Produtos entre Vetores: Produto Escalar, Produto Vetorial e Produto Misto

GEOMETRIA ANALÍTICA Everton Coelho de Medeiros Produtos entre vetores Produto escalar O produto escalar entre dois vetores u x1y1z1 e v x2y2z2 é representado por u v sendo o produto feito por u v x1 x2 y1 y2 z1 z2 Para quaisquer vetores u v e w e um escalar real α as propriedades do produto escalar são as seguintes WINTERLE 2014 1 u v v u 2 u v w u v u w e u v w u w v w 3 α u v αu v u αv 4 u u u² A Figura 1 representa dois vetores u x1y1z1 e v x2y2z2 e o ângulo θ formado por eles WINTERLE 2014 O produto escalar representado por u v está relacionado com o ângulo θ A expressão que define essa relação será vista mais adiante Figura 1 Representação dos vetores e ângulos entre eles Fonte Adaptado de Winterle 2014 A C B v u u v θ Produtos entre vetores 2 Qual é o valor do produto escalar entre os vetores u 358 e v 421 u v 3 58 4 2 1 3 4 5 2 8 1 u v 12 10 8 14 Produto vetorial O produto vetorial entre dois vetores u x1y1z1 e v x2y2z2 é representado por u v WINTERLE 2014 sendo o produto feito por A solução do determinante também pode ser expressa por Para quaisquer vetores u e v as propriedades do produto vetorial são as seguintes WINTERLE 2014 1 u v v u 2 u v 0 se e somente se os vetores são paralelos 3 u v sempre é ortogonal a u e v 4 O sentido de u v pode ser determinado pela regra da mão direita A Figura 2 apresenta o sentido do vetor u v segundo a regra da mão direita WINTERLE 2014 É possível observar também que o resultado do produto vetorial u v é um vetor simultaneamente ortogonal aos vetores u e v 3 Produtos entre vetores Figura 2 Orientação do vetor u v segundo regra da mão direita Fonte Adaptada de Winterle 2014 u v u v θ Qual é o valor do produto escalar entre os vetores u 312 e v 225 Produto misto O produto misto é uma combinação entre o produto escalar de um produto vetorial feito anteriormente entre dois vetores SANTOS FERREIRA 2009 Dados três vetores u x1y1z1 v x2y2z2 e w x3y3z3 o produto misto é definido por Produtos entre vetores 4 A solução do determinante também pode ser expressa por Para quaisquer vetores u v w e x e o escalar α as propriedades do produto misto são as seguintes WINTERLE 2014 1 O resultado do produto muda de sinal caso alterar a posição entre dois vetores por exemplo u v w u w v 2 u x v w u v w x v w 3 αu v w u αv w u v αw 4 u v w 0 se e somente se os três vetores forem coplanares Qual é o valor de X para que os vetores u 2X0 v 112 e w 131 sejam coplanares Para que os vetores sejam coplanares o produto misto entre os três vetores deve ser igual a zero 5 Produtos entre vetores Duplo produto vetorial O duplo produto vetorial é uma operação entre vetores não muito vista ou mesmo utilizada em aplicações mais práticas No entanto é importante co nhecer o procedimento de cálculo Dados três vetores u x1y1z1 v x2y2z2 e w x3y3z3 o duplo produto vetorial é definido por u v w A solução do duplo produto vetorial pode ser com a aplicação sucessiva de um produto vetorial entre v e w como visto anteriormente E com o resultado aplicar um novo produto vetorial de u em relação a v w Outra alternativa é por meio da relação u v w u wv u vw Em que são substituídas as operações de produto vetorial por dois produtos escalares e em seguida multiplicase o escalar simples pelos vetores indicados A seguir será apresentado um exemplo dos dois procedimentos de cálculo Dados os vetores u 121 v 011 e w 234 qual é o duplo produto vetorial u v w 1ª solução por meio do cálculo sucessivo de produtos vetoriais Primeiro calcular o produto vetorial interno v w Em seguida novamente o produto vetorial do resultado com u Produtos entre vetores 6 2ª solução por meio da relação de produtos escalares apresentada anteriormente u v w u w v u v w u w 121 234 1 2 2 3 1 4 12 u v 121 011 1 0 2 1 1 1 3 Multiplicando os valores dos produtos escalares pelos vetores v e w u w v u v w 12011 3234 12 0 3 2 i 12 1 3 3 j 12 1 3 4 Realizando a soma final u v w 630 Ao realizar os cálculos dos produtos vetoriais é necessário atenção no momento de colocar os vetores dentro das matrizes pois caso alguns dos vetores sejam posicio nados de forma invertida os valores dos produtos vetoriais serão de sinal oposto ao desejado Caso apenas um componente esteja mal posicionado o resultado será inteiramente errado Tenha muita atenção ao montar as matrizes de produto vetorial e duplo produto vetorial Ângulo e ortogonalidade entre vetores O uso do produto escalar pode nos dar informações de relações interessantes que os vetores possam ter sendo uma delas o ângulo entre os vetores Para encontrar o ângulo α entre dois vetores basta seguir a relação SANTOS FERREIRA 2009 u v u v cosθ 7 Produtos entre vetores Podemos generalizar que quando o produto escalar for maior do que zero o ângulo estará dentro do intervalo de 0 a 90 quando o produto escalar for negativo o intervalo será entre 90 e 180 e quando o produto escalar tiver valor nulo o ângulo será de 90 também chamando de vetores ortogonais SANTOS FERREIRA 2009 A Figura 3 apresenta exemplos de ângulos entre vetores Qual é o ângulo entre os vetores u 022 e v 101 u v u v cos θ cosθ u v u v Calculando os módulos u 02 22 22 8 22 v 12 02 12 2 Calculando o produto escalar u v 0 1 2 0 2 1 2 O ângulo será então cosα 2 22 2 2 2 2 1 2 1 2 arc cos 60º Produtos entre vetores 8 Figura 3 Ângulo entre vetores Fonte Adaptada de Winterle 2014 u u u v v v θ θ θ c b a Verifique se os vetores u 123 e v 452 são ortogonais u v 1 4 2 5 3 2 0 Podese concluir que os vetores são ortogonais pois o produto escalar entre eles é igual a zero e portanto o ângulo entre eles é de 90 O link a seguir apresenta mais explicações sobre produtos escalares e suas aplicações como na determinação de ângulos e ortogonalização de vetores httpsgooglghBrw9 Aplicações dos produtos entre vetores Você já viu anteriormente que o produto escalar consegue apresentar os va lores dos ângulos entre vetores e consequentemente realizar a verificação de ortogonalidade entre vetores A seguir veja que o produto vetorial e o produto misto também podem apresentar informações interessantes da geometria plana e espacial SANTOS FERREIRA 2009 9 Produtos entre vetores Área com produto escalar O uso de produto vetorial pode ser aplicado para determinação da área de paralelogramos como visto na Figura 4 SANTOS FERREIRA 2009 O módulo do produto vetorial dos vetores que representam as arestas do para lelogramo é numericamente igual à área do paralelogramo ou seja u v área Figura 4 Área de um paralelogramo Fonte Adaptada de Winterle 2014 u v A v h A u u Produtos entre vetores 10 Qual é a área do paralelogramo determinado pelos vetores u 201 e v 321 Volume com produto misto O uso de produto misto pode ser aplicado para determinação do volume de paralelepípedos como mostrado na Figura 5 SANTOS FERREIRA 2009 O módulo do produto misto formado pelos vetores que representam as ares tas do paralelepípedo nos dá um valor numericamente igual ao volume do paralelepípedo ou seja u v w volume Figura 5 Volume de um paralelepípedo Fonte Adaptada de Winterle 2014 u w v w v 11 Produtos entre vetores Caso esse volume seja dividido por 6 o valor será correspondente ao volume de um tetraedro conforme apresentado na Figura 6 Figura 6 Volume de um tetraedro Fonte Adaptada de Winterle 2014 A B C D Qual é o volume de um paralelepípedo construído sobre os vetores u 101 v 031 e w 064 Volume u v w 18 18 u v u v w 12 6 18 1 0 1 0 3 1 0 6 4 Produtos entre vetores 12 Caso um tetraedro fosse construído com base nos mesmos vetores do exemplo anterior qual seria seu volume Acesse o link a seguir para visualizar uma demonstração da equivalência de fórmulas para cálculo do duplo produto vetorial O material foi elaborado pelo Professor Oswaldo Rio Branco de Oliveira do Instituto de Matemática e Estatística da USP httpsgooglyojqjj SANTOS F J FERREIRA S F Geometria analítica Porto Alegre Bookman 2009 WINTERLE P Vetores e geometria analítica 2 ed São Paulo Pearson 2014 Leituras recomendadas OLIVEIRA O R B Duplo produto vetorial 2016 Curso de Vetores e Geometria Analítica Instituto de Geociências Universidade de São Paulo Disponível em httpswwwime uspbroliveiraduploprodvetorialpdf Acesso em 19 mar 2019 PRODUTO escalar Disponível em httpswwwsomatematicacombremediovetores vetores6phpfimPag Acesso em 19 mar 2019 STEINBRUCH A WINTERLE P Geometria analítica São Paulo Pearson 2014 13 Produtos entre vetores Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para esta Unidade de Aprendizagem Na Biblioteca Virtual da Instituição você encontra a obra na íntegra Contéudo