Lista de Exercícios: Variável Independente e Periodicidade em Sinais e Sistemas

Sinais e Sistemas Prof Eng Viviana R Zurro MSc Variável independente e periodicidade 1 SS Lista de exercícios Variável independente e periodicidade Transformações da variável independente A variável independente em tempo contínuo é 𝑡 medido em segundos em tempo discreto é 𝑛 que é número da amostra número adimensional sendo que o tempo entre cada amostra é igual ao período de amostragem do sinal em tempo contínuo Tempo contínuo 𝑥𝑡 𝑦𝑡 etc Tempo discreto 𝑥𝑛 𝑦𝑛 etc Trabalhando com a variável independente podemos Atrasar o sinal Adiantar o sinal Inverter o sinal no tempo Comprimir o sinal Expandir o sinal Problemas 1 O sinal de entrada de um sistema é 𝑥𝑛 7 5 1 0 3 2 onde o número marcado corresponde à amostra em 𝑛 0 calcular a saída 𝑦𝑛 de acordo com as equações a seguir a 𝑦𝑛 𝑥𝑛 3 b 𝑦𝑛 𝑥𝑛 1 c 𝑦𝑛 𝑥2𝑛 d 𝑦𝑛 𝑥𝑛2 e 𝑦𝑛 𝑥𝑛 3 Resolução A forma mais fácil de calcular este sinal de saída é escolher o número de amostra da mesma e substituir no número de amostra do sinal de entrada Em tempo contínuo se procede da mesma forma só que com o tempo em segundos Os sinais discretos podem ser escritos da seguinte maneira Vetorial indicando a posição da amostra zero 𝑥𝑛 7 5 1 0 3 2 Equação 𝑥𝑛 7𝛿𝑛 3 5𝛿𝑛 2 𝛿𝑛 1 0𝛿𝑛 3𝛿𝑛 1 2𝛿𝑛 2 7𝛿𝑛 3 5𝛿𝑛 2 𝛿𝑛 1 3𝛿𝑛 1 2𝛿𝑛 2 Forma gráfica Sinais e Sistemas Prof Eng Viviana R Zurro MSc Variável independente e periodicidade 2 SS Lista de exercícios a 𝑦𝑛 𝑥𝑛 3 𝑦1 𝑥1 3 𝑥4 0 𝑦0 𝑥0 3 𝑥3 7 𝑦1 𝑥1 3 𝑥2 5 𝑦2 𝑥2 3 𝑥1 1 𝑦3 𝑥3 3 𝑥0 0 𝑦4 𝑥4 3 𝑥1 3 𝑦5 𝑥5 3 𝑥2 2 O sinal deslocou 3 amostras para a direita portanto o sinal de saída está atrasado em 3 amostras em relação ao sinal de entrada 𝒚𝒏 𝟕 𝟓 𝟏 𝟎 𝟑 𝟐 𝒚𝒏 𝟕𝜹𝒏 𝟓𝜹𝒏 𝟏 𝜹𝒏 𝟐 𝟑𝜹𝒏 𝟒 𝟐𝜹𝒏 𝟓 Sinais e Sistemas Prof Eng Viviana R Zurro MSc Variável independente e periodicidade 3 SS Lista de exercícios b 𝑦𝑛 𝑥𝑛 1 𝑦5 𝑥5 1 𝑥4 0 𝑦4 𝑥4 1 𝑥3 7 𝑦3 𝑥3 1 𝑥2 5 𝑦2 𝑥2 1 𝑥1 1 𝑦1 𝑥1 1 𝑥0 0 𝑦0 𝑥0 1 𝑥1 3 𝑦1 𝑥1 1 𝑥2 2 O sinal deslocou 1 amostra para a esquerda portanto o sinal de saída está adiantado em 1 amostra e relação ao sinal de entrada 𝒚𝒏 𝟕 𝟓 𝟏 𝟎 𝟑 𝟐 𝒚𝒏 𝟕𝜹𝒏 𝟒 𝟓𝜹𝒏 𝟑 𝜹𝒏 𝟐 𝟑𝜹𝒏 𝟐𝜹𝒏 𝟏 c 𝑦𝑛 𝑥2𝑛 𝑦2 𝑥22 𝑥4 0 𝑦1 𝑥12 𝑥2 5 𝑦0 𝑥02 𝑥0 0 Sinais e Sistemas Prof Eng Viviana R Zurro MSc Variável independente e periodicidade 4 SS Lista de exercícios 𝑦1 𝑥12 𝑥2 2 𝑦2 𝑥22 𝑥4 0 O sinal de saída foi comprimido tiradas as amostras de 𝑛 ímpar em relação ao sinal de entrada 𝒚𝒏 𝟓 𝟎 𝟐 𝒚𝒏 𝟓𝜹𝒏 𝟏 𝟐𝜹𝒏 𝟏 d 𝑦𝑛 𝑥𝑛2 𝑦6 𝑥62 𝑥3 7 𝑦5 𝑥52 𝑥25 𝑛ã𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 0 𝑦4 𝑥42 𝑥2 5 𝑦3 𝑥32 𝑥15 𝑛ã𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 0 𝑦2 𝑥22 𝑥1 1 𝑦1 𝑥12 𝑥05 𝑛ã𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 0 𝑦0 𝑥02 𝑥0 0 𝑦1 𝑥12 𝑥05 𝑛ã𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 0 𝑦2 𝑥22 𝑥1 3 𝑦3 𝑥32 𝑥15 𝑛ã𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 0 𝑦4 𝑥42 𝑥2 2 Sinais e Sistemas Prof Eng Viviana R Zurro MSc Variável independente e periodicidade 5 SS Lista de exercícios O sinal de saída foi expandido preenchido com zeros em relação ao sinal de entrada 𝒚𝒏 𝟕 𝟎 𝟓 𝟎 𝟏 𝟎 𝟎 𝟎 𝟑 𝟎 𝟐 𝒚𝒏 𝟕𝜹𝒏 𝟔 𝟓𝜹𝒏 𝟒 𝜹𝒏 𝟐 𝟑𝜹𝒏 𝟐 𝟐𝜹𝒏 𝟒 e 𝑦𝑛 𝑥𝑛 3 𝑦5 𝑥5 3 𝑥2 2 𝑦4 𝑥4 3 𝑥1 3 𝑦3 𝑥3 3 𝑥0 0 𝑦2 𝑥2 3 𝑥1 1 𝑦1 𝑥1 3 𝑥2 5 𝑦0 𝑥0 3 𝑥3 7 𝑦1 𝑥1 3 𝑥4 0 O sinal foi deslocado 3 amostras para a direita e depois invertido no tempo portanto o sinal de saída foi atrasado e posteriormente invertido 𝒚𝒏 𝟐 𝟑 𝟎 𝟏 𝟓 𝟕 𝒚𝒏 𝟐𝜹𝒏 𝟓 𝟑𝜹𝒏 𝟒 𝜹𝒏 𝟐 𝟓𝜹𝒏 𝟏 𝟕𝜹𝒏 Sinais e Sistemas Prof Eng Viviana R Zurro MSc Variável independente e periodicidade 6 SS Lista de exercícios Exemplo em tempo contínuo 𝑥𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝜋𝑡 10 2𝑠𝑒𝑛 𝜋𝑡 30 𝑦𝑡 𝑥𝑡 20 Sinais e Sistemas Prof Eng Viviana R Zurro MSc Variável independente e periodicidade 7 SS Lista de exercícios 2 Para os seguintes sinais determine 𝑦𝑡 e 𝑦𝑛 a 𝑦𝑡 𝑥𝑡 2 b 𝑦𝑡 𝑥𝑡 3 c 𝑦𝑡 𝑥𝑡 d 𝑦𝑛 𝑥𝑛 3 e 𝑦𝑛 𝑥2𝑛 f 𝑦𝑛 𝑥𝑛2 Resolução a Atraso desloca o sinal para a esquerda Desta forma Para 𝑡 0 𝑦0 𝑥0 2 𝑥2 portanto o valor de 𝑥 que estava em 2 corresponde ao 𝑦0 𝑡 1 𝑦1 𝑥1 2 𝑥1 portanto o valor de 𝑥 que estava em 1 corresponde ao 𝑦1 𝑡 2 𝑦2 𝑥2 2 𝑥4 portanto o valor de 𝑥 que estava em 4 corresponde ao 𝑦2 e assim por diante portanto o sinal desloca para a esquerda como mostrado nas figuras a seguir b Adiantamento desloca o sinal para a direita Desta forma Sinais e Sistemas Prof Eng Viviana R Zurro MSc Variável independente e periodicidade 8 SS Lista de exercícios Para 𝑡 0 𝑦0 𝑥0 3 𝑥3 portanto o valor de 𝑥 que estava em 3 corresponde ao 𝑦0 𝑡 1 𝑦1 𝑥1 3 𝑥4 portanto o valor de 𝑥 que estava em 4 corresponde ao 𝑦1 𝑡 2 𝑦2 𝑥2 3 𝑥1 portanto o valor de 𝑥 que estava em 1 corresponde ao 𝑦2 e assim por diante portanto o sinal desloca para a esquerda como mostrado nas figuras a seguir c Ao inverter o sinal teremos a imagem especular do mesmo em relação ao eixo vertical Desta forma Para 𝑡 0 𝑦0 𝑥0 𝑥0 portanto o valor de 𝑥 que estava em 0 corresponde ao 𝑦0 𝑡 1 𝑦1 𝑥1 portanto o valor de 𝑥 que estava em 1 corresponde ao 𝑦1 𝑡 2 𝑦2 𝑥2 𝑥2 portanto o valor de 𝑥 que estava em 2 corresponde ao 𝑦2 e assim por diante portanto o sinal desloca para a esquerda como mostrado nas figuras a seguir d Neste caso o sinal é atrasado e invertido Neste caso é conveniente primeiro atrasar deslocar o sinal para a esquerda em 3 amostras para depois inverter Para verificar este sinal faremos da seguinte maneira Sinais e Sistemas Prof Eng Viviana R Zurro MSc Variável independente e periodicidade 9 SS Lista de exercícios Para 𝑛 0 𝑦0 𝑥0 3 𝑥3 1 Para 𝑛 1 𝑦1 𝑥1 3 𝑥2 2 Para 𝑛 2 𝑦2 𝑥2 3 𝑥1 5 Para 𝑛 3 𝑦3 𝑥3 3 𝑥0 4 E assim por diante e Neste caso o sinal é comprimido portanto algumas amostras vão se perder Para verificar este sinal faremos da seguinte maneira Para 𝑛 2 𝑦2 𝑥2 2 𝑥4 0 Para 𝑛 1 𝑦1 𝑥1 2 𝑥2 2 Para 𝑛 0 𝑦0 𝑥0 2 𝑥0 4 Para 𝑛 1 𝑦1 𝑥1 2 𝑥2 3 Para 𝑛 2 𝑦2 𝑥2 2 𝑥4 0 Como podemos observar todas as amostras impares de 𝑥𝑛 se perderam f Neste caso o sinal é expandido portanto algumas amostras de valor zero neste caso serão adicionadas Para verificar este sinal faremos da seguinte maneira Para 𝑛 7 𝑦7 𝑥72 𝑥35 não existe 𝑥35 portanto 𝑦7 0 Para 𝑛 6 𝑦6 𝑥62 𝑥3 1 Sinais e Sistemas Prof Eng Viviana R Zurro MSc Variável independente e periodicidade 10 SS Lista de exercícios Para 𝑛 5 𝑦5 𝑥52 𝑥25 não existe 𝑥25 portanto 𝑦5 0 Para 𝑛 4 𝑦4 𝑥42 𝑥2 2 E assim por diante Como podemos observar foram adicionadas amostras impares de 𝑦𝑛 cujo valor é zero 3 Para o seguinte sinal discreto calcular a 𝑦𝑛 𝑥𝑛 2 b 𝑦𝑛 𝑥𝑛 2 c 𝑦𝑛 𝑥𝑛 d 𝑦𝑛 𝑥𝑛 2 e 𝑦𝑛 𝑥2𝑛 f 𝑦𝑛 𝑥𝑛2 Resolução a 𝑦𝑛 𝑥𝑛 2 𝑛 1 𝑦1 𝑥1 2 𝑥3 0 2 1 0 1 2 3 4 5 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n xn Sinais e Sistemas Prof Eng Viviana R Zurro MSc Variável independente e periodicidade 11 SS Lista de exercícios 𝑛 0 𝑦0 𝑥0 2 𝑥2 0 𝑛 1 𝑦1 𝑥1 2 𝑥1 1 𝑛 2 𝑦2 𝑥2 2 𝑥0 0 𝑛 3 𝑦3 𝑥3 2 𝑥1 1 𝑛 4 𝑦4 𝑥4 2 𝑥2 2 𝑛 5 𝑦5 𝑥5 2 𝑥3 3 𝑛 6 𝑦6 𝑥6 2 𝑥4 4 𝑛 7 𝑦7 𝑥7 2 𝑥5 0 b 𝑦𝑛 𝑥𝑛 2 𝑛 3 𝑦3 𝑥3 2 𝑥1 1 𝑛 2 𝑦2 𝑥2 2 𝑥0 0 𝑛 1 𝑦1 𝑥1 2 𝑥1 1 𝑛 0 𝑦0 𝑥0 2 𝑥2 2 𝑛 1 𝑦1 𝑥1 2 𝑥3 3 𝑛 2 𝑦2 𝑥2 2 𝑥4 4 𝑛 3 𝑦3 𝑥3 2 𝑥5 0 2 1 0 1 2 3 4 5 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n ynxn2 Sinais e Sistemas Prof Eng Viviana R Zurro MSc Variável independente e periodicidade 12 SS Lista de exercícios c 𝑦𝑛 𝑥𝑛 𝑛 4 𝑦4 𝑥4 4 𝑛 3 𝑦3 𝑥3 3 𝑛 2 𝑦2 𝑥2 2 𝑛 1 𝑦1 𝑥1 1 𝑛 0 𝑦0 𝑥0 0 𝑛 1 𝑦1 𝑥1 1 𝑛 2 𝑦2 𝑥2 0 2 1 0 1 2 3 4 5 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n ynxn2 2 1 0 1 2 3 4 5 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n ynxn Sinais e Sistemas Prof Eng Viviana R Zurro MSc Variável independente e periodicidade 13 SS Lista de exercícios d 𝑦𝑛 𝑥𝑛 2 Neste caso graficamente é conveniente primeiro fazer o atraso em n2 e depois inverter 𝑛 7 𝑦7 𝑥7 2 𝑥5 0 𝑛 6 𝑦6 𝑥6 2 𝑥4 4 𝑛 5 𝑦5 𝑥5 2 𝑥3 3 𝑛 4 𝑦4 𝑥4 2 𝑥2 2 𝑛 3 𝑦3 𝑥3 2 𝑥1 1 𝑛 2 𝑦2 𝑥2 2 𝑥0 0 𝑛 1 𝑦1 𝑥1 2 𝑥1 1 e 𝑦𝑛 𝑥2𝑛 𝑛 1 𝑦1 𝑥2 1 𝑥2 0 𝑛 0 𝑦0 𝑥2 0 𝑥0 0 𝑛 1 𝑦1 𝑥1 2 𝑥2 2 𝑛 2 𝑦2 𝑥2 2 𝑥4 4 𝑛 3 𝑦3 𝑥2 3 𝑥6 0 2 1 0 1 2 3 4 5 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n ynxn2 Sinais e Sistemas Prof Eng Viviana R Zurro MSc Variável independente e periodicidade 14 SS Lista de exercícios f 𝑦𝑛 𝑥𝑛2 𝑛 2 𝑦2 𝑥 2 2 𝑥1 1 𝑛 1 𝑦1 𝑥 1 2 𝑥05𝑛ã𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 0 𝑛 0 𝑦0 𝑥02 𝑥0 0 𝑛 1 𝑦1 𝑥12 𝑥15𝑛ã𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 0 𝑛 2 𝑦2 𝑥22 𝑥1 1 𝑛 3 𝑦3 𝑥32 𝑥15𝑛ã𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 0 𝑛 4 𝑦4 𝑥42 𝑥2 2 𝑛 5 𝑦5 𝑥52 𝑥25𝑛ã𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 0 𝑛 6 𝑦6 𝑥62 𝑥3 3 𝑛 7 𝑦7 𝑥72 𝑥35𝑛ã𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 0 𝑛 8 𝑦8 𝑥82 𝑥4 4 0 05 1 15 2 25 3 35 4 45 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n ynx2n Sinais e Sistemas Prof Eng Viviana R Zurro MSc Variável independente e periodicidade 15 SS Lista de exercícios Periodicidade 4 Determine se os sinais são periódicos a 𝑥𝑡 2ⅇ𝑗𝑡𝜋4𝑢𝑡 b 𝑥𝑛 𝛿𝑛 4𝑘 𝛿𝑛 1 4𝑘 𝑘 c 𝑥𝑡 𝑗𝑒𝑗10𝑡 d 𝑥𝑛 𝑒𝑗7𝜋𝑛 Resolução a Não é periódico porque 𝑥𝑡 0 𝑡 0 b 𝑥𝑛 𝛿𝑛 4𝑘 𝛿𝑛 1 4𝑘 𝑘 𝛿𝑛 1 1 𝑛 0 0 𝑛 0 Portanto 2 1 0 1 2 3 4 5 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n ynxn2 Sinais e Sistemas Prof Eng Viviana R Zurro MSc Variável independente e periodicidade 16 SS Lista de exercícios O que significa que 𝑥𝑛 é uma sequência periódica com período 𝑁 4 c 𝑥𝑡 𝑗𝑒𝑗10𝑡 𝑥𝑡 𝑗𝑒𝑗10𝑡 𝑒𝑗10𝑡𝜋2 cos10𝑡 𝜋 2 𝑗𝑠𝑒𝑛10𝑡 𝜋 2 𝜔0 2𝜋𝑓 2𝜋 𝑇 10 Portanto o sinal é periódico com período 𝑇 2𝜋 𝜔0 2𝜋 10 𝜋 5 d 𝑥𝑛 𝑒𝑗7𝜋𝑛 𝑥𝑛 𝑒𝑗7𝜋𝑛 𝑒𝑗𝜋𝑛 𝜔0 2𝜋 𝑁 𝜋 Exponencial periódica com período 𝑁 2𝜋 𝜔0 2𝜋 𝜋 2 5 Determine o período fundamental dos seguintes sinais a 𝑥𝑡 2 cos10𝑡 1 𝑠𝑒𝑛4𝑡 1 b 𝑥𝑛 1 𝑒𝑗4𝜋𝑛7 𝑒𝑗2𝜋𝑛5 Resolução a 𝑥𝑡 2 cos10𝑡 1 𝑠𝑒𝑛4𝑡 1 Sinais e Sistemas Prof Eng Viviana R Zurro MSc Variável independente e periodicidade 17 SS Lista de exercícios 𝜔1 2𝜋 𝑇1 10 𝑇1 𝜋 5 𝜔2 2𝜋 𝑇2 4 𝑇2 𝜋 2 O período 𝑇 será o mínimo comum múltiplo entre 𝑇1 e 𝑇2 que neste caso é 𝜋 b 𝑥𝑛 1 𝑒𝑗4𝜋𝑛 7 𝑒𝑗2𝜋𝑛5 𝜔0𝑁 2𝜋𝑚 𝑁1 𝑚1 2𝜋 𝜔1 𝑚1 2𝜋 4𝜋 7 Como 𝑁1 deve ser um número inteiro usaremos 𝑚1 2 𝑁1 4𝜋 4𝜋 7 7 𝑁2 𝑚2 2𝜋 𝜔2 𝑚1 2𝜋 2𝜋 5 Neste caso podemos usar 𝑚1 1 𝑁2 2𝜋 2𝜋 5 5 O período 𝑵 será o mínimo comum múltiplo entre 𝑁1 e 𝑁2 que neste caso é 𝟑𝟓 Referências OPPENHEIM A V WILLSKY A S Sinais e Sistemas 2a ed São Paulo Pearson Education do Brasil 2010