Inversibilidade em Processos MA e Modelos ARMA

Séries Temporais Parte 2 Prof Marcelo Nuno Carneiro de Sousa Inversibilidade do Processo MA Seja o seguinte processo MA1 𝑦𝑡 𝜃𝜀𝑡1 𝜀𝑡 Usando o operador L temos 𝑦𝑡 1 𝜃𝐿 𝜀𝑡 A inversibilidade colocaria o modelo na forma 1 𝜃𝐿 1𝑦𝑡 𝜀𝑡 Esse modelo seria um AR Inversibilidade A condição de inversibilidade é θ1 Podemos provar que 1 𝜙𝐿 𝜙2𝐿2 𝜙3𝐿3 𝜙𝑗𝐿𝑗1 𝜙𝐿𝑦𝑡 𝑦𝑡𝜙𝑡1𝑦1 Se 𝜙1 então lim 𝑗1 𝜙𝐿 𝜙2𝐿2 𝜙3𝐿3 𝜙𝑗𝐿𝑗1 𝜙𝐿𝑦𝑡 𝑦𝑡 Então 1 𝜙𝐿 1 1 𝜙𝐿 𝜙2𝐿2 𝜙3𝐿3 Se fizermos 𝜙 θ note que 𝜙1 θ1 1 θ𝐿 1 1 θ𝐿 θ2𝐿2 θ3𝐿3 θ4𝐿4 Condição de Inversibilidade Seja 𝑦𝑡 𝜃 𝐿 𝜖𝑡 O processo será inversível ou seja escrito como um AR se as raízes de 𝜃 𝐿 estiverem fora do círculo unitário Exemplo 𝑦𝑡 1 𝜃𝐿 𝜖𝑡 𝜃 𝐿 1 𝜃𝐿 𝜃 𝑧 1 𝜃𝑧 𝜃 𝑧 0 1 𝜃𝑧 0 z 1 𝜃 𝑧 1 𝜃 1 Mas e se as raízes estiverem dentro do círculo unitário Imagine o processo MA1 𝑦𝑡 𝜇 θ𝜀𝑡1 𝜀𝑡 𝜀𝑡 𝑖𝑖𝑑 𝐸 𝜀𝑡 0 𝑉𝑎𝑟 𝜀𝑡 𝜎2 Sabemos que Var𝑦𝑡 1 𝜃2 𝜎2 𝑎𝑢𝑡𝑜𝑐𝑜𝑟𝑟1𝑦𝑡 𝜃 1𝜃2 1 1 𝜃𝜃 Agora imagine o processo MA1 𝑥𝑡 𝜇 1 𝜃 𝜀𝑡1 𝜀𝑡 𝜀𝑡 𝑖𝑖𝑑 𝐸 𝜀𝑡 0 𝑉𝑎𝑟 𝜀𝑡 𝜎2 𝜃2 Temos Var𝑥𝑡 1 1 𝜃2 𝜎2 𝜃2 1 𝜃2 𝜎2 𝑎𝑢𝑡𝑜𝑐𝑜𝑟𝑟1𝑥𝑡 1 𝜃 1 1 𝜃2 1 1 𝜃𝜃 Resultado Desde que θ seja diferente de 1 qualquer processo MA com parâmetro θ é indistinguível de outro com parâmetro 1 𝜃 Então ao fazer a estimação é escolhido o processo inversível ou seja que tenha as raízes fora do círculo unitário Modelo ARMApq O modelo ARMApq pode ser descrito como sendo O modelo pode ser escrito como 𝑦𝑡 𝑐 σ𝑖1 𝑝 𝜙𝑖𝑦𝑡𝑖 σ𝑗1 𝑝 𝜃𝑗𝜀𝑡𝑗 Funções de autocovariância podem ser bem complicadas A estacionariedade do processo é dada pela condição da parte AR enquanto a inversibilidade pela parte MA Estimação dos Modelos Desafio Dada a observação de uma série temporal estimar o modelo que melhor a explica Com base no modelo fazer a previsão para os próximos períodos Problema evitar o overfitting Metodologia de Ljung Box Função de Autocorrelação Parcial A função de autocorrelação parcial é determinada da seguinte forma Regride 𝑦𝑡 em 𝑦𝑡1 pega o coeficiente associado a 𝑦𝑡1 Regride 𝑦𝑡 em 𝑦𝑡1 𝑒 𝑦𝑡2 pega o coeficiente associado a 𝑦𝑡2 E assim vai sucessivamente Características da Função Autocorrelação Parcial Se tiver um modelo ARp a autocorrelação parcial vai a zero após p defasagens E se for um modelo MAq Não se esqueça que existe um processo inversível que será equivalente a um AR com autocorrelações parciais decaindo Então as autocorrelações serão decrescentes caindo suavemente Características das autocorrelações FAC e autocorrelações parciais FACP A tabela abaixo fornece um guia sobre como as funções de autocorrelação e autocorrelação parcial se comportam para os processos AR e MA Modelo FAC FACP ARp Decai Vai a zero depois da defasagem p MAq Vai a zero depois da defasagem q Decai ARMApq Decai com defasagem maior que q Decai com defasagem maior que p Formas de estimar Usando os gráficos Estimar as autocorrelações e autocorrelações parciais Estimar intervalos de confiança o erro padrão é aproximado pois usa geralmente as distribuições sob ruído branco Olhar os gráficos e ver os picos das distribuições Estimar o modelo com a especificação determinada Ver a estrutura dos resíduos Teste de LjungBox Após o modelo ser ajustado faz o seguinte teste de hipótese Hipótese Nula os resíduos são iid Hipótese Alternativa os resíduos apresentam alguma correlação serial AR eou MA Q nn2 Σpk 2 nk Onde n é o tamanho da amostra pk é a autocorrelação amostral de defasagem k Critérios de Informação Adicionar parâmetros não irá aumentar a soma dos quadrados dos resíduos pelo contrário quase sempre irá diminuir Assim precisamos bolar formas de punir uma sobrerrepresentação do modelo Os critérios de informação são formas de fazer isso BIC O critério BIC é definido como sendo 𝐵𝐼𝐶 𝑝 𝑞 ln 𝜎2 𝑛 ln 𝑇 𝑇 Modelo consistente assintoticamente Tende a escolher modelos parcimoniosos AIC O critério AIC é definido como 𝐴𝐼𝐶 𝑝 𝑞 ln 𝜎2 𝑛 2 𝑇 Viesado para escolher modelos sobreparametrizados Funciona melhor para pequenas amostras Estatística de HannanQuinn É definida como 𝐻𝑄 𝑝 𝑞 ln 𝜎2 𝑛 2 𝑇 lnln 𝑇 Assintoticamente consistente Uso dos critérios de informação Se mais de um modelo ajustar de forma a fazer os resíduos ficarem iid o melhor modelo é aquele que tiver o menor valor para o critério O critério dá um valor comparativo entre modelos da mesma amostra Não serve para comparar amostras ou grandezas diferentes