Lista de Exercícios sobre Sinais e Sistemas

Sinais e Sistemas Prof Eng Viviana R Zurro MSc Sistemas LIT e convolução 1 SS Lista de exercícios Sistemas lineares invariantes no tempo e convolução Propriedades dos sistemas Os sistemas de processamento de sinais têm as seguintes características Linearidade um sistema é linear se a saída responde linearmente às variações do sinal de entrada caso contrário é não linear Invariância no tempo o sistema é invariante no tempo se um atraso ou avanço de tempo na entrada provoca deslocamento idêntico na saída Sem memória o sistema é sem memória se a saída depende exclusivamente da amostra atual do sinal de entrada não depende de amostras nem passadas nem futuras Causalidade o sistema é causal se a saída depende de amostras presentes e ou passadas do sinal de entrada É não causal de depende de amostras passadas presentes e futuras ou de amostras presentes e futuras somente sinais digitais É anticausal de depende somente de amostras futuras somente sinais digitais Estabilidade o sistema é estável quando a amplitude do sinal de saída não tende a infinito para nenhum sinal de entrada disciplinas de Controle Contínuo e Discreto Problemas 1 Vários sistemas são representados pelas equações a seguir Para cada um dos sistemas determinar se são Estáveis Causais Lineares Invariantes no tempo Sem memória a 𝑇𝑥𝑛 𝑥𝑛 3 2 b 𝑇𝑥𝑡 cos𝑡𝑥𝑡 2 c 𝑇𝑥𝑛 𝑛𝑥𝑛 d 𝑇𝑥𝑡 𝑥𝑡 1 𝑥𝑡 1 e 𝑇𝑥𝑛 𝑥𝑛 𝑛0 f 𝑇𝑥𝑛 𝑥𝑛 g 𝑇𝑥𝑛 𝑎𝑥𝑛 𝑏 Resolução a 𝑇𝑥𝑛 𝑥𝑛 3 2 Linearidade 𝑇𝑎𝑥1𝑛 𝑏𝑥2𝑛 𝑎𝑥1𝑛 3 𝑏𝑥2𝑛 3 2 1 𝑦1𝑛 𝑥1𝑛 3 2 𝑦2𝑛 𝑥2𝑛 3 2 𝑦𝑛 𝑎𝑦1𝑛 𝑏𝑦2𝑛 𝑎𝑥1𝑛 3 2𝑎 𝑏𝑥2𝑛 3 2𝑏 2 Como a equação 1 não é igual à equação 2 o sistema não é linear Sinais e Sistemas Prof Eng Viviana R Zurro MSc Sistemas LIT e convolução 2 SS Lista de exercícios Invariância no tempo 𝑇𝑥𝑛 𝑛0 𝑥𝑛 𝑛0 3 2 3 𝑦𝑛 𝑥𝑛 3 2 𝑦𝑛 𝑛0 𝑥𝑛 𝑛0 3 2 4 Como a equação 3 é igual à equação 4 o sistema é invariante no tempo Sem memória o sistema é com memória porque a saída depende de amostras futuras de 𝑥𝑛 𝑦𝑛 𝑥𝑛 3 Causalidade o sistema é anticausal porque depende somente de amostras futuras de 𝑥𝑛 Estabilidade o sistema por ele mesmo é estável qualquer instabilidade que possa apresentar será devida a instabilidades do sinal de entrada b 𝑇𝑥𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑥𝑡 2 Linearidade 𝑇𝑎𝑥1𝑡 𝑏𝑥2𝑡 𝑎 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑥1𝑡 2 𝑏 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑥2𝑡 2 5 𝑦1𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑥1𝑡 2 𝑦2𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑥2𝑡 2 𝑦𝑡 𝑎𝑦1𝑡 𝑏𝑦2𝑡 𝑎 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑥1𝑡 2 𝑏 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑥2𝑡 2 6 Como a equação 5 é igual à equação 6 o sistema é linear Cumpre com as propriedades de homogeneidade e aditividade Invariância no tempo 𝑇𝑥𝑡 𝑡0 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑥𝑡 𝑡0 2 7 𝑦𝑡 cos𝑡𝑥𝑡 2 𝑦𝑡 𝑡0 𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑡0𝑥𝑡 𝑡0 2 8 Como a equação 7 é diferente da equação 8 o sistema não é invariante no tempo Sem memória o sistema é com memória porque a saída depende de amostras passadas de 𝑥𝑡 Causalidade o sistema é causal porque depende de amostras passadas de 𝑥𝑡 Estabilidade o sistema por ele mesmo é estável qualquer instabilidade que possa apresentar será devida a instabilidades do sinal de entrada Sinais e Sistemas Prof Eng Viviana R Zurro MSc Sistemas LIT e convolução 3 SS Lista de exercícios c 𝑇𝑥𝑛 𝑛𝑥𝑛 Linearidade 𝑇𝑎𝑥1𝑛 𝑏𝑥2𝑛 𝑎𝑛𝑥1𝑛 𝑏𝑛𝑥2𝑛 9 𝑦1𝑛 𝑛𝑥1𝑛 𝑦2𝑛 𝑛𝑥2𝑛 𝑦𝑛 𝑎𝑦1𝑛 𝑏𝑦2𝑛 𝑎𝑛𝑥1𝑛 𝑏𝑛𝑥2𝑛 10 Como a equação 9 é igual à equação 10 o sistema é linear Invariância no tempo 𝑇𝑥𝑛 𝑛0 𝑛𝑥𝑛 𝑛0 11 𝑦𝑛 𝑛𝑥𝑛 𝑦𝑛 𝑛0 𝑛 𝑛0𝑥𝑛 𝑛0 12 Como a equação 11 é igual à equação 12 o sistema não é invariante no tempo Sem memória o sistema é sem memória porque a saída depende de amostras somente de amostras presentes de 𝑥𝑛 Causalidade o sistema é causal porque depende de amostras presentes de 𝑥𝑛 Estabilidade o sistema é instável quando 𝑛 a amplitude do sinal de saída tenderá a infinito d 𝑇𝑥𝑡 𝑥𝑡 1 𝑥𝑡 1 Linearidade 𝑇𝑎𝑥1𝑡 𝑏𝑥2𝑡 𝑎𝑥1𝑡 1 𝑥1𝑡 1 𝑏𝑥2𝑡 1 𝑥2𝑡 1 13 𝑦1𝑡 𝑥1𝑡 1 𝑥1𝑡 1 𝑦2𝑡 𝑥2𝑡 1 𝑥2𝑡 1 𝑦𝑡 𝑎𝑦1𝑡 𝑏𝑦2𝑡 𝑎𝑥1𝑡 1 𝑥1𝑡 1 𝑏𝑥2𝑡 1 𝑥2𝑡 1 14 Sinais e Sistemas Prof Eng Viviana R Zurro MSc Sistemas LIT e convolução 4 SS Lista de exercícios Como a equação 13 é igual à equação 14 o sistema é linear Invariância no tempo 𝑇𝑥𝑡 𝑡0 𝑥𝑡 𝑡0 1 𝑥𝑡 𝑡0 1 15 𝑦𝑡 𝑥𝑡 1 𝑥𝑡 1 𝑦𝑡 𝑡0 𝑥𝑡 𝑡0 1 𝑥𝑡 𝑡0 1 16 Como a equação 15 é igual à equação 16 o sistema é invariante no tempo Sem memória o sistema é com memória porque a saída depende de amostras passadas e futuras de 𝑥𝑡 Causalidade o sistema é não causal porque depende de amostras passadas e futuras de 𝑥𝑡 Estabilidade o sistema por ele mesmo é estável qualquer instabilidade que possa apresentar será devida a instabilidades do sinal de entrada e 𝑇𝑥𝑛 𝑥𝑛 𝑛0 Linearidade outro jeito de verificar 𝑇𝑎𝑥1𝑛 𝑏𝑥2𝑛 𝑎𝑥1𝑛 𝑛0 𝑏𝑥2𝑛 𝑛0 𝑎𝑇𝑥1𝑛 𝑏𝑇𝑥2𝑛 O sistema é linear Invariância no tempo outro jeito de verificar 𝑇𝑥𝑛 𝑛𝑑 𝑥𝑛 𝑛0 𝑛𝑑 𝑦𝑛 𝑛𝑑 O sistema é invariante no tempo Sem memória o sistema é com memória a menos que 𝑛0 0 Causalidade se 𝑛0 0 o sistema depende de amostras futuras portanto não é causal Estabilidade se a amplitude do sinal 𝑥𝑛 𝑛0 𝑀 sendo 𝑀 o sistema é estável mesma situação do ponto d f 𝑇𝑥𝑛 𝑥𝑛 Linearidade 𝑇𝑎𝑥1𝑛 𝑏𝑥2𝑛 𝑎𝑥1𝑛 𝑏𝑥2𝑛 Sinais e Sistemas Prof Eng Viviana R Zurro MSc Sistemas LIT e convolução 5 SS Lista de exercícios 𝑎𝑇𝑥1𝑛 𝑏𝑇𝑥2𝑛 O sistema é linear Invariância no tempo 𝑇𝑥𝑛 𝑛0 𝑥𝑛 𝑛0 𝑦𝑛 𝑛𝑜 𝑥𝑛 𝑛0 O sistema não é invariante no tempo Sem memória o sistema é com memória Para 𝑛 0 depende de outro valor de 𝑥 guardado na memória Causalidade se 𝑛0 0 o sistema depende de amostras futuras 𝑥𝑛 portanto não é causal Estabilidade se a amplitude do sinal 𝑥𝑛 𝑛0 𝑀 sendo 𝑀 o sistema é estável g 𝑇𝑥𝑛 𝑎𝑥𝑛 𝑏 Linearidade 𝑇𝑐𝑥1𝑛 𝑑𝑥2𝑛 𝑎𝑐𝑥1𝑛 𝑎𝑑𝑥2𝑛 𝑏 𝑐𝑇𝑥1𝑛 𝑑𝑇𝑥2𝑛 O sistema é não linear Invariância no tempo 𝑇𝑥𝑛 𝑛0 𝑎𝑥𝑛 𝑛0 𝑏 𝑦𝑛 𝑛𝑜 O sistema é invariante no tempo Sem memória o sistema é sem memória porque depende somente de valores atuais de 𝑥 Causalidade o sistema o não depende de valores futuros de 𝑥 portanto é causal Estabilidade se a amplitude do sinal 𝑎𝑥𝑛 𝑏 𝑀 sendo 𝑀 𝑎 𝑒 𝑏 o sistema é estável Convolução 2 A entrada e saída de um sistema LIT estão relacionadas pela seguinte equação Sinais e Sistemas Prof Eng Viviana R Zurro MSc Sistemas LIT e convolução 6 SS Lista de exercícios 𝑦𝑡 𝑒𝑡𝜏𝑥𝜏 2 𝑑𝜏 𝑡 a Determine a resposta ao impulso do sistema b Se a entrada 𝑥𝑡 está definida pela figura a seguir determine 𝑦𝑡 Resolução a Definindo 𝜏 𝜏 2 portanto 𝜏 2 𝜏 e substituindo na equação 𝑦𝑡 𝑒𝑡𝜏𝑥𝜏 2 𝑑𝜏 𝑒𝑡𝜏2𝑥𝜏 𝑑𝜏 𝑡2 𝑡 𝑒𝑡𝜏2𝑥𝜏 𝑑𝜏 𝑡2 Considerando a integral de convolução 𝑦𝑡 𝑥𝜏ℎ𝑡 𝜏 𝑑𝜏 A reposta ao impulso fica da seguinte maneira 𝒉𝒕 ⅇ𝒕𝟐𝒖𝒕 𝟐 b Devido à propriedade comutativa da convolução 𝑦𝑡 ℎ𝜏𝑥𝑡 𝜏 ⅆ𝜏 𝑥𝑡 𝑢𝑡 1 𝑢𝑡 2 𝑦𝑡 ℎ𝜏𝑥𝑡 𝜏 ⅆ𝜏 0 1 3 2 1 0 1 2 3 t xt Sinais e Sistemas Prof Eng Viviana R Zurro MSc Sistemas LIT e convolução 7 SS Lista de exercícios 𝒚𝒕 ⅇ𝝉𝟐𝒖𝒕 𝝉 𝟏 𝒖𝒕 𝝉 𝟐 ⅆ𝝉 𝟐 3 A sequência 𝑥𝑛 correspondente a um determinado sinal é processada por um sistema que tem uma resposta ao impulso ℎ𝑛 O número em realce corresponde ao valor em 𝑛 0 Determinar 𝑦𝑛 𝑥𝑛 ℎ𝑛 𝑥𝑛 𝟑 1 2 ℎ𝑛 𝟎 0 1 2 Resolução A convolução de dois sinais discretos implica em inverter um dos sinais neste caso a resposta ao impulso e deslocar este sinal em cima do outro neste caso 𝑥𝑛 realizando operações de produto e soma como indicado na tabela e figuras a seguir n 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 xn 0 0 0 0 3 1 2 0 0 0 0 hn 0 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 hn 0 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 xn 0 0 0 0 3 1 2 0 0 0 0 hn1 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 y102010000 0 xn 0 0 0 0 3 1 2 0 0 0 0 hn 0 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 y002010030 0 xn 0 0 0 0 3 1 2 0 0 0 0 hn1 0 0 2 1 0 0 0 0 0 0 0 y102013010 0 xn 0 0 0 0 3 1 2 0 0 0 0 hn2 0 0 0 2 1 0 0 0 0 0 0 y202313020 3 xn 0 0 0 0 3 1 2 0 0 0 0 hn3 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 0 y33211302000 7 xn 0 0 0 0 3 1 2 0 0 0 0 hn4 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 y412210000 4 Sinais e Sistemas Prof Eng Viviana R Zurro MSc Sistemas LIT e convolução 8 SS Lista de exercícios xn 0 0 0 0 3 1 2 0 0 0 0 hn5 0 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 y522010000 4 xn 0 0 0 0 3 1 2 0 0 0 0 hn5 0 0 0 0 0 0 0 2 1 0 0 y602010000 0 0 1 2 3 4 5 6 7 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 n xn 0 1 2 3 4 5 6 7 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 n hn Sinais e Sistemas Prof Eng Viviana R Zurro MSc Sistemas LIT e convolução 9 SS Lista de exercícios Referências OPPENHEIM A V WILLSKY A S Sinais e Sistemas 2a ed São Paulo Pearson Education do Brasil 2010 SCILAB ENTREPRISES Scilab Scilab 2017 Disponivel em httpwwwscilaborg 0 1 2 3 4 5 6 7 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 n hn 0 1 2 3 4 5 6 7 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 n 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