Modelos VAR em Séries Temporais: Análise e Exemplos

Séries Temporais Modelos VAR Prof Marcelo Nuno Carneiro de Sousa Séries Temporais Relações entre as Variáveis Dados crosssection Relações entre as variáveis Ferramentas para determinar causalidade variáveis instrumentais Séries Temporais Modelo fica mais complicado porque as relações entre as variáveis envolvem Relações contemporâneas entre elas 𝑦𝑡 𝑓𝑥𝑡 Relações com defasagem 𝑦𝑡 𝑓 𝑥𝑡1 𝑥𝑡2 Relações de autocorrelação serial 𝑦𝑡 𝑓 𝑦𝑡1 𝑦𝑡2 Modelo Geral 𝐴𝑋𝑡 𝐵0 σ𝑖1 𝑝 𝐵𝑖𝑋𝑡𝑖 𝐵𝜀𝑡 𝑋𝑡 vetor de n variáveis A matriz n x n 𝐵0 vetor de n constantes 𝐵𝑖 matriz nxn teremos p matrizes 𝐵 matriz diagonal com n desviospadrão 𝜀𝑡 vetor de choques iid com distribuição 0 𝐼𝑛 Geralmente estimado na forma reduzida 𝑋𝑡 𝐴1𝐵0 σ𝑖1 𝑝 𝐴1𝐵𝑖𝑋𝑡𝑖 𝐴1𝐵𝜀𝑡 𝑋𝑡 Φ0 σ𝑖1 𝑝 Φ𝑖𝑋𝑡𝑖 𝑒𝑡 Onde Φ0 𝐴1𝐵0 Φ𝑖 𝐴1𝐵𝑖 𝑒𝑡 𝐴1𝐵𝜀𝑡 Exemplo 1 𝑎12 𝑎21 1 𝑦𝑡 𝑧𝑡 𝑏10 𝑏20 𝑏11 𝑏12 𝑏21 𝑏21 𝑦𝑡1 𝑧𝑡1 𝜎𝑦 0 0 𝜎𝑦 𝜖𝑦𝑡 𝜖𝑧𝑡 Forma reduzida x Forma estrutural Os resíduos 𝑒𝑡 da forma reduzida são correlacionados com os de outra variável mesmo se os da forma estrutural não forem A correlação é usada para recuperar os parâmetros da forma estrutural Para isso restrições de modelo econômico também precisam ser usados Condição de estabilidade dos parâmetros da forma reduzida Autovalores da matriz 𝐼 Φ1𝐿devem estar fora do círculo unitário Podemos colocar variáveis exógenas O modelo fica 𝑋𝑡 Φ0 σ𝑖1 𝑝 Φ𝑖𝑋𝑡𝑖 𝐺 𝑍𝑡 𝑒𝑡 𝑍𝑡 é um vetor de variáveis exógenas Importante que as variáveis sejam mesmo exógenas A utilização de uma variável em 𝑍𝑡 que deveria estar em 𝑋𝑡 pode levar a estimação viesada Matriz de coeficientes G é de ordem n x g sengo g o número de variáveis exógenas Transformação de um VARp em VAR1 Seja um VAR2 𝑋𝑡 Φ0 Φ1𝑋𝑡1 Φ2𝑋𝑡2 𝑒𝑡 Podemos reescrever como 𝑋𝑡 𝑋𝑡1 Φ0 0 Φ1 Φ2 𝐼 0 𝑋𝑡1 𝑋𝑡2 𝑒𝑡 0 Principal utilidade de um VAR em modelos macroeconômicos Resposta a choques estruturais Como a economia irá reagir se houver um choque em uma das variáveis do modelo Por exemplo qual a trajetória da inflação PIB e desemprego se houver um novo choque de oferta Especificação do modelo Os critérios de informação também podem ajudar a definir a ordem do modelo Critérios AIC BIC e HQ são usados da mesma forma que eram com os modelos univariados Causalidade Granger Uso de VAR para checar se um conjunto de variáveis 𝑋1ajuda a prever um outro conjunto de variáveis 𝑋2 Não acarreta causalidade num sentido estrito 𝑋1 prever 𝑋2 não significa que 𝑋1 causa 𝑋2 Exemplo número de pessoas que saíram com guardachuvas de manhã ajuda a prever precipitação à tarde Proibir uso de guardachuva evitaria chuvas Matematicamente A variável 𝑥1falha no teste de causalidade Granger para a variável 𝑥2 se o erro quadrático médio da previsão de 𝑥2𝑡𝑠 baseada em 𝑥2𝑡 𝑥2𝑡1 𝑥2𝑡2 for igual ao da previsão de 𝑥2𝑡𝑠 baseada em 𝑥2𝑡 𝑥2𝑡1 𝑥2𝑡2 𝑥1𝑡 𝑥1𝑡1 𝑥1𝑡2 Significado no caso bivariado No caso bivariado as matrizes Φ𝑖 i0 serão todas triangulares inferiores se a variável 𝑥2 falhar no teste de causalidade de Granger para 𝑥1 𝑥1𝑡 𝑥2𝑡 01 02 111 0 211 221 𝑥1𝑡1 𝑥2𝑡1 112 0 212 222 𝑥1𝑡2 𝑥2𝑡2 𝑒1𝑡 𝑒2𝑡 Se 𝑥1 também falhar no teste de causalidade Granger em 𝑥2 as matrizes Φ𝑖 i0 também serão diagonais Resposta ao Impulso A resposta ao impulso seria a derivada 𝑥𝑖𝑡𝑠 𝑒𝑗𝑡 𝑥𝑖𝑡 𝑒𝑗𝑡𝑠 ou seja como um choque na variável j afetaria a variável i ao longo do tempo O modelo VAR estimado pode ser escrito como um MA em cada variável Mas há um problema os 𝑒𝑡de uma variável são correlacionados com os de outra variável Modelo estimado na forma reduzida Problema de identificação O modelo geral é da forma 𝐴𝑋𝑡 𝐵0 σ𝑖1 𝑝 𝐵𝑖𝑋𝑡𝑖 𝐵𝜀𝑡 Estimamos porém o modelo 𝑋𝑡 Φ0 Φ1𝑋𝑡1 Φ2𝑋𝑡2 𝑒𝑡 Problema não conseguimos recuperar a matriz A Desenvolvido uma forma de recuperar essa matriz impondo restrições adicionais a ela Um tipo de restrição Suponha um modelo VAR bivariado Se impusermos a matriz A como sendo A 1 0 𝑎21 1 teremos a matriz inversa 𝐴1 1 0 𝑎21 1 Exemplo 1 0 𝑎21 1 𝑦𝑡 𝑧𝑡 𝑏10 𝑏20 𝑏11 𝑏12 𝑏21 𝑏21 𝑦𝑡1 𝑧𝑡1 𝜎𝑦 0 0 𝜎𝑦 𝜖𝑦𝑡 𝜖𝑧𝑡 𝑦𝑡 𝑧𝑡 1 0 𝑎21 1 𝑏10 𝑏20 1 0 𝑎21 1 𝑏11 𝑏12 𝑏21 𝑏21 𝑦𝑡1 𝑧𝑡1 1 0 𝑎21 1 𝜎𝑦 0 0 𝜎𝑧 𝜖𝑦𝑡 𝜖𝑧𝑡 Temos que 1 0 𝑎21 1 𝜎𝑦 0 0 𝜎𝑧 𝜖𝑦𝑡 𝜖𝑧𝑡 𝜎𝑦 0 𝑎21𝜎𝑦 𝜎𝑧 𝜖𝑦𝑡 𝜖𝑧𝑡 𝜎𝑦𝜖𝑦𝑡 𝑎21𝜎𝑦𝜖𝑦𝑡 𝜎𝑧𝜖𝑧𝑡 Temos que Var𝑒1 𝑉𝑎𝑟𝜎𝑦𝜖𝑦𝑡𝜎𝑦2 Var𝑒2 𝑉𝑎𝑟𝑎21𝜎𝑦𝜖𝑦𝑡 𝜎𝑧𝜖𝑧𝑡 𝑎21 2 𝜎𝑦2 𝜎𝑧2 Cov 𝑒1 𝑒2 𝐸𝜎𝑦𝜖𝑦𝑡𝑎21𝜎𝑦𝜖𝑦𝑡 𝜎𝑧𝜖𝑧𝑡 𝑎21𝜎𝑦2 Também podemos recuperar os demais parâmetros pelas fórmulas 𝜙10 𝑏10 𝜙20 𝑏20 𝑏10 𝑎21 𝜙11 𝑏11 𝜙12 𝑏12 𝜙21 𝑏21 𝑏11 𝑎21 𝜙22 𝑏22 𝑏12 𝑎21 Generalização Com mais variáveis forçamos a matriz A a ser triangular inferior Imposição de 𝑛2𝑛 2 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖çõ𝑒𝑠 Imposição de ordem causal recursiva 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥𝑛 Refazer com ordens causais diferentes checar a robustez do modelo Decomposição de Cholesky Teorema Se os autovalores de 𝐼 σ𝑗1 𝑝 Φ𝑗𝐿𝑗 estiverem fora do círculo unitário podemos escrever um VARp na forma de um VMA Exemplo VAR1 bivariado ത𝑋 𝐼 Φ1 1 𝑋𝑡 ത𝑋 𝑖0 Φ1 𝑖 𝑒𝑡𝑖 ത𝑋 𝑖0 Φ1 𝑖 1 𝑎12 𝑎21 1 𝑎12 𝑎21 1 𝜎𝑦𝜀𝑦𝑡𝑖 𝜎𝑧𝜀𝑧𝑡𝑖 Se definirmos Ψ𝑖 Φ1𝑖 1𝑎12𝑎21 1 𝑎12 𝑎21 1 Teremos 𝑋𝑡 ത𝑋 σ𝑖0 Ψ𝑖 𝜎𝑦𝜀𝑦𝑡𝑖 𝜎𝑧𝜀𝑧𝑡𝑖 ത𝑋 σ𝑖0 𝜓𝑖11 𝜓𝑖12 𝜓𝑖21 𝜓𝑖22 𝜎𝑦𝜀𝑦𝑡𝑖 𝜎𝑧𝜀𝑧𝑡𝑖 Interpretação Se somarmos os coeficientes 𝜓𝑖12 em i até uma defasagem h teremos o impacto total de um choque na variável 𝑥2em 𝑥1 Gráfico dos coeficientes 𝜓𝑖12 em i ou seja na defasagem Resposta ao impulso da variável 𝑥2em 𝑥1 Problema 𝜓𝑖12 é um parâmetro estrutural Não pode ser recuperado na forma reduzida Depende de restrições adicionais como a decomposição de Cholesky