Modelos ARCH e GARCH em Séries Temporais Financeiras

Séries Temporais Modelos ARCH e GARCH Prof Marcelo Nuno Carneiro de Sousa Séries Temporais Fontes de Não Estacionariedade Sazonalidade A média flutua de maneira cíclica Tendência A média cresce ou diminui ao longo do tempo Raiz Unitária na Parte AR do Processo Heterocedasticidade A variância não é constante ao longo do tempo Séries Financeiras Preço de um ativo financeiro Geralmente é nãoestacionário Transformação para estacionariedade Retornos 𝑟𝑡 𝑝𝑡𝑝𝑡1 𝑝𝑡1 Retorno logarítmico 𝑟𝑡 𝑙𝑜𝑔 𝑝𝑡 𝑝𝑡1 log𝑝𝑡log𝑝𝑡1 Vantagens do Retorno Logaritmico Variável pode ter quaisquer valores o retorno tradicional é limitado a 1 para ativos com responsabilidade limitada Variável tem valores muito próximos do retorno tradicional quando tem valores pequenos Para muitos períodos se tirarmos a média aritmética dos retornos logarítmicos se aplicarmos esse valor em todo o intervalo obteremos o mesmo valor do preço final Mais propriedades do Retorno Logaritmico Seja 𝑟𝑡 𝑙𝑜𝑔 𝑝𝑡 𝑝𝑡1 𝑒𝑟𝑡 𝑝𝑡 𝑝𝑡1 𝑝𝑡 𝑝𝑡1𝑒𝑟𝑡 Podemos provar que 𝑝𝑡 lim 𝑛 1 𝑟𝑡 𝑛 𝑛 𝑝𝑡1 Retorno com capitalização contínua Heterocedasticidade Séries financeiras Retornos ou retornos logarítmicos Não apresentam distribuição normal Eventos extremos Geralmente retornos de grande magnitude para cima ou para baixo tendem a serem seguidos por outros de grande magnitude Clusterização da volatilidade O mercado está nervoso Exemplo Retorno Logaritmico do IBOVESPA Volatilidade maior nos períodos de crise Características Curtose muito acima da esperada para uma distribuição normal que é igual a 3 para normal padrão Retornos com módulo elevado seguidos de retornos com módulo elevado Solução modelar a variância de forma a não ser mais constante ao longo do tempo ARCH AutoRegressive Conditional Heterocedasticity GARCH Generalized AutoRegressive Conditional Heterocedasticity Modelos ARCH O modelo ARCH é modelado da seguinte forma 𝑢𝑡 𝜎𝑡𝜀𝑡 Onde 𝜀𝑡 é um ruído branco com média 0 e variância 1 𝜎𝑡 é uma variância com comportamento autorregressivo Por exemplo no ARCH 1 temos 𝜎𝑡 𝜔 𝛼1𝑢𝑡1 2 ARCH Em finanças muitas vezes é utilizado diretamente nos retornos ou retornos logarítmicos ao invés de por exemplo resíduos de um processo ARMA aplicados nele Assim as equações ficam 𝑟𝑡 𝜎𝑡𝜀𝑡 𝜎𝑡 𝜔 𝛼1𝑟𝑡1 2 Características 𝐸𝑢𝑡 𝐸𝜎𝑡𝐸 𝜀𝑡 0 𝑝𝑜𝑖𝑠 𝑐𝑜𝑟𝑟 𝜎𝑡 𝜀𝑡 0 Existe uma regra na estatística que é a Lei das Expectativas Iteradas que diz que EEXYEX Então E𝑢𝑡𝑢𝑡1 𝐸E 𝑢𝑡𝑢𝑡1 𝑢𝑡1 𝑢𝑡2 𝑢𝑡3 𝑢𝑡1𝐸 𝑢𝑡 0 Mas cov𝑢𝑡 𝑢𝑡1 𝐸 𝑢𝑡 𝐸 𝑢𝑡 𝑢𝑡1 𝐸 𝑢𝑡1 E 𝑢𝑡𝑢𝑡1 0 Então Como cov𝑢𝑡 𝑢𝑡1 0 então as informações de 𝑢𝑡1não servem para prever 𝑢𝑡 Se 𝑟𝑡 segue esse processo então os retornos passados não servem para prever os retornos futuros Eficiência de Mercado Mas e a variância Temos que 𝑉𝑎𝑟𝑢𝑡 𝑢𝑡1𝑢𝑡2 𝐸 𝑢𝑡 2𝑢𝑡1𝑢𝑡2 𝐸 𝜎𝑡 2𝜀𝑡 2𝑢𝑡1𝑢𝑡2 Mas 𝜎𝑡 2 𝜔 𝛼1𝑢𝑡1 2 ou seja 𝜎𝑡 2 já é sabida com a informação de t1 Pode ter tratamento como se fosse constante 𝐸 𝜎𝑡 2𝜀𝑡 2𝑢𝑡1𝑢𝑡2 𝜎𝑡 2 𝐸 𝜀𝑡 2𝑢𝑡1𝑢𝑡2 𝜎𝑡 2 Variância incondicional 𝑣𝑎𝑟 𝑢𝑡 𝐸 𝑢𝑡 2 𝐸 𝑢𝑡 2 𝐸 𝑢𝑡 2 Podemos usar a Lei das Expectativas Iteradas e a expressão fica 𝐸 𝑢𝑡 2 𝐸 𝐸 𝑢𝑡 2𝑢𝑡1𝑢𝑡2 E 𝜔 𝛼1𝑢𝑡1 2 𝜔 𝛼1 𝐸𝑢𝑡1 2 Como é a variância incondicional 𝑣𝑎𝑟 𝑢𝑡 𝐸 𝑢𝑡 2 𝐸 𝑢𝑡1 2 𝑣𝑎𝑟 𝑢𝑡 𝜔 𝛼1 𝑣𝑎𝑟 𝑢𝑡 1 𝛼1 𝑣𝑎𝑟 𝑢𝑡 𝜔 𝑣𝑎𝑟 𝑢𝑡 𝜔 1𝛼1 Desde que 𝛼1 1 Variância condicional e incondicional Temos que a variância incondicional é 𝜎2 𝜔 1𝛼1 𝜔 𝜎2 1 𝛼1 Como 𝜎𝑡 2 𝜔 𝛼1𝑢𝑡1 2 𝜎𝑡 2 𝜎2 1 𝛼1 𝛼1𝑢𝑡1 2 𝜎2 𝛼1𝑢𝑡1 2 𝜎2 ARCH p O modelo ARCHp é uma generalização do modelo ARCH só que com 𝜎𝑡 2 𝑤 σ𝑖1 𝑝 𝛼𝑖𝑢𝑡𝑖 2 Problema 𝑢𝑡 2 pode exigir uma ordem p muito elevada Forma de resolver Modelos GARCH GARCH11 O modelo GARCH 11 pode ser escrito como 𝜎𝑡 2 𝜔 𝛼1𝑢𝑡1 2 𝛽1𝜎𝑡1 2 Há a generalização GARCHpq onde 𝜎𝑡 2 𝑤 σ𝑖1 𝑝 𝛼𝑖𝑢𝑡𝑖 2 σ𝑗1 𝑞 𝛼𝑖𝜎𝑡𝑗 2 Estacionariedade Sabemos que num processo ARMA a estacionariedade da média depende dos termos AR Será que analogamente a estacionariedade na variância de um modelo GARCH depende somente dos termos ARCHp Estacionariedade Sabemos que 𝑣𝑎𝑟 𝑢𝑡 𝐸 𝑢𝑡 2 𝐸 𝑢𝑡 2 𝐸 𝑢𝑡 2 Podemos usar a Lei das Expectativas Iteradas e a expressão fica 𝐸 𝑢𝑡 2 𝐸 𝐸 𝑢𝑡 2𝑢𝑡1𝑢𝑡2 E 𝜔 𝛼1𝑢𝑡1 2 𝛽1𝜎𝑡1 2 𝜔 𝛼1 𝐸 𝑢𝑡1 2 𝛽1𝜎𝑡1 2 Como é a variância incondicional 𝑣𝑎𝑟 𝑢𝑡 𝐸 𝑢𝑡 2 𝐸 𝑢𝑡1 2 𝜎𝑡1 2 𝑣𝑎𝑟 𝑢𝑡 𝜔 𝛼1𝛽1 𝑣𝑎𝑟 𝑢𝑡 1 𝛼1 𝛽1 𝑣𝑎𝑟 𝑢𝑡 𝜔 𝑣𝑎𝑟 𝑢𝑡 𝜔 1𝛼1𝛽1 Desde que𝛼1𝛽1 1 IGARCH Caso especial em que a equação da volatilidade tem raiz unitária Por exemplo GARCH 11 com 𝛼1𝛽1 1 A equação da volatilidade fica 𝜎𝑡 2 𝜔 𝛼1𝑢𝑡1 2 1 𝛼1𝜎𝑡1 2 Caso especial 𝜔0 Caso especial Um IGARCH com w0 terá a seguinte equação 𝜎𝑡 2 𝛼1𝑢𝑡1 2 1 𝛼1𝜎𝑡1 2 Esse caso especial é chamado de EWMA Exponential Weighted Moving Average Muito usado em Finanças Para a metodologia Riskmetrics utilizam um 𝛼1094 Características do IGARCH e EWMA Não existe variância incondicional A variância esperada para todos os períodos adiante é 𝜎𝑡 2 EWMA é usado em Finanças pela simplicidade Cálculo direto pode ser EXCEL Aplicação Value at Risk VaR Não confundir VaR Value at Risk com Var Variância e nem com VAR Vector Autoregressive Model próximo tópico de estudo VaR Definido como a perda máxima para um certo nível de confiança Estimativa de um percentil da distribuição de perdas e ganhos 1α VaR VaR Estimação pode ser complicada Relações complicadas entre as variáveis Volatilidade altera ao longo do tempo Muitas vezes precisa de simulação de Monte Carlo Modelo da RiskmetricsTM Assume que a relação entre as variáveis ativos de uma carteira é explicada pela correlação Assume modelo EWMA Como o modelo EWMA pressupõe que a variância futura é explicada por 𝜎𝑡 2 multiplica 𝜎𝑡 2 de um dia pelo número de dias do intervalo Usa multiplicadores para compensar as simplificações