Relatorio Filtros Digitais - Analise e Implementacao com Scilab

Processamento Digital de Sinais Prof Eng Viviana R Zurro MSc M10 Filtros digitais Roteiro 1 Atividade Prática Filtros Digitais OBJETIVO Verificar o sinal de saída a partir de um sinal de entrada determinado MATERIAL UTILIZADO Ambiente matemático Scilab Apostilas 1 2 e 3 disponíveis no AVA ORIENTAÇÕES Para realizar esta atividade leia atentamente todo material principalmente as apostilas disponível na Aula 12 Atenção Coloque no relatório todo o desenvolvimento matemático prévio ao desenvolvimento do algoritmo Se não houver desenvolvimento matemático como indicado no vídeo do experimento será descontada nota Inclua imagens de todos os procedimentos solicitados Nas imagens não se esqueça de colocar nomes nos eixos xlabel e ylabel Será descontada nota Para facilitar o desenvolvimento da atividade use o aplicativo SciNotes que permite gravar sua atividade como um programa página 7 da Apostila 1 Coloque o algoritmo completo no relatório com o detalhe de cada uma das linhas como o exemplo indicado Será descontada nota Trabalhos iguais serão considerados plágio e a nota será zero para todos os alunos que entregarem o mesmo trabalho ATIVIDADE Um determinado sistema digital tem a seguinte estrutura Figura 1 Estrutura do filtro Para chegar na resposta ao impulso será necessário calcular a função do sistema 𝐻𝑧 a partir da estrutura do filtro Sendo 𝑎 𝑅𝑈5 2 se 𝑅𝑈5 0 adotar 𝑎 25 Processamento Digital de Sinais Prof Eng Viviana R Zurro MSc M10 Filtros digitais Roteiro 2 𝑏 𝑅𝑈6 10 se 𝑅𝑈6 0 adotar 𝑏 06 𝑐 𝑅𝑈7 100 se 𝑅𝑈7 0 adotar 𝑐 007 𝑑 𝑅𝑈3 10 se 𝑅𝑈3 0 adotar 𝑑 03 Vetor de entrada sinal de entrada 𝑥𝑛 𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑛 𝜋 3 𝑐𝑜𝑠 04𝑘𝑛 𝜋 4 4 𝑛 𝑅𝑈4 𝜋 número 𝜋 sintaxe no Scinotes pi 𝑘 𝑅𝑈2 9 se 𝑅𝑈2 0 adotar 𝑘 022 Exemplos de RU RU 1635010 RU1 RU2 RU3 RU4 RU5 RU6 RU7 1 6 3 5 0 1 0 𝑥𝑛 𝑠𝑒𝑛 066𝑛 𝜋 3 𝑐𝑜𝑠 026𝑛 𝜋 4 4 𝑛 4 RU 1971742 RU1 RU2 RU3 RU4 RU5 RU6 RU7 1 0 7 0 7 4 2 𝑥𝑛 𝑠𝑒𝑛 022𝑛 𝜋 3 𝑐𝑜𝑠 0088𝑛 𝜋 4 4 𝑛 0 Usando o ambiente matemático Scilab calcular o sinal de saída 𝑦𝑛 definido por 𝑦𝑛 𝑥𝑛 ℎ𝑛 1 Onde ℎ𝑛 é a resposta ao impulso domínio do tempo correspondente à 𝐻𝑧 domínio da frequência E o sinal de saída 𝑦𝑛 é resultante da convolução entre o sinal de entrada 𝑥𝑛 e a resposta ao impulso do sistema ℎ𝑛 PROCEDIMENTO Exemplo RU 1635010 É conveniente usar o aplicativo SciNotes para escrever os comandos As funções impulso unitário e degrau unitário explicadas na Apostila 1 Introdução ao Scilab serão fundamentais para esta atividade Elas deverão ser definidas no início da série de comandos 1 6 pontos A partir da estrutura do filtro mostrada na Figura 1 calcular a resposta ao impulso ℎ𝑛 do sistema Todos os cálculos deverão ser apresentados detalhadamente Processamento Digital de Sinais Prof Eng Viviana R Zurro MSc M10 Filtros digitais Roteiro 3 no relatório estes cálculos serão realizados no caderno As listas de exercícios mencionadas no MATERIAL UTILIZADO têm vários problemas e resoluções similares 2 Scilab a Gerar um vetor 𝑛 entre 20 e 20 para 𝑥𝑛 e ℎ𝑛 b Gerar um vetor 𝑛1 entre 40 e 40 para 𝑦𝑛 c 3 pontos Algoritmo matemático detalhado de preferência no SciNotes i 15 ponto Vetor de entrada 𝑥𝑛 correto ii 15 ponto Resposta ao impulso ℎ𝑛 correta 3 1 ponto Usando os comandos subplot e plot2d3 Apostila 2 plotar 𝑥𝑛 ℎ𝑛 e 𝑦𝑛 no mesmo gráfico a Gráficos corretos b Nomes nos eixos dos gráficos será descontada nota se os gráficos não tiverem nome nos eixos Processamento Digital de Sinais Prof Eng Viviana R Zurro MSc M10 Filtros digitais Roteiro 4 Exemplos de gráficos RU 1234567 Calculo de Hz Incialmente com o modelo no tempo discreto podese desenhar o diagrama de blocos em Z para este mesmo sistema como pode ser visto a seguir Foram definidos os pontos Q z e W z para ajudar a entender os percursos que o sinal percorre no diagrama de blocos Q z é obtido pela soma dos sinais que chegam no somador logo abaixo dele Q z a X zbW z c z 1W Q z a X zbc z 1W Já o sinal W z é obtido a partir da soma dos sinais que chegam no somador á sua esquerda W zX zz 1Q z Substituindo Q z na equação temos W zX zz 1 a X zbc z 1W z W zX za z 1 X zb z 1c z 2W z W zb z 1c z 2W z1az 1 X z 1b z 1c z 2W z1a z 1 X z W z 1a z 1 1b z 1c z 2 X z Desta forma obtemos uma relação entre W z e X z A saída Y z é obtida como a soma dos sinais que chegam ao somador à sua esquerda Y z W zd z 1Y z Y z d z 1Y zW z 1d z 1Y zW z Y z W z 1d z 1 Substituindo W z na equação temos Y z 1az 1 1b z 1c z 21d z 1 X z H z 1az 1 1b z 1cz 2 1d z 1 Podese agora substituir os valores da matrícula para se obter a equação RU13 RU25 RU35 RU46 RU56 RU67 RU72 a RU 5 2 6 23 b RU 6 10 7 100 7 cRU 7 100 2 100002 dRU 3 10 5 10 05 H z 13 z 1 107 z 1002 z 2105z 1 Esta equação pode ser reescrita multiplicando o numerador e o denominador por z 3 H z z z 23 z z 207 z002z05 Podese obter as raízes da equação de segundo grau do denominador a fim de se obter H z com relação a seus polos z 207 z0020 z0707 24 002 2 z07057 2 z107275 z200275 Desta forma H z zz 23 z z07275 z00275 z05 Agora por frações parciais temos H z z z 23 z z07275 z00275 z05z A z07275 B z0 0275 C z05 A z00275 z05B z07275 z05C z07275 z00275z 23 z A z 205275 z001375B z 202275 z036375C z 207 z002z 23z z 2 ABC z 05275 A02275B07C 001375 A036375B002C z 23 z ABC1 05275 A02275B07C3 001375 A036375 B002C0 I II II Pela equação I 05275 A05275 B05275C05275 Somando com a equação II 05275 B02275B05275C0 7C305275 0755B12275C35275I V Pela equação I novamente 001375 A001375B001375C001375 Somando com a equação III 036375 B001375 B002C001375C0001375 03775 B003375C001375 0755 B00675C00275V Somando as equações IV e V temos 12275C00675C3527500275 116C35 C 35 116301724 Pela equação IV B3527512275C 0755 B023333 Pela equação I A1BC A178391 Desta forma obtemos que H z pode ser escrito como H z 178391 z z07275 023333 z z00275 301724 z z05 Como é conhecido o par de transformada ZK z zaK a nu n Temos que h n178391 07275 n023333 00275 n301724 05 nu n Código clear Limpa as variáveis clc Limpa a janela de comandos clf Limpa as janelas gráficas fgcf Manipulador da figura RU13 Valores de matricula RU25 RU35 RU46 RU56 RU67 RU72 function yimpx Função impulso yzeros 1lengthx yfindx01 endfunction function ydegx Função degrau yzeros1lengthx yfindx01 endfunction n20120 n para xn e hn n140140 n para yn pipi pi kRU29 variável k janeladegn4degnRU4 Janela em que xn é válido xsinknpi3cos04knpi4janela udegn for i2020 Calcula hn hi2117839107275iui21 02333300275iui21 30172405iui21 end yconvnh Calcula yn subplot311 subplot 1 plot2d3nx style2 plot discreto com cor azul fchildrenchildren1childrenthickness2linha grossura 2 titlexn xlabeln ylabelamplitude subplot312 subplot 2 plot2d3nh style3 plot discreto com cor verde fchildrenchildren1childrenthickness2linha grossura 2 titlehn xlabeln ylabelamplitude subplot313 subplot 3 plot2d3n1y style5 plot discreto com cor vermelho fchildrenchildren1childrenthickness2linha grossura 2 titleyn xlabeln ylabelamplitude Resultado Calculo de Hz Incialmente com o modelo no tempo discreto podese desenhar o diagrama de blocos em Z para este mesmo sistema como pode ser visto a seguir Foram definidos os pontos 𝑄𝑧 e 𝑊𝑧 para ajudar a entender os percursos que o sinal percorre no diagrama de blocos 𝑄𝑧 é obtido pela soma dos sinais que chegam no somador logo abaixo dele 𝑄𝑧 𝑎 𝑋𝑧 𝑏 𝑊𝑧 𝑐 𝑧1𝑊𝑧 𝑄𝑧 𝑎 𝑋𝑧 𝑏 𝑐 𝑧1𝑊𝑧 Já o sinal 𝑊𝑧 é obtido a partir da soma dos sinais que chegam no somador á sua esquerda 𝑊𝑧 𝑋𝑧 𝑧1𝑄𝑧 Substituindo 𝑄𝑧 na equação temos 𝑊𝑧 𝑋𝑧 𝑧1𝑎 𝑋𝑧 𝑏 𝑐 𝑧1𝑊𝑧 𝑊𝑧 𝑋𝑧 𝑎 𝑧1𝑋𝑧 𝑏𝑧1 𝑐 𝑧2𝑊𝑧 𝑊𝑧 𝑏𝑧1 𝑐 𝑧2𝑊𝑧 1 𝑎 𝑧1𝑋𝑧 1 𝑏𝑧1 𝑐 𝑧2𝑊𝑧 1 𝑎 𝑧1𝑋𝑧 𝑊𝑧 1 𝑎 𝑧1 1 𝑏𝑧1 𝑐 𝑧2 𝑋𝑧 Desta forma obtemos uma relação entre 𝑊𝑧 e 𝑋𝑧 A saída 𝑌𝑧 é obtida como a soma dos sinais que chegam ao somador à sua esquerda 𝑌𝑧 𝑊𝑧 𝑑𝑧1𝑌𝑧 𝑌𝑧 𝑑𝑧1𝑌𝑧 𝑊𝑧 1 𝑑𝑧1𝑌𝑧 𝑊𝑧 𝑌𝑧 𝑊𝑧 1 𝑑𝑧1 Substituindo 𝑊𝑧 na equação temos 𝑌𝑧 1 𝑎 𝑧1 1 𝑏𝑧1 𝑐 𝑧21 𝑑𝑧1 𝑋𝑧 𝐻𝑧 1 𝑎 𝑧1 1 𝑏𝑧1 𝑐 𝑧21 𝑑𝑧1 Podese agora substituir os valores da matrícula para se obter a equação RU13 RU25 RU35 RU46 RU56 RU67 RU72 𝑎 𝑅𝑈5 2 6 2 3 𝑏 𝑅𝑈6 10 7 10 07 𝑐 𝑅𝑈7 100 2 100 002 𝑑 𝑅𝑈3 10 5 10 05 𝐻𝑧 1 3𝑧1 1 07𝑧1 002𝑧21 05𝑧1 Esta equação pode ser reescrita multiplicando o numerador e o denominador por 𝑧3 𝐻𝑧 𝑧𝑧2 3𝑧 𝑧2 07𝑧 002𝑧 05 Podese obter as raízes da equação de segundo grau do denominador a fim de se obter 𝐻𝑧 com relação a seus polos 𝑧2 07𝑧 002 0 𝑧 07 072 4 002 2 𝑧 07 057 2 𝑧1 07275 𝑧2 00275 Desta forma 𝐻𝑧 𝑧𝑧2 3𝑧 𝑧 07275𝑧 00275𝑧 05 Agora por frações parciais temos 𝐻𝑧 𝑧𝑧2 3𝑧 𝑧 07275𝑧 00275𝑧 05 𝑧 𝐴 𝑧 07275 𝐵 𝑧 00275 𝐶 𝑧 05 𝐴𝑧 00275𝑧 05 𝐵𝑧 07275𝑧 05 𝐶𝑧 07275𝑧 00275 𝑧2 3𝑧 𝐴𝑧2 05275𝑧 001375 𝐵𝑧2 02275𝑧 036375 𝐶𝑧2 07𝑧 002 𝑧2 3𝑧 𝑧2𝐴 𝐵 𝐶 𝑧05275𝐴 02275𝐵 07𝐶 001375𝐴 036375𝐵 002𝐶 𝑧2 3𝑧 𝐴 𝐵 𝐶 1 05275𝐴 02275𝐵 07𝐶 3 001375𝐴 036375𝐵 002𝐶 0 𝐼 𝐼𝐼 𝐼𝐼 Pela equação I 05275𝐴 05275𝐵 05275𝐶 05275 Somando com a equação II 05275𝐵 02275𝐵 05275𝐶 07𝐶 3 05275 0755𝐵 12275𝐶 35275 𝐼𝑉 Pela equação I novamente 001375𝐴 001375𝐵 001375𝐶 001375 Somando com a equação III 036375𝐵 001375𝐵 002𝐶 001375𝐶 0 001375 03775𝐵 003375𝐶 001375 0755𝐵 00675𝐶 00275 V Somando as equações IV e V temos 12275𝐶 00675𝐶 35275 00275 116𝐶 35 𝐶 35 116 301724 Pela equação IV 𝐵 35275 12275𝐶 0755 𝐵 023333 Pela equação I 𝐴 1 𝐵 𝐶 𝐴 178391 Desta forma obtemos que 𝐻𝑧 pode ser escrito como 𝐻𝑧 178391𝑧 𝑧 07275 023333𝑧 𝑧 00275 301724𝑧 𝑧 05 Como é conhecido o par de transformada 𝑍 𝐾 𝑧 𝑧 𝑎 𝐾 𝑎𝑛𝑢𝑛 Temos que ℎ𝑛 17839107275𝑛 02333300275n 30172405n𝑢𝑛 Código clear Limpa as variáveis clc Limpa a janela de comandos clf Limpa as janelas gráficas fgcf Manipulador da figura RU13 Valores de matricula RU25 RU35 RU46 RU56 RU67 RU72 function yimpx Função impulso yzeros 1lengthx yfindx01 endfunction function ydegx Função degrau yzeros1lengthx yfindx01 endfunction n20120 n para xn e hn n140140 n para yn pipi pi kRU29 variável k janeladegn4degnRU4 Janela em que xn é válido xsinknpi3cos04knpi4janela udegn for i2020 Calcula hn hi2117839107275iui21 02333300275iui21 30172405iui21 end yconvnh Calcula yn subplot311 subplot 1 plot2d3nx style2 plot discreto com cor azul fchildrenchildren1childrenthickness2linha grossura 2 titlexn xlabeln ylabelamplitude subplot312 subplot 2 plot2d3nh style3 plot discreto com cor verde fchildrenchildren1childrenthickness2linha grossura 2 titlehn xlabeln ylabelamplitude subplot313 subplot 3 plot2d3n1y style5 plot discreto com cor vermelho fchildrenchildren1childrenthickness2linha grossura 2 titleyn xlabeln ylabelamplitude Resultado