Processamento Digital de Sinais - Domínio da Frequência e Espectrograma de Voz

PROCESSAMENTO DIGITAL DE SINAIS AULA 2 Profª Viviana Raquel Zurro 2 CONVERSA INICIAL Os sinais captados por sensores são variações de parâmetros físicos em função do tempo É fácil verificar a variação da amplitude desses sinais em função do tempo domínio do tempo mas trabalhar com desses sinais considerando somente essa variação limita grandemente o processamento deles Todos os sinais são caracterizados por um espectro em frequência composto pelas componentes em frequência que são responsáveis pela forma do sinal domínio da frequência A maior parte do processamento de sinais é feita no domínio da frequência portanto é necessário conhecer o padrão espectral do sinal a ser processado Todo sinal é composto pela soma de vários podem ser infinitos sinais senoidais de amplitudes e frequências diferentes e cada um desses sinais é uma harmônica do sinal O conjunto de harmônicas é o espectro em frequência do sinal Um exemplo de espectro é um sinal de áudio que é composto por sinais senoidais cujas frequências vão de 20 Hz a 20 kHz que é a faixa audível do som Essa faixa de frequências corresponde ao espectro audível Todos os sistemas de processamento de sinais sejam eles analógicos ou digitais devem considerar as características do sinal a ser processado TEMA 1 DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA O sinal como vemos no osciloscópio representa somente uma parte do sinal que vai ser processado Para se ter uma ideia dele é necessário conhecer todas as suas características que são a variação da amplitude em função do tempo e seu espectro em frequência A Figura 1 mostra um sinal com informações necessárias para que o sistema possa processálo O que vemos nessa figura é o espectrograma de voz de três pessoas diferentes 3 Figura 1 Espectrograma de voz Fonte Barbosa Pereira Maas 2019 Na figura podemos observar que as características de voz dos três blocos apresentados são bem diferentes isso porque pertencem a pessoas diferentes e cada uma delas tem um timbre de voz Nessa figura no plano tempo amplitude domínio do tempo é possível observar a variação da amplitude da voz em função do tempo mas não temos a informação de se a voz é grave ou aguda ainda podemos observar se a voz está em um volume mais alto ou mais baixo Esse seria o sinal que veríamos em um osciloscópio No plano frequência amplitude podemos observar a frequência da voz grave média ou aguda e as componentes em frequência que caracterizam o timbre único para cada pessoa e o que elas estavam falando no momento domínio da frequência Quando trabalhamos com processamento de sinais devemos considerálo em três dimensões como está representado na figura Se trabalharmos somente com o domínio do tempo perdemos muita informação Quando trabalhamos com sistemas em tempo contínuo se o sinal de entrada for um sinal senoidal o de saída será senoidal também com a mesma frequência do sinal de entrada mas com fase e amplitude impostas pelo sistema É comum representar os sinais pelo espectro componentes senoidais ou por exponenciais complexas quando se trata de sistemas lineares em tempo contínuo Em tempo discreto a análise é similar mas com algumas particularidades 4 Considerando a relação de Euler 𝑒𝑗𝛼 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑗𝑠𝑒𝑛𝛼 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑒𝑗𝛼 𝑒𝑗𝛼 2 𝑠𝑒𝑛𝛼 𝑒𝑗𝛼 𝑒𝑗𝛼 2𝑗 1 O sinal 𝑥𝑛 pode ser uma senoide representada por uma exponencial complexa 𝑥𝑛 𝑒𝑗𝜔𝑛 𝑛 2 Considerando a resposta ao impulso de um sistema dada por ℎ𝑛 se colocarmos um sinal de entrada 𝑥𝑛 o sinal de saída será a convolução entre esses dois sinais 𝑦𝑛 𝑥𝑛 ℎ𝑛 A soma de convolução está representada na equação 3 𝑦𝑛 𝑥𝑛 𝑘ℎ𝑘 𝑘 3 Considerando 𝑥𝑛 𝑒𝑗𝑛 𝑦𝑛 𝑥𝑛 𝑘ℎ𝑘 𝑘 𝑒𝑗𝜔𝑛𝑘 𝑘 ℎ𝑘 4 Trabalhando com a equação 4 considerando as propriedades das potências da exponencial 𝑦𝑛 𝑒𝑗𝜔𝑛 𝑒𝑗𝜔𝑘 𝑘 ℎ𝑘 5 Como 𝑒𝑗𝑛 não depende de 𝑘 pode ser colocada fora do somatório 𝑦𝑛 𝑒𝑗𝜔𝑛 𝑒𝑗𝜔𝑘 𝑘 ℎ𝑘 6 5 Definindo a resposta em frequência do sistema da seguinte maneira 𝐻𝑒𝑗𝜔 𝑒𝑗𝜔𝑘 𝑘 ℎ𝑘 7 Nesse caso 𝑒𝑗𝜔𝑛 é uma autofunção com um autovalor associado 𝐻𝑒𝑗𝜔 A equação 7 é a transformada de Fourier da sequência ℎ𝑛 que tem variação exponencial de amplitude em função da frequência angular 𝜔 Substituindo a equação 7 na equação 6 𝑦𝑛 𝐻𝑒𝑗𝜔 𝑒𝑗𝜔𝑛 8 𝐻𝑒𝑗 no geral é complexo portanto pode ser escrito da seguinte maneira 𝐻𝑒𝑗𝜔 𝐻𝑅𝑒𝑗𝜔 𝑗𝐻𝐼𝑒𝑗𝜔 𝐻𝑒𝑗𝜔𝑒𝑗𝐻𝑒𝑗𝜔 9 Esse termo apresenta uma resposta em amplitude 𝐻𝑒𝑗𝜔 e uma resposta deslocamento em fase 𝐻𝑒𝑗𝜔 Se a resposta em amplitude for maior do que um é amplificação se for menor do que um é atenuação A resposta em fase representa o deslocamento em fase entre entrada e saída Exemplo 1 Resposta em frequência de um sistema com atraso ideal com base em Oppenheim Schafer 2012 para determinado sistema o sinal de saída é o sinal de entrada atrasado em 𝑛0 número inteiro como mostra a equação a seguir 𝑦𝑛 𝑥𝑛 𝑛0 Determine a resposta em frequência do sistema para 𝑥𝑛 𝑒𝑗𝜔𝑛 Resolução Nesse caso a saída responde à seguinte equação 𝑦𝑛 𝑥𝑛 𝑛0 𝑒𝑗𝜔𝑛𝑛0 6 Portanto aplicando propriedades dos exponenciais 𝑦𝑛 𝑒𝑗𝜔𝑛 𝑒𝑗𝜔𝑛0 Considerando a equação 8 a resposta em frequência de um sistema com atraso ideal será 𝐻𝑒𝑗𝜔 𝑒𝑗𝜔𝑛0 A resposta em frequência também pode ser obtida por meio da resposta ao impulso 𝑦𝑛 𝑥𝑛 𝑛0 ℎ𝑛 𝑥𝑛 Portanto ℎ𝑛 𝛿𝑛 𝑛0 Considerando a equação 7 𝐻𝑒𝑗𝜔 𝑒𝑗𝜔𝑛 𝑛 ℎ𝑛 𝑒𝑗𝜔𝑛 𝑛 𝛿𝑛 𝑛0 O termo em realce da equação anterior só existe em 𝑛 𝑛0 𝑯𝒆𝒋𝝎 𝒆𝒋𝝎𝒏𝟎 Assim a resposta em frequência é um valor complexo que pode ser representado na forma retangular 𝐻𝑒𝑗𝜔 𝐻𝑅𝑒𝑗𝜔 𝑗𝐻𝐼𝑒𝑗𝜔 Em que 𝐻𝑅𝑒𝑗𝜔 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑛0 𝐻𝐼𝑒𝑗𝜔 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑛0 Ou na forma polar 𝐻𝑒𝑗𝜔 𝐻𝑒𝑗𝜔𝐻𝑒𝑗𝜔 𝐻𝑒𝑗𝜔𝑒𝑗𝐻𝑒𝑗𝜔 7 Em que 𝐻𝑒𝑗𝜔 1 𝐻𝑒𝑗𝜔 𝜔𝑛0 Exemplo 2 Resposta senoidal de sistemas LIT Oppenheim Schafer 2012 Para determinado sistema o sinal é o apresentado na equação a seguir 𝑥𝑛 𝐴𝑐𝑜𝑠𝜔0𝑛 𝜙 Determine a saída do sistema para 𝐻𝑒𝑗𝜔0 1𝜔0𝑛0 Resolução Aplicando a fórmula de Euler do cosseno ao sinal de entrada 𝑥𝑛 𝐴𝑐𝑜𝑠𝜔0𝑛 𝜙 𝐴 𝑒𝑗𝜔0𝑛𝜙 𝑒𝑗𝜔0𝑛𝜙 2 𝑥𝑛 𝐴 2 𝑒𝑗𝜔0𝑛𝜙 𝑒𝑗𝜔0𝑛𝜙 Portanto aplicando propriedades dos exponenciais 𝑥𝑛 𝐴 2 𝑒𝑗𝜙𝑒𝑗𝜔0𝑛 𝑒𝑗𝜙𝑒𝑗𝜔0𝑛 𝑥1𝑛 𝑥2𝑛 Da equação anterior 𝑥1𝑛 𝐴 2 𝑒𝑗𝜙𝑒𝑗𝜔0𝑛 𝑥2𝑛 𝐴 2 𝑒𝑗𝜙𝑒𝑗𝜔0𝑛 Sendo 𝑦1𝑛 a resposta de 𝑥1𝑛 e 𝑦2𝑛 a resposta de 𝑥2𝑛 e 𝐻𝑒𝑗𝜔0 uma função genérica 𝑦1𝑛 𝐻𝑒𝑗𝜔0 𝐴 2 𝑒𝑗𝜙𝑒𝑗𝜔0𝑛 𝑦2𝑛 𝐻𝑒𝑗𝜔0 𝐴 2 𝑒𝑗𝜙𝑒𝑗𝜔0𝑛 8 Portanto 𝑦𝑛 𝑦1𝑛 𝑦2𝑛 𝐴 2 𝐻𝑒𝑗𝜔0𝑒𝑗𝜙𝑒𝑗𝜔0𝑛 𝐻𝑒𝑗𝜔0𝑒𝑗𝜙𝑒𝑗𝜔0𝑛 Se a resposta ao impulso ℎ𝑛 for uma função real 𝐻𝑒𝑗𝜔0 ℎ𝑛𝑒𝑗𝜔0𝑛 𝑛 Então 𝐻𝑒𝑗𝜔0 ℎ𝑛𝑒𝑗𝜔0𝑛 𝑛 ℎ𝑛𝑒𝑗𝜔0𝑛 𝑛 Se ℎ𝑛 é real 𝐻𝑒𝑗𝜔0 ℎ𝑛𝑒𝑗𝜔0𝑛 𝑛 𝐻𝑒𝑗𝜔0 𝐻𝑒𝑗𝜔0 𝐻𝑒𝑗𝜔0 A resposta em frequência é simétrica conjugada então 𝑦𝑛 𝐴 2 𝐻𝑒𝑗𝜔0𝐻𝑒𝑗𝜔0 𝑒𝑗𝜙𝑒𝑗𝜔0𝑛 𝑒𝑗𝜙𝑒𝑗𝜔0𝑛 𝑦𝑛 𝐴 𝐻𝑒𝑗𝜔0𝐻𝑒𝑗𝜔0 𝑒𝑗𝜙𝑒𝑗𝜔0𝑛 𝑒𝑗𝜙𝑒𝑗𝜔0𝑛 2 Definindo 𝜃 𝐻𝑒𝑗𝜔0 que é a fase da função do sistema para 𝜔0 𝑦𝑛 𝐴𝐻𝑒𝑗𝜔0𝑐𝑜𝑠𝜔0𝑛 𝜙 𝜃 Então para a função do sistema do enunciado 𝐻𝑒𝑗𝜔0 1𝜔0𝑛0 𝑦𝑛 𝐴𝑐𝑜𝑠𝜔0𝑛 𝜙 𝜔0𝑛0 𝑦𝑛 𝑨𝒄𝒐𝒔𝜔0𝑛 𝑛0 𝜙 9 11 Resposta em frequência de sistemas LIT discretos O conceito de resposta em frequência aplicase tanto a sistemas analógicos quanto a sistemas digitais porém os sistemas LIT discretos apresentam uma característica própria A resposta em frequência é função da variável 𝜔 mas com um período de 2𝜋 Para confirmar isso analisaremos a seguinte função Oppenheim Schafer 2012 𝐻𝑒𝑗𝜔2𝜋 ℎ𝑛𝑒𝑗𝜔2𝜋𝑛 𝑛 10 Como 𝑒𝑗2𝜋𝑛 1 para 𝑛 inteiro cabe lembrar que a variável independente 𝑛 em sistemas discretos é sempre um número inteiro 𝑒𝑗𝜔2𝜋𝑛 𝑒𝑗𝜔𝑛𝑒𝑗2𝜋𝑛 𝑒𝑗𝜔𝑛 11 Então 𝐻𝑒𝑗𝜔2𝜋 𝐻𝑒𝑗𝜔 12 A equação 12 é válida para todos os valores de 𝜔 Isso significa que 𝐻𝑒𝑗𝜔 é uma função periódica com período igual a 2𝜋 TEMA 2 TRANSFORMADA DE FOURIER DE SEQUÊNCIAS O espectro em frequência de sinais é característico para cada tipo de sinais É composto pela soma infinita de sinais senoidais harmônicos com amplitudes e frequências diferentes O espectro do sinal pode ser visualizado no domínio da frequência enquanto o sinal digital variando no tempo número de amostra 𝑛 para sinais digitais está no domínio do tempo discreto Como vimos na Figura 1 o sinal deve ser representado no domínio do tempo e no domínio da frequência para se ter uma visão completa Então é necessário que exista uma relação entre esses dois domínios A Figura 2 mostra uma onda quadrada com parte das componentes em frequência que a compõem 10 Figura 2 Onda quadrada sinal no domínio do tempo e no domínio da frequência Fonte Barbosa 2013 A relação entre os dois domínios é dada pela Transformada de Fourier As equações 13 e 14 representam a Transformada de Fourier para tempo discreto DTFT Discrete Time Fourier Transform a sigla em português é TFTD Nesta etapa de estudos usaremos a sigla em inglês porque ela é amplamente usada em todo o mundo A equação 13 é a equação de análise a Transformada de Fourier propriamente dita 𝑋𝑒𝑗𝜔 𝑥𝑛𝑒𝑗𝜔𝑛 𝑛 13 Nessa equação 𝑋𝑒𝑗 que representa o módulo e a fase de cada harmônica senoide que forma a sequência 𝑥𝑛 no domínio do tempo Portanto 𝑋𝑒𝑗𝜔 é o espectro de frequências angulares que compõem o sinal 𝑥𝑛 𝑥𝑛 1 2𝜋 𝑋𝑒𝑗𝜔 𝜋 𝜋 𝑒𝑗𝜔𝑛𝑑𝜔 14 A equação 14 é a equação de síntese também chamada de Transformada Inversa de Fourier Ela sintetiza 𝑥𝑛 por meio da soma de exponenciais complexas restritas a intervalos de frequência infinitesimais Assim a DTFT o domínio do tempo 𝑛 é discreta mas no domínio da frequência 𝜔 é contínua utilizase a DTFT quando a sequência 𝑥𝑛 existe para todo 𝑛 11 como o sinal existe o tempo todo o espectro é contínuo porque a separação das componentes espectrais no domínio da frequência é infinitesimal A equação de análise também pode ser expressa na forma polar e na forma retangular como mostra a equação 15 𝑋𝑒𝑗𝜔 𝑋𝑅𝑒𝑗𝜔 𝑗𝑋𝐼𝑒𝑗𝜔 𝑋𝑒𝑗𝜔𝑒𝑗𝑋𝑒𝑗𝜔 15 Em coordenadas retangulares 𝑋𝑅𝑒𝑗𝜔 é a parte real e 𝑋𝐼𝑒𝑗𝜔 a parte imaginária em coordenadas polares 𝑋𝑒𝑗𝜔 é o espectro em amplitude e 𝑋𝑒𝑗𝜔 o espectro em fase Nem todo sinal discreto pode ser representado pela DTFT Para isso é necessário verificar se a transformada é convergente tem amplitude menor do que infinito cumprindo a seguinte condição 𝑋𝑒𝑗𝜔 0 𝜔 2𝜋 16 𝑋𝑒𝑗𝜔 𝑥𝑛𝑒𝑗𝜔𝑛 𝑛 𝑥𝑛𝑒𝑗𝜔𝑛 𝑛 17 𝑋𝑒𝑗𝜔 𝑥𝑛 𝑛 18 Ou seja a condição suficiente para que a transformada exista é que 𝑥𝑛 seja absolutamente somável Para facilitar o cálculo da DTFT existem pares de transformadas de funções específicas como as mostradas na Tabela 1 12 Tabela 1 Pares de transformadas de Fourier Sequência Transformada de Fourier 1 𝛿𝑛 1 2 𝛿𝑛 𝑛0 𝑒𝑗𝜔𝑛0 3 1 𝑛 2𝜋𝛿𝜔 2𝜋𝑘 𝑘 4 𝑎𝑛𝑢𝑛 𝑎 1 1 1 𝑎𝑒𝑗𝜔 5 𝑢𝑛 1 1 𝑒𝑗𝜔 𝜋𝛿𝜔 2𝜋𝑘 𝑘 6 𝑛 1𝑎𝑛𝑢𝑛 𝑎 1 1 1 𝑎𝑒𝑗𝜔2 7 𝑟𝑛𝑠𝑒𝑛𝜔𝑝𝑛 1 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑝 𝑢𝑛 𝑟 1 1 1 2𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑝𝑒𝑗𝜔 𝑟2𝑒2𝑗𝜔 8 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑐𝑛 𝜋𝑛 𝑋𝑒𝑗𝜔 1 𝜔 𝜔𝑐 0 𝜔𝑐 𝜔 𝜋 9 𝑥𝑛 1 0 𝑛 𝑀 0 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑀 12 𝑠𝑒𝑛𝜔2 𝑒𝑗𝜔𝑀2 10 𝑒𝑗𝜔0𝑛 2𝜋𝛿𝜔 𝜔0 2𝜋𝑘 𝑘 11 𝑐𝑜𝑠𝜔0𝑛 𝜙 𝜋𝑒𝑗𝜙𝛿𝜔 𝜔0 2𝜋𝑘 𝑘 𝜋𝑒𝑗𝜙𝛿𝜔 𝜔0 2𝜋𝑘 Fonte Elaborado com base emOppenheim Schafer 2012 Exemplo 3 A seguinte equação de diferenças representa determinado sistema LIT 𝑦𝑛 2𝑥𝑛 4𝑥𝑛 1 2𝑥𝑛 2 a Determine a resposta em frequência 𝐻𝑒𝑗𝜔 b Escreva a resposta em frequência como função de uma senoide 13 Resolução a 𝐻𝑒𝑗𝜔 No exemplo que já vimos na etapa anterior de nossos estudos foi verificada a resposta ao impulso desse sistema ℎ𝑛 2𝛿𝑛 4𝛿𝑛 1 2𝛿𝑛 2 A DTFT é a resposta em frequência da resposta ao impulso do sistema Considerando os pares de transformadas 1 e 2 da Tabela 1 Para achar a resposta em frequência aplicaremos esses dois pares de transformada à resposta ao impulso 𝑯𝒆𝒋𝝎 𝟐 𝟒𝒆𝒋𝝎 𝟐𝒆𝒋𝝎𝟐 b Definir 𝐻𝑒𝑗𝜔 como uma função senoidal Isolando 2𝑒𝑗𝜔 na equação anterior 𝐻𝑒𝑗𝜔 2𝑒𝑗𝜔 2 2𝑒𝑗𝜔 4𝑒𝑗𝜔 2𝑒𝑗𝜔 2𝑒𝑗𝜔2 2𝑒𝑗𝜔 𝐻𝑒𝑗𝜔 2𝑒𝑗𝜔 1 𝑒𝑗𝜔 2 𝑒𝑗𝜔 Como 1 𝑒𝑗𝜔 𝑒𝑗𝜔 𝐻𝑒𝑗𝜔 2𝑒𝑗𝜔𝑒𝑗𝜔 𝑒𝑗𝜔 2 Aplicando a equação de Euler para o cosseno 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑒𝑗𝛼 𝑒𝑗𝛼 2 𝑒𝑗𝛼 𝑒𝑗𝛼 2𝑐𝑜𝑠𝛼 𝐻𝑒𝑗𝜔 2𝑒𝑗𝜔2𝑐𝑜𝑠𝜔 2 𝐻𝑒𝑗𝜔 4𝑒𝑗𝜔𝑐𝑜𝑠𝜔 1 14 21 Convergência da DTFT Considerando a equação de análise 13 a DTFT existe se 𝑋𝑒𝑗 for convergente ou seja se 𝑥𝑛 for absolutamente somável 𝑥𝑛 𝑛 19 Consequentemente 𝑋𝑒𝑗 convergirá uniformemente para uma função contínua de 𝜔 𝑋𝑒𝑗𝜔 𝜔 20 Essa série é absolutamente convergente Exemplo 4 Verificar se a sequência a seguir é absolutamente somável 𝑥𝑛 05𝑛𝑢𝑛 Resolução 𝑥𝑛 𝑛 05𝑛𝑢𝑛 𝑛 05𝑛 𝑛0 Aplicando as propriedades da progressão geométrica 𝑆 𝛼𝑞𝑛 𝑛0 𝛼 1 𝑞 Considerando 𝛼 1 𝑥𝑛 𝑛 05𝑛 𝑛0 1 1 05 2 Portanto 𝑋𝑒𝑗𝜔 𝑥𝑛𝑒𝑗𝜔𝑛 𝑛 05𝑛𝑒𝑗𝜔𝑛 𝑛0 15 Converge uniformemente para Petraglia 2015 𝑿𝒆𝒋𝝎 𝟏 𝟏 𝟎 𝟓𝒆𝒋𝝎 Essa sequência é absolutamente somável e tem energia finita TEMA 3 PROPRIEDADE DE SIMETRIA DA TRANSFORMADA DE FOURIER As propriedades de simetria da transformada de Fourier são de grande utilidade porque muitas vezes elas simplificam a resolução de problemas Sendo 𝑥𝑛 uma sequência complexa 𝑥𝑛 será a sequência simétrica conjugada A sequência pode ser par ou simétrica se 𝑥𝑛 𝑥𝑛 ímpar ou antissimétrica se 𝑥𝑛 𝑥𝑛 Definindo a sequência par 𝑥𝑒𝑛 even em inglês e a sequência ímpar 𝑥𝑜𝑛 odd em inglês podemos definir as equações a seguir Sequência par 𝑥𝑒𝑛 1 2 𝑥𝑛 𝑥𝑛 𝑥𝑒 𝑛 ℰ𝑣𝑥𝑛 21 Sequência ímpar 𝑥𝑜𝑛 1 2 𝑥𝑛 𝑥𝑛 𝑥𝑜 𝑛 𝒪𝑑𝑥𝑛 22 Trabalhando com as equações anteriores 2𝑥𝑒𝑛 𝑥𝑛 𝑥𝑛 𝑥𝑛 2𝑥𝑒𝑛 𝑥𝑛 2𝑥𝑜𝑛 𝑥𝑛 𝑥𝑛 Substituindo na segunda equação o 𝑥𝑛 isolado na primeira equação 2𝑥𝑜𝑛 𝑥𝑛 2𝑥𝑒𝑛 𝑥𝑛 𝑥𝑛 2𝑥𝑒𝑛 𝑥𝑛 2𝑥𝑜𝑛 2𝑥𝑒𝑛 2𝑥𝑛 16 Portanto 𝑥𝑛 𝑥𝑒𝑛 𝑥𝑜𝑛 23 O sinal pode ser representado pela soma da componente par mais a componente ímpar Exemplo 5 Considerando a sequência 𝑥𝑛 separar em duas sequências uma par e uma ímpar 𝑥𝑛 𝑢𝑛 𝑢𝑛 4 Resolução Como a função existe no intervalo de 𝑛 0 até 𝑛 3 trabalharemos no intervalo de 3 𝑛 3 ou 3 𝑛 4 𝑥𝑛 1 1 1 1 na forma vetorial ou 𝑥𝑛 𝛿𝑛 𝛿𝑛 1 𝛿𝑛 2 𝛿𝑛 3 Tabela 2 Resolução ℰ𝑣𝑥𝑛 𝑥3 1 2 𝑥3 𝑥3 0 1 2 1 2 𝑥2 1 2 𝑥2 𝑥2 0 1 2 1 2 𝑥1 1 2 𝑥1 𝑥1 0 1 2 1 2 𝑥0 1 2 𝑥0 𝑥0 1 2 1 2 1 𝑥1 1 2 𝑥1 𝑥1 1 2 0 1 2 𝑥2 1 2 𝑥2 𝑥2 1 2 0 1 2 𝑥3 1 2 𝑥3 𝑥3 1 2 0 1 2 𝒪𝑑𝑥𝑛 17 𝑥3 1 2 𝑥3 𝑥3 0 1 2 1 2 𝑥2 1 2 𝑥2 𝑥2 0 1 2 1 2 𝑥1 1 2 𝑥1 𝑥1 0 1 2 1 2 𝑥0 1 2 𝑥0 𝑥0 1 2 1 2 0 𝑥1 1 2 𝑥1 𝑥1 1 2 0 1 2 𝑥2 1 2 𝑥2 𝑥2 1 2 0 1 2 𝑥3 1 2 𝑥3 𝑥3 1 2 0 1 2 Somando as componentes par e ímpar teremos o sinal original Figura 3 Sinal original 18 31 Simetria da DTFT Como o sinal pode ser dividido em duas componentes uma par e uma ímpar a transformada pode ser considerada como 𝑋𝑒𝑗𝜔 𝑋𝑒𝑒𝑗𝜔 𝑋𝑜𝑒𝑗𝜔 24 Em que a parte par é 𝑋𝑒𝑒𝑗𝜔 1 2 𝑋𝑒𝑗𝜔 𝑋𝑒𝑗𝜔 25 E a parte ímpar é 𝑋𝑜𝑒𝑗𝜔 1 2 𝑋𝑒𝑗𝜔 𝑋𝑒𝑗𝜔 26 Exemplo 6 Para a sequência 𝑥𝑛 do Exemplo 5 calcular a DTFT a considerando as propriedades de simetria b aplicando a transformada na sequência 𝑥𝑛 e comparar com o resultado do ponto a Resolução Usaremos os pares de transformadas 1 e 2 da Tabela 1 a Do exemplo anterior temos que a sequência par é 𝑥𝑒𝑛 05𝛿𝑛 3 05𝛿𝑛 2 05𝛿𝑛 1 𝛿𝑛 05𝛿𝑛 1 05𝛿𝑛 2 05𝛿𝑛 3 𝑋𝑒𝑒𝑗𝜔 05𝑒𝑗3𝜔 05𝑒𝑗2𝜔 05𝑒𝑗𝜔 1 05𝑒𝑗𝜔 05𝑒𝑗2𝜔 05𝑒𝑗3𝜔 E a sequência ímpar 𝑥𝑜𝑛 05𝛿𝑛 3 05𝛿𝑛 2 05𝛿𝑛 1 05𝛿𝑛 1 05𝛿𝑛 2 05𝛿𝑛 3 19 Portanto 𝑋𝑜𝑒𝑗𝜔 05𝑒𝑗3𝜔 05𝑒𝑗2𝜔 05𝑒𝑗𝜔 05𝑒𝑗𝜔 05𝑒𝑗2𝜔 05𝑒𝑗3𝜔 𝑋𝑒𝑗𝜔 𝑋𝑒𝑒𝑗𝜔 𝑋𝑜𝑒𝑗𝜔 05𝑒𝑗3𝜔 05𝑒𝑗2𝜔 05𝑒𝑗𝜔 1 05𝑒𝑗𝜔 05𝑒𝑗2𝜔 05𝑒𝑗3𝜔 05𝑒𝑗3𝜔 05𝑒𝑗2𝜔 05𝑒𝑗𝜔 05𝑒𝑗𝜔 05𝑒𝑗2𝜔 05𝑒𝑗3𝜔 𝑿𝒆𝒋𝝎 𝟏 𝒆𝒋𝝎 𝒆𝒋𝟐𝝎 𝒆𝒋𝟑𝝎 b Sendo a sequência 𝑥𝑛 𝛿𝑛 𝛿𝑛 1 𝛿𝑛 2 𝛿𝑛 3 Aplicando a transformada 𝑿𝒆𝒋𝝎 𝟏 𝒆𝒋𝝎 𝒆𝒋𝟐𝝎 𝒆𝒋𝟑𝝎 Comparando o resultado dos pontos a e b podemos ver que a DTFT é igual nos dois casos A Tabela 3 mostra as propriedades de simetria da DTFT Tabela 3 Propriedades de simetria da DTFT Sequência Transformada de Fourier 1 𝑥𝑛 𝑋𝑒𝑗 2 𝑥𝑛 𝑋𝑒𝑗 3 ℛ𝑒𝑥𝑛 𝑋𝑒𝑒𝑗𝜔 componente simétrica conjugada de 𝑋𝑒𝑗𝜔 4 𝑗ℐ𝑚𝑥𝑛 𝑋𝑜𝑒𝑗𝜔 componente antissimétrica conjugada de 𝑋𝑒𝑗𝜔 5 𝑥𝑒𝑛 componente simétrica conjugada de 𝑥𝑛 𝑋𝑅𝑒𝑗𝜔 ℛ𝑒𝑋𝑒𝑗𝜔 6 𝑥𝑜𝑛 componente antissimétrica conjugada de 𝑥𝑛 𝑗𝑋𝐼𝑒𝑗𝜔 𝑗ℐ𝑚𝑋𝑒𝑗𝜔 Somente para 𝒙𝒏 real 7 Qualquer 𝑥𝑛 real 𝑋𝑒𝑗𝜔 𝑋𝑒𝑗 8 Qualquer 𝑥𝑛 real 𝑋𝑅𝑒𝑗𝜔 𝑋𝑅𝑒𝑗𝜔 9 Qualquer 𝑥𝑛 real 𝑋𝐼𝑒𝑗𝜔 𝑋𝐼𝑒𝑗𝜔 20 10 Qualquer 𝑥𝑛 real 𝑋𝑒𝑗𝜔 𝑋𝑒𝑗𝜔 magnitude é par 11 Qualquer 𝑥𝑛 real 𝑋𝑒𝑗𝜔 𝑋𝑒𝑗𝜔 fase é ímpar 12 𝑥𝑒𝑛 componente par de 𝑥𝑛 𝑋𝑅𝑒𝑗𝜔 13 𝑥𝑜𝑛 componente ímpar de 𝑥𝑛 𝑗𝑋𝐼𝑒𝑗𝜔 Fonte Elaborado com base em Oppenheim Schafer 2012 TEMA 4 TEOREMAS Para indicar a Transformada de Fourier utilizamos a seguinte notação 𝑋𝑒𝑗 ℱ𝑥𝑛 27 𝑥𝑛 ℱ1𝑋𝑒𝑗𝜔 28 𝑥𝑛 ℱ 𝑋𝑒𝑗𝜔 29 Em que ℱ é o operador transformada e ℱ1 o operador transformada inversa Para facilitar o cálculo da DTFT existem teoremas que permitem chegar à transformada de funções modificadas a partir da transformada da função original 41 Linearidade Sendo dois sinais de entrada com suas respectivas DTFT 𝑥1𝑛 ℱ 𝑋1𝑒𝑗𝜔 𝑥2𝑛 ℱ 𝑋2𝑒𝑗𝜔 A DTFT pode ser definida como 𝑎𝑥1𝑛 𝑏𝑥2𝑛 ℱ 𝑎𝑋1𝑒𝑗𝜔 𝑏𝑋2𝑒𝑗𝜔 30 21 Exemplo 7 Considerando os sinais de entrada e parâmetros 𝑥1𝑛 2𝛿𝑛 2 𝛿𝑛 𝛿𝑛 2 𝑥2𝑛 05𝑛𝑢𝑛 𝛿𝑛 2 𝑎 1 𝑏 2 Para a sequência 𝑥𝑛 do calcular a DTFT 𝑥𝑛 𝑎𝑥1𝑛 𝑏𝑥2𝑛 a Considerando as entradas em separado b Considerando as entradas entrando juntas no sistema Resolução Usaremos os pares de transformadas 1 2 e 4 da Tabela 1 a Para os sinais de entrada 𝑥1𝑛 e 𝑥2𝑛 𝑥1𝑛 2𝛿𝑛 2 𝛿𝑛 𝛿𝑛 2 𝑋1𝑒𝑗𝜔 2𝑒𝑗2𝜔 1 𝑒𝑗2𝜔 𝑥2𝑛 05𝑛𝑢𝑛 𝛿𝑛 2 𝑋2𝑒𝑗𝜔 1 1 05𝑒𝑗𝜔 𝑒𝑗2𝜔 Como 𝑥𝑛 𝑎𝑥1𝑛 𝑏𝑥2𝑛 𝑋𝑒𝑗𝜔 12𝑒𝑗2𝜔 1 𝑒𝑗2𝜔 2 1 1 05𝑒𝑗𝜔 𝑒𝑗2𝜔 𝑋𝑒𝑗𝜔 2𝑒𝑗2𝜔 1 𝑒𝑗2𝜔 2 1 05𝑒𝑗𝜔 2𝑒𝑗2𝜔 𝑿𝒆𝒋𝝎 𝟐𝒆𝒋𝟐𝝎 𝟏 𝒆𝒋𝟐𝝎 𝟐 𝟏 𝟎 𝟓𝒆𝒋𝝎 22 b Considerando as duas entradas juntas 𝑥𝑛 𝑎𝑥1𝑛 𝑏𝑥2𝑛 12𝛿𝑛 2 𝛿𝑛 𝛿𝑛 2 205𝑛𝑢𝑛 𝛿𝑛 2 𝑥𝑛 2𝛿𝑛 2 𝛿𝑛 𝛿𝑛 2 205𝑛𝑢𝑛 2𝛿𝑛 2 𝑥𝑛 2𝛿𝑛 2 𝛿𝑛 𝛿𝑛 2 205𝑛𝑢𝑛 Portanto 𝑿𝒆𝒋𝝎 𝟐𝒆𝒋𝟐𝝎 𝟏 𝒆𝒋𝟐𝝎 𝟐 𝟏 𝟎 𝟓𝒆𝒋𝝎 Como podemos observar os resultados dos pontos a e b são iguais portanto podemos aplicar o teorema da linearidade no cálculo da DTFT 42 Deslocamento no domínio do tempo Sendo 𝑥𝑛 ℱ 𝑋𝑒𝑗𝜔 Se deslocarmos o sinal um valor 𝑛𝑑 𝑥𝑛 𝑛𝑑 ℱ 𝑒𝑗𝜔𝑛𝑑𝑋𝑒𝑗𝜔 31 Exemplo 8 Considerando o sinal de entrada 𝑥𝑛 05𝑛𝑢𝑛 Verificar a DTFT se o sinal sofrer um deslocamento 𝑛𝑑 5 Resolução Usaremos os pares de transformadas 2 e 4 da Tabela 1 𝑋𝑒𝑗𝜔 1 1 05𝑒𝑗𝜔 𝑥𝑛 5 05𝑛5𝑢𝑛 5 𝛿𝑛 505𝑛𝑢𝑛 𝑥𝑛 5 ℱ 𝑋𝑛𝑑𝑒𝑗𝜔 𝑋𝑛𝑑𝑒𝑗𝜔 𝑒𝑗5𝜔 1 1 05𝑒𝑗𝜔 23 Então 𝑿𝒏𝒅𝒆𝒋𝝎 𝒆𝒋𝟓𝝎𝑿𝒆𝒋𝝎 43 Deslocamento no domínio da frequência Considerando a situação anterior mas deslocando 𝑥𝑛 em frequência 𝑒𝑗𝜔𝑜𝑛𝑥𝑛 ℱ 𝑋𝑒𝑗𝜔𝜔𝑜 32 44 Reflexão no tempo Considerando a equação 29 𝑥𝑛 ℱ 𝑋𝑒𝑗𝜔 33 Se 𝑥𝑛 é uma função real 𝑥𝑛 ℱ 𝑋𝑒𝑗𝜔 34 45 Diferenciação em frequência Considerando a equação 29 derivando a DTFT teremos 𝑛𝑥𝑛 ℱ 𝑗 𝑑𝑋𝑒𝑗𝜔 𝑑𝜔 35 46 Janelamento ou modulação Sendo o sinal de entrada definido pela equação 29 e 𝑤𝑛 uma janela definida por 𝑤𝑛 ℱ 𝑊𝑒𝑗𝜔 36 Sendo 𝑦𝑛 o produto dessas duas funções 𝑦𝑛 𝑤𝑛𝑥𝑛 37 24 Então 𝑌𝑒𝑗 será a convolução de duas funções periódicas cujos limites de integração correspondem a um período 𝑌𝑒𝑗 1 2𝜋 𝑋𝑒𝑗𝜃𝑊𝑒𝑗𝜔𝜃𝑑𝜃 𝜋 𝜋 38 Existem outros teoremas como diferenciação no domínio da frequência e Teorema de Parseval que também facilitam o cálculo em algumas situações O Teorema da Convolução será tratado na seção seguinte A Tabela 4 mostra os principais teoremas que podem ser usados para facilitar o cálculo da DTFT Tabela 4 Teoremas da DTFT Sequência Transformada de Fourier 1 𝑎𝑥1𝑛 𝑏𝑥2𝑛 𝑎𝑋1𝑒𝑗𝜔 𝑏𝑋2𝑒𝑗𝜔 2 𝑥𝑛 𝑛𝑑 com 𝑛𝑑 inteiro 𝑒𝑗𝜔𝑛𝑑𝑋𝑒𝑗𝜔 3 𝑒𝑗𝜔𝑜𝑛𝑥𝑛 𝑋𝑒𝑗𝜔𝜔𝑜 4 𝑥𝑛 𝑋𝑒𝑗𝜔 𝑋𝑒𝑗𝜔 para 𝑥𝑛 real 5 𝑛𝑥𝑛 𝑗 𝑑𝑋𝑒𝑗𝜔 𝑑𝜔 6 𝑥𝑛 𝑦𝑛 convolução 𝑋𝑒𝑗𝜔𝑌𝑒𝑗𝜔 7 𝑥𝑛𝑦𝑛 produto 1 2𝜋 𝑋𝑒𝑗𝜃𝑌𝑒𝑗𝜔𝜃𝑑𝜃 𝜋 𝜋 Teorema de Parseval 8 𝑥𝑛2 𝑛 1 2𝜋 𝑋𝑒𝑗𝜔 2𝑑𝜔 𝜋 𝜋 9 𝑥𝑛𝑦𝑛 𝑛 1 2𝜋 𝑋𝑒𝑗𝜔𝑌𝑒𝑗𝜔𝑑𝜔 𝜋 𝜋 Fonte Elaborado com base em Oppenheim Schafer 2012 25 TEMA 5 CONVOLUÇÃO Todo sinal que entra em um sistema para ser processado convolui com a resposta ao impulso do sistema Dessa forma é que se obtém o sinal de saída 𝑦𝑛 como a convolução do sinal de entrada com a resposta ao impulso do sistema Se o sinal de entrada é definido pela equação 29 e o sistema tem uma resposta ao impulso ℎ𝑛 definida pela equação 39 temos que ℎ𝑛 ℱ 𝐻𝑒𝑗𝜔 39 Em que 𝐻𝑒𝑗𝜔 é a reposta em frequência do sistema Sendo 𝑦𝑛 𝑥𝑛 ℎ𝑛 𝑌𝑒𝑗𝜔 𝑋𝑒𝑗𝜔𝐻𝑒𝑗𝜔 40 Como podemos ver a convolução no domínio do tempo discreto no domínio da frequência é um produto o que facilita muito o cálculo quando se trabalha nesse domínio Da equação 40 podemos deduzir que a resposta em frequência do sistema pode ser definida como 𝐻𝑒𝑗𝜔 𝑌𝑒𝑗𝜔 𝑋𝑒𝑗𝜔 41 A equação 41 é fundamental em processamento de sinais Nela podemos ver que a resposta em frequência do sistema é a função de transferência do sistema ou seja é a relação entre sinal de saída e sinal de entrada Exemplo 9 Um sistema LIT causal é representado pela seguinte resposta em frequência 𝐻𝑒𝑗𝜔 1 125𝑒𝑗𝜔 1 08𝑒𝑗𝜔 a Determine a equação de diferenças b Determine a resposta ao impulso 26 Resolução a Equação de diferenças 𝐻𝑒𝑗 𝑌𝑒𝑗𝜔 𝑋𝑒𝑗𝜔 1 125𝑒𝑗𝜔 1 08𝑒𝑗𝜔 Trabalhando com a equação anterior 𝑌𝑒𝑗𝜔1 08𝑒𝑗𝜔 𝑋𝑒𝑗𝜔1 125𝑒𝑗𝜔 𝑌𝑒𝑗𝜔 08𝑒𝑗𝜔𝑌𝑒𝑗𝜔 𝑋𝑒𝑗𝜔 125𝑒𝑗𝜔𝑋𝑒𝑗𝜔 Aplicando transformada inversa considerando os pares de transformada 1 e 2 da Tabela 1 𝑦𝑛 08𝑦𝑛 1 𝑥𝑛 125𝑥𝑛 1 Reescrevendo a equação anterior 𝒚𝒏 𝒙𝒏 𝟏 𝟐𝟓𝒙𝒏 𝟏 𝟎 𝟖𝒚𝒏 𝟏 b Resposta ao impulso Como numerador e denominador de 𝐻𝑒𝑗𝜔 são da mesma ordem para resolver esse sistema utilizaremos a divisão de polinômios nesse caso especificamente existem outros casos em que se utilizam outras técnicas matemáticas como nas frações parciais Esse método chamase divisão longa A resposta em frequência fica 𝐻𝑒𝑗𝜔 156 056 1 08𝑒𝑗𝜔 27 Para encontrar a resposta ao impulso ℎ𝑛 aplicaremos transformada inversa à função de 𝐻𝑒𝑗𝜔 Para isso usaremos os pares de transformadas 1 e 4 da Tabela 1 𝐻𝑒𝑗𝜔 156 056 1 08𝑒𝑗𝜔 𝒉𝒏 𝟏 𝟓𝟔𝜹𝒏 𝟎 𝟓𝟔𝟎 𝟖𝒏𝒖𝒏 Exemplo 10 Considerando a resposta em frequência do sistema do Exemplo 9 verifique qual seria o sinal de saída 𝑦𝑛 se o sinal de entrada é 𝑥𝑛 𝑢𝑛 𝑢𝑛 2 Resolução 𝐻𝑒𝑗 𝑌𝑒𝑗𝜔 𝑋𝑒𝑗𝜔 156 056 1 08𝑒𝑗𝜔 O sinal de entrada será 𝑥𝑛 𝑢𝑛 𝑢𝑛 2 𝛿𝑛 𝛿𝑛 1 𝑋𝑒𝑗𝜔 1 𝑒𝑗𝜔 𝑌𝑒𝑗𝜔 𝑋𝑒𝑗𝜔 156 056 1 08𝑒𝑗𝜔 𝑌𝑒𝑗𝜔 1 𝑒𝑗𝜔156 056 1 08𝑒𝑗𝜔 𝑌𝑒𝑗𝜔 156 056 1 08𝑒𝑗𝜔 156𝑒𝑗𝜔 056𝑒𝑗𝜔 1 08𝑒𝑗𝜔 Aplicando transformada inversa e considerando os pares de transformada 1 2 e 4 da Tabela 1 e o teorema de deslocamento no domínio do tempo 𝒚𝒏 𝟏 𝟓𝟔𝜹𝒏 𝟎 𝟓𝟔𝟎 𝟖𝒏𝒖𝒏 𝟏 𝟓𝟔𝜹𝒏 𝟏 𝟎 𝟓𝟔𝟎 𝟖𝒏𝟏𝒖𝒏 𝟏 FINALIZANDO Nesta etapa falamos acerca das características de sinais em tempo discreto e de resposta em frequência dos sistemas Todos os sinais captados por sensores têm características específicas que precisam ser consideradas 28 pelos sistemas de processamento Essas características são particulares ao tipo de parâmetro físico que está sendo captado Todos os parâmetros físicos como temperatura tração pressão compressão som luz etc têm características determinadas Para processamento desses sinais o sensor os transforma em sinais elétricos equivalentes ao parâmetro físico Os sinais captados pelos sensores são sinais analógicos que possuem determinadas características como ser faixa de frequência espectro em frequência amplitude e potência Os sinais elétricos provenientes dos sensores podem ser tratados como sinais analógicos e como sinais digitais para serem processados por um processador O espectro em frequência desses sinais contém as informações necessárias para poder trabalhar com eles Por exemplo um sinal de áudio tem um espectro em frequência que vai de 20Hz a 20 kHz Nessa faixa de frequência encontramse todas as informações necessárias para poder processar esse sinal e o sistema de processamento precisa respeitar essa faixa de frequência Nesta etapa vimos a DTFT que é uma ferramenta que nos permite passar o sinal do domínio do tempo discreto sinal variando no tempo para o domínio da frequência espectro Essa ferramenta também nos permite analisar a resposta em frequência do sistema que vai processar esse sinal digital Dessa forma é possível desenvolver um sistema algoritmo adequado para processar qualquer sinal dependendo das características próprias que ele apresente Todos os sinais mostrados nas figuras foram feitos por algoritmos rodados no ambiente matemático Scilab Dassault Systèmes 2023 29 REFERÊNCIAS BARBOSA L V File Fourier Transform Time And Frequency Domains SmallGif Retrieved From Wikimedia Commons Disponível em httpscommonswikimediaorgwikifilefouriertransformtimeandfrequency domainssmallgif Acesso em 8 ago 2023 BARBOSA M PEREIRA B MAAS H Espectrograma de Voz Relatório da disciplina Processamento Digital de Sinais Curitiba Uninter 2019 DASSAULT Systèmes Scilab Disponível em httpswwwscilaborg Acesso em 8 ago 2023 OPPENHEIM A V SCHAFER R W Processamento em Tempo Discreto de Sinais 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