Lista de Exercícios: Energia e Potência de Sinais

Sinais e Sistemas Prof Eng Viviana R Zurro MSc Energia e potencia 1 SS Lista de exercícios Energia e potência de um sinal Por definição potência é energia dissipada por unidade de tempo Tempo contínuo Tempo discreto Energia 𝐸 𝑥𝑡2𝑑𝑡 𝐸 𝑥𝑛2 𝑛 Potência 𝑃 lim 𝑇 1 2𝑇 𝑥𝑡2𝑑𝑡 T T 𝑃 lim 𝑁 1 2𝑁 1 𝑥𝑛2 𝑁 𝑛𝑁 𝐸 𝑃 0 𝐸 𝑃 0 𝐸 𝑃 Problemas 1 Determine os valores de 𝐸 e 𝑃 para os seguintes sinais a 𝑥𝑡 ⅇ𝑗2𝑡𝜋 4 b 𝑥𝑛 ⅇ𝑗𝜋𝑛 2 𝜋 8 c 𝑥𝑛 𝑐𝑜𝑠 𝜋 4 𝑛 d 𝑥𝑡 cos 𝑡 e 𝑥𝑛 1 2 𝑛 𝑢𝑛 Resolução a 𝑥𝑡 1 ⅇ𝑗2𝑡𝜋 4 portanto 𝑥𝑡 1 𝐸 𝑥𝑡2 𝑑𝑡 1 𝑑𝑡 Para calcular 𝑃 deveremos usar a fórmula 𝑃 lim 𝑇 1 2𝑇 𝑥𝑡2𝑑𝑡 T T lim 𝑇 1 2𝑇 1𝑑𝑡 T T lim 𝑇 1 2𝑇 𝑑𝑡 T T 𝑷 𝐥𝐢𝐦 𝑻 𝟏 𝟐𝑻 𝑻 𝑻 𝟏 b 𝑥𝑛 1 ⅇ𝑗𝜋𝑛 2 𝜋 8 portanto 𝑥𝑛 1 Sinais e Sistemas Prof Eng Viviana R Zurro MSc Energia e potencia 2 SS Lista de exercícios 𝑬 𝒙𝒏𝟐 𝒏 𝟏𝟐 𝒏 Para calcular 𝑃 deveremos usar a fórmula 𝑃 lim 𝑁 1 2𝑁 1 𝑥𝑛2 𝑁 𝑛𝑁 lim 𝑁 1 2𝑁 1 12 𝑁 𝑛𝑁 𝑷 𝐥𝐢𝐦 𝑵 𝟏 𝟐𝑵 𝟏 𝟐𝑵 𝟏 𝟏 c 𝑥𝑛 𝑐𝑜𝑠 𝜋 4 𝑛 𝐸 𝑥𝑛2 𝑛 𝑐𝑜𝑠2 𝜋 4 𝑛 𝑛 𝑬 Por relações trigonométricas cos2 𝛼 2 1cos𝛼 2 𝑃 lim 𝑛 1 2𝑁 1 𝑥𝑛2 𝑁 𝑛𝑁 lim 𝑛 1 2𝑁 1 𝑐𝑜𝑠2 𝜋 4 𝑛 N 𝑛N 𝑃 lim 𝑛 1 2𝑁 1 1 𝑐𝑜𝑠 𝜋 2 𝑛 2 𝑁 𝑛𝑁 Resolvendo o somatório 1 𝑐𝑜𝑠 𝜋 2 𝑛 2 𝑁 𝑛𝑁 1 2 𝑁 𝑛𝑁 1 2 𝑐𝑜𝑠 𝜋 2 𝑛 𝑁 𝑛𝑁 𝑎 𝑁 𝑛𝑁 2𝑁 1𝑎 1 2 𝑁 𝑛𝑁 1 2 2𝑁 1 Como o somatório do cosseno é dentro de dois períodos do sinal a soma total área em baixo da curva é igual a zero 𝑎 𝑐𝑜𝑠𝑏𝑛 𝑁 𝑛𝑁 1 2 𝑐𝑜𝑠 𝜋 2 𝑛 𝑁 𝑛𝑁 0 Sinais e Sistemas Prof Eng Viviana R Zurro MSc Energia e potencia 3 SS Lista de exercícios Na Figura 1 podemos ver o resultado do somatório do cosseno Figura 1 Área total do cosseno em dois períodos de sinal A soma das áreas 1 2 3 e 4 positivas é igual à soma das áreas 5 e 6 negativas Então 1 2 𝑁 𝑛𝑁 1 2 𝑐𝑜𝑠 𝜋 2 𝑛 𝑁 𝑛𝑁 1 2 2𝑁 1 0 1 2 2𝑁 1 Portanto 𝑃 lim 𝑛 1 2𝑁 1 1 𝑐𝑜𝑠 𝜋 2 𝑛 2 𝑁 𝑛𝑁 lim 𝑛 1 2𝑁 1 1 2 2𝑁 1 𝑷 𝟏 𝟐 d 𝑥𝑡 cos 𝑡 𝐸 𝑥𝑡2 𝑑𝑡 cos2𝑡 𝑑𝑡 cos2𝑡 1 cos2𝑡 2 𝐸 1 cos2𝑡 2 𝑑𝑡 Para calcular 𝑃 deveremos usar a fórmula 𝑃 lim 𝑇 1 2𝑇 𝑥𝑡2𝑑𝑡 T T lim 𝑇 1 2𝑇 cos2𝑡 𝑑𝑡 T T lim 𝑇 1 2𝑇 1 cos2𝑡 2 𝑑𝑡 T T 𝑃 lim 𝑇 1 2𝑇 1 2 𝑑𝑡 T T 1 2 cos2𝑡𝑑𝑡 T T Sinais e Sistemas Prof Eng Viviana R Zurro MSc Energia e potencia 4 SS Lista de exercícios Como a integral do cosseno num período ou n períodos completo é igual a zero 𝑃 lim 𝑇 1 2𝑇 1 2 𝑑𝑡 T T lim 𝑇 1 2𝑇 1 2 tT T lim 𝑇 1 2𝑇 1 2 𝑇 𝑇 𝑃 lim 𝑇 1 2𝑇 1 2 2𝑇 1 2 e 𝑥𝑛 1 2 𝑛 𝑢𝑛 𝑢𝑛 1 𝑛 0 0 𝑛 0 𝑥𝑛 0𝑛 0 𝐸 𝑥𝑛2 𝑛 1 4 n 𝑛 1 4 n 𝑛0 𝑎𝑟𝑛 𝑛0 𝑎 1 𝑟 𝐸 1 1 1 4 4 3 Como 𝐸 𝑃 0 Referências OPPENHEIM A V WILLSKY A S Sinais e Sistemas 2a ed São Paulo Pearson Education do Brasil 2010