a zero encontramos um caso do plano localizado paralelamente ao eixo Oz como se vê na Figura 7 Figura 7 Plano paralelo ao eixo Oz Fonte Adaptada de Winterle 2014 6 3 y z O x Exemplo 7 Determine se os planos a seguir são paralelos aos eixos coordenados 13 Estudo do plano π1 10x 3z 2 0 π2 4y 3z 0 π3 x 2y 12 0 π4 10x 4y z 0 Solução Na equação de π1 o valor de b é igual a zero logo π1 é paralelo ao eixo Oy Na equação de π2 o valor de a é igual a zero logo π2 é paralelo ao eixo Ox Na equação de π3 o valor de c é igual a zero logo π3 é paralelo ao eixo Oz Na equação de π4 o valor de d é igual a zero mas isso não é critério para determinação de paralelismo a um dos eixos coordenados Portanto π4 não possui paralelismo com Ox Oy e Oz Paralelismo aos planos XY XZ e YZ Quando duas constantes do vetor normal são iguais a zero podemos identificar paralelismo do plano em relação aos planos de referência XY XZ e YZ Se a e b forem iguais a zero temos o paralelismo com plano de referência XY WINTERLE 2014 apresentado na Figura 8 Figura 8 Plano paralelo ao plano XY Fonte Adaptada de Winterle 2014 6 z 6 z 0 y z O x Estudo do plano 14 Se a e c forem iguais a zero temos o paralelismo com plano de referência XZ WINTERLE 2014 A Figura 9 apresenta tal paralelismo Figura 9 Plano paralelo ao plano XZ Fonte Adaptada de Winterle 2014 3 y z O x y 0 y 3 Se b e c forem iguais a zero temos o paralelismo com plano de referência YZ WINTERLE 2014 como mostra a Figura 10 15 Estudo do plano Figura 10 Plano paralelo ao plano YZ Fonte Adaptada de Winterle 2014 x 0 x 4 4 y z O x Exemplo 8 Determine se os planos a seguir são paralelos aos planos coordenados π1 3z 6 0 π2 4y 0 π3 x 2 0 π4 10x z 2 0 Solução Na equação de π1 o valor de a e b é igual a zero logo π1 é paralelo ao plano XY Na equação de π2 o valor de a e c é igual a zero logo π2 é paralelo ao plano XZ Também percebemos que d é igual a zero demonstrando uma coincidência total entre os planos π2 e XZ sem distância entre eles Na equação de π3 o valor de b e c é igual a zero logo π3 é paralelo ao plano YZ Na equação de π4 apenas o valor de b é igual a zero mostrando que há um paralelismo com o eixo Oy mas não um paralelismo com os planos XY XZ ou YZ Estudo do plano 16 Acesse a página da UEL disponível no link a seguir BARISON 2007 elaborada pela professora Maria Bernadete Barison do departamento de Matemática da UEL sobre estudo de planos e suas posições httpsgooglDWDCWh BARISON M B Estudo do plano In BRISON M B Geometria descritiva S l s n 2007 Disponível em httpsgooglDWDCWh Acesso em 7 abr 2019 LISTA 7 geometria analítica S l s n 2013 Disponível em httpsgoogliE3wfu Acesso em 7 abr 2019 SANTOS F J dos FERREIRA S F Geometria analítica Porto Alegre Bookman 2009 STEINBRUCH A WINTERLE P Geometria analítica 2 ed Rio de Janeiro Pearson 1995 WINTERLE P Vetores e geometria analítica 2 ed Rio de Janeiro Pearson 2014 17 Estudo do plano Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para esta Unidade de Aprendizagem Na Biblioteca Virtual da Instituição você encontra a obra na íntegra no text content