Análise de Séries Temporais: Estacionariedade e Tendências

Séries Temporais Não Estacionariedade Prof Marcelo Nuno Carneiro de Sousa Séries Temporais Tendência Tendência A média cresce ou diminui ao longo do tempo Tendência Estacionária Tendência Estocástica Formas de Tratamento Estimar a tendência em separado do restante da estrutura Fazer transformação na variável Tendência estacionária Suponha o seguinte modelo 𝑦𝑡 𝑦0 𝛿𝑡 𝜓 𝐿 𝜀𝑡 Tendência determinística flutua em torno de uma tendência Se subtrairmos a tendência ou seja fizermos a série 𝑥𝑡 𝑦𝑡 𝛿𝑡 essa série será estacionária E se tirássemos as diferenças na série Δ𝑦𝑡 𝑦𝑡 𝑦𝑡1 𝑦0 𝛿𝑡 𝜓 𝐿 𝜀𝑡 𝑦0 𝛿𝑡 1 𝜓 𝐿 𝜀𝑡1 𝛿 1 𝐿 𝜓 𝐿 𝜀𝑡 Problema apesar de resolver a nãoestacionariedade gera uma série nãoinversível por que Por isso a melhor forma de tratar esse tipo de série é estimar a tendência Tendência estocástica Seja agora o seguinte modelo 𝑦𝑡 𝑦𝑡1 𝛿 𝜀𝑡 Temos pela forma recursiva 𝑦𝑡 𝑦0 𝛿𝑡 σ𝑖1 𝑡 𝜀𝑖 E se tirarmos a primeira diferença teremos Δ𝑦𝑡 𝛿 𝜀𝑡 Propriedades Tirando a primeira diferença temos uma série estacionária A série soma todos os choques ocorridos por isso chamamos a série de integrada de ordem 1 os choques são somados apenas uma vez Mais processos Agora imagine o processo Δ2𝑦𝑡 𝜀𝑡 Temos que Δ𝑦𝑡 1 𝐿 𝑦𝑡 A equação então fica 1 𝐿2𝑦𝑡 𝜀𝑡 Continuando 1 2𝐿 𝐿2 𝑦𝑡 𝜀𝑡 𝑦𝑡2 𝑦𝑡1 𝑦𝑡2 𝜀𝑡 𝑦𝑡 2 𝑦𝑡1 𝑦𝑡2 𝜀𝑡 Vamos fazer a seguinte transformação 𝑥𝑡 Δ𝑦𝑡 1 𝐿 𝑦𝑡 Temos que 1 𝐿 𝑥𝑡 𝜀𝑡 𝑥𝑡 𝑥𝑡1 𝜀𝑡 que é o processo tratado anteriormente Logo 𝑥𝑡 x1 σ𝑖2 𝑡 𝜀𝑖 Resolvendo para y 𝑦𝑡 𝑦𝑡1 𝑥𝑡 x1 σ𝑖1 𝑡 𝜀𝑖 mas 𝑥1 𝑦1 𝑦0 𝑦𝑡 𝑦𝑡1 𝑦1 𝑦0 σ𝑖2 𝑡 𝜀𝑖 𝑦𝑡1 𝑦𝑡2 𝑦1 𝑦0 σ𝑖2 𝑡1 𝜀𝑖 𝑦𝑡2 𝑦𝑡3 𝑦1 𝑦0 σ𝑖2 𝑡2 𝜀𝑖 Se fizermos todas as recursões teremos 𝑦𝑡t 𝑦1t1 𝑦0 σ𝑗2 𝑡 σ𝑖2 𝑗 𝜀𝑖 Conclusões No exemplo acima em que tivemos que aplicar duas diferenças para encontrarmos uma série estacionária tivemos os resíduos entrando num somatório duplo Esses processos são integrados de ordem 2 Podemos mostrar por raciocínios análogos que os processos que sofrem n diferenças para encontrar uma série estacionária também terão um somatório n vezes dos resíduos Logo serão integrados em ordem n Passeio Aleatório Um passeio aleatório é um processo na forma 𝑦𝑡 𝑦𝑡1 𝜀𝑡 Podemos dizer que 𝐸𝑡 𝑦𝑡𝐻 𝑦𝑡σℎ1 𝐻 𝐸𝑡 𝜀𝑡ℎ 𝑦𝑡 Var 𝑦𝑡Varσ𝑖1 𝑡 𝜀𝑖 𝑡𝜎2 Cov 𝑦𝑡 𝑦𝑡𝑗 𝐸 σ𝑖1 𝑡 𝜀𝑖 σ𝑠1 𝑡𝑗 𝜀𝑠 t j𝜎2 Com isso podemos achar a autocorrelação 𝜌𝑗 𝑡𝑗𝜎2 𝑡𝜎 𝑡𝑗𝜎 𝑡𝑗 𝑡 1 𝑗 𝑡 O termo 1 𝑗 𝑡 demora muito a cair logo uma queda muito lenta na função de autocorrelação pode ser sinal de nãoestacionariedade E se colocarmos um drift 𝑦𝑡 𝑦𝑡1 𝛿 𝜀𝑡 Temos que 𝐸𝑡 𝑦𝑡𝐻 𝑦𝑡 𝛿𝐻 σℎ1 𝐻 𝐸𝑡 𝜀𝑡ℎ 𝑦𝑡 𝛿𝐻 Passeio aleatório com ruído 𝑦𝑡 𝑦0 σ𝑖1 𝑡 𝜀𝑖𝜂𝑡 𝜂𝑡 também é um ruído branco e independente de 𝜀𝑖 Podemos escrever que Δ𝑦𝑡 𝜀𝑡 Δ 𝜂𝑡 𝐸𝑡 𝑦𝑡𝐻 𝑦𝑡σℎ1 𝐻 𝐸𝑡 𝜀𝑡ℎ 𝐸𝑡𝜂𝑡ℎ 𝑦𝑡 Var𝑦𝑡Varσ𝑖1 𝑡 𝜀𝑖𝜂𝑡 𝑡𝜎2𝜎𝜂2 Cov 𝑦𝑡 𝑦𝑡𝑗 𝐸 σ𝑖1 𝑡 𝜀𝑖 𝜂𝑡 σ𝑠1 𝑡𝑗 𝜀𝑠 𝜂𝑡𝑗 t j𝜎2 Então 𝜌𝑗 𝑡𝑗𝜎2 𝑡𝜎2𝜎𝜂2 tj 𝜎2𝜎𝜂2 1 𝑗 𝑡 As autocorrelações caem mais rapidamente do que no caso do modelo sem ruído Tendência Estacionária Diferenciar uma equação com tendência estacionária e não estocástica leva ruído à série Então o melhor procedimento é Estime a seguinte equação por mínimos quadrados ordinários 𝑦𝑡 𝛿0 𝛿1𝑡 𝛿2𝑡2 𝛿𝑛𝑡𝑛 𝑒𝑡 Pegue os resíduos assegure que a série desses resíduos 𝑒𝑡 seja estacionária e modele um ARMA pelos métodos tradicionais Atenção Diferenciar série de tendência estacionária Gera ruído Estimar tendência determinística como no slide anterior numa série com tendência estocástica Não elimina a tendência estocástica Regressão espúria Ao se regredirem duas séries independentes que sejam I1 quase sempre encontramos valores significativos e 𝑅2elevado O nome que se dá a esse tipo de relação é Regressão Espúria Correlações sem significado econômico Regra geral Se duas séries 𝑦𝑡 e 𝑧𝑡 são ambos estacionários a regressão convencional se aplica sem problemas Se duas séries 𝑦𝑡 e 𝑧𝑡 são integrados em ordens diferentes a regressão convencional levará a resultados espúrios Se duas séries 𝑦𝑡 e 𝑧𝑡 são integrados na mesma ordem e os resíduos também são integrados a regressão convencional levará a resultados espúrios Se duas séries 𝑦𝑡 e 𝑧𝑡 são integrados na mesma ordem e os resíduos são estacionários as variáveis são cointegradas Teste de DickeyFuller Teste de Raiz Unitária Seja a seguinte série Temporal 𝑦𝑡 𝑐 𝜙1𝑦𝑡1 𝜀𝑡 Teste de Hipóteses 𝐻0 𝜙1 1 𝐻1 𝜙1 1 Se subtrairmos yt1 nos dois lados 𝑦𝑡 𝑦𝑡1 𝑐 𝜙1𝑦𝑡1 𝑦𝑡1 𝜀𝑡 𝑐 𝜙1 1𝑦𝑡1 𝜀𝑡 Se chamarmos 𝜙1 1 de δ o teste de hipóteses fica 𝐻0 δ 0 𝐻1 δ 0 E a equação fica Δ𝑦𝑡 𝑐 δ𝑦𝑡1 𝜀𝑡 O teste então fica assim 1 Estima δ o valor chamaremos de δ 2 Estimamos o erro padrão de δ chamaremos de seδ 3 Calculamos a medida 𝑡δ δ seδ 4 Comparamos esse valor com os valores críticos de DickeyFuller 5 Se o valor de 𝑡δ for menor do que esse valor rejeitamos a hipótese nula 6 Rejeição da hipótese nula não há raiz unitária Teste de DickeyFuller Aumentado Seja a Seguinte série temporal 𝑦𝑡 𝑐 σ𝑖1 𝑃 𝜙𝑖𝑦𝑡𝑖 𝜀𝑡 Se tirarmos as diferenças Δ𝑦𝑡 𝑐 δ𝑦𝑡1 σ𝑖1 𝑃 𝛽𝑖Δ𝑦𝑡𝑖 𝜀𝑡 Teste de DickeyFuller Aumentado E fazemos o teste 𝐻0 δ 0 𝐻1 δ 0 São feitos testes também nos 𝛽𝑖 Modelos ARIMA Um modelo ARIMApdq é um modelo ARMA pq aplicado numa série temporal diferenciada d vezes Exemplo ARMA 111 Fazemos a transformação 𝑧𝑡 𝑦𝑡1 𝑦𝑡 Ajustamos 𝑧𝑡 𝜙1 𝑧𝑡1 𝜃1𝜀𝑡1 𝜀𝑡 ou seja um ARMA 11 na diferença de 𝑦𝑡 Recuperando os y Temos que se 𝑧𝑡 𝑦𝑡1 𝑦𝑡 então 𝑦𝑡1 𝑧𝑡 𝑦𝑡 Analogamente 𝑦𝑘 𝑧𝑘1 𝑦𝑘1 𝑧𝑘1 𝑧𝑘2 𝑦𝑘1 σ11 𝑘𝑙 𝑧𝑘𝑖 𝑦𝑙 Onde l é a última informação disponível de y Boa notícia a maioria dos pacotes estatísticos já fazem o processo de transformar a variável estimar a variável transformada e recuperar a variável original automaticamente