Formulas PDS: Processamento Digital de Sinais - Resumo Completo

Fórmulas Processamento Digital de Sinais Formulas 1 PDS 1 Sinais e Sistemas Tipos de sinais Sinais periódicos 𝑥𝑛 𝑥𝑛 𝑁 para todo 𝑛 Sinal par 𝑥𝑛 𝑥𝑛 Sinal ímpar 𝑥𝑛 𝑥𝑛 Energia do sinal E nxn2 Potência do sinal 𝑃 lim 𝑇 1 2𝑁1 𝑥𝑛2 𝑁 𝑛𝑁 Funções básicas Impulso unitário discreto 𝛿𝑛 0 𝑛 0 1 𝑛 0 Degrau unitário discreto 𝑢𝑛 0 𝑛 0 1 𝑛 0 𝛿𝑛 𝑢𝑛 𝑢𝑛 1 𝑢𝑛 𝛿𝑛 𝑘 𝑘0 Propriedade do impulso 𝑥𝑛𝛿𝑛 𝑥0 Relação de Euler 𝑒𝑗𝑏 𝑐𝑜𝑠𝑏 𝑗𝑠𝑒𝑛𝑏 Divisão do sinal em parte par e parte ímpar o Par ℇ𝑣𝑥𝑛 1 2 𝑥𝑛 𝑥𝑛 o Ímpar 𝒪𝑑𝑥𝑛 1 2 𝑥𝑛 𝑥𝑛 Propriedades de sistemas Invariância no tempo o Se 𝑥𝑛 𝑦𝑛 então 𝑥𝑛 𝑛0 𝑦𝑛 𝑛0 Linearidade Superposição o Se 𝑥1𝑛 𝑦1𝑛 𝑒 𝑥2𝑛 𝑦2𝑛 o Então 𝑥𝑛 𝑎𝑥1𝑛 𝑏𝑥2𝑛 𝑦𝑛 𝑎𝑦1𝑛 𝑏𝑦2𝑛 Generalização 𝑎𝑘𝑥𝑘𝑛 𝑎𝑘𝑦𝑘𝑛 𝑘 𝑘 Causalidade o Causal a saída depende de valores presentes e passados da entrada o Não causal a saída depende de valores presentes passados e futuros da entrada o Anticausal a saída depende de valores futuros da entrada Estabilidade o sistema é estável se a amplitude nunca atinge o infinito Sem memória a saída não depende de valores de entrada armazenados em memória Fórmulas Processamento Digital de Sinais Formulas 1 PDS 2 Representação de sinais Sistema Linear Invariante no tempo 𝑥𝑛 𝑎𝑘𝑥𝑘𝑛 𝑛𝑘 𝑘 𝑦𝑛 𝑎𝑘𝑦𝑘𝑛 𝑛𝑘 𝑘 Representação do sinal com impulsos deslocados 𝑥𝑛 𝑥𝑘𝛿𝑛 𝑘 𝑘 Resposta ao impulso 𝑥𝑛 𝑥𝑘𝛿𝑛 𝑘 𝑘 𝑦𝑛 𝑥𝑘ℎ𝑛 𝑘 𝑘 Convolução Convolução 𝑦𝑛 𝑥𝑛 ℎ𝑛 𝑥𝑘ℎ𝑛 𝑘 𝑘 Propriedades da convolução Comutativa o 𝑥𝑛 ℎ𝑛 𝑥𝑛ℎ𝑛 𝑘 𝑘 𝑥𝑛 𝑟ℎ𝑟 𝑟 ℎ𝑛 𝑥𝑛 Distributiva o 𝑥𝑛 ℎ1𝑛 ℎ2𝑛 𝑥𝑛 ℎ1𝑛 𝑥𝑛 ℎ2𝑛 Associativa o 𝑥𝑛 ℎ1𝑛 ℎ2𝑛 𝑥𝑛 ℎ1𝑛 ℎ2𝑛 Equações de diferença Equações de diferença 𝑎𝑘𝑦𝑛 𝑘 𝑁 𝑘0 𝑏𝑘𝑥𝑛 𝑘 𝑀 𝑘0 Transformada de Fourier em tempo discreto DTFT Transformada 𝑋𝑒𝑗 𝑥𝑛𝑒𝑗𝑛 𝑛 Transformada inversa 𝑥𝑛 1 2𝜋 𝑋𝑒𝑗 𝜋 𝜋 𝑒𝑗𝑛𝑑 Propriedades da transformada de Fourier Simetria Tabela 1 Propriedades de simetria da DTFT Linearidade 𝑎𝑥𝑛 𝑏𝑦𝑛 𝑎𝑋𝑒𝑗 𝑏𝑌𝑒𝑗 Deslocamento no domínio do tempo Fórmulas Processamento Digital de Sinais Formulas 1 PDS 3 𝑥𝑛 𝑛𝑑 𝑒𝑗𝑛𝑑𝑋𝑒𝑗 Deslocamento no domínio da frequência 𝑒𝑗𝑜𝑛𝑥𝑛 𝑋𝑒𝑗𝑜 Reflexão no tempo 𝑥𝑛 𝑋𝑒𝑗 Diferenciação no domínio da frequência 𝑛𝑥𝑛 𝑗 𝑑 𝑑𝜔 𝑋𝑒𝑗 Pares de transformadas Tabela 2 Pares de transformadas da DTFT Teoremas Teorema de Parseval a energia do sinal no domínio do tempo está relacionada com o cálculo no domínio da frequência 𝐸 𝑥𝑛2 𝑛 1 2𝜋 𝑋𝑒𝑗 2𝑑𝜔 𝜋 𝜋 𝑥𝑛𝑦𝑛 𝑛 1 2𝜋 𝑋𝑒𝑗𝑌𝑒𝑗𝑑𝜔 𝜋 𝜋 Teorema da convolução 𝑥𝑛𝑦𝑛 𝑋𝑒𝑗 𝑌𝑒𝑗 Fórmulas Processamento Digital de Sinais Formulas 1 PDS 4 Teorema de janelamento ou modulação 𝑛𝑥𝑛 1 2𝜋 𝑋𝑒𝑗𝜃𝑌𝑒𝑗𝜃𝑑𝜃 𝜋 𝜋 Transformada z 𝑋𝑧 𝑥𝑛𝑧𝑛 𝑛 𝑧 𝑒𝑗 Círculo de raio unitário Região de convergência Por definição a região de convergência RDC é aquela região na qual a série de potências da transformada z converge ou seja onde 𝑋𝑧 é finita 𝑋𝑧 𝑥𝑛𝑧𝑛 𝑛 Região de convergência para sequência infinita 𝑋𝑧 𝑥𝑛𝑟𝑛 1 𝑛 𝑥𝑛𝑟𝑛 𝑛0 Transformada z inversa Integral de contorno 𝑥𝑛 1 2𝜋𝑗 𝐶 𝑋𝑧𝑧𝑛1𝑑𝑧 Integral de Cauchy 1 2𝜋𝑗 𝐶 𝑧𝑘𝑑𝑧 1 𝑘 1 0 𝑘 1 Expansão por frações parciais 𝑋𝑧 𝑁𝑧 𝐷𝑧 𝑏𝑘𝑧𝑘 𝑀 𝑘0 𝑎𝑘𝑧𝑘 𝑁 𝑘0 Fórmulas Processamento Digital de Sinais Formulas 1 PDS 5 Expansão por série de potências 𝑋𝑧 𝑥𝑛𝑧𝑛 𝑛 𝑥1𝑧1 𝑥0 𝑥1𝑧1 Pares de transformadas Tabela 3 Pares de transformada z Fórmulas Processamento Digital de Sinais Formulas 1 PDS 6 Propriedades da transformada z Tabela 4 Propriedades da transformada z Sistemas lineares 𝑦𝑛 𝑥𝑛 ℎ𝑛 𝑌𝑧 𝑋𝑧𝐻𝑧 Transformada z unilateral 𝑋𝑧 𝑥𝑛𝑧𝑛 𝑛0 Fórmulas Processamento Digital de Sinais Formulas 1 PDS 7 Transformada Discreta de Fourier DFT Série de Fourier discreta DFS Sequência discreta 𝑥𝑛 𝑥𝑛 𝑟𝑁 com 0 2𝜋 𝑁 Equação de análise 𝑋𝑘 𝑥𝑛𝑊𝑁 𝑘𝑛 𝑁1 𝑛0 com 𝑊𝑁 𝑒𝑗2𝜋 𝑁 Equação de síntese 𝑥𝑛 1 𝑁 𝑋𝑘𝑊𝑁 𝑘𝑛 𝑁1 𝑘0 Propriedades da DFS Tabela 5 Propriedades da DFS Representação de Fourier de sequências de duração finita 𝑥𝑛 𝑥𝑛 𝑟𝑁 𝑟 𝑥𝑛 𝑥𝑛 0 𝑛 𝑁 1 0 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜 𝑥𝑛 𝑥𝑛 mod 𝑁 𝑥 𝑛𝑁 𝑋𝑘 𝑋𝑘 0 𝑘 𝑁 1 0 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜 𝑋𝑘 𝑋𝑘 mod 𝑁 𝑋 𝑘𝑁 Equação de análise Fórmulas Processamento Digital de Sinais Formulas 1 PDS 8 𝑋𝑘 𝑥𝑛𝑊𝑁 𝑘𝑛 𝑁1 𝑛0 0 𝑘 𝑁 1 0 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜 Equação de síntese 𝑥𝑛 1 𝑁 𝑋𝑘𝑊𝑁 𝑘𝑛 𝑁1 𝑘0 0 𝑛 𝑁 1 0 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜 𝑊𝑁 𝑒𝑗2𝜋 𝑁 Propriedades da DFT Tabela 6 Propriedades da DFT Fórmulas Processamento Digital de Sinais Formulas 1 PDS 9 Estruturas para Sistemas em tempo Discreto Equações de diferença lineares com coeficientes constantes Função do sistema 𝐻𝑧 𝑌𝑧 𝑋𝑧 𝑏0 𝑏1𝑧1 1 𝑎𝑧1 Resposta ao impulso ℎ𝑛 𝑏0𝑎𝑛𝑢𝑛 𝑏1𝑎𝑛1𝑢𝑛 1 Equação de diferenças 𝑦𝑛 𝑎𝑦𝑛 1 𝑏0𝑥𝑛 𝑏1𝑥𝑛 1 Sistemas IIR Forma direta 𝑦𝑛 𝑎𝑘𝑦𝑛 𝑘 𝑁 𝑘1 𝑏𝑘𝑥𝑛 𝑘 𝑀 𝑘0 𝐻𝑧 𝑏𝑘 𝑀 𝑘0 𝑧𝑘 1 𝑎𝑘 𝑁 𝑘1 𝑧𝑘 Forma em cascata 𝐻𝑧 𝑏0𝑘 𝑏1𝑘𝑧1 𝑏2𝑘𝑧2 1 𝑎1𝑘𝑧1 𝑎2𝑘𝑧2 𝑁𝑠 𝑘1 𝑁𝑠 𝑁 1 2 Forma paralela 𝐻𝑧 𝐶𝑘𝑧𝑘 𝑁𝑝 𝑘0 𝑒0𝑘 𝑒1𝑘𝑧1 1 𝑎1𝑘𝑧1 𝑎2𝑘𝑧2 𝑁𝑠 𝑘1 𝑁𝑠 𝑁 1 2 𝑁𝑝 𝑀 𝑁 Realimentação 𝑦𝑛 𝑎𝑦𝑛 1 𝑥𝑛 𝐻𝑧 1 1 𝑎𝑧1 Formas transpostas Fórmulas Processamento Digital de Sinais Formulas 1 PDS 10 a b c Sistema FIR Forma direta 𝑦𝑛 𝑏𝑘𝑥𝑛 𝑘 𝑀 𝑘0 ℎ𝑛 𝑏𝑛 𝑛 01 𝑀 0 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜 Forma em cascata 𝐻𝑧 ℎ𝑛𝑧𝑛 𝑀 𝑛0 𝑏0𝑘 𝑏1𝑘𝑧1 𝑏2𝑘𝑧2 𝑀𝑠 𝑘1 𝑀𝑠 𝑀 1 2 Fórmulas Processamento Digital de Sinais Formulas 1 PDS 11 Filtros Digitais Especificações do filtro 𝜔𝑝 frequência de corte da banda passante 𝜔𝑠 frequência de corte da faixa de rejeição 𝛿1 máximo ripple da banda passante 𝛿2 mínima atenuação da faixa de rejeição Projeto do filtro por invariância ao impulso ℎ𝑛 𝑇𝑑ℎ𝑐𝑛𝑇𝑑 Onde ℎ𝑛 é a resposta ao impulso em tempo discreto ℎ𝑐 é a resposta ao impulso em tempo contínuo 𝑇𝑑 é um intervalo de amostragem Relação entre as respostas em frequência de filtros em tempo contínuo e discreto 𝐻𝑒𝑗𝜔 𝐻𝑐 𝑗 𝜔 𝑇𝑑 𝑗 2𝜋 𝑇𝑑 𝑘 𝑘 𝐻𝐶𝑠 𝐴𝑘 𝑠 𝑠𝑘 𝑁 𝑘1 Fórmulas Processamento Digital de Sinais Formulas 1 PDS 12 ℎ𝑐𝑡 𝐴𝑘𝑒𝑠𝑘𝑡 𝑁 𝑘1 𝑡 0 0 𝑡 0 E tempo discreto será ℎ𝑛 𝑇𝑑ℎ𝑐𝑛𝑇𝑑 𝑇𝑑𝐴𝑘𝑒𝑠𝑘𝑛𝑇𝑑𝑢𝑛 𝑁 𝑘1 𝑇𝑑𝐴𝑘𝑒𝑠𝑘𝑇𝑑𝑛𝑢𝑛 𝑁 𝑘1 Função de sistema do filtro causal em tempo discreto 𝐻𝑧 𝑇𝑑𝐴𝑘 1 𝑒𝑠𝑘𝑇𝑑𝑧1 𝑁 𝑘1 Transformação bilinear 𝑠 2 𝑇𝑑 1 𝑧1 1 𝑧1 𝐻𝑧 𝐻𝑐 2 𝑇𝑑 1 𝑧1 1 𝑧1 Relação entre plano s e plano z 𝑠 𝜎 𝑗𝛺 2 𝑇𝑑 2𝑒𝑗2𝑗𝑠𝑒𝑛2 2𝑒𝑗2𝑐𝑜𝑠2 2𝑗 𝑇𝑑 𝑡𝑎𝑛2 Para 𝜎 0 𝛺 2 𝑇𝑑 𝑡𝑎𝑛2 ou 2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝛺𝑇𝑑2 Filtros Butterworth Chevysev e elípticos Filtro Passa Baixas FPB Butterworth 𝐻𝑐𝑗𝛺2 1 1 𝛺 𝛺𝑐2𝑁 e 𝛺 estão relacionadas 𝐻𝑒𝑗𝜔 2 1 1 𝑡𝑔𝜔 2 𝑡𝑔𝜔𝑐 2 2𝑁 Fórmulas Processamento Digital de Sinais Formulas 1 PDS 13 Transformações em frequência Tabela 7 Transformações em frequência Projeto de filtros FIR por janelamento A convolução entre o espectro da janela e a resposta em frequência ideal tornam mais visível o efeito do janelamento no domínio da frequência 𝐻𝑒𝑗𝜔 1 2𝜋 𝐻𝑑𝑒𝑗𝜃𝑊𝑒𝑗𝜔𝜃 𝑑𝜃 𝛱 𝜋 Tipos de janelas Retangular 𝑤𝑛 1 0 𝑛 𝑀 0 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜 Fórmulas Processamento Digital de Sinais Formulas 1 PDS 14 Bartlett triangular 𝑤𝑛 2𝑛 𝑀 0 𝑛 𝑀 2 𝑀 𝑝𝑎𝑟 2 2𝑛 𝑀 𝑀 2 𝑛 𝑀 0 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜 Hann ou Hanning 𝑤𝑛 05 05 cos2𝜋𝑛 𝑀 0 𝑛 𝑀 0 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜 Hamming 𝑤𝑛 054 046 cos2𝜋𝑛 𝑀 0 𝑛 𝑀 0 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜 Blackmann 𝑤𝑛 042 05 cos2𝜋𝑛 𝑀 008 cos4𝜋𝑛 𝑀 0 𝑛 𝑀 0 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜 Comparação de janelas Fase linear generalizada 𝑤𝑛 𝑤𝑀 𝑛 0 𝑛 𝑀 0 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜 𝑊𝑒𝑗𝜔 𝑊𝑒𝑒𝑗𝜔𝑒𝑗𝜔𝑀 2 𝑊𝑒𝑒𝑗𝜔 sendo uma função real e par de 𝜔 Resposta em frequência resultante 𝐻𝑒𝑗𝜔 𝐴𝑒𝑒𝑗𝜔𝑒𝑗𝜔𝑀2 𝐴𝑒𝑒𝑗𝜔 é função real e par de 𝜔 Características de filtros FPB FPA FPF e FRF projetados usando janelas de comprimento 𝑁 𝑀 1 o 𝛥𝜔 𝜔𝑠 𝜔𝑝 largura de faixa de transição o 𝑅𝑝 máximo ripple na banda passante o 𝑅𝑠 mínima atenuação na faixa de rejeição o 𝐿𝐿 relação entre as magnitudes do lóbulo principal e do lóbulo lateral Fórmulas Processamento Digital de Sinais Formulas 1 PDS 15 o 𝛿 desvio efetivo ao usar determinada janela o 𝛿 𝛿𝜌𝑒𝑓𝑒𝑡𝑖𝑣𝑜 𝛿𝑠𝑒𝑓𝑒𝑡𝑖𝑣𝑜 Janela Kaiser 𝑤𝑛 𝐼0 𝛽1 𝑛 𝛼 𝛼 2 𝐼0𝛽 0 𝑛 𝑀 0 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜 𝑀 𝑁 1 𝛼 𝑀2 e 𝐼0 a função de Bessel modificada de primeira espécie de ordem zero Esta janela depende de dois parâmetros O comprimento 𝑁 ou 𝑀 1 O parâmetro de forma 𝛽 𝜔𝑝 frequência de corte da banda passante é a frequência mais alta de tal forma que 𝐻𝑒𝑗𝜔 1 𝛿 𝜔𝑠 frequência de corte da faixa de rejeição é a frequência mais baixa de tal forma que 𝐻𝑒𝑗𝜔 𝛿 A região de transição tem largura determinada pela equação seguinte para o FPB 𝛥𝜔 𝜔𝑠 𝜔𝑝 Algoritmo de ParksMcClellan cos𝜔𝑛 𝑇𝑛cos 𝜔 𝐴𝑒𝑒𝑗𝑤 𝑎𝑘cos 𝜔𝑘 𝐿 𝑘0 𝑃𝑥𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑃𝑥 𝑎𝑘𝑥𝑘 𝐿 𝑘0 Fórmulas Processamento Digital de Sinais Formulas 1 PDS 16 Teorema da alternância O teorema da alternância fornece uma condição necessária e suficiente que um polinômio de uma dada ordem deve satisfazer para que ele minimize o erro ponderado máximo 𝐸𝑝𝑥 𝑊𝑝𝑥𝐷𝑝𝑥 𝑃𝑥 𝐸𝑝𝑥 é o erro ponderado 𝑊𝑝𝑥 é uma função positiva contínua em 𝐹𝑝 e 𝐷𝑝𝑥 uma função determinada contínua em 𝐹𝑝 O erro máximo é definido como 𝐸 max 𝑥𝐹𝑝 𝐸𝑝𝑥 Filtros FIR de fase linear Tipo Comprimento Resposta ao impulso I ímpar Simétrico II par Simétrico III ímpar Antissimétrico IV par Antissimétrico