Précálculo: Uma Preparação para o Cálculo com Manual de Soluções para o Estudante

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the original publisher John Wiley Sons Inc ISBN 9781118083765 Direitos exclusivos para a língua portuguesa Copyright 2016 by LTC Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda Uma editora integrante do GEN Grupo Editorial Nacional Reservados todos os direitos É proibida a duplicação ou reprodução deste volume no todo ou em parte sob quaisquer formas ou por quaisquer meios eletrônico mecânico gravação fotocópia distribuição na internet ou outros sem permissão expressa da editora Travessa do Ouvidor 11 Rio de Janeiro RJ CEP 20040040 Tels 2135430770 1150800770 Fax 2135430896 ltcgrupogencombr wwwltceditoracombr Design da capa Madelyn Lesure Ilustração de capa Sheldon Axler Produção digital Geethik CIPBRASIL CATALOGAÇÃO NA PUBLICAÇÃO SINDICATO NACIONAL DOS EDITORES DE LIVROS RJ A899p 2 ed Axler Sheldon Précálculo uma preparação para o cálculo com manual de soluções para o estudante Sheldon Axler tradução e revisão técnica Maria Cristina Varriale e Naira Maria Balzaretti 2 ed Rio de Janeiro LTC 2016 il 28 cm Tradução de Precalculus a prelude to calculus Apêndice Inclui bibliografia e índice ISBN 9788521632146 1 Cálculo 2 Matemática I Título 1629842 CDD 515 CDU 51723 Sheldon Axler reitor do College of Science Engineering da San Francisco State University Sheldon Axler foi orador da sua turma de Ensino Médio em Miami Flórida Ele foi laureado ao receber o grau AB atribuído pela Princeton University a seguir obteve o seu Doutorado PhD em Matemática pela University of California em Berkeley Na condição de Instrutor de Moore do MIT Axler recebeu um prêmio docente no âmbito de toda a universidade Depois tornouse professorassistente professorassociado e finalmente professor titular do Departamento de Matemática da Michigan State University onde recebeu o primeiro J Sutherland Frame Teaching Award bem como o Distinguished Faculty Award Axler recebeu da Mathematical Association of America em 1996 o Lester R Ford Award por escrita expositiva Além de publicar inúmeros artigos de pesquisa Axler é o autor de cinco livrostexto de Matemática que vão desde o nível dos calouros até o nível dos pósgraduandos Seu livro Linear Algebra Done Right sem tradução no Brasil foi adotado como livrotexto em mais de 260 universidades Axler foi editorchefe do periódico Mathematical Intelligencer e editor associado da American Mathematical Monthly Ele foi membro do Conselho da American Mathematical Society e também do Conselho de Curadores do Mathematical Sciences Research Institute Atualmente Axler pertence ao corpo editorial das séries Undergraduate Texts in Mathematics Graduate Texts in Mathematics e Universitext da editora Springer O diagrama apresentado na capa do livro contém as definições cruciais da trigonometria O número 1 mostra que as funções trigonométricas são definidas no contexto do círculo unitário A seta mostra que os ângulos são medidos no sentido antihorário a partir do semieixo horizontal positivo O ponto identificado por cos θ sen θ mostra que cos θ é a primeira coordenada da extremidade do raio correspondente ao ângulo θ e sen θ a segunda coordenada dessa extremidade Como essa extremidade situase sobre a circunferência unitária concluise imediatamente que cos2 θ sen2 θ 1 A equação declividade tan θ mostra que tan θ é a declividade do raio correspondente ao ângulo θ portanto 0 01 02 03 1 11 12 13 Sobre o Autor Prefácio para o Professor Agradecimentos Prefácio para o Estudante Os Números Reais A Reta Real Construção da Reta Real Todo Número Real É Racional Problemas Álgebra dos Números Reais Comutatividade e Associatividade A Ordem das Operações Algébricas A Propriedade Distributiva Inversos Aditivos e Subtração Inversos Multiplicativos e a Álgebra de Frações Calculadoras Simbólicas Exercícios Problemas e Soluções Detalhadas Desigualdades Intervalos e Valor Absoluto Números Positivos e Negativos Desigualdades Intervalos Valor Absoluto Exercícios Problemas e Soluções Detalhadas Resumo do Capítulo e Questões de Revisão do Capítulo 38 Funções e Seus Gráficos Funções Definição e Exemplos O Domínio de uma Função A Imagem de uma Função Funções por Meio de Tabelas Exercícios Problemas e Soluções Detalhadas O Plano das Coordenadas e os Gráficos O Plano das Coordenadas O Gráfico de uma Função Determinando o Domínio e a Imagem a Partir de um Gráfico Quais Conjuntos São Gráficos de Funções Exercícios Problemas e Soluções Detalhadas Transformações de Funções e Seus Gráficos Transformações Verticais Deslocamento Alongamento e Reflexão Transformações Horizontais Deslocamento Alongamento e Reflexão Combinações de Transformações Verticais de Funções 14 15 16 2 21 22 23 24 Funções Pares Funções Ímpares Exercícios Problemas e Soluções Detalhadas Composição de Funções Combinando Duas Funções Definição de Composição A Ordem Faz Diferença na Composição Decomposição de Funções Compondo Mais de duas Funções Transformações de Funções como Composições Exercícios Problemas e Soluções Detalhadas Funções Inversas O Problema Inverso Funções Bijetoras A Definição de Função Inversa O Domínio e a Imagem de uma Função Inversa A Composição de uma Função e Sua Inversa Comentários sobre a Notação Exercícios Problemas e Soluções Detalhadas Uma Abordagem Gráfica de Funções Inversas O Gráfico de uma Função Inversa Interpretação Gráfica de uma Função Bijetora Funções Crescentes e Decrescentes Funções Inversas via Tabelas Exercícios Problemas e Soluções Detalhadas Resumo do Capítulo e Questões de Revisão do Capítulo Funções Lineares Quadráticas Polinomiais e Racionais Retas e Funções Lineares Inclinação A Equação de uma Reta Retas Paralelas Retas Perpendiculares Exercícios Problemas e Soluções Detalhadas Funções Quadráticas e Cônicas Completamento de Quadrado e a Fórmula Quadrática Parábolas e Funções Quadráticas Circunferências Elipses Hipérboles Exercícios Problemas e Soluções Detalhadas Potências Expoentes Inteiros Positivos Definindo x0 Expoentes Inteiros Negativos Raízes Expoentes Racionais Propriedades de Expoentes Exercícios Problemas e Soluções Detalhadas Polinômios O Grau de um Polinômio A Álgebra dos Polinômios 25 3 31 32 33 34 35 36 37 Zeros e Fatoração de Polinômios O Comportamento de um Polinômio Perto de Gráficos de Polinômios Exercícios Problemas e Soluções Detalhadas Funções Racionais A Álgebra das Funções Racionais Divisão de Polinômios O Comportamento de uma Função Racional Perto de Gráficos de Funções Racionais Exercícios Problemas e Soluções Detalhadas Resumo do Capítulo e Questões de Revisão do Capítulo Funções Exponenciais Logaritmos e o Número e Logaritmos como Inversas de Funções Exponenciais Funções Exponenciais Logaritmos na Base 2 Logaritmo em Qualquer Base Logaritmos Comuns e o Número de Dígitos Exercícios Problemas e Soluções Detalhadas Aplicações da Regra da Potência para Logaritmos Logaritmo de uma Potência Decaimento Radioativo e MeiaVida Mudança de Base Exercícios Problemas e Soluções Detalhadas Aplicações das Regras do Produto e do Quociente para Logaritmos Logaritmo de um Produto Logaritmo de um Quociente Terremotos e a Escala Richter Intensidade Sonora e Decibéis Brilho de uma Estrela e Magnitude Aparente Exercícios Problemas e Soluções Detalhadas Crescimento Exponencial Funções com Crescimento Exponencial Crescimento Populacional Juros Compostos Exercícios Problemas e Soluções Detalhadas O Número e e o Logaritmo Natural Estimativa de Áreas Usando Retângulos Definindo e Definindo o Logaritmo Natural Propriedades da Função Exponencial e do ln Exercícios Problemas e Soluções Detalhadas Aproximações e Área com e e com ln Aproximação do Logaritmo Natural Aproximações com a Função Exponencial Uma Fórmula para a Área Exercícios Problemas e Soluções Detalhadas Crescimento Exponencial Revisitado Juros Continuamente Compostos Taxas de Crescimento Contínuo Duplicando Seu Dinheiro Exercícios Problemas e Soluções Detalhadas 4 41 42 43 44 45 46 5 51 52 Resumo do Capítulo e Questões de Revisão do Capítulo Funções Trigonométricas A Circunferência Unitária A Equação da Circunferência Unitária Ângulos na Circunferência Unitária Ângulos Negativos Ângulos Maiores que 360 Comprimento de um Arco de Circunferência Pontos Especiais na Circunferência Unitária Exercícios Problemas e Soluções Detalhadas Radianos Uma Unidade Natural para Medidas de Ângulos O Raio Correspondente a um Ângulo Comprimento de um Arco de Circunferência Área de uma Fatia Pontos Especiais na Circunferência Unitária Exercícios Problemas e Soluções Detalhadas Cosseno e Seno Definição de Cosseno e Seno Os Sinais de Cosseno ou Seno A EquaçãoChave Conectando Cosseno e Seno Os Gráficos de Cosseno e Seno Exercícios Problemas e Soluções Detalhadas Mais Funções Trigonométricas Definição de Tangente O Sinal da Tangente Conexões entre Cosseno Seno e Tangente O Gráfico da Tangente Mais Três Funções Trigonométricas Exercícios Problemas e Soluções Detalhadas Trigonometria em Triângulos Retângulos Funções Trigonométricas via Triângulos Retângulos Dois Lados de um Triângulo Retângulo Um Lado e um Ângulo de um Triângulo Retângulo Exercícios Problemas e Soluções Detalhadas Identidades Trigonométricas A Relação entre Cosseno Seno e Tangente Identidades Trigonométricas para o Negativo de um Ângulo Identidades Trigonométricas com Identidades Trigonométricas Envolvendo um Múltiplo de π Exercícios Problemas e Soluções Detalhadas Resumo do Capítulo e Questões de Revisão do Capítulo Álgebra Trigonométrica e Geometria Funções Trigonométricas Inversas A Função Arco Cosseno A Função Arco Seno A Função Arco Tangente Exercícios Problemas e Soluções Detalhadas Identidades Trigonométricas Inversas Composição de Funções Trigonométricas e Suas Inversas Mais Composições de Funções Trigonométricas Inversas 53 54 55 56 6 61 62 63 O Arco Cosseno o Arco Seno e o Arco Tangente de t Arco Cosseno Mais Arco Seno Exercícios Problemas e Soluções Detalhadas Usando Trigonometria para Calcular Área A Área de um Triângulo via Trigonometria Ângulos Ambíguos A Área de um Paralelogramo via Trigonometria A Área de um Polígono Aproximações Trigonométricas Exercícios Problemas e Soluções Detalhadas A Lei dos Senos e a Lei dos Cossenos A Lei dos Senos Usando a Lei dos Senos A Lei dos Cossenos Usando a Lei dos Cossenos Quando Usar Cada Lei Exercícios Problemas e Soluções Detalhadas Fórmulas para o Dobro do Ângulo e a Metade do Ângulo O Cosseno de 2θ O Seno de 2θ A Tangente de 2θ O Cosseno e o Seno de A Tangente de Exercícios Problemas e Soluções Detalhadas Fórmulas para Adição e Subtração O Cosseno da Soma e da Diferença O Seno da Soma e da Diferença A Tangente da Soma e da Diferença Produtos de Funções Trigonométricas Exercícios Problemas e Soluções Detalhadas Resumo do Capítulo e Questões de Revisão do Capítulo Aplicações da Trigonometria Transformações de Funções Trigonométricas Amplitude Período Deslocamento de Fase Ajustando Transformações de Funções Trigonométricas a Dados Exercícios Problemas e Soluções Detalhadas Coordenadas Polares Definindo Coordenadas Polares Convertendo de Coordenadas Polares para Retangulares Convertendo de Coordenadas Retangulares para Polares Gráficos de Equações Polares Exercícios Problemas e Soluções Detalhadas Vetores Uma Introdução Algébrica e Geométrica para Vetores Adição Vetorial Subtração Vetorial Multiplicação por Escalar O Produto Escalar Exercícios Problemas e Soluções Detalhadas 64 65 7 71 72 73 8 81 82 Números Complexos O Sistema de Números Complexos Aritmética com Números Complexos Complexos Conjugados e Divisão de Números Complexos Zeros e Fatoração de Polinômios Revisitados Exercícios Problemas e Soluções Detalhadas O Plano Complexo Números Complexos como Pontos no Plano Interpretação Geométrica da Multiplicação e da Divisão Complexas Teorema de De Moivre Determinando Raízes Complexas Exercícios Problemas e Soluções Detalhadas Resumo do Capítulo e Questões de Revisão do Capítulo Sequências Séries e Limites Sequências Introdução a Sequências Sequências Aritméticas Sequências Geométricas Sequências Definidas Recursivamente Exercícios Problemas e Soluções Detalhadas Séries Somas de Sequências Séries Aritméticas Séries Geométricas Notação de Somatório Triângulo de Pascal O Teorema Binomial Exercícios Problemas e Soluções Detalhadas Limites Introdução a Limites Séries Infinitas Decimais como Séries Infinitas Séries Infinitas Especiais Exercícios Problemas e Soluções Detalhadas Resumo do Capítulo e Questões de Revisão do Capítulo Sistemas de Equações Lineares Resolvendo Sistemas de Equações Lineares Quantas Soluções Equações Lineares Eliminação de Gauss Exercícios Problemas e Soluções Detalhadas Matrizes Representando Sistemas de Equações Lineares por Matrizes Eliminação de Gauss com Matrizes Sistemas de Equações Lineares sem Soluções Sistemas de Equações Lineares com um Número Infinito de Soluções Quantas Soluções Revisitado Exercícios Problemas e Soluções Detalhadas Resumo do Capítulo e Questões de Revisão do Capítulo Apêndice A Área 01 02 03 04 05 06 07 Circunferência Quadrados Retângulos e Paralelogramos Triângulos e Trapezoides Alongamento Círculos e Elipses Exercícios e Problemas Apêndice B Curvas Paramétricas Curvas no Plano das Coordenadas Gráficos de Funções Inversas como Curvas Paramétricas Deslocamento Alongamento ou Reflexão para uma Curva Paramétrica Exercícios e Problemas Créditos das Fotos DIGIAULAS VÍDEO AULAS SELECIONADAS NÚMERO REAIS Conjuntos Numéricos Dízimas Periódicas GEOMETRIA ANALÍTICA BÁSICA Plano Cartesiano e Retas Horizontais e Verticais FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL Gráficos de Função de Uma Variável Real FUNÇÕES AFINS e QUADRÁTICAS Função Constante Linear e Afim Função Quadrática OUTRAS FUNÇÕES IMPORTANTES Função Exponencial NÚMERO REAIS Trigonometria Básica GEOMETRIA BÁSICA Geometria Plana Triângulos Este livro visa preparar os estudantes para que tenham êxito na disciplina de Cálculo São portanto abordados tópicos que os estudantes necessitam dominar para a disciplina de Cálculo especialmente para o primeiro semestre de Cálculo Foram excluídos aqueles assuntos que mesmo importantes para qualquer cidadão desse nível são irrelevantes para a aprendizagem dos conteúdos de Cálculo Na maioria das faculdades e das universidades PréCálculo é uma disciplina de um semestre No entanto os livrostexto típicos de PréCálculo contêm em torno de mil páginas sem contar o manual de soluções para o estudante muito mais do que pode ser coberto em um semestre Enfatizando os tópicos cruciais para o êxito em Cálculo este livro tem um tamanho mais razoável mesmo incluindo o manual de soluções para o estudante Um livrotexto mais delgado deve indicar aos estudantes que realmente se espera que eles dominem praticamente todo o conteúdo do livro O Capítulo 0 poderia ter sido intitulado Uma Preparação para uma Preparação para o Cálculo O prérequisito para a disciplina de PréCálculo é a disciplina habitual de Álgebra Intermediária Embora vários estudantes que cursam PréCálculo tenham concluído anteriormente algum curso de trigonometria este livro não pressupõe nenhum conhecimento prévio de trigonometria O livro é bastante autossuficiente iniciandose no Capítulo 0 com uma revisão dos números reais O número 0 é justamente para indicar que vários professores irão preferir cobrir rapidamente esse material inicial ou simplesmente pulálo Diferentes professores desejarão cobrir diferentes seções deste livro Percorrendo a totalidade dos conteúdos até a Seção 61 os estudantes vão adquirir uma excelente preparação para o primeiro semestre da disciplina de Cálculo Se houver disponibilidade de tempo podem ser selecionadas seções adicionais posteriores à Seção 61 dependendo da preferência de tópicos do professor Os professores de matemática queixamse frequentemente e com razão de que a maioria dos alunos ao cursar disciplinas de matemática dos níveis mais básicos não lê o livrotexto Para fazer o dever de casa um estudante típico de PréCálculo olha apenas aquela seção do livrotexto que é relevante ou procura no manual de soluções para o estudante um exemplo semelhante ao do dever de casa que ele precisa resolver O estudante lê apenas o suficiente desse exemplo para imitar o procedimento de resolução e resolver o problema do seu dever de casa depois disso ele parte para o próximo problema do dever de casa e segue o mesmo processo Assim muito pouca compreensão ocorrerá Em contraste este livro foi projetado para ser lido pelos estudantes A intenção é de que seu estilo de escrita e seu layout induzam os estudantes à leitura e à compreensão do material Esta obra contém um número bem maior de explicações do que geralmente se encontra na maioria dos livros de PréCálculo com exemplos dos conceitos de modo a concretizar as ideias sempre que possível Cada exercício neste livro tem uma única resposta correta geralmente um número ou uma função Cada problema neste livro tem várias respostas corretas geralmente explicações ou exemplos Estudantes aprendem matemática trabalhando ativamente uma ampla variedade de exercícios e problemas A rigor um estudante que leia e entenda o material em alguma seção deste livro deveria estar capacitado a resolver os exercícios e problemas correspondentes sem nenhuma ajuda adicional No entanto alguns dos exercícios requerem que as ideias sejam aplicadas em um contexto que os estudantes podem nunca ter visto antes e assim vários estudantes necessitarão de auxílio para fazer esses exercícios Tal auxílio está disponível nas soluções completas elaboradas para todos os exercícios ímpares ao final de cada seção Como as soluções completas foram escritas apenas pelo autor do livrotexto os estudantes podem esperar uma abordagem consistente com o material do livro Os estudantes vão economizar por não precisarem comprar um manual de soluções para o estudante separado Este livro contém o que normalmente constitui um livro separado chamado de manual de soluções para o estudante Os exercícios mas não os problemas ocorrem aos pares de modo que um exercício ímpar é seguido por um exercício par que deve ser resolvido usando as mesmas ideias e técnicas Um estudante que é desafiado por um exercício par deve conseguir resolvêlo depois de ler a resolução completa do correspondente exercício ímpar Essa forma de apresentação permite que o texto seja mais centralmente focado nas explicações do material e nos exemplos dos conceitos Vários estudantes leem o manual de soluções para o estudante quando eles precisam fazer o dever de casa embora eles possam relutar em ler o texto principal O fato de o manual de soluções para o estudante estar integrado a este livro pode encorajar os estudantes que de outra forma leriam apenas o manual de soluções para o estudante a mudar esse comportamento e ler também o texto principal Para reforçar essa tendência as resoluções elaboradas para os exercícios ímpares ao final de cada seção são formatadas em um estilo um pouco menos atraente letra menor e formato em duas colunas que o texto principal O aspecto amigável para o leitor do texto principal pode motivar os estudantes a dedicarem algum tempo àquele texto Os exercícios e problemas deste livro variam muito em grau de dificuldade e em objetivos Alguns exercícios e problemas são propostos para aprimorar as habilidades de manipulação algébrica outros para levar os estudantes a uma real compreensão conceitual e não apenas ao mero cálculo algorítmico Alguns exercícios e problemas reforçam intencionalmente o material visto desde o início do livro O Exercício 27 da Seção 43 por exemplo solicita que os estudantes determinem o menor número x tal que sen ex 0 os estudantes precisarão entender que eles querem escolher x tal que ex π e portanto x ln π Embora tais exercícios requeiram que se pense mais do que na maioria dos exercícios do livro eles permitem que os estudantes vejam conceitos essenciais mais de uma vez às vezes em contextos não esperados Para ajudar os professores a apresentar a disciplina da maneira que desejarem os exercícios e problemas que exigirem dos estudantes o uso de calculadoras estarão indicados pelo símbolo O assunto de como e se calculadoras deveriam ser usadas por estudantes tem gerado imensa controvérsia Algumas seções deste livro têm vários exercícios e problemas planejados para serem resolvidos com o uso de calculadora por exemplo a Seção 34 sobre crescimento exponencial e a Seção 54 sobre as leis dos senos e dos cossenos Entretanto algumas seções lidam com material não tão adequado ao uso de calculadora Ao longo do texto a ênfase está em fornecer aos estudantes tanto a compreensão quanto as habilidades necessárias para a disciplina de Cálculo Portanto o livro não contempla uma porcentagem artificialmente estabelecida de exercícios e problemas em cada seção que requeiram o uso de calculadora Alguns exercícios e problemas que requerem o uso de calculadora são intencionalmente planejados para fazer os estudantes perceberem que ao entenderem o material eles poderão superar as limitações das calculadoras O Exercício 11 da Seção 32 por exemplo solicita que os estudantes determinem o número de dígitos na expansão decimal de 74000 Nesse caso tentar resolver o exercício diretamente com uma calculadora não vai funcionar pois o número envolvido tem um número de dígitos demasiadamente grande No entanto se pararem para pensar alguns momentos os estudantes perceberão que eles podem resolver esse problema usando logaritmos e suas calculadoras Independentemente de qual nível de uso de calculadora o professor espera os estudantes não podem depender de uma calculadora para calcular algo do tipo cos 0 pois assim cos se tornaria apenas um botão na calculadora Dependendo da preferência do professor o ícone de calculadora pode ser interpretado para alguns exercícios como indicador de que em vez da resposta exata a solução deve ser uma aproximação decimal O Exercício 3 da Seção 37 por exemplo pergunta quanto precisa ser depositado em uma conta bancária que rende 4 de juros compostos continuamente para que ao final de 10 anos o saldo da conta seja de US 10000 A resposta exata desse exercício é 10000e04 dólares mas pode ser mais satisfatório para o estudante depois de obter a resposta exata usar uma calculadora para ver que é necessário depositar aproximadamente US6703 Para tais exercícios os professores podem decidir se solicitam as respostas exatas ou as aproximações decimais em geral as resoluções apresentadas para os exercícios ímpares contêm ambas O conceito unificador de funções inversas é introduzido cedo no livro na Seção 15 Essa ideia fundamental tem seu maior uso neste livro na definição de y1m como o número que elevado à mésima potência resulta y em outras palavras a função y y1m é a inversa da função x xm ver Seção 23 O segundo maior uso de funções inversas ocorre na definição de logb y como o número tal que b elevado a esse número resulta y em outras palavras a função y logb y é a inversa da função x bx ver Seção 31 Assim os estudantes deverão sentirse confortáveis com o uso de funções inversas quando forem estudar as funções trigonométricas inversas arco cosseno arco seno e arco tangente na Seção 51 Tal familiaridade com funções inversas auxiliará os estudantes a lidar com operações inversas tais como antidiferenciação quando eles estiverem cursando a disciplina de Cálculo Logaritmos desempenham um papel fundamental em Cálculo mas muitos professores de Cálculo queixamse de que muitos alunos não possuem habilidades de manipulação algébrica apropriadas para lidar com logaritmos A base para os logaritmos no Capítulo 3 é arbitrária embora a maioria dos exemplos bem como a motivação no início do capítulo refiramse a logaritmos na base 2 ou na base 10 Todos os livrostexto de PréCálculo apresentam o decaimento radioativo como exemplo de decaimento exponencial Surpreendentemente o livrotexto de PréCálculo típico estabelece que sendo h a meiavida de um isótopo radioativo então a quantidade remanescente no instante t será igual a ekt vezes a quantidade existente no instante 0 em que Uma formulação muito mais clara estabeleceria como faz este livrotexto que a quantidade remanescente no instante t será igual a 2th vezes a quantidade existente no instante 0 O uso desnecessário do número e e do ln 2 nesse contexto pode sugerir aos estudantes que o número e e os logaritmos naturais sejam usados apenas de modo artificial mas esta não é a mensagem que os estudantes deveriam receber de seu livrotexto O uso de 2th auxilia os estudantes a entender o conceito de meiavida por meio de uma fórmula ligada ao significado do conceito Similarmente vários livrostexto de PréCálculo representam por exemplo uma colônia de bactérias que duplica de tamanho a cada três horas pela fórmula et ln23 apresentada pelo livrotexto como o fator de crescimento após t horas A fórmula mais simples e natural 2t3 parece não ser mencionada em tais livros Este livrotexto apresenta a abordagem mais natural para esses assuntos de crescimento e decaimento exponencial Os conceitos fundamentais do número e e dos logaritmos naturais serão introduzidos na segunda metade do Capítulo 3 A maioria dos livros de PréCálculo ou não apresentam motivação para o número e ou fazem essa motivação por meio de juros compostos continuamente ou por meio do limite de uma expressão indeterminada do tipo 1 tais conceitos são difíceis para estudantes desse nível entenderem Aproximadamente metade da disciplina de Cálculo a saber integração lida com áreas mas a maioria dos livros de Pré Cálculo apenas menciona o assunto O Capítulo 3 apresenta uma abordagem clara e bem motivada para o número e e para o logaritmo natural Tal abordagem é apresentada por meio da área definida intuitivamente sob a curva acima do eixo dos x e entre as retas x 1 e x c Uma abordagem similar para o número e e para o logaritmo natural é comum nos cursos de Cálculo No entanto essa abordagem não é geralmente adotada nos livrostexto de PréCálculo A apresentação simples que fazemos aqui usando propriedades óbvias de áreas mostra como essas ideias podem ser desenvolvidas claramente sem as tecnicalidades do Cálculo ou das somas de Riemann De fato essa abordagem de PréCálculo para a função exponencial e para o logaritmo natural mostra que uma boa compreensão desses assuntos não necessita esperar até o curso de Cálculo Estudantes que tenham visto a abordagem que utilizamos aqui deverão estar bem preparados para lidar com esses conceitos em seus cursos de Cálculo A abordagem adotada aqui também tem a vantagem de lidar facilmente como mostrado no Capítulo 3 com a aproximação ln1 h h para pequenos valores de h Além disso os mesmos métodos mostram que para qualquer número r temse para grandes valores de x Um bônus final dessa abordagem é que a conexão entre os juros compostos continuamente e o número e tornase um mero corolário de considerações naturais que envolvem áreas As funções trigonométricas devem ser introduzidas com base no círculo unitário ou em triângulos retângulos O Cálculo requer a abordagem pelo círculo unitário porque por exemplo ao discutir a série de Taylor para cos x é necessário considerar valores negativos de x e valores de x maiores que radianos Por isso neste livrotexto usaremos a abordagem pelo círculo unitário mas apresentaremos rapidamente aplicações a triângulos retângulos A abordagem pelo círculo unitário também permite uma bem motivada introdução a radianos A maioria dos livrostexto de PréCálculo define as funções trigonométricas usando quatro símbolos θ ou t para o ângulo e P x y para a extremidade do raio do círculo unitário correspondente a esse ângulo Por que essa extremidade é geralmente denominada P x y em vez de simplesmente x y Ainda melhor que apenas eliminar a letra P os símbolos x e y que representam as coordenadas da extremidade do raio também podem ser trocados por cos θ sen θ definindo assim o cosseno e o seno A abordagem padrão na definição de cos θ x e sen θ y pode causar problemas quando os estudantes chegarem à disciplina de Cálculo e precisarem trabalhar com cos x Se eles tiverem memorizado a noção de que cosseno é a coordenada x eles poderão ser levados a pensar que cos x é a coordenada x de opa tratase de dois usos diferentes da letra x Para evitar a confusão discutida acima usaremos neste livro um único símbolo para definir as funções trigonométricas Por motivos similares neste livro usaremos frequentemente a terminologia primeira coordenada e segunda coordenada em vez de coordenada x e coordenada y Além disso vamos frequentemente nos referir aos eixos coordenados como eixo horizontal e eixo vertical em vez de eixo dos x e eixo dos y Essas convenções devem levar os estudantes a uma compreensão melhor reduzindo a confusão entre eles A seção sobre trigonometria deste livro concentrase quase exclusivamente nas funções cosseno seno e tangente e suas funções inversas e menciona apenas superficialmente as funções secante cossecante e cotangente Essas últimas três funções que são apresentadas simplesmente como os inversos das três funções trigonométricas básicas trazem pouco conteúdo e compreensão a mais Diversos aprimoramentos foram contemplados ao longo do texto com base em sugestões apresentadas por professores e estudantes que usaram a primeira edição O novo conteúdo desta edição inclui Mais exemplos exercícios e problemas foram adicionados a esta edição e vários deles foram orientados pelas aplicações Uma pequena subseção sobre soma diferença produto e quociente de duas funções foi adicionada à Seção 14 Cones são agora estudados detalhadamente na Seção 22 Uma subseção sobre o Teorema Binomial foi adicionada à Seção 72 para aqueles professores que quiserem apresentar esse tópico Foi acrescentado um apêndice sobre curvas paramétricas para professores que quiserem cobrir esse tópico O WolframAlpha foi lançado após a publicação da primeira edição Para ajudar os estudantes a utilizar esse novo recurso gratuito foram adicionados alguns poucos exemplos dispersos que utilizam o WolframAlpha Vários aprimoramentos foram contemplados ao longo do texto para aumentar a sua clareza O conteúdo revisado desta edição inclui A Seção 13 sobre transformações de funções foi reorganizada e reescrita No Capítulo 2 da primeira edição incluíase o estudo de sistemas de equações lineares e matrizes Esses tópicos foram expandidos e deslocados para o Capítulo 8 onde eles podem ser facilmente pulados por professores que quiserem focar apenas nos assuntos necessários para a disciplina de Cálculo do primeiro semestre Na primeira edição logaritmos base arbitrária eram cobertos em um capítulo e depois e e o logaritmo natural em outro capítulo Agora esses tópicos são estudados em um mesmo capítulo Capítulo 3 em vez de dois capítulos distintos A revisão sobre áreas foi deslocada para um apêndice em vez de ocupar uma seção no texto principal O conteúdo sobre trigonometria foi reorganizado e passou de dois para três capítulos Essa alteração permitiu que fossem incluídas mais aplicações mantendose uma abordagem atrativa para a trigonometria A seção sobre números complexos foi deslocada para mais adiante no livro onde se reconhece mais claramente que é um tópico opcional O estudo de vetores e o de plano complexo foram expandidos de uma para duas seções nesta nova edição de modo a permitir um estudo mais detalhado de cada um desses tópicos opcionais As alterações de formato desta edição incluem O tamanho da página foi levemente aumentado passando de 8 por 10 na primeira edição para 85 por 105 nesta edição A meia polegada extra na largura foi utilizada para aumentar em um quarto de polegada o texto principal e em um quarto de polegada a largura da coluna de notas marginais As notas marginais que transmitem informações importantes em um formato que chama a atenção agora têm uma aparência melhor Os exemplos estão agora impressos com o mesmo tamanho de fonte que o texto regular Essa alteração acabou com a economia no número de páginas que resultaria de um aumento no tamanho da página mas forneceu uma notável melhoria na legibilidade Melhoraramse sensivelmente as quebras de página de tal modo que os estudantes podem quase sempre ter um exemplo inteiro visível sem precisar virar a página Sua ajuda em fazer deste um livro melhor é sempre muito bemvinda Por favor envieme seus comentários e suas sugestões para aprimoramentos Muito obrigado Sheldon Axler San Francisco State University email precalculusaxlernet website precalculusaxlernet Twitter AxlerPrecalc Tratase de um processador de conhecimento computacional NT A maioria dos resultados neste livro pertencem ao legado comum da matemática construído ao longo de milhares de anos por pessoas inteligentes e curiosas Como é comum em livrostexto poucos esforços foram feitos para prestar os créditos devidos aos criadores originais das ideias apresentadas neste livro Quando possível tentei melhorar as abordagens padrão para este material No entanto a ausência de uma referência não implica originalidade da minha parte Agradeço aos vários matemáticos que criaram e refinaram nosso belo assunto Como a maioria dos matemáticos devo um enorme agradecimento a Donald Knuth que inventou o e a Leslie Lamport que inventou o que usei para editar este livro Agradeço aos autores dos diversos pacotes de código aberto que usei para melhorar a aparência do livro especialmente a Hàn Thê Thành pelo pdf a Robert Schlicht pelo microtype e a Frank Mittelbach pelo multicol Muitos agradecimentos também à Wolfram Research por produzir o Mathematica o software que usei para traçar os gráficos deste livro Os professores e estudantes que usaram a primeira edição deste livro forneceram um retorno maravilhosamente útil Vários revisores me enviaram sugestões fantásticas enquanto esta segunda edição percorria suas diversas etapas de desenvolvimento Agradeço a todos os revisores cujos nomes estão listados na próxima página Escolhi a Wiley para publicar este livro devido ao compromisso desta empresa com a excelência Os funcionários da Wiley encaminharam notáveis contribuições para este projeto prestaram ampla consultoria editorial demonstraram excelente experiência em design habilidades de produção de alto nível e profundos conhecimentos de marketing Sou verdadeiramente agradecido às seguintes pessoas da Wiley todos os quais contribuíram para fazer deste um livro melhor e mais bemsucedido o que de outra forma eu jamais teria conseguido Fred Bartlett Joanna Dingle Melissa Edwards Kimberly Kanakes Ellen Keohane Madelyn Lesure Beth Pearson Mary Ann Price Laurie Rosatone Ken Santor Anne ScanlanRohrer Matt Winslow Celeste Hernandez verificadora de exatidão e Katrina Avery editora de cópias que se destacaram na captura dos meus erros matemáticos e linguísticos Os materiais suplementares disponíveis para este livro foram habilmente construídos por Andy Beyer Todd Hoff Larry Huff e Mark McKibben Minha muito especial parceira Carrie Heeter merece um crédito considerável por seus conselhos perspicazes e pelo seu contínuo encorajamento durante o longo processo de escrita deste livro Muito obrigado a todos vocês Theresa Adsit University of Wisconsin Green Bay Aubie Anisef Douglas College Frank Bäuerle University of California Santa Cruz Anthony J Bevelacqua University of North Dakota Seth Braver South Puget Sound Community College Eric Canning Morningside College Hongwei Chen Christopher Newport University Joanne S Darken Community College of Philadelphia Robert Diaz Fullerton College Brian Dietel LewisClark State College Barry Draper Glendale Community College Mary B Erb Georgetown University Russell Euler Northwest Missouri State University Michael J Fisher West Chester University Jenny Freidenreich Diablo Valley College Brian W Gleason University of New Hampshire Peter Greim The Citadel Klara Grodzinsky Georgia Institute of Technology Maryam Hastings Fordham University Larry Huff Frederick Community College Brian Jue California State University Stanislaus Alexander Kasiukov Suffolk County Community College Brentwood Nadia Nostrati Kenareh Simon Fraser University Deborah A Konkowski United States Naval Academy Cheuk Ying Lam California State University Bakersfield John LaMaster Indiana UniversityPurdue University Fort Wayne Albert M Leisinger University of Massachusetts Boston Mary Margarita Legner Riverside City College Doron S Lubinsky Georgia Institute of Technology Natasha Mandryk University of British Columbia Okanagan Annie Marquise Douglas College Andrey Melnikov Drexel University Richard Mikula Lock Haven University Christopher Nazelli Wayne State University Lauri Papay Santa Clara University Oscar M Perdomo Central Connecticut State University Peter R Peterson John Tyler Community College Michael Price University of Oregon Mohammed G Rajah MiraCosta College Pavel Sikorskii Michigan State University Abraham Smith Fordham University Wesley Snider Douglas College Jude T Socrates Pasadena City College Mark Solomonovich MacEwan University Mary Jane Sterling Bradley University Katalin Szucs East Carolina University Waclaw Timoszyk Norwich University Anna N Tivy California State University Channel Islands Magdalena Toda Texas Tech University O autor se refere à editora original NE Este livro vai ajudálo a se preparar para sairse bem na disciplina de Cálculo Se você dominar o material que está neste livro você terá o conhecimento a compreensão e as habilidades necessárias para ter sucesso em um curso de Cálculo Para aprender bem este material você vai precisar investir um tempo importante lendo este livro Você não pode esperar absorver os conteúdos de matemática da mesma maneira que você devora um romance Se você ler uma seção deste livro em menos de uma hora então você está indo rápido demais Você deve fazer uma pausa para refletir e interiorizar cada definição muitas vezes tentando inventar alguns exemplos além daqueles apresentados no livro Quando no livro forem deixados de fora alguns passos em um cálculo você deve completar o que estiver faltando o que vai exigir que você escreva um pouco Essas atividades podem parecer difíceis quando você tentar executálas sozinho tente trabalhar em grupo com alguns outros estudantes Ao final de cada seção são apresentadas as resoluções detalhadas dos exercícios ímpares Você vai precisar investir algumas horas por seção resolvendo os exercícios e os problemas Certifiquese de que você consegue resolver todos os exercícios e a maioria dos problemas não apenas aqueles que estão assinalados como dever de casa A propósito a diferença entre um exercício e um problema neste livro é que cada exercício tem uma única resposta correta que é um objeto matemático tal como um número ou uma função Em contrapartida as soluções dos problemas consistem em explicações ou exemplos assim problemas possuem múltiplas respostas corretas Boa sorte e felicidades em seus estudos Sheldon Axler San Francisco State University website precalculusaxlernet Twitter AxlerPrecalc Este livro conta com os seguintes materiais suplementares Ilustrações da obra em formato de apresentação restrito a docentes Instructors Solutions Manual manual de soluções em pdf em inglês restrito a docentes Lecture note slides apresentações para uso em sala de aula em PowerPoint em inglês restrito a docentes Parametric Curves in Motion suplemento interativo em inglês que apresenta o movimento de curvas paramétricas Disponível online pelo link precalculusaxlernetparametrichtml Para visualizar as animações é preciso baixar um software disponibilizado gratuitamente em httpwwwwolframcomcdfplayer acesso livre Test Bank banco de testes em pdf em inglês restrito a docentes Soluções dos Apêndices A e B soluções para os exercícios ímpares dos Apêndices A e B em pdf acesso livre O acesso ao material suplementar é gratuito bastando que o leitor se cadastre em httpgeniogrupogencombr Este livro contém algumas videoulas exclusivas selecionadas a partir das DigiAulas O que são DigiAulas São videoaulas sobre temas comuns a todas as habilitações de Engenharia Foram criadas e desenvolvidas pela LTC Editora para auxiliar os estudantes no aprimoramento de seu aprendizado As DigiAulas são ministradas por professores com grande experiência nas disciplinas que apresentam em vídeo Saiba mais em wwwdigiaulascombr Veja as videoaulas selecionadas para você ao final deste livro Caso tenha qualquer dúvida ou problema entre em contato conosco pelo email gendigitalgrupogencombr O Pártenon construído em Atenas há mais de 2400 anos Os antigos gregos desenvolveram e fizeram uso de uma matemática notavelmente sofisticada Para ter sucesso neste curso você precisa ter uma boa compreensão das propriedades básicas do sistema de números reais Por isso este livro se inicia com uma revisão dos números reais Este capítulo foi identificado como Capítulo 0 para enfatizar que se trata de uma revisão A primeira seção deste capítulo iniciase com a construção da reta real Esta seção contém como destaque opcional a demonstração dos antigos gregos de que nenhum número racional tem um quadrado igual a 2 Esse bonito resultado aparece aqui porque ele deveria ter sido visto por todos no mínimo uma vez Embora este capítulo seja em sua maior parte uma revisão uma base sólida no que se refere ao sistema de números reais vai ser importante para você ao longo de todo este curso Você precisará ter boas habilidades de manipulação algébrica por isso a segunda seção deste capítulo revisa a álgebra fundamental dos números reais Também é necessário que você se sinta confortável ao trabalhar com desigualdades e valores absolutos que são revisados na última seção deste capítulo Mesmo se seu instrutor decidir pular este capítulo você pode querer lêlo Certifiquese de que você consegue resolver todos os exercícios Os inteiros são os números 3 2 1 0 1 2 3 os pontos aqui indicam que os números continuam indefinidamente tanto de um lado quanto de outro A soma a diferença e o produto de quaisquer dois inteiros são também inteiros O quociente entre dois inteiros não é necessariamente um inteiro Então estendemos a aritmética para os números racionais que são números sob a forma O uso de uma reta horizontal para separar o numerador do denominador de uma fração foi introduzido por matemáticos árabes há cerca de 900 anos em que m e n são inteiros e n 0 A divisão é a operação inversa da multiplicação no sentido de que desejamos satisfazer a seguinte equação Na equação acima se substituirmos n por 0 e por exemplo m por 1 chegaremos à equação sem sentido 0 1 Essa equação não tem sentido pois ao multiplicarmos qualquer coisa por 0 o resultado é 0 e não 1 Para contornar esse problema dizemos que expressões como não são definidas Em outras palavras não se pode dividir por 0 Os números racionais constituem um sistema extremamente útil Podemos adicionar multiplicar subtrair e dividir números racionais exceto dividir por 0 e permanecer dentro do sistema de números racionais Os números racionais são suficientes para todas as medidas físicas reais tais como comprimento e largura com qualquer exatidão desejada Entretanto geometria álgebra e cálculo forçamnos a considerar um sistema de números ainda mais rico os números reais Para ver por que necessitamos ir além dos números racionais investigaremos a reta real Imagine uma reta horizontal estendida indefinidamente tanto de um lado quanto de outro Escolha um ponto sobre essa reta e identifiqueo como 0 Escolha outro ponto à direita de 0 e identifiqueo como 1 como ilustrado na figura abaixo Dois pontoschave sobre a reta real O símbolo para o zero foi inventado na Índia há mais de 1100 anos Uma vez que os pontos 0 e 1 tiverem sido escolhidos sobre a reta qualquer outra coisa será determinada pensandose na distância entre 0 e 1 como uma unidade de comprimento Por exemplo 2 situase uma unidade à direita de 1 Depois 3 situase uma unidade à direita de 2 e assim por diante Os inteiros negativos correspondem a moverse para a esquerda de 0 Assim 1 situase uma unidade à esquerda de 0 Depois 2 situase uma unidade à esquerda de 1 e assim por diante Inteiros sobre a reta real Se n for um inteiro positivo então situase à direita de 0 distante pelo comprimento obtido pela divisão do segmento de 0 a 1 em n segmentos de igual comprimento Depois situase à direita e à mesma distância de e situase à direita e à mesma distância de novamente e assim por diante Os números racionais negativos estão situados similarmente sobre a reta mas à esquerda de 0 Dessa forma associamos a cada número racional um ponto sobre a reta É impossível mostrar a identificação de todos os números racionais porque podemos incluir apenas um número finito deles A figura abaixo apresenta a reta com a identificação de alguns poucos pontos que correspondem a números racionais Alguns números racionais sobre a reta real Usaremos a noção intuitiva de que a reta não tem interrupções e de que toda distância admissível possa ser representada por um ponto sobre a reta Tendo em mente esses conceitos a reta apresentada acima será denominada a reta real Pensamos em cada ponto sobre a reta real como correspondendo ao que chamamos um número real As noções intuitivas não definidas tais como sem interrupções podem ser tornadas precisas utilizandose matemática mais avançada Neste livro estabelecemos que nossas noções intuitivas de reta real são suficientes para definir o sistema de números reais Sabemos de que todo número racional corresponde a um ponto sobre a reta real A pergunta agora é será que todo ponto sobre a reta real corresponde a um número racional Em outras palavras todo número real é racional Provavelmente as primeiras pessoas que ponderaram esses assuntos pensavam que os números racionais preencheriam toda a reta real Entretanto os antigos gregos descobriram que isso não é verdadeiro Para ver como eles chegaram a essa conclusão faremos um breve desvio para a geometria Lembrese de que para todo triângulo retângulo a soma dos quadrados dos comprimentos dos dois lados que formam o ângulo reto é igual ao quadrado do comprimento da hipotenusa A figura a seguir ilustra esse resultado que é chamado de Teorema de Pitágoras O Teorema de Pitágoras para triângulos retângulos c2 a2 b2 O nome desse teorema é uma homenagem ao matemático e filósofo grego Pitágoras que o demonstrou há mais de 2500 anos Mil anos antes disso os babilônios já tinham descoberto esse resultado Considere agora o caso especial em que ambos os lados que formam o ângulo reto têm comprimento 1 como ilustrado na figura abaixo Neste caso o Teorema de Pitágoras estabelece que o comprimento c da hipotenusa satisfaz a equação c2 2 Um triângulo retângulo isósceles O teorema de Pitágoras implica que c2 2 Acabamos de ver que existe um número real positivo c tal que c2 2 Isto nos leva a questionar se existe um número racional c tal que c2 2 Poderíamos por tentativa procurar um número racional cujo quadrado fosse igual a 2 Um exemplo surpreendente é aqui o numerador do lado direito tem apenas uma unidade de diferença do dobro do denominador Embora seja muito próximo de 2 não é exatamente igual a 2 Outro exemplo é O quadrado desse número racional é aproximadamente 19999999999992 que é muito próximo de 2 mas novamente não é exatamente o que procuramos Como encontramos números racionais cujos quadrados eram muito próximos de 2 poderíamos suspeitar que com um pouco mais de esperteza poderíamos determinar um número racional cujo quadrado fosse igual a 2 Entretanto os antigos gregos demonstraram que isso é impossível Este curso não foca muito em demonstrações No entanto a demonstração dos gregos de que não existe número racional cujo quadrado seja igual a 2 é um dos grandes feitos intelectuais da humanidade Deve ser experimentada por toda pessoa com certo grau de instrução Assim apresentamos abaixo essa prova para o seu enriquecimento O que segue é uma demonstração por contradição Iniciaremos supondo que exista um número racional cujo quadrado seja igual a 2 Com essa suposição vamos chegar a uma contradição Assim concluiremos que nossa suposição estava incorreta e que portanto não existe número racional cujo quadrado seja igual a 2 Compreender o padrão lógico de pensamento utilizado nessa demonstração pode ser um recurso valioso para lidar com questões complexas Quando se exclui o impossível o que restar ainda que improvável deve ser a verdade Sherlock Holmes Usase a notação para representar o número real positivo c tal que c2 2 Como vimos anteriormente o Teorema de Pitágoras implica que existe um número real que satisfaz a propriedade O resultado acima implica que não é um número racional Assim nem todo número real é um número racional Em outras palavras nem todo ponto sobre a reta real corresponde a um número racional Acabamos de demonstrar que é um número irracional Os números reais π e e com os quais trabalharemos nos próximos capítulos também são números irracionais Uma vez que determinamos um número irracional determinar outros é muito mais fácil como demonstraremos nos próximos dois exemplos A atitude dos antigos gregos com relação aos números irracionais persiste no nosso dia a dia ao usarmos a palavra irracional com o significado de não baseado na razão 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 O exemplo seguinte fornece outra ilustração de como usar um número irracional para gerar outro número irracional Os problemas nesta seção podem ser mais difíceis do que os problemas típicos encontrados no resto deste livro Demonstre que é um número irracional Demonstre que 5 é um número irracional Demonstre que 3 é um número irracional Demonstre que é um número irracional Demonstre que 4 9 é um número irracional Explique por que a soma de um número racional com um número irracional é um número irracional Explique por que o produto de um número racional não nulo por um número irracional é um número irracional Suponha que t seja um número irracional Explique por que também é um número irracional Dê um exemplo de dois números irracionais cuja soma seja um número irracional Dê um exemplo de dois números irracionais cuja soma seja um número racional Dê um exemplo de três números irracionais cuja soma seja um número racional Dê um exemplo de dois números irracionais cujo produto seja um número irracional Dê um exemplo de dois números irracionais cujo produto seja um número racional Os exercícios apresentados ao longo deste livro foram projetados para aperfeiçoar suas habilidades à medida que cobrirmos outros tópicos As operações de adição subtração multiplicação e divisão estendemse dos números racionais para os números reais Podemos adicionar subtrair multiplicar e dividir quaisquer dois números reais e permanecer dentro do sistema de números reais novamente com a exceção de que não é permitida a divisão por 0 Nesta seção revisaremos as propriedades algébricas básicas dos números reais Como este material deve ser realmente uma revisão não foi feito nenhum esforço no sentido de demonstrar como algumas dessas propriedades podem ser obtidas a partir de outras Em vez disso o enfoque desta seção é destacar propriedadeschave que devem tornarse tão familiares que você consiga usálas confortavelmente e sem nenhum esforço Comutatividade é o nome formal atribuído à propriedade de que na adição e na multiplicação a ordem não importa Aqui e ao longo desta seção a b e outras variáveis representam tanto números quanto expressões reais que assumem valores que sejam números reais Por exemplo a comutatividade da adição implica que Nem a subtração nem a divisão são comutativas pois para essas operações a ordem importa Por exemplo Associatividade é o nome formal atribuído à propriedade de que na adição e na multiplicação o agrupamento não importa Expressões dentro de parênteses devem ser calculadas antes dos demais cálculos Por exemplo a b c deve ser calculada primeiro adicionando a e b e depois adicionando c a essa soma A propriedade associativa da adição estabelece que esse número será o mesmo que a b c em que deve ser calculada primeiro a adição de b e c e depois adicionar a a essa soma Devido à associatividade da adição podemos dispensar o uso de parênteses quando adicionarmos três ou mais números e escrever expressões como a b c d sem nos preocupar a respeito de como os termos são agrupados Do mesmo modo devido à propriedade associativa da multiplicação não necessitamos usar parênteses quando multiplicarmos três ou mais números Assim podemos escrever expressões tais como abcd sem especificar a ordem de multiplicação ou o agrupamento Nem a subtração nem a divisão são associativas pois para essas operações o agrupamento importa Por exemplo 9 6 2 3 2 1 mas 9 6 2 9 4 5 que demonstra que a subtração não é associativa A prática padrão é calcular subtrações da esquerda para a direita a menos que parênteses indiquem outra ordem Por exemplo 9 6 2 deve ser interpretado como significando 9 6 2 que é igual a 1 Consideremos a expressão 2 3 7 Essa expressão não contém parênteses para guiarnos com relação a qual operação deve ser efetuada primeiro Deveríamos começar por adicionar 2 e 3 e depois multiplicar o resultado por 7 Se for assim estaríamos interpretando a expressão acima como 2 3 7 que é igual a 35 Ou para calcular 2 3 7 devemos primeiro multiplicar 3 por 7 e depois somar 2 a esse resultado Se for assim estaríamos interpretando 2 3 7 como 2 3 7 Observe que 2 3 7 não é igual a 2 3 7 Portanto a ordem dessas operações importa que é igual a 23 Então será que 2 3 7 é igual a 2 3 7 ou a 2 3 7 A resposta a essa pergunta depende mais de costumes do que de algo inerente à situação matemática Qualquer pessoa que tenha estudado matemática interpretaria 2 3 7 como significando 2 3 7 Em outras palavras as pessoas adotaram a convenção de que multiplicações devem ser efetuadas antes das adições a menos que existam parênteses que estabeleçam diferentemente Você precisa acostumarse a essa convenção Assim por exemplo a bc é interpretado como significando a bc embora quase sempre dispensemos os parênteses e escrevamos apenas a bc Como ilustração adicional do princípio anterior consideremos a expressão 4m 3n 11p q A interpretação correta dessa expressão é que 4 deve ser multiplicado por m 3 deve ser multiplicado por n 11 deve ser multiplicado por p q e depois os três números 4m 3n e 11p q devem ser adicionados Em outras palavras a expressão acima é igual a 4m 3n 11p q O tamanho dos parênteses é às vezes um recurso visual usado para indicar a ordem das operações Parênteses menores são frequentemente usados para os parênteses mais internos Assim expressões que estão entre parênteses menores devem usualmente ser calculadas antes das expressões que estão entre parênteses maiores Os três novos pares de parênteses na expressão acima não são necessários A versão sem os parênteses desnecessários é mais clara e mais fácil de ler Quando parênteses estão dentro de outros parênteses devese começar por calcular as expressões que estão nos parênteses mais internos A propriedade distributiva conecta adição e multiplicação convertendo um produto com uma soma na soma de dois produtos Às vezes você usará a propriedade distributiva para transformar uma expressão do tipo ax y em ax ay Às vezes você usará a propriedade distributiva em sentido contrário transformando uma expressão do tipo ax ay em ax y O sentido da transformação depende do contexto O exemplo a seguir demonstra o uso da propriedade distributiva em ambos os sentidos A propriedade distributiva fornece a justificativa para a fatoração de expressões Uma das manipulações algébricas mais comuns envolve expandir um produto de somas como no seguinte exemplo Observe que na expressão com a qual trabalhamos aqui cada termo do primeiro par de parênteses é multiplicado pelo termo do segundo par de parênteses Para expandir a b x y z multiplicase cada termo da primeira expressão pelo respectivo termo da segunda expressão e depois somamse esses produtos Após entender como foi obtida a identidade acima você deve facilmente conseguir encontrar fórmulas para expressões mais complicadas como a b x y z Um caso especialmente importante da identidade acima ocorre quando x a e x b Nesse caso temos a ba b a2 ab ba b2 que usando a comutatividade tornase a identidade a b2 a2 2ab b2 O inverso aditivo de um número real a é o número a de forma que a a 0 A conexão entre a subtração e os inversos aditivos é obtida pela identidade a b a b De fato a equação acima pode ser adotada como a definição de subtração Você precisa se sentir confortável ao usar as seguintes identidades que envolvem inversos aditivos e subtração Assegurese de distribuir corretamente o sinal de menos quando usar a propriedade distributiva como mostrado aqui Você precisa tornarse suficientemente confortável com as seguintes identidades de modo a poder usálas com facilidade O inverso multiplicativo de um número real b 0 é o número tal que O inverso multiplicativo de b é às vezes chamado de recíproco de b A conexão entre a divisão e os inversos multiplicativos é obtida pela identidade De fato a equação acima pode ser adotada como a definição de divisão Você precisa se sentir confortável ao usar várias identidades que envolvam inversos multiplicativos e divisão Começamos com as seguintes identidades Para esta subseção suponha que todos os denominadores sejam diferentes de 0 A primeira identidade acima estabelece que o produto de duas frações pode ser calculado multiplicandose todos os numeradores entre si e todos os denominadores entre si A segunda identidade acima quando utilizada para transformar em é a simplificação normal de cancelar um fator comum ao numerador e o denominador Quando utilizada em sentido contrário para transformar em a segunda identidade acima tornase o procedimento familiar de multiplicar o numerador e o denominador pelo mesmo fator Observe que a segunda identidade decorre da primeira como se segue Vejamos agora a identidade usada para adicionar duas frações A fórmula para adicionar frações é mais complicada que a fórmula para multiplicar frações A dedução da identidade anterior é simples se aceitarmos a fórmula para a adição de duas frações que possuam o mesmo denominador que é Para deduzir essa fórmula observe que Por exemplo como você pode visualizar pensando em uma pizza dividida em 9 fatias de igual tamanho depois juntando 2 fatias que é da pizza com outras 5 fatias da pizza para obter um total de 7 fatias da pizza da pizza Para obter a fórmula para a adição de duas frações com denominadores diferentes utilizamos a identidade da multiplicação para reescrever as frações de modo que elas passem a ter o mesmo denominador Nunca cometa o erro de pensar que é igual a Se você puder encontrar facilmente um múltiplo comum que seja mais simples do que o produto dos dois denominadores usálo significa que depois vai ser necessário efetuar menos cancelamentos para simplificar seu resultado final Vejamos agora a identidade para realizar a divisão por uma fração Os tamanhos dos traços de fração aqui utilizados indicam que deve ser interpretado como significando abc Essa identidade fornece a chave para desembaraçar frações que envolvem frações como mostrado no seguinte exemplo Quando você estiver diante de expressões complicadas envolvendo frações cujos elementos por sua vez também são frações lembrese que dividir por uma fração é o mesmo que multiplicar por esta invertida Por fim concluímos esta subseção registrando algumas identidades envolvendo frações e inversos aditivos Ao longo das últimas décadas calculadoras eletrônicas pouco dispendiosas juntamente com os computadores aumentaram drasticamente a facilidade de efetuar cálculos Muitos cálculos numéricos que previamente exigiam considerável habilidade técnica podem agora ser efetuados com alguns toques em um botão ou cliques em um mouse Esse desenvolvimento levou a uma mudança nas habilidades computacionais cujo conhecimento é verdadeiramente útil para maioria das pessoas Por isso algumas técnicas computacionais não são mais ensinadas nas escolas O símbolo significa é aproximadamente igual a Por exemplo muito poucas pessoas sabem hoje como calcular à mão um valor aproximado para uma raiz quadrada Uma pessoa que estudou na década de 1960 poderia em um tempo bastante curto calcular à mão que 173205 Entretanto hoje em dia quase todo mundo usaria uma calculadora ou um computador para obter instantânea e facilmente esse valor aproximado Embora calculadoras tenham tornado menos importantes certas habilidades computacionais o uso correto de uma calculadora requer alguma compreensão da matemática particularmente no que diz respeito à ordem das operações O exemplo seguinte ilustra a importância de prestarse atenção à ordem das operações mesmo quando você estiver utilizando uma calculadora O resultado após inserir esses itens em uma calculadora depende da calculadora Certifiquese de que você sabe como sua calculadora interpreta o tipo de entrada mostrada no exemplo acima para evitar obter resultados que não são o que você deseja calcular Várias calculadoras possuem teclas de parênteses que são frequentemente necessárias para controlar a ordem na qual as operações devem ser efetuadas Por exemplo para efetuar 349 458 567 676 em uma calculadora com teclas de parênteses você deve inserir 349 458 567 676 e depois pressionar a tecla enter ou a tecla levando à resposta correta 1003101 Algumas calculadoras podem efetuar aritmética racional o que significa que fornece o resultado em vez de 07333333 Calculadoras e dos computadores evoluíram desde a capacidade de efetuar cálculos aritméticos até a de apresentar amplas habilidades simbólicas e gráficas Por enquanto vamos focar na habilidade das calculadoras simbólicas de efetuar simplificações algébricas Em capítulos posteriores ilustraremos as habilidades gráficas e capacidades algébricas adicionais que esses equipamentos modernos possuem Uma calculadora simbólica pode manipular tanto símbolos quanto números Como existe uma enorme variedade de calculadoras simbólicas e gráficas disponíveis tanto como equipamentos portáteis quanto como softwares de computadores é impraticável mostrar como todas funcionam Nos exemplos ao longo deste livro que dependerem de calculadoras simbólicas ou gráficas será utilizado o WolframAlpha wwwwolframalphacom que é o programa de calculadora simbólica e gráfica e muito mais disponível grátis na Web Para seguir os exemplos você não precisa necessariamente usar o WolframAlpha sintase à vontade para em vez disso usar sua calculadora ou seu software favorito Se você dominar habilidades computacionais avançadas você pode querer dar uma olhada no Sage wwwsagemathorg que sob alguns aspectos é mais poderoso que o WolframAlpha embora não seja tão fácil de usar O WolframAlpha e o Sage possuem alguns recursos incomuns Por isso mesmo se você tiver a sua própria calculadora simbólica você deve dar uma olhada nesses programas para conhecer o tipo de poder computacional que está agora facilmente disponível Citamos abaixo algumas das vantagens de utilizarse o WolframAlpha ou o Sage no mínimo ocasionalmente O WolframAlpha e o Sage são gratuitos O WolframAlpha e o Sage são mais poderosos que as calculadoras simbólicas padrão permitindo certos cálculos que não podem ser efetuados por uma calculadora portátil O tamanho maior a resolução e a cor melhores em uma tela de computador tornam os gráficos produzidos pelo WolframAlpha e pelo Sage mais informativos que os gráficos de uma típica calculadora gráfica portátil O WolframAlpha é muito fácil de usar Em particular o WolframAlpha não possui as exigências rígidas de sintaxe associadas a muitas calculadoras simbólicas O exemplo a seguir mostra como utilizar o WolframAlpha como uma calculadora simbólica baseada na Web Como é comum nos computadores uma potência é representada por um acento circunflexo 1 2 3 4 5 6 7 8 x2 4xy 6xz 4y2 12yz 9z2 A opção Show steps não está disponível para todos os resultados do WolframAlpha O exemplo a seguir é apresentado principalmente para mostrar que em calculadoras simbólicas à vezes precisamos usar parênteses mesmo quando estes não aparecem na notação matemática usual Como mostramos aqui não há nenhum problema se no WolframAlpha você inserir espaços extra para facilitar a leitura da entrada Quase todos os exercícios nesta seção podem ser resolvidos usando o WolframAlpha ou o Sage ou uma calculadora simbólica Entretanto você vai precisar adquirir as habilidades básicas de manipulação algébrica e de compreensão necessárias para resolver os exercícios Muito pouco se adquire em termos de habilidade e compreensão apenas olhando como um equipamento resolve os exercícios O melhor caminho para usar o WolframAlpha ou o Sage ou outra calculadora simbólica para resolver os exercícios é testar suas respostas e fazer experimentos e brincar mudando a entrada para ver como a saída varia Para os Exercícios 14 determine quantos valores distintos podem ser obtidos ao inserirse um par de parênteses na expressão dada 19 12 8 2 3 7 9 5 6 3 4 5 2 5 3 2 6 4 Para os Exercícios 522 expanda a expressão dada x yz w t x y rz w t 2x 32 3b 52 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 2c 72 4a 52 x y z2 x 5y 3z2 x 1x 2x 3 y 2y 3y 5 a 2a 2a2 4 b 3b 3b2 9 t 2 t2 2t 4 m 2m4 2m3 4m2 8m 16 n 3n2 3n 9 y 2 y4 2y3 4y2 8y 16 Para os Exercícios 2350 simplifique a expressão dada o máximo possível 42m 3n 7m 32m 4n 5p 6n 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 Alguns problemas exigem consideravelmente mais atenção do que os exercícios Diferentemente dos exercícios os problemas normalmente têm mais de uma resposta correta Demonstre que a 12 a2 1 se e somente se a 0 Explique por que a b2 a2 b2 se e somente se a 0 ou b 0 Demonstre que a 12 a2 1 se e somente se a 1 Explique por que a b2 a2 b2 se e somente se b 0 ou b a Explique como você poderia mentalmente demonstrar que 51 49 2499 utilizando a identidade a b a b a2 b2 Demonstre que a3 b3 c3 3abc a b ca2 b2 c2 ab bc ac Dê um exemplo para demonstrar que a divisão não satisfaz a propriedade associativa Suponha que camisas estejam à venda por US 1999 cada uma Explique como você poderia usar a propriedade distributiva para calcular mentalmente que seis camisas custam US 11994 Em San Francisco o imposto sobre vendas é de 85 Jantares em San Francisco frequentemente incluem uma gorjeta de 17 sobre sua conta do restaurante antes de acrescentar o imposto calculada simplesmente pela duplicação do imposto sobre as vendas Por exemplo uma conta de US 64 dólares em comida e bebida viria com um imposto sobre vendas de US 544 duplicando essa quantia teríamos uma gorjeta de US 1088 que poderia ser arredondada para US 11 Explique por que essa técnica é uma aplicação da associatividade da multiplicação Um caminho rápido para calcular uma gorjeta de 15 sobre uma conta de restaurante é começar por calcular 10 da conta deslocando a vírgula decimal e depois adicionar metade dessa quantia para obter a gorjeta total Por exemplo 15 de uma conta de restaurante de US 43 é US 430 US 215 que é igual a US 645 Explique por que essa técnica é uma aplicação da propriedade distributiva 61 62 63 b 64 1 3 Suponha que b 0 e d 0 Explique por que se e somente se ad bc As primeiras letras de cada palavra da sentença em inglês Please excuse my dear Aunt Sally Por favor desculpem minha querida tia Sally são usadas por algumas pessoas para lembrar da ordem das operações parênteses expoentes que discutiremos em um capítulo posterior multiplicação divisão adição subtração Construa uma sentença atrativa que possa servir para o mesmo propósito mas excluindo os expoentes a Dado que Com base no exemplo acima você pode achar que desde que nenhum dos denominadores seja igual a zero Dê um exemplo para mostrar que isto não é verdadeiro Suponha que b 0 e d 0 Explique por que Não leia estas soluções detalhadas antes de tentar resolver você mesmo os exercícios Caso contrário você corre o risco de imitar as técnicas demonstradas aqui sem no entanto compreender as ideias Para os Exercícios 14 determine quantos valores distintos podem ser obtidos ao inserirse um par de parênteses na expressão dada 19 12 8 2 SOLUÇÃO As possibilidades são apresentadas a seguir 19 12 8 2 418 19 12 8 2 13 19 12 8 2 382 19 12 8 2 17 19 12 8 2 238 19 12 8 2 23 19 12 8 2 3 19 12 8 2 113 19 12 8 2 1 19 12 8 2 139 Outras maneiras de inserir um par de parênteses levam a valores que já estão incluídos na relação acima Portanto existem dez valores possíveis são eles 418 382 238 3 1 13 17 23 113 e 139 6 3 4 5 2 SOLUÇÃO As possibilidades são apresentadas a seguir 6 3 4 5 2 28 6 3 4 5 2 40 6 3 4 5 2 46 6 3 4 5 2 48 6 3 4 5 2 60 Outras maneiras de inserir um par de parênteses levam a valores que já estão incluídos na relação acima Portanto existem cinco valores possíveis são eles 28 40 46 48 e 60 Para os Exercícios 522 expanda a expressão dada 5 7 9 11 13 15 17 x yz w t SOLUÇÃO x yz w t xz w t yz w t xz x w xt yz y w yt 2x 32 A melhor maneira de aprender leia cuidadosamente a seção do livrotexto depois resolva todos os exercícios ímpares e verifique suas respostas aqui Se você tiver alguma dificuldade para resolver algum exercício olhe a solução detalhada apresentada aqui SOLUÇÃO 2x 32 2x2 2 2x 3 32 4x2 12x 9 2c 72 SOLUÇÃO 2c 72 2c2 2 2c 7 72 4c2 28c 49 x y z2 SOLUÇÃO x y z2 x y z x y z x x y z y x y z z x y z x2 xy xz yx y2 yz zx zy z2 x2 y2 z2 2xy 2xz 2yz x 1 x 2 x 3 SOLUÇÃO x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 x2 2x x 2 x 3 x2 x 2 x 3 x3 3x2 x2 3x 2x 6 x3 2x2 5x 6 a 2 a 2a2 4 SOLUÇÃO a 2 a 2a2 4 a 2 a 2 a2 4 a2 4a2 4 a4 16 SOLUÇÃO 19 21 23 25 27 29 31 t 2 t2 2t 4 SOLUÇÃO t 2 t2 2t 4 t t2 2t 4 2 t2 2t 4 t3 2t2 4t 2t2 4t 8 t3 8 n 3n2 3n 9 SOLUÇÃO n 3 n2 3n 9 n n2 3n 9 3 n2 3n 9 n3 3n2 9n 3n2 9n 27 n3 27 Para os Exercícios 2350 simplifique a expressão dada o máximo possível 42m 3n 7m SOLUÇÃO 42m 3n 7m 8m 12n 7m 15m 12n SOLUÇÃO SOLUÇÃO SOLUÇÃO SOLUÇÃO 33 35 37 39 SOLUÇÃO SOLUÇÃO SOLUÇÃO SOLUÇÃO 41 43 45 47 49 SOLUÇÃO SOLUÇÃO SOLUÇÃO SOLUÇÃO SOLUÇÃO De agora em diante número significa número real a menos que seja estabelecido de outra forma Todo número ou está à direita do 0 ou está à esquerda do 0 ou é igual a 0 Assim todo número é positivo negativo ou 0 As seguintes propriedades já devem ser todas familiares a você Exemplo 2 3 5 2 3 5 2 é negativo 2 é positivo 2 3 6 2 3 6 2 3 6 é positivo é negativo Dizemos que um número a é menor que um número b escrevese a b se a estiver à esquerda de b sobre a reta real Equivalentemente a b se e somente se b a for positivo Em particular b é positivo se e somente se 0 b Dizemos que a é menor ou igual a b escrevese a b se a b ou a b Então a afirmativa x 4 é verdadeira se x for igual a 3 e é falsa se x for igual a 4 enquanto a sentença x 4 é verdadeira se x for igual a 3 e é também verdadeira se x for igual a 4 Dizemos que b é maior que a escrevese b a se b estiver à direita de a sobre a reta real Então b a significa o mesmo que a b Similarmente dizemos que b é maior ou igual a a escrevese b a se b a ou b a Então b a significa o mesmo que a b A seguir iniciaremos a discussão de várias propriedades simples mas cruciais das desigualdades A primeira propriedade que discutiremos é denominada transitividade Por exemplo a partir das desigualdades e podemos concluir que Para observar por que a transitividade é válida suponhamos que a b e b c Então a está à esquerda de b sobre a reta real e b está à esquerda de c Isto implica que a está à esquerda de c o que significa que a c veja a figura abaixo Transitividade a b e b c implica que a c Frequentemente desigualdades múltiplas são escritas juntas como uma única sequência de desigualdades Assim a b c significa o mesmo que a b e b c Nosso próximo resultado mostrará que podemos somar desigualdades Por exemplo com base nas desigualdades 3 e 4 concluímos que 4 3 Para observar por que isto é verdadeiro note que se a b e c d então b a e d c são números positivos Como a soma de dois números positivos é positivo isso implica que b a d c é positivo Em outras palavras b d a c é positivo Isto significa que a c b d como queríamos demonstrar O próximo resultado estabelece que podemos multiplicar ambos os lados de uma desigualdade por um número positivo e preservar a desigualdade Entretanto se multiplicarmos ambos os lados de uma desigualdade por um número negativo o sentido da desigualdade precisa ser revertido Por exemplo com base na desigualdade podemos concluir que e Para observar por que isto é verdadeiro vamos primeiro supor c 0 Estamos supondo a b o que significa que b a é positivo Como o produto de dois números positivos é positivo isto implica que b a c é positivo Em outras palavras bc ac é positivo o que significa que ac bc como queríamos demonstrar Considere agora o caso em que c 0 Continuamos supondo a b o que significa ter b a positivo Como o produto de um número positivo por um número negativo é negativo isto implica que b a c é negativo Em outras palavras bc ac é negativo o que significa que ac bc como queríamos demonstrar O exemplo seguinte ilustra o cuidado que devemos ter ao multiplicar desigualdades O caso x 4 0 não precisa ser considerado porque não é possível dividir por zero O sentido da desigualdade foi revertido porque houve multiplicação por um número negativo Se multiplicarmos ambos os lados de uma desigualdade por 1 e revertermos o sentido da desigualdade obteremos o seguinte resultado Por exemplo com base na desigualdade 2 3 podemos concluir que 2 3 Em outras palavras o sentido de uma desigualdade deve ser revertido se escrevermos os inversos aditivos de ambos os lados O próximo resultado mostra que o sentido de uma desigualdade também deve ser revertido se escrevermos os inversos multiplicativos de ambos os lados a menos que um dos lados seja negativo e o outro seja positivo Por exemplo com base na desigualdade 2 3 podemos concluir que Para observar por que isto é verdadeiro vamos primeiro supor que a e b sejam ambos positivos ou ambos negativos Em qualquer desses casos o produto ab é positivo Então 0 Assim podemos multiplicar ambos os lados da desigualdade a b por mantendo o sentido da desigualdade Dessa forma obtemos que é o mesmo que ou equivalentemente como queríamos demonstrar O caso em que a 0 b é até mais fácil Nesse caso é negativo e é positivo Então como queríamos demonstrar Iniciaremos esta subseção com uma definição imprecisa A definição é imprecisa porque as palavras coleção e objetos são vagas A coleção de números positivos é um exemplo de um conjunto assim como a coleção de inteiros negativos ímpares A maioria dos conjuntos considerados neste livro são coleções de números reais o que no mínimo remove um pouco da imprecisão da palavra objetos Se um conjunto contiver um número finito de objetos então os objetos no conjunto podem ser apresentados explicitamente entre os símbolos Por exemplo o conjunto que consiste nos números 4 e pode ser representado por Também podemos representar conjuntos por meio de uma propriedade que caracterize seus objetos Por exemplo o conjunto de números reais maiores que 2 podem ser representados por x x 2 Aqui devese ler a notação x como o conjunto de todos os números reais tais que e a seguir o complemento Aqui não existe um x particular A variável é apenas um artifício conveniente para descrever uma propriedade e o símbolo usado para a variável não interessa Portanto x x 2 y y 2 e t t 2 todos representam o mesmo conjunto que pode também ser descrito sem mencionar nenhuma variável como o conjunto dos números reais maiores que 2 Um tipo especial de conjunto ocorre tão frequentemente em matemática que tem seu próprio nome O conjunto dos números racionais não é um intervalo porque 1 e 2 estão nesse conjunto mas que está entre 1 e 2 não está Por exemplo o conjunto dos números positivos é um intervalo porque todos os números entre quaisquer dois números positivos são positivos Como um contraexemplo o conjunto dos números inteiros não é um intervalo porque 0 e 1 estão nesse conjunto mas que está entre 0 e 1 não está Suponhamos que a e b sejam números tais que a b Com as extremidades a e b podemos definir os quatro intervalos a seguir A definição de a b também faz sentido quando a b o intervalo a a consiste no único número a O termo semifechado faria tanto sentido quanto semiaberto O intervalo semiaberto 3 7 Com essa notação um parênteses indica que a correspondente extremidade não está incluída no conjunto e um colchete indica que a correspondente extremidade está incluída no conjunto Assim o intervalo 3 7 inclui os números 41 5 e a extremidade 7 juntamente com muitos outros números mas não inclui os números 2 ou 9 ou a extremidade 3 Às vezes precisamos usar intervalos que se estendam arbitrariamente longe para a esquerda ou para a direita na reta real Suponhamos que a seja um número real Definiremos os seguintes quatro intervalos com a extremidade a Exemplo 0 representa o conjunto dos números positivos Exemplo 0 representa o conjunto dos números negativos Aqui o símbolo chamado de infinito deve ser pensado simplesmente como uma conveniência notacional Nem nem são números reais esses símbolos não possuem nenhum outro significado neste contexto além de serem abreviação notacional Por exemplo o intervalo 2 é definido como o conjunto dos números reais maiores que 2 observe que não é mencionado nessa definição A notação 2 é usada frequentemente porque escrever 2 é mais fácil que escrever x x 2 Como antes um parênteses indica que a correspondente extremidade não está incluída no conjunto e um colchete indica que a correspondente extremidade está incluída no conjunto Assim o intervalo 2 não inclui a extremidade 2 mas o intervalo 2 inclui essa extremidade Ambos os intervalos 2 e 2 incluem 25 e 98765 juntamente com muitos outros números nenhum desses intervalos inclui 15 ou 857 Não existe intervalo fechado com um colchete adjacente a ou Por exemplo não faz sentido escrever 2 nem 2 porque os colchetes indicariam que essas extremidades deveriam estar incluídas Os símbolos e nunca podem ser incluídos em um conjunto de números reais pois esses símbolos não representam números reais A notação é às vezes usada para representar o conjunto dos números reais Em capítulos posteriores vamos por vezes considerar útil trabalhar com a união de dois intervalos Apresentamos abaixo a definição de união Similarmente a união de três ou mais conjuntos é a coleção de objetos que estão contidos em no mínimo um dos conjuntos Assim A B consiste nos objetos usualmente números que pertencem ou a A ou a B ou a ambos O exemplo seguinte vai em sentido contrário iniciandose com um conjunto e a seguir escrevendoo como uma união de intervalos O valor absoluto de um número é a sua distância em relação a 0 estamos aqui pensando nos números como pontos sobre a reta real Por exemplo o valor absoluto de 2 é igual a 2 mas interessantemente o valor absoluto de 2 também é igual a 2 O valor absoluto de um número é sua distância até o 0 Assim tanto 2 quanto 2 possuem valor absoluto 2 O valor absoluto de um número b é representado por b Assim 2 2 e 2 2 Apresentamos abaixo a definição formal de valor absoluto Essa definição implica que b 0 para todo número real b x x independentemente do valor de x cuja explicação se pede no Problema 76 Por exemplo 2 0 assim pela fórmula acima 2 é igual a 2 que é igual a 2 O conceito de valor absoluto é bastante simples apenas elimine o sinal de menos de qualquer número que o tenha Essa regra entretanto pode ser aplicada apenas a números e não a expressões cujo valor é desconhecido Por exemplo não é possível simplificar a expressão x para x a menos que saibamos que x 0 Se x for um número negativo então x x nesse caso eliminar o sinal de menos seria incorreto Desigualdades envolvendo valores absolutos podem ser reescritas sem usar valor absoluto como no exemplo a seguir No próximo exemplo envolvendo valor absoluto vamos obter um intervalo finito que não está centrado em 0 x 5 é a distância entre x e 5 Então x x 5 1 é o conjunto de pontos sobre a reta real cuja distância de 5 é menor que 1 No próximo exemplo lidaremos com uma situação um pouco mais abstrata usando símbolos ao invés de números específicos Para ter uma boa compreensão de um tópico abstrato de matemática comece por olhar um exemplo que use números concretos como o Exemplo 6 antes de passar para um cenário mais abstrato como o Exemplo 7 x b é a distância entre x e b Assim x x b h é o conjunto de pontos sobre a reta real cuja distância de b seja menor do que h O conjunto de números que satisfaz uma desigualdade envolvendo um valor absoluto pode ser a união de dois intervalos como mostrado no exemplo seguinte Rolamentos de esfera Frequentemente equações envolvendo valores absolutos precisam ser resolvidas considerandose múltiplas possibilidades Apresentamos a seguir um exemplo simples O exemplo a seguir ilustra o procedimento para trabalhar com uma desigualdade envolvendo um valor absoluto Determinar soluções de equações ou inequações envolvendo valores absolutos frequentemente requer que sejam considerados vários casos como se apresenta neste exemplo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 Efetue 4 4 Efetue 5 6 Determine todos os números cujo valor absoluto é 9 Determine todos os números cujo valor absoluto é 10 Para os Exercícios 518 determine todos os números x que satisfaçam a equação dada 2x 6 11 5x 8 19 x 3 x 4 9 x 1 x 2 7 x 3 x 4 1 x 1 x 2 3 x 3 x 4 x 1 x 2 2 x 3 x 3 x 5 5 x x x 1 x 3 x 5 Para os Exercícios 1928 escreva cada uma das uniões sob a forma de um único intervalo 2 7 5 20 8 3 6 1 2 8 1 4 9 2 7 5 3 2 8 4 2 6 3 5 6 8 12 3 5 28 29 30 31 32 33 a b 34 a b 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 10 8 Apresente quatro exemplos de pares de números reais a e b tais que a b 2 e a b 8 Apresente quatro exemplos de pares de números reais a e b tais que a b 3 e a b 11 Sabese que certo medicamento decompõese e tornase ineficaz se sua temperatura alcançar ou superar 103º Fahrenheit 394º Celsius Escreva um intervalo para representar as temperaturas em graus Fahrenheit nas quais o medicamento é ineficaz À pressão atmosférica normal a água ferve em todas as temperaturas iguais a 100º Celsius ou mais elevadas do que esta Escreva um intervalo para representar as temperaturas em graus Celsius nas quais a água ferve Um fabricante de cadarços garante que seus cadarços de 33 polegadas 84 cm têm esse comprimento com um erro máximo de 01 polegada 025 cm Escreva uma desigualdade usando valores absolutos e o comprimento s de um cadarço que dê a condição sob a qual o cadarço não satisfaz a garantia Escreva o conjunto de números que verificam a desigualdade que você obteve no item a sob a forma de uma união de dois intervalos Uma máquina copiadora funciona com papel de 85 polegadas 215 cm de largura desde que o erro na largura do papel seja menor que 006 polegada 015 cm Escreva uma desigualdade usando valores absolutos e a largura w do papel que dê a condição sob a qual a largura do papel não satisfaz os requisitos da máquina copiadora Escreva o conjunto de números que verificam a desigualdade que você obteve no item a sob a forma de uma união de dois intervalos Para os Exercícios 3546 escreva cada conjunto como um intervalo ou uma união de dois intervalos x x 4 x x 2 x x 4 aqui 0 Matemáticos frequentemente usam a letra grega ε chamada épsilon para representar um número positivo pequeno x x 2 aqui 0 y y a aqui 0 y y b aqui 0 x 3x 2 x 4x 3 x x 2 x x 9 x x 5 3 x x 6 2 A interseção de dois conjuntos de números consiste em todos os números de ambos os conjuntos Se A e B forem conjuntos sua interseção é representada por A B Nos Exercícios 4756 escreva cada interseção como um único intervalo 2 7 5 20 8 3 6 1 2 8 1 4 9 2 7 5 3 2 8 4 2 6 3 5 6 8 12 3 5 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 b 68 b 69 b 70 71 72 10 8 Nos Exercícios 5760 determine todos os números x que satisfaçam a desigualdade dada Suponha que a e b sejam números Explique por que ou a b ou a b ou a b Demonstre que se a b e c d então a c b d Demonstre que se b é um número positivo e a b então Em contraste com o Problema 63 da Seção 02 demonstre que não existem números positivos a b c e d tais que Explique por que todo intervalo contendo 0 contém um intervalo aberto centrado em 0 Apresente um exemplo de intervalo aberto e um de intervalo fechado cuja união seja igual ao intervalo 2 5 a Verdadeiro ou falso Se a b e c d então c b d a Explique sua resposta ao item a Isto significa que se você respondeu que a sentença apresentada no item a é verdadeira você deve explicar por que c b d a sempre que a b e c d se você respondeu que a sentença apresentada no item a é falsa então você deve apresentar um exemplo de números a b c e d tais que a b e c d mas c b d a a Verdadeiro ou falso Se a b e c d então ac bd Explique sua resposta ao item a Isto significa que se você respondeu que a sentença apresentada no item a é verdadeira você deve explicar por que ac bd sempre que a b e c d se você respondeu que a sentença apresentada no item a é falsa então você deve apresentar um exemplo de números a b c e d tais que a b e c d mas ac bd a Verdadeiro ou falso Se 0 a b e 0 c d então Explique sua resposta ao item a Isto significa que se você respondeu que a sentença apresentada no item a é verdadeira você deve explicar por que sempre que 0 a b e 0 c d se você respondeu que a sentença apresentada no item a é falsa então você deve apresentar um exemplo de números a b c e d tais que 0 a b e 0 c d mas Apresente um exemplo de intervalo aberto e um de intervalo fechado cuja interseção seja igual ao intervalo 2 5 Apresente um exemplo de intervalo aberto e um de intervalo fechado cuja união seja igual ao intervalo 3 7 Apresente um exemplo de intervalo aberto e um de intervalo fechado cuja interseção seja igual ao intervalo 3 7 73 74 75 76 77 78 79 b c d e 80 81 Explique por que a equação 8x 3 2 não tem solução Explique por que a2 a2 para todo número real a Explique por que ab ab para todos os números reais a e b Explique por que a a para todos os números reais a Explique por que para todos os números reais a e b com b 0 Apresente um exemplo de conjunto de números reais em que a média de quaisquer dois números do conjunto está no conjunto mas o conjunto não é um intervalo a Demonstre que se a 0 e b 0 então a b a b Demonstre que se a 0 e b 0 então a b a b Demonstre que se a 0 e b 0 então a b a b Demonstre que se a 0 e b 0 então a b a b Explique por que os quatro itens anteriores implicam que a b a b para todos os números reais a e b Demonstre que se a e b forem números reais tais que a b a b então ab 0 Demonstre que a b a b para todos os números reais a e b 1 3 5 7 9 11 13 Efetue 4 4 SOLUÇÃO 4 4 4 4 8 Determine todos os números cujo valor absoluto é 9 SOLUÇÃO Os únicos números cujo valor absoluto é igual a 9 são 9 e 9 Para os Exercícios 518 determine todos os números x que satisfazem a equação dada 2x 6 11 SOLUÇÃO A equação 2x 6 11 implica que 2x 6 11 ou 2x 6 11 Resolvendo essas equações para x obtémse ou SOLUÇÃO A equação implica que ou Resolvendo essas equações para x obtémse x 3 ou x x 3 x 4 9 SOLUÇÃO Comecemos por considerar em uma primeira etapa números x tais que x 4 Nesse caso temos x 3 0 e x 4 0 o que implica x 3 x 3 e x 4 x 4 Assim a equação original tornase x 3 x 4 9 que pode ser reescrita sob a forma 2x 7 9 a qual pode ser facilmente resolvida fornecendo x 8 Se substituirmos x por 8 na equação original observamos que x 8 é de fato uma solução certifiquese de fazer essa verificação Em uma segunda etapa consideremos números x tais que x 3 Nesse caso temos x 3 0 e x 4 0 o que implica x 3 3 x e x 4 4 x Assim a equação original tornase 3 x 4 x 9 que pode ser reescrita sob a forma 7 2x 9 a qual pode ser facilmente resolvida fornecendo x 1 Se substituirmos x por 1 na equação original observamos que x 1 é de fato uma solução certifiquese de fazer essa verificação Em uma terceira etapa consideremos finalmente a única possibilidade restante que é 3 x 4 Nesse caso temos x 3 0 e x 4 0 o que implica x 3 x 3 e x 4 4 x Assim a equação original tornase x 3 4 x 9 que pode ser reescrita sob a forma 1 9 a qual não é satisfeita por nenhum valor de x Então podemos concluir que 8 e 1 são os únicos valores de x que satisfazem a equação original x 3 x 4 1 SOLUÇÃO Se x 4 então a distância de x a 3 é maior que 1 portanto x 3 1 e assim x 3 x 4 1 Dessa forma não existe solução para a equação acima com x 4 Se x 3 então a distância de x a 4 é maior que 1 portanto x 4 1 e assim x 3 x 4 1 Dessa não existe solução para a equação acima com x 3 A única possibilidade restante é 3 x 4 Nesse caso temos x 3 0 e x 4 0 o que implica x 3 x 3 e x 4 4 x que por sua vez x 3 x 4 x 3 4 x 1 Assim o conjunto de números x tais que x 3 x 4 1 é o intervalo 3 4 x 3 x 4 SOLUÇÃO Como vimos na resolução do Exercício 11 se x 4 ou x 3 temse x 3 x 4 1 e em particular x 3 x 4 Também vimos na resolução do Exercício 11 que se 3 x 4 então x 3 x 4 1 e em particular x 3 x 4 15 17 19 21 23 25 Assim não existe número x tal que x 3 x 4 x 3 x 3 SOLUÇÃO Observe que x 3 x 3 se e somente se x 3 0 o que é equivalente a x 3 Dessa forma o conjunto de números x tais que x 3 x 3 é o intervalo 3 x x 1 SOLUÇÃO Se x 0 então x x e a equação acima tornase a equação x x 1 que não tem solução Se x 0 então x x e a equação acima tornase a equação x x 1 que tem a solução x Substituindo x por na equação anterior observase que x é de fato uma solução da equação Assim o único número x que satisfaz x x 1 é Para os Exercícios 1928 escreva cada união sob a forma de um único intervalo 2 7 5 20 SOLUÇÃO O primeiro intervalo é o conjunto x 2 x 7 que inclui a extremidade esquerda 2 mas não inclui a extremidade direita 7 O segundo intervalo é o conjunto x 5 x 20 que inclui a extremidade esquerda 5 mas não inclui a extremidade direita 20 O conjunto dos números que estão em no mínimo um desses conjuntos é igual a x 2 x 20 como mostrado abaixo Assim 2 7 5 20 2 20 2 8 1 4 SOLUÇÃO O primeiro intervalo 2 8 é o conjunto x 2 x 8 que inclui ambas as extremidades O segundo intervalo é o conjunto x 1 x 4 que não inclui nenhuma extremidade O conjunto dos números que estão em no mínimo um desses conjuntos é igual a x 2 x 8 como mostrado abaixo Assim 2 8 1 4 2 8 3 2 8 SOLUÇÃO O primeiro intervalo é o conjunto x 3 x que não inclui a extremidade esquerda e não possui extremidade direita O segundo intervalo é o conjunto x 2 x 8 que inclui ambas as extremidades O conjunto dos números que estão em no mínimo um desses conjuntos é igual a x 2 x como mostrado abaixo Assim 3 2 8 2 3 5 SOLUÇÃO O primeiro intervalo é o conjunto x x 3 que não possui extremidade esquerda e não inclui a extremidade direita O segundo intervalo é o conjunto x 5 x que inclui a extremidade esquerda e não possui extremidade direita O conjunto dos números que estão em no mínimo um desses conjuntos é igual a toda a reta real como mostrado abaixo 27 29 31 Assim 3 5 3 5 SOLUÇÃO O primeiro intervalo é o conjunto x 3 x que não inclui a extremidade esquerda e não possui extremidade direita O segundo intervalo é o conjunto x 5 x que inclui a extremidade esquerda e não possui extremidade direita O conjunto dos números que estão em no mínimo um desses conjuntos é igual a x 5 x como mostrado abaixo Assim 3 5 5 Apresente quatro exemplos de pares de números reais a e b tais que a b 2 e a b 8 SOLUÇÃO Primeiro consideremos o caso em que a 0 e b 0 Nesse caso temos a b 0 Assim as equações acima tornamse a b 2 e a b 8 Não existem soluções para ambas as equações acima simultaneamente porque a b não pode ser simultaneamente igual a 2 e a 8 Consideremos agora o caso em que a 0 e b 0 Nesse caso temos a b 0 Assim as equações acima tornamse a b 2 e a b 8 Não existem soluções para ambas as equações acima simultaneamente porque a b não pode ser simultaneamente igual a 2 e a 8 Consideremos agora o caso em que a 0 b 0 e a b 0 Nesse caso as equações anteriores tornamse a b 2 e a b 8 Resolvendo essas equações para a e b obtemos a 5 e b 3 Consideremos agora o caso em que a 0 b 0 e a b 0 Nesse caso as equações acima tornamse a b 2 e a b 8 Resolvendo essas equações para a e b obtemos a 3 e b 5 Consideremos agora o caso em que a 0 b 0 e a b 0 Nesse caso as equações acima tornamse a b 2 e a b 8 Resolvendo essas equações para a e b obtemos a 3 e b 5 Consideremos agora o caso em que a 0 b 0 e a b 0 Nesse caso as equações acima tornamse a b 2 e a b 8 Resolvendo essas equações para a e b obtemos a 5 e b 3 Neste momento completamos as considerações de todos os casos possíveis Assim as únicas soluções possíveis são a 5 b 3 ou a 3 b 5 ou a 3 b 5 ou a 5 b 3 Sabese que certo medicamento decompõese e tornase ineficaz se sua temperatura alcançar ou superar 103o Fahrenheit 394 oC Escreva um intervalo para representar as temperaturas em graus Fahrenheit nas quais o medicamento é ineficaz SOLUÇÃO O medicamento é ineficaz em todas as temperaturas igual ou superiores a 103o Fahrenheit 394 oC que 33 a b a b 35 37 39 41 corresponde ao intervalo 103 Um fabricante de cadarços garante que seus cadarços de 33 polegadas 84 cm têm esse comprimento com um erro máximo de 01 polegada 025 cm Escreva uma desigualdade usando valores absolutos e o comprimento s de um cadarço que dê a condição sob a qual o cadarço não satisfaz a garantia Escreva o conjunto de números que verificam a desigualdade que você obteve no item a sob a forma de uma união de dois intervalos SOLUÇÃO O erro no comprimento do cadarço é s 33 Assim um cadarço de comprimento s não satisfaz a garantia se s 33 01 Como 33 01 329 e 33 01 331 o conjunto dos números s tais que s 33 01 é 329 331 Para os Exercícios 3546 escreva cada conjunto como um intervalo ou uma união de dois intervalos x x 4 SOLUÇÃO A desigualdade x 4 é equivalente à desigualdade Adicionandose 4 a todas as partes dessa desigualdade obtemos que é equivalente a Assim x x 4 aqui 0 SOLUÇÃO A desigualdade x 4 é equivalente à desigualdade Adicionandose 4 a todas as partes dessa desigualdade obtemos Assim y y a aqui 0 SOLUÇÃO A desigualdade y a ε é equivalente à desigualdade y a Adicionandose a a todas as partes dessa desigualdade obtemos a y a Assim y y a a a x 3x 2 SOLUÇÃO A desigualdade 3x 2 é equivalente à desigualdade Adicionandose 2 a todas as partes dessa desigualdade obtemos 43 45 47 49 51 53 Agora dividindose todas as partes dessa desigualdade por 3 chegase a Assim x x 2 SOLUÇÃO A desigualdade x 2 significa x 2 ou x 2 Assim x x 2 2 2 x x 5 3 SOLUÇÃO A desigualdade x 5 3 significa que x 5 3 ou x 5 3 Adicionandose 5 a ambos os lados dessas desigualdades vemos que x 8 ou x 2 Assim x x 5 3 2 8 A interseção de dois conjuntos de números consiste em todos os números de ambos os conjuntos Se A e B forem conjuntos sua interseção é representada por A B Nos Exercícios 4756 escreva cada interseção como um único intervalo 2 7 5 20 SOLUÇÃO O primeiro intervalo é o conjunto x 2 x 7 que inclui a extremidade esquerda 2 mas não inclui a extremidade direita 7 O segundo intervalo é o conjunto x 5 x 20 que inclui a extremidade esquerda 5 mas não inclui a extremidade direita 20 O conjunto dos números que estão em ambos os conjuntos é igual a x 5 x 7 como mostrado abaixo Assim 2 7 5 20 5 7 2 8 1 4 SOLUÇÃO O primeiro intervalo é o conjunto x 2 x 8 que inclui ambas as extremidades O segundo intervalo é o conjunto x 1 x 4 que não inclui nenhuma extremidade O conjunto dos números que estão em ambos os conjuntos é igual a x 1 x 4 como mostrado abaixo Assim 2 8 1 4 1 4 3 2 8 SOLUÇÃO O primeiro intervalo é o conjunto x 3 x que não inclui a extremidade esquerda e não possui extremidade direita O segundo intervalo é o conjunto x 2 x 8 que inclui ambas as extremidades O conjunto dos números que estão em ambos os conjuntos é igual a x 3 x 8 como mostrado abaixo Assim 3 2 8 3 8 3 5 SOLUÇÃO O primeiro intervalo é o conjunto x x 3 que não possui extremidade esquerda e não inclui a extremidade direita O segundo intervalo é o conjunto x 5 x que inclui a extremidade esquerda e não possui extremidade direita O conjunto dos números que estão em ambos os conjuntos é igual a x 5 x 3 como mostrado abaixo 55 57 59 Assim 3 5 5 3 3 5 SOLUÇÃO O primeiro intervalo é o conjunto x 3 x que não inclui a extremidade esquerda e não possui extremidade direita O segundo intervalo é o conjunto x 5 x que inclui a extremidade esquerda e não possui extremidade direita O conjunto dos números que estão em ambos os conjuntos é igual a x 3 x como mostrado abaixo Assim 3 5 3 Nos Exercícios 5760 determine todos os números x que satisfaçam a desigualdade dada SOLUÇÃO Comecemos por considerar o caso em que x 3 é positivo assim x 3 Multiplicando ambos os lados da desigualdade acima por x 3 obtemos a desigualdade equivalente 2x 1 4x 12 Subtraindose 2x e depois adicionandose 12 a ambos os lados obtemos a desigualdade equivalente 13 2x que é equivalente à desigualdade x Se x então x 3 que é o caso em consideração Portanto a desigualdade original é válida se x Consideremos agora o caso em que x 3 é negativo assim x 3 Multiplicandose ambos os lados da desigualdade original por x 3 e revertendo o sentido da desigualdade obtemos a desigualdade equivalente 2x 1 4x 12 Subtraindo 2x e depois adicionando 12 a ambos os lados obtemos a desigualdade equivalente 13 2x que é equivalente à desigualdade x Estamos trabalhando agora sob a suposição de que x 3 Como 3 vemos que nesse caso a desigualdade original é válida se x 3 Conclusão A desigualdade acima vale se x 3 ou x em outras palavras a desigualdade vale para todos os números x em 3 SOLUÇÃO A desigualdade acima é equivalente a Comecemos por considerar o caso em que x 2 é positivo assim x 2 Multiplicando todas as três partes da desigualdade anterior por x 2 obtemos x 2 5x 3 x 2 Escrevendo as condições acima sob a forma de duas desigualdades separadas temos x 2 5x 3 e 5x 3 x 2 Adicionandose x e depois 3 a ambos os lados da primeira desigualdade acima chegase a 1 6x ou equivalentemente x Adicionandose x e depois 3 a ambos os lados da segunda desigualdade acima chegase a 4x 5 ou equivalentemente x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Assim as duas desigualdades acima são equivalentes às desigualdades x que é equivalente à afirmação de que x está no intervalo Trabalhamos com a suposição de que x 2 que de fato se verifica para todos os x no intervalo Consideremos agora o caso em que x 2 é negativo assim x 2 Multiplicandose todas as três partes da desigualdade por x 2 e revertendo o sentido das desigualdades obtemos x 2 5x 3 x 2 Escrevendo as condições acima sob a forma de duas desigualdades separadas temos x 2 5x 3 e 5x 3 x 2 Adicionandose x e depois 3 à segunda desigualdade chegase a 4x 5 ou equivalentemente x o que é inconsistente com nossa suposição de que x 2 Então sob essa suposição não existem valores de x que satisfaçam a desigualdade Conclusão A desigualdade original vale para todos os números x no intervalo Para certificarse de que você está dominando os conceitos e as habilidades mais importantes cobertas neste capítulo assegurese de que você consegue executar cada um dos itens da seguinte lista Explicar a correspondência entre o sistema de números reais e a reta real Simplificar expressões algébricas usando as propriedades comutativa associativa e distributiva Listar a ordem das operações algébricas Explicar como usar os parênteses para alterar a ordem das operações algébricas Usar as identidades envolvendo inversos aditivos e inversos multiplicativos Manipular desigualdades Usar a notação de intervalos para intervalos abertos intervalos fechados e intervalos semiabertos Usar a notação de intervalos envolvendo e com a compreensão de que e não são números reais Escrever desigualdades envolvendo valor absoluto sem usar valor absoluto Calcular a união de intervalos Para revisar o capítulo percorra a lista acima procurando identificar itens que você não sabe como executar depois releia o material a respeito desses itens A seguir tente responder as questões de revisão do capítulo formuladas abaixo sem olhar o texto Explique como os pontos sobre a reta real correspondem ao conjunto dos números reais Mostre que 7 6 é um número irracional O que é a propriedade comutativa para a adição O que é a propriedade comutativa para a multiplicação O que é a propriedade associativa para a adição O que é a propriedade associativa para a multiplicação Expanda t w2 Expanda u v2 Expanda x y x y Expanda a b x y z Expanda a b c2 Simplifique a expressão 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 Determine todos os números reais x tais que 3x 4 5 Apresente um exemplo de dois números x e y tais que x y não seja igual a x y Suponha 0 a b e 0 c d Explique por que ac bd Escreva o conjunto t t 3 sob a forma de um intervalo Escreva o conjunto w 5w 2 sob a forma de um intervalo Explique por que os conjuntos x 8x 5 2 e t 5 8t 2 são o mesmo conjunto Escreva 5 6 1 9 sob a forma de um intervalo Escreva 4 3 8 sob a forma de um intervalo Determine dois intervalos distintos cuja união é o intervalo 1 4 Explique por que 7 não é um intervalo de números reais Escreva o conjunto t 2t 7 5 sob a forma de uma união entre dois intervalos Suponha que no dia 22 de junho você tenha colocado US 521 em um frasco Depois você adicionou um penny um centavo de dólar a cada dia até que o frasco contivesse US 595 O conjunto 521 522 523 595 de todas as quantias de dinheiro contado em dólares que estiveram no frasco durante o verão dos EUA é um intervalo Explique a sua resposta O conjunto de todos os números reais x tais que x2 3 é um intervalo Explique sua resposta Determine todos os números x tais que René Descartes explicando seu trabalho para a Rainha Christina da Suécia Em 1637 Descartes publicou sua invenção o sistema de coordenadas descrito neste capítulo O tópico das funções está situado no centro da matemática moderna Iniciaremos este capítulo introduzindo a noção de função juntamente com seu domínio e sua imagem A geometria analítica que combina álgebra e geometria constitui uma poderosa ferramenta para visualizar funções Assim discutiremos o plano das coordenadas que pode ser pensado como um análogo bidimensional da reta real Embora funções sejam objetos algébricos podemos frequentemente compreender melhor uma função olhando para o seu gráfico no plano das coordenadas Na terceira seção deste capítulo veremos como transformações algébricas de uma função alteram seu domínio sua imagem e seu gráfico A quarta seção deste capítulo lida com a composição de funções que nos permite escrever funções complicadas em termos de funções mais simples A ideia tem aplicações em grandes áreas da matemática Funções inversas e seus gráficos tornamse o centro das atenções nas últimas duas seções deste capítulo Funções inversas serão ferramentas fundamentais mais tarde quando tratarmos de raízes logaritmos e funções trigonométricas inversas Embora não necessitemos disso neste livro funções podem ser definidas de modo mais abrangente lidando com outros objetos além dos números reais Nós normalmente representamos funções por letras como f g e h Se f for uma função e x um número no domínio de f então o número que f associa a x é representado por f x e é chamado de valor de f em x O uso de linguagem informal quando discutimos funções é aceitável se o significado for claro Por exemplo um livrotexto ou seu professor pode referirse à função x2 ou à função f x x2 Ambas as expressões são abreviações para a expressão formalmente correta a função f definida por f x x2 f x x2 Uma função não precisa estar definida por uma única expressão algébrica como mostrado no seguinte exemplo O exemplo a seguir mostra que usar a flexibilidade oferecida pelas funções pode ser mais rápido que trabalhar com expressões algébricas únicas A função h definida por hx x2 8x 17 para todos os números positivos x fornece outra solução correta como você pode verificar Entretanto a determinação dessa expressão algébrica requer grande esforço Às vezes você pode achar útil pensar na função f como um equipamento Esse equipamento pode funcionar com base em uma fórmula ou de forma mais misteriosa e nesse caso é chamado de caixa preta Por exemplo se f for a função cujo domínio é o intervalo 4 6 com f definida pela fórmula f x x2 para todo x no intervalo 4 6 então se esse equipamento receber uma entrada 3 ele produzirá uma saída 9 A mesma entrada deve sempre produzir a mesma saída assim se mais tarde introduzirmos 3 como entrada nesse equipamento ele deverá produzir novamente a saída 9 Embora cada entrada tenha exatamente uma saída uma dada saída pode originarse de mais de uma entrada Por exemplo as entradas 3 e 3 produzem ambas a saída 9 para essa função O que acontece se o número 8 for inserido como entrada no equipamento descrito no parágrafo acima Como 8 não está no domínio dessa função f o equipamento não produz saída para essa entrada o equipamento deverá produzir uma mensagem de erro estabelecendo que 8 não é uma entrada permitida Eis o que significa duas funções serem iguais Quando pensamos em funções como o equipamento ilustrado acima o domínio da função é o conjunto de números que o equipamento aceita como entradas permitidas Duas funções com diferentes domínios não são iguais como funções mesmo se elas estiverem definidas pela mesma fórmula O próximo exemplo mostra que considerar apenas a fórmula para definir uma função pode ser enganoso Embora a variável x seja comumente usada para representar a entrada de uma função outros símbolos podem também ser usados Os símbolos x e t são aqui simplesmente espaços reservados para indicar que f e g associam a todo número o valor 3 mais o quadrado daquele número A notação matemática é às vezes ambígua com interpretação própria dependendo do contexto Por exemplo consideremos a expressão yx 2 Se y e x representarem números então a expressão acima é igual a yx 2y Entretanto se y for uma função então os parênteses acima não indicam produto mas sim que a função y tem o seu valor calculado em x 2 Se f for uma função então os parênteses em não indicam produto Assim se f for uma função nem f nem x podem ser cancelados na expressão acima Embora o domínio seja uma parte formal da caracterização da função nós frequentemente ficamos perdidos quanto a esse domínio Em geral o domínio está claramente estabelecido com base no contexto ou em uma fórmula que defina uma função Quando o domínio não estiver especificado devemos usar a seguinte regra informal Os próximos três exemplos ilustram essa regra O exemplo a seguir mostra que evitar a divisão por 0 pode determinar o domínio de uma função Aqui h é uma função e h t representa o valor da função h em um número t O exemplo seguinte ilustra a exigência da regra informal de que a fórmula deve produzir um número real Outro conjunto importante associado a uma função além do domínio é a imagem A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores assumidos pela função Apresentamos a seguir a definição precisa Em outras palavras se pensarmos em uma função como o equipamento a seguir então a imagem de f é o conjunto dos números que o equipamento produz como saídas e o domínio o conjunto das entradas permitidas O conjunto de entradas permitidas pelo equipamento é o domínio de f e o conjunto das saídas é a imagem de f Para que um número y esteja na imagem de uma função f não se exige que a equação f x y tenha apenas uma solução x no domínio de f O que se exige é que essa equação tenha no mínimo uma solução O exemplo a seguir mostra que podem facilmente existir soluções múltiplas Essa equação implica que x 5 2 ou que x 5 2 Se o domínio de uma função consistir apenas em um número finito de números então todos os valores de uma função podem ser registrados em uma tabela Refletir a respeito de por que o resultado acima é válido pode ser uma boa revisão dos conceitos de domínio e de imagem Todos os valores de uma função podem ser registrados em uma tabela apenas quando o domínio dessa função tiver um número finito de números Quando estivermos descrevendo uma função por meio de uma tabela não podemos ter repetições na coluna à esquerda a que mostra os números do domínio da função No entanto podem ocorrer repetições na coluna à direita a que mostra os números da imagem da função como ilustrado no exemplo a seguir Para essa função temos f 1 f 2 f 5 6 e f 3 7 1 2 3 4 5 6 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 Para os Exercícios 112 suponha para todo número real x Calcule e simplifique cada uma das seguintes expressões f 0 f 1 f 1 f 2 f 2a f 3a 1 f x2 1 f 2x2 3 Para os Exercícios 1318 suponha Determine um número b tal que gb 4 Determine um número b tal que gb 3 Simplifique a expressão Simplifique a expressão Simplifique a expressão Simplifique a expressão Para os Exercícios 1926 suponha que f seja a função definida por Calcule o valor de f 1 Calcule o valor de f 2 Calcule o valor de f 3 Calcule o valor de f 4 Calcule o valor de f x 1 Calcule o valor de f x 5 2 Determine dois valores distintos de t tais que f t 0 Determine dois valores distintos de t tais que f t 4 Usando a função do imposto apresentada no Exemplo 2 determine o imposto de renda federal em 2011 para uma única pessoa cuja renda tributável naquele ano foi de US 45000 Usando a função do imposto apresentada no Exemplo 2 determine o imposto de renda federal em 2011 para uma única pessoa cuja renda tributável naquele ano foi de US 90000 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 Para os Exercícios 2932 determine um número b tal que a função f seja igual à função g A função f tem como domínio o conjunto dos números positivos e é definida por f x 5x2 7 a função g tem domínio b e é definida por gx 5x2 7 A função f tem como domínio o conjunto dos números cujo valor absoluto é menor que 4 e é definida por a função g tem domínio b b e é definida por Ambas f e g têm domínio 3 5 sendo f definida em seu domínio pela fórmula f x x2 3 e g pela fórmula Tanto f quanto g têm domínio 3 4 sendo f definida em seu domínio pela fórmula f x 3x 5 e g pela fórmula Para os Exercícios 3338 apresentase uma fórmula para definir uma função f sem entretanto especificarse seu domínio Determine o domínio de cada função f supondo que esse domínio seja o conjunto de todos os números reais para os quais a fórmula faz sentido e produz um número real Para os Exercícios 3944 determine a imagem de h sendo h definida por ht t 1 e o domínio de h o conjunto indicado 1 4 8 3 3 5 8 2 0 0 Para os Exercícios 4552 suponha que f e g sejam funções completamente definidas pelas seguintes tabelas Calcule o valor de f 6 Calcule o valor de g8 Qual é o domínio de f Qual é o domínio de g Qual é a imagem de f Qual é a imagem de g Determine dois valores distintos de x tais que f x 5 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 Determine dois valores distintos de x tais que gx Determine todas as funções apresentadas como tabelas cujo domínio seja o conjunto 2 9 e cuja imagem seja o conjunto 4 6 Determine todas as funções apresentadas como tabelas cujo domínio seja o conjunto 5 8 e cuja imagem seja o conjunto 1 3 Determine todas as funções apresentadas como tabelas cujo domínio seja 1 2 4 e cuja imagem seja 2 1 Determine todas as funções apresentadas como tabelas cujo domínio seja 1 0 π e cuja imagem seja 3 5 Determine todas as funções apresentadas como tabelas cujo domínio seja 3 5 9 e cuja imagem seja 2 4 Determine todas as funções apresentadas como tabelas cujo domínio seja 0 2 8 e cuja imagem seja 6 9 Alguns problemas exigem consideravelmente mais raciocínio que os exercícios Suponha que a única informação que você tem a respeito de uma função f é que o domínio de f é o conjunto dos números reais e que f 1 1 f 2 4 f 3 9 e f 4 16 O que você pode afirmar sobre o valor de f 5 Dica A resposta para este problema não é 25 A resposta correta mais curta tem apenas uma palavra Suponha que g e h sejam funções cujo domínio é o conjunto dos números reais sendo g e h definidas nesse domínio pelas fórmulas As funções g e h são iguais Dê um exemplo de uma função cujo domínio é 2 5 7 e cuja imagem é 2 3 4 Dê um exemplo de uma função cujo domínio é 3 4 7 9 e cuja imagem é 1 0 3 Determine duas funções distintas cujo domínio é 3 8 e cuja imagem é 4 1 Explique por que não existe função cujo domínio seja 1 0 3 e cuja imagem seja 3 4 7 9 Dê um exemplo de uma função f cujo domínio é o conjunto dos números reais tal que os valores de f 1 f 0 e f 2 sejam dados pela seguinte tabela Dê um exemplo de duas funções distintas f e g tendo ambas como domínio o conjunto dos números reais tal que f x gx para todo número racional x Dê um exemplo de uma função cujo domínio é igual ao conjunto dos números reais e cuja imagem é igual ao conjunto 1 0 1 Dê um exemplo de uma função cujo domínio é igual ao conjunto dos números reais e cuja imagem é igual ao conjunto dos inteiros Dê um exemplo de uma função cujo domínio é o intervalo 0 1 e cuja imagem é o intervalo 0 1 Dê um exemplo de uma função cujo domínio é o intervalo 0 1 e cuja imagem é o intervalo 0 1 Dê um exemplo de uma função cujo domínio é o conjunto dos inteiros positivos e cuja imagem é o conjunto dos inteiros positivos pares Dê um exemplo de uma função cujo domínio é o conjunto dos inteiros positivos pares e cuja imagem é o conjunto dos inteiros positivos ímpares Dê um exemplo de uma função cujo domínio é o conjunto dos inteiros e cuja imagem é o conjunto dos inteiros positivos 74 1 3 5 7 9 11 Dê um exemplo de uma função cujo domínio é o conjunto dos inteiros positivos e cuja imagem é o conjunto dos inteiros Não leia estas soluções detalhadas antes de tentar resolver você mesmo os exercícios Caso contrário você corre o risco de imitar as técnicas demonstradas aqui sem no entanto compreender as ideias Para os Exercícios 112 suponha para todo número real x Calcule e simplifique cada uma das seguintes expressões f 0 SOLUÇÃO f 1 SOLUÇÃO f 2a SOLUÇÃO f 2a 1 SOLUÇÃO f x2 1 SOLUÇÃO A melhor maneira de aprender Leia cuidadosamente a seção do livrotexto depois resolva todos os exercícios ímpares e verifique suas respostas aqui Se você tiver alguma dificuldade para resolver algum exercício olhe a solução detalhada apresentada aqui SOLUÇÃO Temos na qual a última expressão foi obtida multiplicandose o numerador e o denominador da expressão anterior por b2 Para os Exercícios 1318 suponha 13 15 17 19 Determine um número b tal que gb 4 SOLUÇÃO Queremos determinar um número b tal que Multiplicando ambos os lados da equação acima por b 2 obtemos b 1 4b 8 Agora isolandose b dessa equação obtemos b 3 Simplifique a expressão SOLUÇÃO Começamos por calcular o numerador Assim Simplifique a expressão SOLUÇÃO Começamos por calcular o numerador Assim Para os Exercícios 1926 suponha que f seja a função definida por Calcule o valor de f 1 SOLUÇÃO Como 1 0 temos f 1 3 1 10 7 21 23 25 27 29 31 33 Calcule o valor de f 3 SOLUÇÃO Como 3 0 temos f 3 23 9 3 Calcule o valor de f x 1 SOLUÇÃO Como x 1 1 0 temos f x 1 3x 1 10 3x 7 Determine dois valores distintos de t tais que f t 0 SOLUÇÃO Se t 0 então f t 2t 9 Queremos determinar t tal que f t 0 o que significa que queremos resolver a equação 2t 9 0 e esperamos que a solução satisfaça t 0 Subtraindose 9 de ambos os lados de 2t 9 0 e depois dividindose ambos os lados por 2 obtemos Esse valor de t satisfaz a desigualdade t 0 assim temos de fato Se t 0 então f t 3t 10 Queremos determinar t tal que f t 0 o que significa que queremos resolver a equação 3t 10 0 e esperamos que a solução satisfaça t 0 Adicionandose 10 de ambos os lados de 3t 10 0 e depois dividindose ambos os lados por 3 obtemos Esse valor de t satisfaz a desigualdade t 0 assim temos de fato Usando a função do imposto apresentada no Exemplo 2 determine o imposto de renda federal em 2011 para uma única pessoa cuja renda tributável naquele ano foi de US 45000 SOLUÇÃO Como 45000 está entre 34500 e 83600 usaremos a terceira linha da definição de g no Exemplo 2 g45000 025 45000 3875 7375 Assim o imposto de renda federal em 2011 para uma única pessoa com renda tributável de US45000 naquele ano foi de US 7375 Para os Exercícios 2932 determine um número b tal que a função f seja igual à função g A função f tem como domínio o conjunto dos números positivos e é definida por f x 5x2 7 a função g tem domínio b e é definida por gx 5x2 7 SOLUÇÃO Para que as duas funções sejam iguais elas devem no mínimo ter o mesmo domínio Como o domínio de f é o conjunto dos números positivos que é igual ao intervalo 0 devemos ter b 0 Tanto f quanto g têm domínio 3 5 sendo f definida em seu domínio pela fórmula f x x2 3 e g pela fórmula SOLUÇÃO f 3 32 3 6 e f 5 52 3 22 Além disso Então independentemente da escolha de b temos f 3 g3 Para que a função f seja igual à função g devemos ter também f 5 g5 isto significa que Isolandose b nessa equação obtemos Para os Exercícios 3338 apresentase uma fórmula para definir uma função f sem entretanto especificar seu domínio Determine o domínio de cada função f supondo que esse domínio seja o conjunto de todos os números reais para os quais a fórmula faz sentido e produz um número real 35 37 39 41 43 45 47 49 51 SOLUÇÃO A fórmula acima não faz sentido quando 3x 4 0 que levaria a uma divisão por 0 A equação 3x 4 0 é equivalente a x Portanto o domínio de f é o conjunto dos números reais diferentes de Em outras palavras o domínio de f é igual a x x que poderia também ser escrito como SOLUÇÃO A fórmula acima não faz sentido quando x 5 pois não há raiz quadrada de número negativo A fórmula acima também não faz sentido quando x 7 o que levaria a uma divisão por 0 Portanto o domínio de f é o conjunto dos números reais maiores ou iguais a 5 e diferentes de 7 Em outras palavras o domínio de f é igual a x x 5 e x 7 que também poderia ser escrito como 5 7 7 SOLUÇÃO Como não há raiz quadrada de número negativo devemos ter x 6 1 0 Essa desigualdade é equivalente a x 6 1 o que significa que x 6 1 ou x 6 1 Adicionandose 6 a ambos os lados dessas desigualdades vemos que a fórmula acima faz sentido apenas quando x 7 ou x 5 Em outras palavras o domínio de f é igual a x x 5 ou x 7 que também poderia ser escrito como 5 7 Para os Exercícios 3944 determine a imagem de h sendo h definida por ht t 1 e o domínio de h o conjunto indicado 1 4 SOLUÇÃO Para cada número t no intervalo 1 4 temos ht t 1 Então a imagem de h é obtida adicionandose 1 a cada número no intervalo 1 4 Isto implica que a imagem de h é o intervalo 2 5 3 5 SOLUÇÃO Para cada número t no intervalo 3 0 temos ht t 1 e para cada número t no intervalo 0 5 temos ht t 1 Assim a imagem de h consiste nos números obtidos pela multiplicação de cada número no intervalo 3 0 por 1 e depois a adição de 1 o que produz o intervalo 1 4 juntamente com os números obtidos pela adição de 1 a cada número no intervalo 0 5 o que produz o intervalo 1 6 Isto implica que a imagem de h é o intervalo 1 6 0 SOLUÇÃO Para cada número positivo t temos ht t 1 Assim a imagem de h é o conjunto obtido pela adição de 1 a cada número positivo Portanto a imagem de h é o intervalo 1 Para os Exercícios 4552 suponha que f e g sejam funções completamente definidas pelas seguintes tabelas Calcule o valor de f 6 SOLUÇÃO Na tabela vemos que f 6 Qual é o domínio de f SOLUÇÃO O domínio de f é o conjunto dos números que estão na primeira coluna da tabela que define f Assim o domínio de f é o conjunto 3 4 6 73 Qual é a imagem de f SOLUÇÃO A imagem de f é o conjunto dos números que estão na segunda coluna da tabela que define f Quando determinarmos a imagem os números que aparecerem mais de uma vez na segunda coluna devem ser relacionados apenas uma vez Assim o domínio de f é o conjunto 13 5 Determine dois valores distintos de x tais que f x 5 SOLUÇÃO Da tabela vemos que f 4 5 e f 73 5 53 55 57 Determine todas as funções apresentadas como tabelas cujo domínio seja o conjunto 2 9 e cuja imagem seja o conjunto 4 6 SOLUÇÃO Como procuramos funções f cujo domínio é o conjunto 2 9 a primeira coluna da tabela deve ter o número 2 aparecendo uma vez e o número 9 aparecendo também uma vez Em outras palavras a tabela deve iniciar como esta A ordem das linhas em uma tabela que define uma função não interessa Por conveniência escolhemos a primeira possibilidade acima Como a imagem deve ser o conjunto 4 6 a segunda coluna deve conter 4 e 6 Há apenas dois lugares para colocar estes números na primeira tabela acima assim cada um deverá aparecer exatamente uma vez na segunda coluna Portanto existem apenas duas funções cujo domínio seja o conjunto 2 9 e cuja imagem seja o conjunto 4 6 essas funções são apresentadas nas seguintes duas tabelas A primeira função acima é a função f definida por f 2 4 e f 9 6 a segunda função acima é a função f definida por f 2 6 e f 9 4 Determine todas as funções apresentadas como tabelas cujo domínio seja 1 2 4 e cuja imagem seja 2 1 SOLUÇÃO Como procuramos funções f cujo domínio seja 1 2 4 a primeira coluna da tabela para qualquer uma dessas funções deve ter o número 1 aparecendo uma vez o número 2 aparecendo uma vez e o número 4 aparecendo também uma vez A ordem das linhas em uma tabela que define uma função não interessa Por conveniência colocamos os números na primeira coluna em ordem crescente 1 2 4 Como a imagem deve ser 2 1 a segunda coluna deve conter 2 1 e Existem apenas três lugares onde podemos dispor estes números assim cada um deve aparecer exatamente uma vez na segunda coluna Há seis maneiras de ordenarem se esses três números Portanto as seis funções cujo domínio é 1 2 4 e cuja imagem é 2 1 são dadas pelas seguintes tabelas Determine todas as funções apresentadas como tabelas cujo domínio seja 3 5 9 e cuja imagem seja 2 4 SOLUÇÃO Como procuramos funções f cujo domínio seja 3 5 9 a primeira coluna da tabela para qualquer uma dessas funções deve ter o número 3 aparecendo uma vez o número 5 aparecendo uma vez e o número 9 aparecendo também uma vez A ordem das linhas em uma tabela que define uma função não interessa Por conveniência colocamos os números na primeira coluna em ordem crescente 3 5 9 Como a imagem deve ser 2 4 a segunda coluna deve conter 2 e 4 Há três espaços para colocar esses dois números portanto um deles deverá ser repetido Há seis formas de fazerse isso Assim as seis funções cujo domínio é 3 5 9 e cuja imagem é 2 4 são dadas pelas seguintes tabelas O plano das coordenadas é construído de forma similar à nossa construção da reta real veja Seção 01 mas usandose uma reta horizontal e uma reta vertical em vez de apenas uma reta horizontal O plano das coordenadas com um ponto na origem Na figura que apresentamos foi usada a mesma escala em ambos os eixos mas às vezes pode ser mais conveniente ter escalas distintas nos dois eixos Um ponto no plano é identificado por suas coordenadas que são escritas sob a forma de um par ordenado de números colocado dentro de parênteses como descrito abaixo O plano com esse sistema de identificação é frequentemente chamado de plano Cartesiano em homenagem ao matemático francês René Descartes 15961650 que descreveu essa técnica em seu livro Discurso sobre o Método em 1637 A notação 1 25 poderia representar tanto o ponto com coordenadas 1 25 quanto o intervalo aberto 1 25 Você deve saber reconhecer a partir do contexto em que ela estiver qual é o significado pretendido Essas coordenadas são às vezes chamadas de coordenadas retangulares pois as coordenadas de cada ponto são determinadas por um retângulo como apresentado nesta figura O eixo horizontal é frequentemente denominado o eixo dos x e o eixo vertical o eixo dos y Neste caso o plano das coordenadas pode ser denominado o plano xy Entretanto outras variáveis também podem ser usadas dependendo de cada problema em particular Os termos eixo horizontal e eixo vertical são frequentemente mais adequados que os termos eixo dos x e eixo dos y Se o eixo horizontal for identificado como eixo dos x então a primeira coordenada de um ponto é frequentemente chamada de coordenada x Similarmente se o eixo vertical for identificado como eixo dos y então a segunda coordenada de um ponto é frequentemente chamada de coordenada y A confusão potencial dessa terminologia tornase aparente quando quisermos considerar um ponto cujas coordenadas são y x aqui y é a coordenada x e x é a coordenada y Além disso se chamarmos sempre a primeira coordenada de coordenada x isto poderá levar a alguma confusão quando o eixo horizontal for identificado com outra variável como t ou θ Independentemente dos nomes dos eixos Similarmente os termos primeira coordenada e segunda coordenada são frequentemente mais adequados que os termos coordenada x e coordenada y a primeira coordenada corresponde à distância horizontal a partir da origem a segunda coordenada corresponde à distância vertical a partir da origem Uma função pode ser visualizada por seu gráfico que definiremos a seguir O gráfico de x no intervalo 4 4 Assim no plano xy o gráfico de uma função f é o conjunto de pontos x y que satisfazem a equação y f x com x no domínio de f A figura mostra o gráfico da função f cujo domínio é 4 4 com f definida por f x x Observe que o gráfico tem um vértice na origem No próximo capítulo aprenderemos a traçar o gráfico de funções lineares e quadráticas por isso não analisaremos esses tópicos aqui A tarefa de esboçar o gráfico de uma função complicada geralmente requer a ajuda de um computador ou de uma calculadora Para solução do exemplo a seguir foi usado o WolframAlpha mas em vez desse você pode usar uma calculadora gráfica ou qualquer outra tecnologia graph 45x x2 2x2 2 from x 1 to 4 Às vezes a única informação que temos sobre uma função é um desenho do seu gráfico O exemplo seguinte ilustra o procedimento para determinar os valores aproximados de uma função com base em um desenho de seu gráfico O procedimento utilizado no exemplo acima pode ser resumido como segue Esse procedimento fornece apenas uma estimativa do valor de f b Se a única informação que você tiver for um desenho do gráfico você não conseguirá determinar de modo exato os pontos de interseção nos itens a e c O exemplo a seguir mostra como se pode determinar o domínio de uma função a partir do seu gráfico Pouco provável mas possível Talvez um pequeno buraco nesse gráfico pequeno demais para que possamos vêlo implique que 25 não está no domínio dessa função Assim devemos tomar cuidado quando trabalharmos com gráficos No entanto não tenha receio de tirar conclusões razoáveis que serão válidas a menos que algo muito estranho ocorra A técnica utilizada acima pode ser resumida como segue Lembre que a imagem de uma função é o conjunto de todos os valores que a função assume Assim a imagem de uma função pode ser determinada pelas retas horizontais que interceptam o gráfico da função como mostrado no próximo exemplo A técnica utilizada aqui pode ser resumida como segue Como ilustrado no exemplo a seguir nem toda curva no plano é o gráfico de alguma função 1 2 3 4 5 6 De modo geral qualquer conjunto no plano das coordenadas que intercepte alguma reta vertical em mais que um ponto não poderá ser o gráfico de uma função Por outro lado um conjunto no plano das coordenadas que intercepte toda reta vertical em no máximo um ponto é o gráfico de alguma função f cujos valores são determinados como no Exemplo 3 e cujo domínio é determinado como no Exemplo 4 A condição para que um conjunto no plano das coordenadas seja o gráfico de alguma função pode ser resumido como segue O teste da reta vertical mostra por exemplo que nenhuma função tem um gráfico dado por uma circunferência Para os Exercícios 18 escreva as coordenadas do ponto especificado usando a figura abaixo A B C D E F 7 8 9 10 11 a b 12 a b 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 G H Esboce um plano das coordenadas mostrando os quatro pontos a seguir suas coordenadas e os retângulos determinados por cada ponto como no Exemplo 1 1 2 2 2 3 1 2 3 Esboce um plano das coordenadas mostrando os quatro pontos a seguir suas coordenadas e os retângulos determinados por cada ponto como no Exemplo 1 25 1 1 3 15 15 1 3 Apresentamos aqui o gráfico de uma função f Qual é o domínio de f Qual é a imagem de f Apresentamos aqui o gráfico de uma função f Qual é o domínio de f Qual é a imagem de f Para os Exercícios 1324 suponha que f seja a função com domínio 4 4 cujo gráfico é apresentado abaixo O gráfico de f Estime o valor de f 4 Estime o valor de f 3 Estime o valor de f 2 Estime o valor de f 1 Estime o valor de f 2 Estime o valor de f 0 Estime o valor de f 4 Estime o valor de f 3 Estime um número b tal que f b 4 Estime um número negativo b tal que f b 05 Quantos valores de x satisfazem a equação f x Quantos valores de x satisfazem a equação f x 35 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 Para os Exercícios 2536 suponha que g seja a função com domínio 4 4 cujo gráfico é apresentado abaixo O gráfico de g Estime o valor de g4 Estime o valor de g3 Estime o valor de g2 Estime o valor de g1 Estime o valor de g2 Estime o valor de g1 Estime o valor de g25 Estime o valor de g15 Estime um número b tal que gb 35 Estime um número b tal que gb 35 Quantos valores de x satisfazem a equação gx 2 Quantos valores de x satisfazem a equação gx 0 Para os Exercícios 3740 use a tecnologia apropriada para esboçar o gráfico da função f definida pela fórmula dada no intervalo dado f x 2x3 9x2 12x 3 no intervalo f x 06x5 75x4 35x3 75x2 72x 20 no intervalo no intervalo no intervalo 1 3 Para os Exercícios 4146 suponha que g e h sejam as funções completamente definidas pelas tabelas abaixo Qual é o domínio de g Qual é o domínio de h Qual é a imagem de g Qual é a imagem de h 45 46 47 48 49 50 1 3 5 7 9 Trace o gráfico de g Trace o gráfico de h Esboce o gráfico de uma função cujo domínio seja igual ao intervalo 1 3 e cuja imagem seja igual ao intervalo 2 4 Esboce o gráfico de uma função cujo domínio seja igual ao intervalo 0 4 e cuja imagem seja o conjunto de dois números 2 3 Dê um exemplo de uma reta no plano das coordenadas que não seja o gráfico de nenhuma função Dê um exemplo de um conjunto consistindo em dois pontos no plano das coordenadas que não seja o gráfico de nenhuma função Para os Exercícios 18 escreva as coordenadas do ponto especificado usando a figura abaixo A SOLUÇÃO Para chegar ao ponto A partindo da origem devemos andar 3 unidades para a direita e 2 unidades para cima Assim A tem coordenadas 3 2 Números obtidos a partir de uma figura devem ser considerados aproximações Portanto as coordenadas exatas de A poderiam ser 301 198 C SOLUÇÃO Para chegar ao ponto C partindo da origem devemos andar 1 unidade para a esquerda e 2 unidades para cima Assim C tem coordenadas 1 2 E SOLUÇÃO Para chegar ao ponto E partindo da origem devemos andar 3 unidades para a esquerda e 2 unidades para baixo Assim E tem coordenadas 3 2 G SOLUÇÃO Para chegar ao ponto G partindo da origem devemos andar 1 unidade para a direita e 2 unidades para baixo Então G tem coordenadas 1 2 Esboce um plano das coordenadas mostrando os quatro pontos a seguir suas coordenadas e os retângulos determinados por cada ponto como no Exemplo 1 1 2 2 2 3 1 2 3 SOLUÇÃO 11 a b a b 13 Apresentamos aqui o gráfico de uma função f Qual é o domínio de f Qual é a imagem de f SOLUÇÃO Pela figura parece que o domínio de f é 0 4 Usamos aqui a palavra parece porque uma figura não pode fornecer precisão O domínio exato de f poderia ser 0 4001 ou 0 399 ou 0 4 Da figura parece que a imagem de f é 3 1 Para os Exercícios 1324 suponha que f seja a função com domínio 4 4 cujo gráfico é apresentado abaixo O gráfico de f Estime o valor de f 4 SOLUÇÃO Para estimar o valor de f 4 traçamos uma reta vertical a partir do ponto 4 sobre o eixo dos x até o gráfico como mostrado abaixo Depois traçamos uma reta horizontal a partir da interseção entre aquela reta vertical e o gráfico até o eixo dos y 15 17 A interseção entre a reta horizontal e o eixo dos y fornece o valor de f 4 Assim vemos que f 4 3 o símbolo significa é aproximadamente igual a que é o melhor que pode ser feito quando usamos um gráfico Estime o valor de f 2 SOLUÇÃO Para estimar o valor de f 2 traçamos uma reta vertical a partir do ponto 2 sobre o eixo dos x até o gráfico como mostrado abaixo Depois traçamos uma reta horizontal a partir da interseção entre aquela reta vertical e o gráfico até o eixo dos y A interseção entre a reta horizontal e o eixo dos y fornece o valor de f 2 Assim vemos que f 2 1 Estime o valor de f 2 SOLUÇÃO Para estimar o valor de f 2 traçamos uma reta vertical a partir do ponto 2 sobre o eixo dos x até o gráfico como mostrado abaixo Depois traçamos uma reta horizontal a partir da interseção entre aquela reta vertical e o gráfico até o eixo dos y A interseção entre a reta horizontal e o eixo dos y fornece o valor de f 2 Assim vemos que f 2 3 19 21 23 Estime o valor de f 4 SOLUÇÃO Para estimar o valor de f 4 traçamos uma reta vertical a partir do ponto 4 sobre o eixo dos x até o gráfico como mostrado abaixo Depois traçamos uma reta horizontal a partir da interseção entre aquela reta vertical e o gráfico até o eixo dos y A interseção entre a reta horizontal e o eixo dos y fornece o valor de f 4 Assim vemos que f 4 5 Estime um número b tal que f b 4 SOLUÇÃO Traçamos a reta horizontal y 4 como mostrado abaixo Depois traçamos uma reta vertical a partir da interseção entre aquela reta horizontal e o gráfico até o eixo dos x A interseção entre a reta vertical e o eixo dos x fornece o valor de b tal que f b 4 Assim vemos que b 36 Quantos valores de x satisfazem a equação f x SOLUÇÃO Traçamos a reta horizontal y como mostrado abaixo Essa reta horizontal intercepta o gráfico em três pontos Portanto existem três valores de x tais que f x 25 27 Para os Exercícios 2536 suponha que g seja a função com domínio 4 4 cujo gráfico é apresentado abaixo O gráfico de g Estime o valor de g4 SOLUÇÃO Para estimar o valor de g4 traçamos uma reta vertical a partir do ponto 4 sobre o eixo dos x até o gráfico como mostrado abaixo Depois traçamos uma reta horizontal a partir da interseção entre aquela reta vertical e o gráfico até o eixo dos y A interseção entre a reta horizontal e o eixo dos y fornece o valor de g4 Assim vemos que g4 4 Estime o valor de g2 SOLUÇÃO Para estimar o valor de g2 traçamos uma reta vertical a partir do ponto 2 sobre o eixo dos x até o gráfico como mostrado abaixo Depois traçamos uma reta horizontal a partir da interseção entre aquela reta vertical e o gráfico até o eixo dos y A interseção entre a reta horizontal e o eixo dos y fornece o valor de g2 Assim vemos que g2 2 29 31 33 Estime o valor de g2 SOLUÇÃO Para estimar o valor de g2 traçamos uma reta vertical a partir do ponto 2 sobre o eixo dos x até o gráfico como mostrado abaixo Depois traçamos uma reta horizontal a partir da interseção entre aquela reta vertical e o gráfico até o eixo dos y A interseção entre a reta horizontal e o eixo dos y fornece o valor de g2 Assim vemos que g2 2 Estime o valor de g25 SOLUÇÃO Para estimar o valor de g25 traçamos uma reta vertical a partir do ponto 25 sobre o eixo dos x até o gráfico como mostrado abaixo Depois traçamos uma reta horizontal a partir da interseção entre aquela reta vertical e o gráfico até o eixo dos y A interseção entre a reta horizontal e o eixo dos y fornece o valor de g25 Assim vemos que g25 15 Estime um número b tal que gb 35 SOLUÇÃO Traçamos a reta horizontal y 35 como mostrado abaixo 35 37 39 Depois traçamos uma reta vertical a partir da interseção entre aquela reta horizontal e o gráfico até o eixo dos x A interseção entre a reta vertical e o eixo dos x fornece o valor de b tal que gb 35 Assim vemos que b 31 Quantos valores de x satisfazem a equação gx 2 SOLUÇÃO Traçamos a reta horizontal y 2 como mostrado a seguir Essa reta horizontal intercepta o gráfico em três pontos Portanto existem três valores de x tais que gx 2 Para os Exercícios 3740 use a tecnologia apropriada para esboçar o gráfico da função f definida pela fórmula dada no intervalo dado f x 2x3 9x2 12x 3 no intervalo SOLUÇÃO Se for usar o WolframAlpha digite graph t2 1t5 2 from t 12 to 2 ou use seu software ou sua calculadora gráfica preferidos para produzir um gráfico como o que se mostra a seguir no intervalo SOLUÇÃO Se for usar o WolframAlpha digite graph 2x2 9x2 12x 3 from x 12 to 52 ou use seu software ou sua calculadora gráfica preferidos para produzir um gráfico como o que se mostra a seguir Para os Exercícios 4146 suponha que g e h sejam as funções completamente definidas pelas tabelas abaixo 41 43 45 Qual é o domínio de g SOLUÇÃO O domínio de g é o conjunto de números que estão na primeira coluna da tabela que define g Então o domínio de g é o conjunto 3 1 1 3 Qual é a imagem de g SOLUÇÃO A imagem de g é o conjunto de números que estão na segunda coluna da tabela que define g Então a imagem de g é o conjunto 1 1 25 2 Trace o gráfico de g SOLUÇÃO O gráfico de g consiste nos quatro pontos cujas coordenadas são 3 1 1 1 1 25 3 2 como mostrado a seguir O gráfico de f x x2 com domínio 1 1 A imagem de f é 0 1 Nesta seção investigaremos várias transformações de funções e aprenderemos o efeito dessas transformações no domínio na imagem e no gráfico de uma função Para ilustrar essas ideias ao longo desta seção utilizaremos a função f definida por f x x2 com domínio igual ao intervalo 1 1 Assim o gráfico de f é parte de uma parábola familiar Esta subseção foca nas transformações de funções verticais que mudam a forma ou a localização vertical do gráfico de uma função Como as transformações de funções verticais afetam o gráfico apenas verticalmente elas não alteram o domínio da função Começamos com um exemplo que mostra o procedimento para deslocar para cima o gráfico de uma função O deslocamento do gráfico de uma função para baixo segue um padrão similar substituindose o sinal de mais por um sinal de menos como mostrado no exemplo a seguir O gráfico de f x x2 azul e h x x2 1 vermelho ambas com domínio 1 1 Nesses exemplos ao definir gx como f x 1 e ao definir hx como f x 1 poderíamos ter usado qualquer número positivo a em vez de 1 Similarmente não há nada de especial em relação à função particular f que nós usamos Assim valem em geral os seguintes resultados Em vez de memorizar as conclusões em todos os boxes de resultados desta seção tente entender como essas conclusões foram obtidas Depois você poderá decidir de qual delas vocês necessita dependendo do problema em questão O próximo exemplo mostra como se alonga verticalmente o gráfico de uma função Na última parte do exemplo acima observamos que o gráfico de h é obtido pelo alongamento vertical do gráfico de f por um fator Essa terminologia pode parecer um tanto estranha pois a palavra alongar tem frequentemente a conotação de algo que se torna maior Entretanto considerase conveniente usar a palavra alongar em um sentido mais amplo o de multiplicar por algum número positivo que poderia ser menor que 1 Talvez a palavra encolher fosse mais apropriada aqui Poderíamos ter usado qualquer número positivo c em vez de 2 ou no exemplo acima Similarmente não há nada de especial a respeito da função particular f que nós usamos Assim vale em geral o seguinte resultado O procedimento para refletir o gráfico de uma função sobre o eixo horizontal é ilustrado pelo exemplo a seguir Refletir um gráfico sobre o eixo horizontal altera apenas o aspecto vertical do gráfico Assim refletir o gráfico de uma função sobre o eixo horizontal é de fato uma transformação de função vertical O seguinte resultado vale para toda função f A palavra reflexão parece ser uma descrição mais exata de como o gráfico vermelho acima é obtido a partir do gráfico azul Agora focaremos transformações de funções horizontais que mudam a forma ou a localização horizontal do gráfico de uma função Como as transformações de funções horizontais afetam o gráfico apenas horizontalmente elas não alteram a imagem da função Começaremos com um exemplo que mostrará o procedimento para deslocar para a esquerda o gráfico de uma função Transformações verticais funcionam basicamente como você esperaria Como você logo verá as ações das transformações horizontais são menos intuitivas Os gráficos de f x x2 azul com domínio 1 1 e gx x 12 vermelho com domínio 2 0 O gráfico de g é obtido pelo deslocamento do gráfico de f para a esquerda uma unidade Suponha que definimos uma função h por hx f x 1 em que f é novamente a função definida por f x x2 com o domínio de f o intervalo 1 1 Dessa forma tudo funciona como no exemplo acima exceto o domínio e o gráfico de h que são obtidos pelo deslocamento do domínio e do gráfico de f uma unidade para a direita em vez de uma unidade para a esquerda como no exemplo acima De um modo mais geral poderíamos ter usado qualquer número positivo b em vez de 1 nestes exemplos quando definimos gx como f x 1 e hx como f x 1 Similarmente não há nada de especial a respeito da função particular f que nós usamos Assim valem em geral os seguintes resultados O próximo exemplo mostra o procedimento para alongar horizontalmente o gráfico de uma função Os gráficos de f x x2 azul com domínio 1 1 gx 2x2 vermelho com domínio e hx x2 verde com domínio 2 2 Poderíamos ter usado qualquer número positivo c em vez de 2 ou quando definimos gx como f 2x e hx como f x no exemplo acima Similarmente não há nada de especial a respeito da função particular f que nós usamos Assim vale em geral o seguinte resultado O procedimento para refletir o gráfico de uma função sobre o eixo vertical será ilustrado pelo exemplo a seguir Para demonstrar as ideias mais claramente alteramos o domínio de f para o intervalo 1 O seguinte resultado vale para toda função f O domínio de g é obtido pela multiplicação de cada número no domínio de f por 1 Quando trabalhamos com combinações de transformações verticais de funções a ordem na qual as transformações serão aplicadas pode ser crucial Para traçar o gráfico podemos usar o seguinte procedimento simples As operações registradas nas soluções para o item a deste e do próximo exemplo são as mesmas diferindo apenas em sua ordem Entretanto ordens diferentes produzem gráficos diferentes A ordem entre os passos 1 e 2 poderia ser permutada Entretanto a operação de adição do 1 deve ser o último passo Comparando o exemplo acima com o próximo exemplo podemos observar a importância de aplicaremse as operações na ordem apropriada Observe como o gráfico de 2 f x 1 deste exemplo é diferente do gráfico de 2 f x 1 do exemplo anterior Quando trabalhamos com uma combinação de uma transformação vertical de função e uma transformação horizontal de função as transformações podem ser aplicadas em qualquer ordem Para uma combinação de múltiplas transformações verticais com uma única transformação horizontal certifiquese de aplicar as transformações verticais na ordem apropriada a transformação horizontal pode ser aplicada antes ou depois das transformações verticais Combinações de múltiplas transformações horizontais de funções possivelmente com transformações verticais de funções são mais complicadas Para aqueles que estiverem interessados nesse tipo de transformações múltiplas de funções as soluções detalhadas de alguns dos exercícios ímpares ao final desta seção fornecem exemplos da técnica apropriada Suponha f x x2 para todo número real x Observe que f x x2 x2 f x Essa propriedade é tão importante que lhe daremos um nome Para que a equação f x f x seja válida para todo x no domínio de f a expressão f x deve fazer sentido Assim x deve estar no domínio de f para todo x no domínio de f Por exemplo não existe possibilidade de que uma função cujo domínio é o intervalo 3 5 seja uma função par mas é possível que uma função cujo domínio é o intervalo 4 4 seja ou não uma função par Como já observamos anteriormente x2 é uma função par Apresentamos a seguir outro exemplo simples O gráfico de x no intervalo 3 3 Suponha que f seja uma função par Como sabemos se refletirmos o gráfico de f sobre o eixo vertical obteremos o gráfico da função h definida por hx f x Como f é par nós de fato temos hx f x f x o que implica que h f Em outras palavras se refletirmos o gráfico de uma função par f sobre o eixo vertical obteremos como retorno o gráfico de f Assim o gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo vertical Essa simetria pode ser vista por exemplo no gráfico mostrado acima de x no intervalo 3 3 Considere agora a função definida por f x x3 para todo número real x Observe que f x x3 x3 f x Essa propriedade é tão importante que lhe daremos um nome Assim como para funções pares para que uma função seja ímpar x deve estar no domínio de f para todo x no domínio de f pois de outra forma não há possibilidade de a equação f x f x ser válida para todo x no domínio de f Como já observamos anteriormente x3 é uma função ímpar Apresentamos a seguir outro exemplo simples a b c O gráfico de no intervalo Para os Exercícios 114 seja f a função definida no intervalo 1 2 pela fórmula Assim o domínio de f é o intervalo 1 2 a imagem de f é o intervalo 1 4 e o gráfico de f é o aqui apresentado O gráfico de f Para cada função g descrita abaixo Esboce o gráfico de g Determine o domínio de g as extremidades desse intervalo devem ser marcadas sobre o eixo horizontal do seu desenho do gráfico de g Escreva uma fórmula para g d 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 a b c 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 Determine a imagem de g as extremidades desse intervalo devem ser marcadas sobre o eixo vertical do seu desenho do gráfico de g O gráfico de g é obtido pelo deslocamento 1 unidade para cima do gráfico de f O gráfico de g é obtido pelo deslocamento 3 unidades para cima do gráfico de f O gráfico de g é obtido pelo deslocamento 3 unidades para baixo do gráfico de f O gráfico de g é obtido pelo deslocamento 2 unidades para baixo do gráfico de f O gráfico de g é obtido pelo alongamento vertical do gráfico de f por um fator 2 O gráfico de g é obtido pelo alongamento vertical do gráfico de f por um fator 3 O gráfico de g é obtido pelo deslocamento 3 unidades para a esquerda do gráfico de f O gráfico de g é obtido pelo deslocamento 4 unidades para a esquerda do gráfico de f O gráfico de g é obtido pelo deslocamento 1 unidade para a direita do gráfico de f O gráfico de g é obtido pelo deslocamento 3 unidades para a direita do gráfico de f O gráfico de g é obtido pelo alongamento horizontal do gráfico de f por um fator 2 O gráfico de g é obtido pelo alongamento horizontal do gráfico de f por um fator O gráfico de g é obtido pela reflexão do gráfico de f sobre o eixo horizontal O gráfico de g é obtido pela reflexão do gráfico de f sobre o eixo vertical Para os Exercícios 1550 seja f uma função cujo domínio é o intervalo 1 5 cuja imagem é o intervalo 1 3 e cujo gráfico é o apresentado na figura abaixo O gráfico de f Para cada função g descrita abaixo Determine o domínio de g Determine a imagem de g Esboce o gráfico de g gx f x 1 gx f x 3 gx f x 3 gx f x 5 gx 2f x gx f x gx f x 2 gx f x 3 gx f x 1 gx f x 2 gx f 2x gx f 3x gx f gx f gx 2f x 1 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 gx 3f x 2 gx f x 1 gx f x 2 gx 3 f x gx 2 f x gx f x 1 gx f x 3 gx f x 1 2 gx f x 2 1 gx f 2x 1 gx f 3x 2 gx f 2x 1 gx f 3x 2 gx 2f 1 gx 3f 2 gx 2f 1 3 gx 3f 2 1 gx 2f 3 gx 3f 2 gx 6 2f 3 gx 1 3f 2 Suponha que g seja uma função par cujo domínio é 2 1 1 2 e cujo gráfico no intervalo 1 2 é o gráfico usado nas instruções dos Exercícios 114 Esboce o gráfico de g em 2 1 1 2 Suponha que g seja uma função par cujo domínio é 5 1 1 5 e cujo gráfico no intervalo 1 5 é o gráfico usado nas instruções dos Exercícios 1550 Esboce o gráfico de g em 5 1 1 5 Suponha que h seja uma função ímpar cujo domínio é 2 1 1 2 e cujo gráfico no intervalo 1 2 é o gráfico usado nas instruções dos Exercícios 114 Esboce o gráfico de h em 2 1 1 2 Suponha que h seja uma função ímpar cujo domínio é 5 1 1 5 e cujo gráfico no intervalo 1 5 é o gráfico usado nas instruções dos Exercícios 1550 Esboce o gráfico de h em 5 1 1 5 Para os Exercícios 5558 seja f uma função cujo domínio é o intervalo 5 5 e para todo x no intervalo 0 5 Supondo que f seja uma função par determine o valor de f 2 Supondo que f seja uma função par determine o valor de f 3 Supondo que f seja uma função ímpar determine o valor de f 2 Supondo que f seja uma função ímpar determine o valor de f 3 Para os Problemas 5962 suponha que para arrecadar fundos adicionais para a educação superior o governo federal adote um novo plano de imposto de renda que consista no imposto de renda de 2011 mais um adicional de US 100 por contribuinte Considere g a função tal que gx seja o imposto de renda federal de 2011 para uma única pessoa com renda tributável de x dólares e h a correspondente função para o novo plano de imposto de renda 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 b A função h pode ser obtida a partir de g por uma transformação de função vertical ou por uma transformação de função horizontal Escreva uma fórmula para hx em termos de gx Usando a fórmula explícita para gx dada no Exemplo 2 da Seção 11 escreva uma fórmula explícita para hx Sob o novo plano de imposto de renda qual será o valor do imposto para uma única pessoa cuja renda tributável anual seja de US 50000 Para os Problemas 6366 suponha que para injetar mais dinheiro na economia durante uma recessão o governo federal adote um novo plano de imposto de renda que reduza o imposto para 90 do imposto de renda de 2011 Considere g a função tal que gx seja o imposto de renda federal de 2011 para uma única pessoa com uma renda tributável anual de x dólares e h a função correspondente para o novo plano de imposto de renda A função h pode ser obtida a partir de g por uma transformação de função vertical ou por uma transformação de função horizontal Escreva uma fórmula para hx em termos de gx Usando a fórmula explícita para gx dada no Exemplo 2 da Seção 11 escreva uma fórmula explícita para hx Sob o novo plano de imposto de renda qual será o valor do imposto para uma única pessoa cuja renda tributável anual seja de US 50000 Determine a única função cujo domínio seja o conjunto dos números reais e que seja ao mesmo tempo par e ímpar Demonstre que sendo f uma função ímpar tal que 0 esteja no domínio de f então f 0 0 O boxe de resultados ao final do Exemplo 2 poderia ter sido mais completo se tivéssemos incluído informação mais explícita a respeito do domínio e da imagem das funções g e h Por exemplo o boxe de resultados mais completo poderia ser semelhante ao que apresentamos abaixo Construa boxes similares de resultados completos incluindo informações explícitas a respeito do domínio e da imagem das funções g e h para cada um dos outros cinco boxes de resultados desta seção que lidam com transformações de funções Verdadeiro ou falso Sendo f uma função ímpar cujo domínio é o conjunto dos números reais e g uma função definida por então g é uma função par Justifique sua resposta Verdadeiro ou falso Sendo f uma função par cujo domínio é o conjunto dos números reais e g uma função definida por então g é uma função ímpar Justifique sua resposta a Verdadeiro ou falso Assim como todo inteiro é ou par ou ímpar toda função cujo domínio é o conjunto dos inteiros é ou uma função par ou uma função ímpar Justifique sua resposta ao item a Isto significa que se a resposta for verdadeiro você deve justificar por que toda função cujo domínio é o conjunto dos inteiros é ou uma função par ou uma função ímpar se a resposta for falso você deve dar um exemplo de função cujo domínio é o conjunto dos inteiros mas não é nem par nem ímpar 73 74 75 a b c d 1 a b c d 3 a b c Demonstre que a função f definida por f x mx b é uma função ímpar se e somente se b 0 Demonstre que a função f definida por f x mx b é uma função par se e somente se m 0 Demonstre que a função f definida por f x ax2 bx c é uma função par se e somente se b 0 Para os Exercícios 114 seja f a função definida no intervalo 1 2 pela fórmula Assim o domínio de f é o intervalo 1 2 a imagem de f é o intervalo 1 4 e o gráfico de f é o aqui apresentado O gráfico de f Para cada função g descrita abaixo Esboce o gráfico de g Determine o domínio de g as extremidades desse intervalo devem ser marcadas sobre o eixo horizontal do seu desenho do gráfico de g Escreva uma fórmula para g Determine a imagem de g as extremidades desse intervalo devem ser marcadas sobre o eixo vertical do seu desenho do gráfico de g O gráfico de g é obtido pelo deslocamento uma unidade para cima do gráfico de f SOLUÇÃO Este é o gráfico que se obtém pelo deslocamento do gráfico de f uma unidade para cima O domínio de g é o mesmo que o domínio de f Portanto o domínio de g é o intervalo 1 2 Como o gráfico de g é obtido pelo deslocamento do gráfico de f 1 unidade para cima temos que gx f x 1 Assim para todo número x no intervalo 1 2 A imagem de g é obtida adicionandose 1 a todos os números da imagem de f Portanto a imagem de g é o intervalo 2 5 O gráfico de g é obtido pelo deslocamento 3 unidades para baixo do gráfico de f Este é o gráfico que se obtém pelo deslocamento do gráfico de f 3 unidades para baixo O domínio de g é o mesmo que o domínio de f Portanto o domínio de g é o intervalo 1 2 Como o gráfico de g é obtido pelo deslocamento do gráfico de f3 unidades para baixo temos que gx f x 3 Assim d 5 a b c d 7 a b c d 9 a para todo número x no intervalo 1 2 A imagem de g é obtida subtraindose 3 de todos os números da imagem de f Portanto a imagem de g é o intervalo 2 1 O gráfico de g é obtido pelo alongamento vertical do gráfico de f por um fator 2 SOLUÇÃO Este é o gráfico que se obtém pelo alongamento vertical do gráfico de f por um fator 2 O domínio de g é o mesmo que o domínio de f Portanto o domínio de g é o intervalo 1 2 Como o gráfico de g é obtido pelo alongamento vertical do gráfico de f por um fator 2 temos que gx 2f x Assim para todo número x no intervalo 1 2 A imagem de g é obtida multiplicandose por 2 todos os números da imagem de f Portanto a imagem de g é o intervalo 2 8 O gráfico de g é obtido pelo deslocamento 3 unidades para a esquerda do gráfico de f Este é o gráfico que se obtém pelo deslocamento do gráfico de f 3 unidades para a esquerda O domínio de g é obtido subtraindose 3 de todos os números no domínio de f Portanto o domínio de g é o intervalo 2 1 Como o gráfico de g é obtido pelo deslocamento 3 unidades para a esquerda do gráfico de f temos que gx f x 3 Então para todo número x no intervalo 2 1 A imagem de g é a mesma que a imagem de f Portanto a imagem de g é o intervalo 1 4 O gráfico de g é obtido pelo deslocamento 1 unidade para a direita do gráfico de f Este é o gráfico que se obtém deslocando o gráfico de f uma unidade para a direita b c d 11 a b c d 13 a b c d O domínio de g é obtido adicionandose 1 a todos os números no domínio de f Portanto o domínio de g é o intervalo 2 3 Como o gráfico de g é obtido pelo deslocamento 1 unidade para a direita do gráfico de f temos que gx f x 1 Portanto para todo número x no intervalo 2 3 A imagem de g é a mesma que a imagem de f Portanto a imagem de g é o intervalo 1 4 O gráfico de g é obtido pelo alongamento horizontal do gráfico de f por um fator 2 SOLUÇÃO Este é o gráfico que se obtém pelo alongamento horizontal do gráfico de f por um fator 2 O domínio de g é obtido multiplicandose por 2 todos os números no domínio de f Portanto o domínio de g é o intervalo 2 4 Como o gráfico de g é obtido pelo alongamento horizontal do gráfico de f por um fator 2 temos que gx f x2 Portanto para todo número x no intervalo 2 4 A imagem de g é a mesma que a imagem de f Portanto a imagem de g é o intervalo 1 4 O gráfico de g é obtido pela reflexão do gráfico de f sobre o eixo horizontal SOLUÇÃO Este é o gráfico que se obtém pela reflexão do gráfico de f sobre o eixo horizontal O domínio de g é o mesmo que o domínio de f Portanto o domínio de g é o intervalo 1 2 Como o gráfico de g é obtido pela reflexão do gráfico de f sobre o eixo horizontal temos que gx f x Portanto para todo número x no intervalo 1 2 A imagem de g é obtida multiplicandose por 1 todos os números da imagem de f Então a imagem de g é o intervalo 4 1 Para os Exercícios 1550 seja f uma função cujo domínio é o intervalo 1 5 cuja imagem é o intervalo 1 3 e cujo gráfico é o apresentado na figura abaixo O gráfico de f Para cada função g descrita abaixo a b c 15 a b c 17 a b c 19 a b c 21 a b c Determine o domínio de g Determine a imagem de g Esboce o gráfico de g gx f x 1 SOLUÇÃO Observe que gx é definida precisamente quando f x é definida Em outras palavras a função g tem o mesmo domínio que f Assim o domínio de g é o intervalo 1 5 A imagem de g é obtida adicionandose 1 a todos os números da imagem de f Portanto a imagem de g é o intervalo 2 4 O gráfico de g mostrado abaixo é obtido pelo deslocamento do gráfico de f 1 unidade para cima gx f x 3 SOLUÇÃO Observe que gx é definida precisamente quando f x é definida Em outras palavras a função g tem o mesmo domínio que f Assim o domínio de g é o intervalo 1 5 A imagem de g é obtida subtraindose 3 de todos os números da imagem de f Portanto a imagem de g é o intervalo 2 0 O gráfico de g mostrado abaixo é obtido pelo deslocamento do gráfico de f 3 unidades para baixo gx 2f x SOLUÇÃO Observe que gx é definida precisamente quando f x é definida Em outras palavras a função g tem o mesmo domínio que f Assim o domínio de g é o intervalo 1 5 A imagem de g é obtida multiplicandose por 2 todos os números da imagem de f Assim a imagem de g é o intervalo 2 6 O gráfico de g mostrado aqui é obtido pelo alongamento vertical do gráfico de f por um fator 2 gx f x 2 SOLUÇÃO Observe que gx é definida quando x 2 estiver no intervalo 1 5 isto é quando x estiver no intervalo 1 3 Assim o domínio de g é o intervalo 1 3 A imagem de g é a mesma que a imagem de f Portanto a imagem de g é o intervalo 1 3 O gráfico de g mostrado aqui é obtido pelo deslocamento do gráfico de f 2 unidades para a esquerda 23 a b c 25 a b c 27 a b c 29 a gx f x 1 SOLUÇÃO Observe que gx é definida quando x 1 estiver no intervalo 1 5 isto é quando x estiver no intervalo 2 6 Assim o domínio de g é o intervalo 2 6 A imagem de g é a mesma que a imagem de f Portanto a imagem de g é o intervalo 1 3 O gráfico de g mostrado aqui é obtido pelo deslocamento do gráfico de f uma unidade para a direita gx f 2x SOLUÇÃO Observe que gx é definida quando 2x estiver no intervalo 1 5 isto é quando x estiver no intervalo Assim o domínio de g é o intervalo A imagem de g é a mesma que a imagem de f Assim a imagem de g é o intervalo 1 3 O gráfico de g mostrado aqui é obtido pelo alongamento horizontal do gráfico de f por um fator gx f Observe que gx é definida quando estiver no intervalo 1 5 isto é quando x estiver no intervalo 2 10 Assim o domínio de g é o intervalo 2 10 A imagem de g é a mesma que a imagem de f Assim a imagem de g é o intervalo 1 3 O gráfico de g mostrado abaixo é obtido pelo alongamento horizontal do gráfico de f por um fator 2 gx 2f x 1 SOLUÇÃO Observe que gx é definida precisamente quando f x é definida Em outras palavras a função g tem o mesmo domínio que f b c 31 a b c 33 a b c 35 a Assim o domínio de g é o intervalo 1 5 A imagem de g é obtida multiplicandose por 2 todos os números da imagem de f o que leva ao intervalo 2 6 e depois adicionandose 1 a todos os números desse intervalo o que fornece o intervalo 3 7 Portanto a imagem de g é o intervalo 3 7 Observe que valores para gx são obtidos calculandose o valor de f x depois multiplicandoo por 2 e finalmente adicionandose 1 a esse valor Aplicando as transformações de funções na mesma ordem vemos que o gráfico de g mostrado aqui é obtido pelo alongamento vertical do gráfico de f por um fator e depois por seu deslocamento uma unidade para cima gx f x 1 SOLUÇÃO Observe que gx é definida precisamente quando f x é definida Em outras palavras a função g tem o mesmo domínio que f Assim o domínio de g é o intervalo 1 5 A imagem de g é obtida multiplicandose por todos os números da imagem de f o que leva ao intervalo e depois subtraindose 1 de todos os números desse intervalo o que fornece o intervalo Portanto a imagem de g é o intervalo Observe que valores para gx são obtidos calculandose o valor de f x depois multiplicandoo por e finalmente subtraindose 1 desse valor Aplicando as transformações de funções na mesma ordem vemos que o gráfico de g mostrado aqui é obtido pelo alongamento vertical do gráfico de f por um fator e depois por seu deslocamento 1 unidade para baixo gx 3 f x SOLUÇÃO Observe que gx é definida precisamente quando f x é definida Em outras palavras a função g tem o mesmo domínio que f Assim o domínio de g é o intervalo 1 5 A imagem de g é obtida multiplicandose por 1 todos os números da imagem de f o que leva ao intervalo 3 1 e depois adicionandose 3 a todos os números desse intervalo o que fornece o intervalo 0 2 Portanto a imagem de g é o intervalo 0 2 Observe que valores para gx são obtidos calculandose o valor de f x depois multiplicandoo por 1 e finalmente adicionandose 3 a esse valor Aplicando as transformações de funções na mesma ordem vemos que o gráfico de g mostrado aqui é obtido pela reflexão do gráfico de f sobre o eixo horizontal e depois por seu deslocamento 3 unidades para cima gx f x 1 Observe que gx é definida quando x 1 estiver no intervalo 1 5 isto é quando x estiver no intervalo 2 6 Assim o domínio de g é o intervalo 2 6 b c 37 a b c 39 a b c 41 a b A imagem de g é obtida multiplicandose por 1 todos os números da imagem de f Portanto a imagem de g é o intervalo 3 1 O gráfico de g mostrado aqui é obtido pelo deslocamento do gráfico de f uma unidade para a direita e depois por sua reflexão sobre o eixo horizontal gx f x 1 2 SOLUÇÃO Observe que gx é definida quando x 1 estiver no intervalo 1 5 isto é quando x estiver no intervalo 0 4 Assim o domínio de g é o intervalo 0 4 A imagem de g é obtida adicionandose 2 a todos os números da imagem de f Assim a imagem de g é o intervalo 3 5 O gráfico de g mostrado aqui é obtido pelo deslocamento do gráfico de f uma unidade para a esquerda e depois por seu deslocamento 2 unidades para cima gx f 2x 1 SOLUÇÃO Observe que gx é definida quando 2x estiver no intervalo 1 5 isto é quando x estiver no intervalo Assim o domínio de g é o intervalo A imagem de g é obtida adicionandose 1 a todos os números da imagem de f Portanto a imagem de g é o intervalo 2 4 O gráfico de g mostrado aqui é obtido pelo alongamento horizontal do gráfico de f por um fator e depois por seu deslocamento uma unidade para cima gx f 2x 1 SOLUÇÃO Observe que gx é definida quando 2x 1 estiver no intervalo 1 5 isto é quando 1 2x 1 5 Adicionandose 1 a cada parte da desigualdade acima obtémse 0 2x 4 e depois dividindose cada parte por 2 obtémse 0 x 2 Assim o domínio de g é o intervalo 0 2 A imagem de g é igual à imagem de f Portanto a imagem de g é o intervalo 1 3 c 43 a b c 45 a b Defina uma função h por hx f 2x O gráfico de h é obtido pelo alongamento horizontal do gráfico de f por um fator Observe que Portanto o gráfico de g é obtido pelo deslocamento unidade para a esquerda do gráfico de h Juntando tudo vemos que o gráfico de g mostrado aqui é obtido pelo alongamento horizontal do gráfico de f por um fator e depois por seu deslocamento unidade para a esquerda gx 2f 1 SOLUÇÃO Observe que gx é definida quando 1 estiver no intervalo 1 5 isto é quando 1 1 5 Adicionandose 1 a cada parte da desigualdade acima obtémse 0 4 e depois multiplicandose cada parte por 2 obtémse 0 x 8 Assim o domínio de g é o intervalo 0 8 A imagem de g é obtida multiplicandose por 2 todos os números da imagem de f Portanto a imagem de g é o intervalo 2 6 Defina uma função h por hx f O gráfico de h é obtido pelo alongamento horizontal do gráfico de f por um fator 2 Observe que Portanto o gráfico de g é obtido do gráfico de h deslocandoo 2 unidades para a esquerda e depois alongandoo verticalmente por um fator 2 Juntando tudo vemos que o gráfico de g mostrado abaixo é obtido pelo alongamento horizontal do gráfico de f por um fator 2 seu deslocamento 2 unidades para a esquerda e depois se alongamento vertical por um fator 2 gx 2f 1 3 SOLUÇÃO Observe que gx é definida quando 1 estiver no intervalo 1 5 isto é quando 1 1 5 Adicionandose 1 a cada parte dessa desigualdade obtémse 0 4 e depois multiplicandoa por 2 obtémse 0 x 8 Então o domínio de g é o intervalo 0 8 A imagem de g é obtida multiplicandose por 2 todos os números da imagem de f e depois subtraindose 3 desses valores Assim a imagem de g é o intervalo 1 3 c 47 a b 49 a b c 51 O gráfico de g mostrado abaixo é obtido pelo deslocamento 3 unidades para baixo do gráfico obtido na solução do Exercício 43 gx 2f 3 SOLUÇÃO Observe que gx é definida quando 3 estiver no intervalo 1 5 isto é quando 1 3 5 Adicionandose 3 a cada parte dessa desigualdade obtémse 2 2 e depois multiplicandoa por 2 obtémse 4 x 4 Assim o domínio de g é o intervalo 4 4 Defina uma função h por hx f O gráfico de h é obtido pelo alongamento horizontal do gráfico de f por um fator 2 Observe que Portanto o gráfico de g é obtido do gráfico de h deslocandoo 6 unidades para a esquerda e alongandoo verticalmente por um fator 2 Juntando tudo vemos que o gráfico de g mostrado abaixo é obtido pelo alongamento horizontal do gráfico de f por um fator 2 seu deslocamento 6 unidades para a esquerda e depois seu alongamento vertical por um fator 2 gx 6 2f 3 SOLUÇÃO Observe que gx é definida quando 3 estiver no intervalo 1 5 isto é quando 1 3 5 Adicionandose 3 a cada parte dessa desigualdade obtémse 2 2 e depois multiplicandoa por 2 obtémse 4 x 4 Assim o domínio de g é o intervalo 4 4 A imagem de g é obtida multiplicandose por 2 todos os números da imagem de f o que leva ao intervalo 6 2 e depois adicionandose 6 a todos os números desse intervalo o que leva ao intervalo 0 4 O gráfico de g mostrado abaixo é obtido pela reflexão sobre o eixo horizontal do gráfico obtido na solução do Exercício 47 e depois por seu deslocamento 6 unidades para cima Suponha que g seja uma função par cujo domínio é 2 1 1 2 e cujo gráfico no intervalo 12 é o gráfico usado nas instruções dos Exercícios 114 Esboce o gráfico de g em 2 1 1 2 SOLUÇÃO Como g é uma função par seu gráfico não é alterado quando refletido sobre o eixo vertical Assim podemos 53 55 57 determinar o gráfico de g no intervalo 2 1 refletindo sobre o eixo vertical o gráfico no intervalo 1 2 o que leva ao seguinte gráfico de g Suponha que h seja uma função ímpar cujo domínio é 2 1 1 2 e cujo gráfico no intervalo 12 é o gráfico usado nas instruções dos Exercícios 114 Esboce o gráfico de h em 2 1 1 2 SOLUÇÃO Como h é uma função ímpar seu gráfico não é alterado quando refletido sobre a origem Assim podemos determinar o gráfico de h no intervalo 2 1 refletindo sobre a origem o gráfico no intervalo 1 2 o que leva ao seguinte gráfico de h Para os Exercícios 5558 seja f uma função cujo domínio é o intervalo 5 5 e para todo x no intervalo 0 5 Supondo que f seja uma função par determine o valor de f 2 SOLUÇÃO Como 2 está no intervalo 0 5 podemos usar a fórmula acima para calcular o valor de f 2 Temos Como f é uma função par temos f 2 f 2 Supondo que f seja uma função ímpar Determine o valor de f 2 SOLUÇÃO Como f é uma função ímpar temos f 2 f 2 Suponha que f e g sejam funções Definimos uma nova função denominada a soma de f e g e representada por f g sendo f g a função cujo valor em um número x é dado pela equação f gx fx gx Da mesma forma podemos definir a diferença o produto e o quociente de duas funções conforme o esperado Aqui estão as definições formais Para que fx gx faça sentido tanto fx quanto gx devem fazer sentido Assim o domínio de f g é a interseção dos domínios de f e de g A adição e a multiplicação de funções são operações comutativas e associativas a subtração e a divisão de funções não satisfazem nenhuma dessas propriedades O domínio das três primeiras funções acima é a interseção dos domínios de f e de g Para evitar a divisão por 0 o domínio de é o conjunto de números x tais que x esteja no domínio de f e x esteja no domínio de g e gx 0 Números negativos não têm raízes quadradas no sistema dos números reais Assim o domínio de f é o intervalo 3 e o domínio de g é o intervalo 8 O domínio de f g é a interseção desses dois domínios que é o intervalo 3 8 Estudaremos agora uma nova forma de combinar duas funções O domínio de h é o intervalo 3 No último termo acima f gx calculamos f em gx Esse tipo de construção ocorre tão frequentemente que lhe foi dado um nome Ao calcular o valor de f g x começase por calcular o valor de gx e depois o valor de fgx O domínio de f g é o conjunto de números x tais que f gx faça sentido Portanto o domínio de f g é o conjunto de números x do domínio de g tais que gx esteja no domínio de f f g 3 f g3 f 9 Na Seção 11 vimos que uma função g pode ser pensada como um equipamento que recebe uma entrada x e produz uma saída gx A composição f g pode então ser pensada como o equipamento que transfere a saída do equipamento g para a entrada do equipamento f A composição f g como a combinação de dois equipamentos Aqui gx é a saída do equipamento g e gx é também a entrada do equipamento f Neste exemplo as funções são denominadas p e t para ajudálo a lembrar que p é a função que fornece a quantia cobrada pela sua empresa de telefonia celular phone e t é a função que fornece o custo total incluindo o imposto A composição não é comutativa Em outras palavras não é necessariamente verdadeiro que f g g f como pode ser demonstrado escolhendose quase qualquer par de funções As soluções para a e b mostram que para essas funções f e g f g 4 g f 4 Nunca cometa o erro de pensar que 1 x2 é igual a 1 x2 Se f for qualquer função e x for qualquer número no domínio de f então f Ix f Ix f x e I fx I f x f x Temos assim o seguinte resultado Isso explica por que I é denominada a função identidade O exemplo seguinte ilustra o processo de iniciarse com uma função e escrevêla sob a forma de uma composição de duas funções mais simples Tipicamente uma função pode ser decomposta na composição de outras funções de várias maneiras diferentes Ambas as soluções potenciais discutidas aqui estão corretas Escolher uma ou outra pode depender do contexto ou do gosto de cada um Veja o Exemplo 7 em que T é decomposta em três funções mais simples Embora a composição não seja comutativa ela é associativa Para provar a associatividade da composição observe que f g hx f g hx f ghx e f g hx f g hx f ghx As equações acima mostram que as funções f g h e f g h têm o mesmo valor para todo número x em seu domínio Então f g h f g h Como a composição é associativa podemos dispensar os parênteses e escrever simplesmente f g h que é a função cujo valor em um número x é f ghx O domínio de f g h é o conjunto dos números x no domínio de h tais que hx está no domínio de g e ghx está no domínio de f Todas as transformações de funções discutidas na Seção 13 podem ser consideradas como composições com funções lineares que definiremos abaixo Usase aqui o termo função linear pois como veremos no Capítulo 2 o gráfico dessa função é uma reta Transformações de funções verticais podem ser expressas sob a forma de composições com uma função linear à esquerda como mostrado no exemplo seguinte O Exemplo 8 da Seção 13 apresenta uma figura dessa transformação de função Transformações de funções horizontais podem ser expressas como composições com uma função linear à direita como mostrado no próximo exemplo O Exemplo 6 da Seção 13 apresenta uma figura dessa transformação de função Combinações de transformações de funções verticais e transformações de funções horizontais podem ser expressas como composições com uma função linear à esquerda e uma função linear à direita como mostrado no próximo exemplo A solução do Exercício 39 da Seção 13 apresenta uma figura dessa transformação de função Para os Exercícios 110 calcule o valor da expressão indicada supondo que f g e h sejam funções completamente definidas pelas seguintes tabelas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 g f1 f g3 g f1 g f3 f f2 f f4 g g4 g g2 f g h1 h g f2 Para os Exercícios 1730 calcule o valor da expressão indicada supondo que f g3 g h6 gh7 fh9 10 11 f g4 f g5 g f4 g f5 f h 3 f h 15 f g h0 h g f0 f g023 f g385 g f023 g f385 h f03 h f07 Nos Exercícios 3136 dadas as funções f e g determine fórmulas para a f g e b g f Simplifique seus resultados tanto quanto possível f x x2 1 gx f x x 12 gx 33 34 35 36 37 38 39 a b 40 a b 41 a b 42 a b 43 44 45 46 47 48 a Determine um número b tal que f g g f em que f x 2x b e gx 3x 4 Determine um número c tal que f g g f em que f x 5x 2 e gx cx 3 Suponha Se f x x3 determine uma função g tal que h f g Se f x x 13 determine uma função g tal que h f g Suponha Se f x determine uma função g tal que h f g Se determine uma função g tal que h f g Suponha Se determine uma função f tal que h f g Se gt t2 determine uma função f tal que h f g Suponha Se determine uma função f tal que h f g Se determine uma função f tal que h f g Nos Exercícios 4346 determine funções f e g cada uma delas mais simples que a função h dada tal que h f g hx x2 12 Nos Exercícios 4748 determine funções f g e h cada uma delas mais simples que a função T dada tal que T f g h Para os Exercícios 4954 suponha que f seja uma função e que g seja uma função definida pela expressão dada Escreva g sob a forma de uma composição de f e uma ou duas funções lineares b 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 Descreva como o gráfico de g pode ser obtido do gráfico de f gx 3f x 2 gx 4f x 7 gx f 5x gx f x gx 2f 3x 4 gx 5f x 8 Para os Problemas 5559 suponha que você esteja trocando moeda no aeroporto de Londres As únicas transações lá efetuadas pelo serviço de troca de moeda são aquelas nas quais uma das moedas é a libra inglesa mas você quer trocar dólares por euros Assim você precisa primeiro trocar os dólares por libras inglesas e depois trocar as libras inglesas por euros No momento em que você quiser fazer o câmbio a função f para trocar dólares por libras inglesas é dada pela fórmula f d 066d 1 e a função g para depois trocar as libras inglesas por euros é dada pela fórmula gp 123p 2 A subtração de 1 ou 2 no número de libras inglesas ou de euros que você recebe é a taxa cobrada pelo serviço de troca de moeda para cada transação A função que descreve o câmbio de dólares para Euros é f g ou g f Justifique sua resposta em termos de qual é a função da qual se obtém o valor primeiro quando calculamos um valor para a composição a função à esquerda ou a função à direita Determine uma fórmula para a função indicada em sua resposta ao Problema 55 Quantos euros você receberia ao trocar US 100 depois de efetuar esse processo de troca em duas etapas Quantos euros você receberia ao trocar US 200 depois de efetuar esse processo de troca em duas etapas Qual processo lhe dá mais euros trocar US 100 para euros duas vezes ou trocar US 200 para Euros uma única vez Suponha f x ax b e gx cx d em que a b c e d são números Demonstre que f g g f se e somente se da 1 bc 1 Suponha que f e g sejam funções Demonstre que a composição f g tem o mesmo domínio que g se e somente se a imagem de g estiver contida no domínio de f Demonstre que a soma de duas funções pares com o mesmo domínio é uma função par Demonstre que o produto de duas funções pares com o mesmo domínio é uma função par Verdadeiro ou falso O produto de uma função par por uma função ímpar com o mesmo domínio é uma função ímpar Justifique sua resposta Verdadeiro ou falso A soma de uma função par com uma função ímpar com o mesmo domínio é uma função ímpar Justifique sua resposta Suponha que g seja uma função par e f seja uma função qualquer Demonstre que f g é uma função par Suponha que f seja uma função par e g seja uma função ímpar Demonstre que f g é uma função par Suponha que f e g sejam ambas funções ímpares A composição f g é uma função par ímpar ou nenhuma dessas Justifique Demonstre que se f g e h forem funções então f g h f h g h Determine funções f g e h tais que f g h f g f h 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 Para os Exercícios 110 calcule o valor da expressão indicada supondo que f g e h sejam funções completamente definidas pelas seguintes tabelas f g 1 SOLUÇÃO f g 1 f g1 f 2 1 g f 1 SOLUÇÃO g f 1 g f 1 g 4 3 f f 2 SOLUÇÃO f f 2 f f 2 f 1 4 g g 4 SOLUÇÃO g g4 g g4 g 3 1 f g h 2 SOLUÇÃO f g h 2 f gh 2 f g 3 f 1 4 Para os Exercícios 1730 calcule o valor da expressão indicada supondo que f g 3 SOLUÇÃO gh 7 SOLUÇÃO 10 SOLUÇÃO f g 4 SOLUÇÃO g f 4 SOLUÇÃO f h 3 SOLUÇÃO 23 25 27 29 31 a b 33 f g h 0 SOLUÇÃO f g 023 SOLUÇÃO g f 023 SOLUÇÃO h f 03 SOLUÇÃO Nos Exercícios 3136 dadas as funções f e g determine fórmulas para a f g e b g f Simplifique seus resultados tanto quanto possível f x x2 1 gx SOLUÇÃO gx x2 2 SOLUÇÃO a b 35 a b 37 SOLUÇÃO Temos Entre a terceira e a quarta linhas acima multiplicamos numerador e denominador por t 42 Temos Entre a terceira e a quarta linhas acima multiplicamos numerador e denominador por t2 1 Determine um número b tal que f g g f em que f x 2x b e gx 3x 4 SOLUÇÃO Calculamos f gx e g fx e depois igualamos as duas expressões isolando b Começamos por f gx f gx f gx f 3x 4 2 3x 4 b 6x 8 b A seguir calculamos g fx g fx g fx g 2x b 3 2x b 4 6x 3b 4 Olhando para as expressões para f gx e g fx vemos que elas são iguais se 39 a b a b 41 a b a b 43 45 Isolando b obtemos b 2 Suponha Se f x x3 determine uma função g tal que h f g Se f x x 13 determine uma função g tal que h f g Queremos que a seguinte equação seja válida hx f gx Substituindo h e f por suas fórmulas obtemos Olhando para a equação acima vemos que queremos Queremos que a seguinte equação seja válida hx f gx Substituindo h e f pelas suas fórmulas obtemos Olhando para a equação acima vemos que queremos Suponha Se determine uma função f tal que h f g Se gt t2 determine uma função f tal que h f g Queremos que a seguinte equação seja válida ht f gt Substituindo h e g por suas fórmulas obtemos Olhando para a equação acima vemos que queremos escolher Queremos que a seguinte equação seja válida ht f gt Substituindo h e g por suas fórmulas obtemos Olhando para a equação acima vemos que queremos escolher Nos Exercícios 4346 determine funções f e g cada uma delas mais simples que a função h dada tal que h f g hx x2 12 SOLUÇÃO A última operação efetuada no cálculo de hx é a elevação ao quadrado Então a maneira mais natural de escrever h como uma composição de duas funções f e g é escolher f x x2 que por sua vez sugere que escolhamos gx x2 1 47 a b 49 a b 51 a b 53 a b SOLUÇÃO A última operação efetuada no cálculo de hx é a divisão de 3 por certa expressão Então a maneira mais natural de escrever h como uma composição de duas funções f e g é escolher que por sua vez requer que escolhamos gx 2 x2 Nos Exercícios 4748 determine funções f g e h cada uma delas mais simples que a função T dada tal que T f g h SOLUÇÃO Uma boa solução é estabelecer gx 5 x hx x2 Para os Exercícios 4954 suponha que f seja uma função e que g seja uma função definida pela expressão dada Escreva g sob a forma de uma composição de f e uma ou duas funções lineares Descreva como o gráfico de g pode ser obtido do gráfico de f gx 3f x 2 SOLUÇÃO Defina uma função linear h por hx 3x 2 Portanto g h f O gráfico de g é obtido pelo alongamento vertical do gráfico de f por um fator 3 e depois por seu deslocamento 2 unidades para baixo gx f 5x SOLUÇÃO Defina uma função linear h por hx 5x Portanto g f h O gráfico de g é obtido pelo alongamento horizontal do gráfico de f por um fator gx 2f 3x 4 SOLUÇÃO Defina funções lineares h e p por hx 2x 4 e px 3x Portanto g h f p O gráfico de g é obtido pelo alongamento horizontal do gráfico de f por um fator alongandoo depois verticalmente por um fator 2 e finalmente deslocandoo 4 unidades para cima O conceito de função inversa tem um papel fundamental neste livro na definição de raízes logaritmos e funções trigonométricas inversas Para motivar esse conceito começamos com alguns exemplos simples Suponha que f seja a função definida por f x 3x Dado um valor de x podemos determinar o valor de f x usando a fórmula que define f Por exemplo para x 5 vemos que f 5 é igual a 15 No problema inverso temos o valor de f x e queremos determinar o valor de x O seguinte exemplo ilustra a ideia do problema inverso Para cada número y o item c do exemplo acima quer saber qual é o número x tal que f x y Esse número x é denominado f1 y que se lê f inversa de y O exemplo acima mostra que se f x 3x então f1 6 2 f1 300 100 e de forma geral f1 y para todo número y As funções inversas serão definidas mais precisamente depois que trabalharmos alguns exemplos Para observar como podem originarse funções inversas com base em problemas do mundo real suponha que você saiba que uma temperatura de x graus Celsius corresponde a graus Fahrenheit deduzimos essa fórmula no Exemplo 5 da Seção 21 Em outras palavras você sabe que a função f que converte a escala de temperaturas Celsius para a escala de temperaturas Fahrenheit é dada pela fórmula f x x 32 Se for dada uma temperatura na escala Fahrenheit e quisermos convertêla para Celsius estamos face ao problema de determinar a inversa da função acima como demonstrado no exemplo a seguir Por exemplo como f20 68 a fórmula mostra que uma temperatura de 20o Celsius corresponde a 68o Fahrenheit A escala de temperaturas Fahrenheit foi inventada no século XVIII pelo físico e engenheiro alemão Daniel Gabriel Fahrenheit A escala de temperaturas Celsius tem seu nome em homenagem ao astrônomo sueco do século XVIII Anders Celsius que originalmente propôs uma escala de temperaturas com 0 no ponto de ebulição da água e 100 no ponto de fusão do gelo Mais tarde isso foi revertido resultando na escala que nos é familiar na qual números mais altos correspondem a temperaturas mais quentes No exemplo acima temos f x Para qualquer número y o item b do exemplo acima quer saber qual é o valor de x tal que f x y Representamos esse número por f1 y O item a do exemplo acima mostra que f1 95 35 o item b mostra de forma mais geral que f1 y y 32 Neste exemplo a função f converte de Celsius para Fahrenheit e a função f1 atua em sentido contrário convertendo de Fahrenheit para Celsius Para observar as dificuldades que podem surgir dos problemas inversos considere a função f cujo domínio é o conjunto dos números reais definida pela fórmula f x x2 Suponha que nos é dado que x é um número tal que f x 16 e que nos é solicitado determinar o valor de x Evidentemente f 4 16 mas também f 4 16 Assim com a informação dada não existe maneira de determinar um único valor de x tal que f x 16 Portanto não existe função inversa neste caso A dificuldade da falta de uma solução única para o problema inverso pode frequentemente ser resolvida pela alteração do domínio Por exemplo considere a função g cujo domínio é o conjunto dos números positivos definidos pela fórmula gx x2 Observe que g é definida pela mesma fórmula que f do parágrafo anterior mas que essas funções não são iguais pois possuem domínios distintos Se agora for dado que x é um número no domínio de g tal que gx 16 e nos for solicitado determinar x podemos afirmar que x 4 De forma geral dado um número positivo qualquer y podemos determinar o número x no domínio de g tal que gx y Este número x que depende de y é representado por g1 y e dado pela fórmula g1 y Vimos anteriormente que a função f definida por f x x2 e com domínio igual ao conjunto dos números reais não possui inversa porque a equação f x 16 em particular possui mais de uma solução Uma função é dita bijetora se essa situação não ocorrer Funções bijetoras são precisamente as funções que possuem inversas Por exemplo a função f cujo domínio é o conjunto dos números reais definida por f x x2 não é bijetora pois existem dois números x distintos no domínio de f tais que f x 16 poderíamos ter usado qualquer número positivo em vez de 16 para mostrar que f não é bijetora Por outro lado a função g cujo domínio é o conjunto dos números positivos definida por gx x2 é bijetora Estamos agora prontos para apresentar a definição formal de função inversa Se f for uma função bijetora então para cada y na imagem de f teremos um número f1 y unicamente definido Assim f1 é ela própria uma função A função inversa não é definida para uma função que não seja bijetora Pense em f1 como algo que desfaça qualquer coisa que f fizer A lista a seguir apresenta alguns exemplos de uma função f e sua inversa f1 A primeira entrada na lista acima mostra que se f for a função que adiciona 2 a um número então f1 subtrai 2 de um número A segunda entrada na lista acima mostra que se f for a função que multiplica um número por 3 então f1 divide um número por 3 Da mesma forma a terceira entrada na lista acima mostra que se f for a função que eleva um número ao quadrado então f1 é a função que extrai a raiz quadrada de um número aqui supomos que o domínio de f seja o conjunto dos números não negativos tal que tenhamos uma função bijetora Finalmente a quarta entrada na lista acima mostra que se f for a função que extrai a raiz quadrada de um número então f1 é a função que eleva um número ao quadrado aqui o domínio de f é suposto ser o conjunto dos números não negativos porque a raiz quadrada de um número negativo não é definida com um número real Na Seção 11 vimos que uma função f pode ser pensada como um equipamento que recebe uma entrada x e produz uma saída f x Da mesma forma podemos pensar em f1 como um equipamento que recebe uma entrada f x e produz uma saída x Se a imaginarmos um equipamento f1 reverte a ação de f O procedimento para determinar uma fórmula para uma função inversa pode ser descrito como segue A equação fx 2 não tem solução tente resolvêla para ver o porquê portanto f1 2 não é definida O domínio e a imagem de uma função bijetora são satisfatoriamente relacionados com o domínio e a imagem da sua inversa Para entender essa relação considere uma função f bijetora Observe que f1 y é definida precisamente quando y está na imagem de f Assim o domínio de f1 é igual à imagem de f Da mesma forma como f1 reverte a ação de f observamos de imediato que a imagem de f1 é igual ao domínio de f Podemos resumir a relação entre os domínios e as imagens de funções e suas inversas como segue Este exemplo ilustra como a função inversa permuta o domínio e a imagem da função original O exemplo seguinte ajudará a motivar nosso próximo resultado Equações similares valem para a composição de qualquer função bijetora e sua inversa Para observar por que esses resultados são válidos comece por supor y como um número na imagem de f Seja x f1 y Assim f x y Portanto f f1 y f x y como previsto anteriormente Para verificar a segunda conclusão do boxe acima suponha que x seja um número no domínio de f Seja y f x Assim f1 y x Portanto f1 f x f1 y x como previsto Lembre que I é a função identidade definida por Ix x em que deixamos vago o domínio ou poderíamos da mesma forma ter definido I pela equação Iy y Assim os resultados do boxe acima poderiam ser expressos pelas equações f f1 I e f1 f I Aqui a função I na primeira equação tem domínio igual à imagem de f que é igual ao domínio de f1 e a função I na segunda equação tem o mesmo domínio que f As equações acima justificam o porquê da terminologia inversa que é usada para a função inversa f1 é a inversa de f sob composição no sentido de que a composição de f e f1 em qualquer ordem fornece a função identidade Aqui começamos com x como entrada e terminamos com x como saída Esta figura ilustra portanto a equação f1 f I A figura abaixo ilustra a equação f1 f I pensando em f e em f1 como equipamentos Começamos com x como entrada O primeiro equipamento produz como saída f x que depois se torna entrada para o segundo equipamento a saída é x porque o segundo equipamento que é baseado em f1 reverte a ação de f Suponha que você precise calcular a inversa de uma função f Como discutido anteriormente para determinar uma fórmula para f1 você precisa resolver a equação f x y para x em termos de y Uma vez que você obteve uma fórmula para f1 uma boa forma de testar se seu resultado está correto é verificar uma ou ambas as equações do boxe acima Para estar duplamente seguros de que não cometemos nenhum erro de manipulação algébrica poderíamos também verificar que para todo número real x Entretanto um teste apenas já é considerado suficiente A notação y f x leva naturalmente à notação f1 y Lembrese entretanto de que ao definir uma função a variável é simplesmente um marcador de espaço Poderíamos usar outras letras inclusive x como a variável para a função inversa Como exemplo consideremos a função f com domínio igual ao conjunto dos números positivos definida pela equação f x x2 Como sabemos a função inversa é dada pela fórmula f1 y Entretanto a função inversa também poderia ser caracterizada pela fórmula f1 x Outras letras também poderiam ser utilizadas para o marcador de espaço Por exemplo poderíamos também caracterizar a função inversa pela fórmula f1 t A notação f1 para a inversa de uma função que significa a inversa sob composição não pode ser confundida com o inverso multiplicativo Em outras palavras Entretanto se o expoente 1 for colocado em qualquer outro lugar que não imediatamente após um símbolo de função então a interpretação deverá provavelmente ser a do inverso multiplicativo 1 2 3 4 5 6 7 8 Não confunda f1 y com fy1 Quando lidar com problemas do mundo real você pode querer escolher a notação para refletir o contexto O exemplo a seguir ilustra essa ideia com o uso da variável d para representar distância e t para representar tempo Para os Exercícios 18 teste sua resposta calculando o valor da função apropriada para sua resposta Suponha f x 4x 6 Calcule o valor de f1 5 Suponha f x 7x 5 Calcule o valor de f1 3 Suponha Calcule o valor de g13 Suponha Calcule o valor de g12 Suponha f x 3x 2 Determine uma fórmula para f1 Suponha f x 8x 9 Determine uma fórmula para f1 Suponha Determine uma fórmula para h1 Suponha Determine uma fórmula para h1 9 a b c 10 a b c 11 12 13 14 a b c d e 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 Suponha Calcule o valor de f1 4 Calcule o valor de f 41 Calcule o valor de f 41 Suponha Calcule o valor de h1 9 Calcule o valor de h91 Calcule o valor de h91 Suponha gx x2 4 sendo o domínio de g o conjunto dos números positivos Calcule o valor de g17 Suponha gx 3x2 5 sendo o domínio de g o conjunto dos números positivos Calcule o valor de g18 Suponha hx 5x2 7 sendo o domínio de h o conjunto dos números positivos Determine uma fórmula para h1 Suponha hx 3x2 4 sendo o domínio de h o conjunto dos números positivos Determine uma fórmula para h1 Para cada uma das funções f dadas nos Exercícios 1524 Determine o domínio de f Determine a imagem de f Determine uma fórmula para f1 Determine o domínio de f1 Determine a imagem de f1 Você pode testar suas soluções ao item c verificando que f1 f I e f f1 I lembre que I é a função definida por Ix x f x 3x 5 f x 2x 7 f x x2 8 sendo o domínio de f igual a 0 f x 2x2 5 sendo o domínio de f igual a 0 Suponha f x x5 2x3 Qual dos números listados abaixo é igual a f1 810693 11 12 13 14 Para esta função em particular não é possível determinar uma fórmula para f1 y Suponha f x 3x5 4x3 Qual dos números listados abaixo é igual a f1 028672 02 03 04 05 27 28 29 30 31 a b 32 a b 33 a b c 34 35 36 37 38 39 Para esta função em particular não é possível determinar uma fórmula para f1 y Para os Exercícios 2728 use a função imposto de renda federal dos EUA em 2011 para uma única pessoa como definida no Exemplo 2 da Seção 11 Qual é a renda tributável de uma única pessoa que pagou US 10000 em impostos federais para 2011 Qual é a renda tributável de uma única pessoa que pagou US 20000 em impostos federais para 2011 Suponha gx x7 x3 Calcule o valor de g147 g143 1 Suponha gx 8x9 7x3 Calcule o valor de 8g1 59 7 g1 53 3 O número exato de metros em y jardas é f y em que f é a função definida por f y 09144y Determine uma fórmula para f1m Qual é o significado de f1m O número exato de quilômetros em M milhas é f M em que f é a função definida por f M 1609344M Determine uma fórmula para f1k Qual é o significado de f1k Uma temperatura de F graus Fahrenheit corresponde a gF graus na escala de temperaturas Kelvin em que gF F 25537 Determine uma fórmula para g1 K Qual é o significado de g1K Calcule o valor de g10 Este é o zero absoluto a temperatura mais baixa possível porque toda a atividade molecular cessa a 0 Kelvin Suponha que g seja a função imposto de renda federal definida no Exemplo 2 da Seção 11 Qual é o significado da função g 1 Suponha que f seja a função cujo domínio é o conjunto dos números reais com f definida nesse domínio pela fórmula fx x 6 Explique por que f não é uma função bijetora Suponha que g seja a função cujo domínio é o intervalo 2 2 com g definida nesse domínio pela fórmula gx 5x2 3 7777 Explique por que g não é uma função bijetora Demonstre que se f for a função definida por f x mx b em que m 0 então f é uma função bijetora Demonstre que se f for a função definida por f x mx b em que m 0 então a função inversa f1 é definida pela fórmula Considere a função h cujo domínio é o intervalo 4 4 com h definida nesse domínio pela fórmula hx 2 x2 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 1 3 A função h possui uma inversa Em caso afirmativo determinea bem como seu domínio e sua imagem Em caso negativo justifique por que não Considere a função h cujo domínio é o intervalo 3 3 com h definida nesse domínio pela fórmula hx 3 x2 A função h possui uma inversa Em caso afirmativo determinea bem como seu domínio e sua imagem Em caso negativo justifique por que não Suponha que f seja uma função bijetora Justifique por que a inversa da inversa de f é igual a f Em outras palavras justifique por que f11 f A função f definida por fx x2 x3 é bijetora aqui o domínio de f é o conjunto dos números reais Calcule f1 y para quatro valores distintos de y a sua escolha Para esta função em particular não é possível determinar uma fórmula para f1 y Suponha que f seja uma função cujo domínio é igual a 2 4 7 8 9 e cuja imagem é igual a 3 0 2 6 7 Explique por que f é uma função bijetora Suponha que f seja uma função cujo domínio é igual a 2 4 7 8 9 e cuja imagem é igual a 3 0 2 6 Explique por que f não é uma função bijetora Demonstre que a composição de duas funções bijetoras é uma função bijetora Dê um exemplo para mostrar que a soma de duas funções bijetoras não é necessariamente uma função bijetora Dê um exemplo para mostrar que o produto de duas funções bijetoras não é necessariamente uma função bijetora Dê um exemplo de uma função f tal que o domínio de f e a imagem de f sejam ambos iguais ao conjunto dos inteiros mas f não seja uma função bijetora Dê um exemplo de uma função bijetora cujo domínio é igual ao conjunto dos inteiros e cuja imagem é igual ao conjunto dos inteiros positivos Para os Exercícios 18 teste sua resposta calculando o valor da função apropriada para sua resposta Suponha f x 4x 6 Calcule o valor de f1 5 SOLUÇÃO Precisamos determinar um número x tal que f x 5 Em outras palavras precisamos resolver a equação 4x 6 5 Essa equação tem solução x Então temos que f1 5 VERIFICAÇÃO Para verificar que f15 precisamos verificar que f 5 Assim temos como desejado Suponha Calcule o valor de g13 SOLUÇÃO Precisamos determinar um número x tal que gx 3 Em outras palavras precisamos resolver a equação Multiplicando ambos os lados dessa equação por x 1 obtemos a equação x 2 3x 3 5 7 que tem solução x Assim temos que g13 VERIFICAÇÃO Para verificar que g13 precisamos verificar que g 3 Assim temos como desejado Suponha f x 3x 2 Determine uma fórmula para f1 SOLUÇÃO Para cada número y precisamos determinar um número x tal que f x y Em outras palavras precisamos resolver a equação 3x 2 y para x em termos de y Subtraindose 2 de ambos os lados da equação acima e depois dividindose ambos os lados por 3 obtemos Então para todo número y VERIFICAÇÃO Para verificar que precisamos verificar que Assim temos como desejado Suponha Determine uma fórmula para h1 SOLUÇÃO Para cada número y precisamos determinar um número t tal que ht y Em outras palavras precisamos resolver a equação para t em termos de y Multiplicandose ambos os lados da equação por 2 t e depois agrupando de um mesmo lado todos os termos com t obtemos t yt 2y 1 Reescrevendo o lado esquerdo como 1 y t e depois dividindo ambos os lados por 1 y obtemos Então para todo número y 1 VERIFICAÇÃO Para verificar que precisamos verificar que Assim temos Multiplicandose numerador e denominador da expressão à direita por 1 y obtemos 9 a b c a b 11 13 c como desejado Suponha Determine o valor de f14 Determine o valor de f 41 Determine o valor de f 41 SOLUÇÃO Precisamos determinar um número x tal que f x 4 Em outras palavras precisamos resolver a equação Subtraindose 2 de ambos os lados da equação e depois multiplicandose ambos os lados por x 6 obtemos a equação x 5 2x 12 que tem como solução x 17 Então f1 4 17 Observe que Então Suponha gx x2 4 sendo o domínio de g o conjunto dos números positivos Calcule o valor de g1 7 SOLUÇÃO Precisamos determinar um número positivo x tal que gx 7 Em outras palavras necessitamos determinar uma solução positiva para a equação x2 4 7 que é equivalente à equação x2 3 A equação acima tem as soluções Como o domínio de g é o conjunto de números positivos o valor de x que estamos procurando deve ser positivo A segunda solução acima é negativa e pode então ser descartada levando a g1 7 Suponha hx 5x2 7 sendo o domínio de h o conjunto dos números positivos Determine uma fórmula para h1 SOLUÇÃO Para cada número y precisamos determinar um número x tal que hx y Em outras palavras precisamos resolver a equação 5x2 7 y para x em termos de y Subtraindose 7 de ambos os lados da equação acima depois dividindose ambos os lados por 5 e finalmente extraindose as raízes quadradas obtemos de que escolhemos a raiz quadrada positiva porque x precisa ser um número positivo Assim a b c d e 15 a b c d e 17 a b para todo número y 7 A restrição de y 7 é necessária para garantir que tenhamos um número positivo quando calcularmos o valor da fórmula acima Para cada uma das funções f dadas nos Exercícios 1524 Determine o domínio de f Determine a imagem de f Determine uma fórmula para f1 Determine o domínio de f1 Determine a imagem de f1 Você pode testar suas soluções ao item c verificando que f1 f I e f f1 I lembre que I é a função definida por Ix x f x 3x 5 SOLUÇÃO A expressão 3x 5 faz sentido para todos os números reais x Então o domínio de f é o conjunto dos números reais Para determinar a imagem de f precisamos determinar os números y tais que y 3x 5 para algum x no domínio de f Em outras palavras precisamos determinar os valores de y tais que a equação acima possa ser resolvida para um número real x Resolvendo a equação acima para x obtemos A expressão acima do lado direito faz sentido para todo número real y Assim a imagem de f é o conjunto dos números reais A expressão acima mostra que f1 é dada pela fórmula O domínio de f1 é igual à imagem de f Portanto o domínio de f1 é o conjunto dos números reais A imagem de f1 é igual ao domínio de f Portanto a imagem de f1 é o conjunto dos números reais SOLUÇÃO A expressão faz sentido para todos os números reais x exceto quando 3x 2 0 Resolvendo essa equação para x obtemos Então o domínio de f é o conjunto Para determinar a imagem de f precisamos determinar os números y tais que para algum x no domínio de f Em outras palavras precisamos determinar os valores de y tais que a equação acima possa ser resolvida para um número real Para resolver essa equação para x multiplicamos ambos os lados por 3x 2 de que obtemos 3xy 2y 1 Agora subtraímos 2y de ambos os lados e depois os dividimos por 3y levando a A expressão acima do lado direito faz sentido para todo número real y 0 e produz um número porque a equação c d e 19 a b c d e 21 a b c d não faz sentido como você mesmo pode verificar se tentar resolvêla para y Portanto a imagem de f é o conjunto y y 0 A expressão acima mostra que f1 é dada pela fórmula O domínio de f1 é igual à imagem de f Portanto o domínio de f1 é o conjunto y y 0 A imagem de f1 é igual ao domínio de f Portanto a imagem de f1 é o conjunto SOLUÇÃO A expressão faz sentido para todos os números reais x exceto quando x 3 Portanto o domínio de f é o conjunto x x 3 Para determinar a imagem de f precisamos determinar os números y tais que para algum x no domínio de f Em outras palavras precisamos determinar os valores de y tais que a equação acima possa ser resolvida para um número real x 3 Para resolver essa equação para x multiplicamos ambos os lados por x 3 de que obtemos xy 3y 2x Agora subtraímos xy de ambos os lados obtendo 3y 2x xy x2 y A divisão por 2 y fornece A expressão acima do lado direito faz sentido para todo número real y 2 e produz um número x 3 porque a equação não faz sentido como você mesmo pode verificar se tentar resolvêla para y Portanto a imagem de f é o conjunto y y 2 A expressão acima mostra que f1 é dada pela fórmula O domínio de f1 é igual à imagem de f Portanto o domínio de f1 é o conjunto y y 2 A imagem de f1 é igual ao domínio de f Portanto a imagem de f1 é o conjunto x x 3 SOLUÇÃO A expressão que define f x faz sentido para todos os números reais x Portanto o domínio de f é o conjunto dos números reais Para determinar a imagem de f precisamos determinar os números y tais que y f x para algum número real x Da definição de f vemos que se y 0 então e se y 0 então Assim todo número real y está na imagem de f Em outras palavras a imagem de f é o conjunto de todos os números reais Do parágrafo acima vemos que f1 é dada pela fórmula O domínio de f1 é igual à imagem de f Portanto o domínio de f1 é o conjunto dos números reais e 23 a b c d e 25 27 A imagem de f1 é igual ao domínio de f Portanto a imagem de f1 é o conjunto dos números reais f x x2 8 sendo o domínio de f igual a 0 SOLUÇÃO Como parte da definição da função f o domínio foi especificado como o intervalo 0 que é o conjunto dos números positivos Para determinar a imagem de f precisamos determinar os números y tais que y x2 8 para algum x no domínio de f Em outras palavras precisamos determinar os valores de y tais que a equação acima possa ser resolvida para um número x positivo Para resolver essa equação para x subtraímos 8 de ambos os lados e depois extraímos raízes quadradas de ambos os lados obtendo de que escolhemos a raiz quadrada positiva de y 8 porque x precisa ser um número positivo A expressão acima do lado direito faz sentido e produz um número positivo x para todo número y 8 Portanto a imagem de f é o intervalo 8 A expressão acima mostra que f1 é dada pela fórmula O domínio de f1 é igual à imagem de f Portanto o domínio de f1 é o intervalo 8 A imagem de f1 é igual ao domínio de f Portanto a imagem de f1 é o conjunto dos números positivos Suponha f x x5 2 x3 Qual dos números listados abaixo é igual a f1 810693 11 12 13 14 SOLUÇÃO Primeiro testamos se f1 810693 é ou não igual a 11 verificando se f 11 é ou não igual a 810693 Usando uma calculadora calculamos que f 11 427251 o que significa que f1 810693 11 A seguir para testar se f1 810693 é ou não igual a 12 verificamos se f 12 é ou não igual a 810693 Usando uma calculadora calculamos que f 12 594432 o que significa que f1 810693 12 Na sequência para testar se f1 810693 é ou não igual a 13 verificamos se f 13 é ou não igual a 810693 Usando uma calculadora calculamos que f 13 810693 o que significa que f1 810693 13 Para os Exercícios 2728 use a função imposto de renda federal dos EUA em 2011 para uma única pessoa como definida no Exemplo 2 da Seção 11 Qual é a renda tributável de uma única pessoa que pagou US 10000 em impostos federais para 2011 SOLUÇÃO Seja g a função imposto de renda como definida no Exemplo 2 da Seção 11 Precisamos calcular o valor de g 110000 Estabelecendo que t g110000 isto significa que precisamos resolver a equação gt 10000 para t Para determinar qual fórmula aplicar é necessário ter um pouco de experiência Usando a definição de g podemos calcular que g8500 850 g34500 4750 e g83600 17025 Como 10000 está entre 4750 e 17025 significa que t está entre 34500 e 83600 Portanto gt 025 t 3875 Resolvendo a equação 025t 3875 10000 para t obtemos t 55500 Assim uma única pessoa cuja conta com o imposto federal tenha sido de US 10000 teve uma 29 renda tributável de US 55500 Suponha gx x7 x3 Calcule g1 47 g1 43 1 SOLUÇÃO É solicitado que calculemos gg1 4 1 Como gg14 4 a quantidade acima é igual a 5 Começaremos com um exemplo que ilustra como o gráfico de uma função inversa é relacionado ao gráfico da função original A relação acima entre o gráfico de x2 e o gráfico da sua inversa vale para o gráfico de qualquer função bijetora e de sua inversa Por exemplo suponha que o ponto 2 1 esteja sobre o gráfico de alguma função bijetora f Isto significa que f 2 1 o que é equivalente a f1 1 2 significando que 1 2 está sobre o gráfico de f1 A figura aqui apresentada mostra que o ponto 1 2 pode ser obtido refletindose o ponto 2 1 sobre a reta y x Pela reflexão do ponto 2 1 azul sobre a reta y x obtémse o ponto 1 2 vermelho De forma geral um ponto a b está sobre o gráfico de uma função bijetora f se e somente se b a estiver sobre o gráfico da sua função inversa f1 Em outras palavras o gráfico de f1 pode ser obtido permutandose a primeira e a segunda coordenadas de cada ponto sobre o gráfico de f Se estivermos trabalhando no plano xy permutar a primeira e a segunda coordenadas resulta em fazer uma reflexão sobre a reta y x Supomos aqui que estamos trabalhando no plano xy Estamos supondo também que a mesma escala esteja sendo usada em ambos os eixos Às vezes não é possível obter uma fórmula explícita para f1 pois a equação f x y não pode ser resolvida para x ainda que f seja uma função bijetora No entanto mesmo em tais casos podemos obter o gráfico de f1 O gráfico de uma função pode ser usado para determinar se a função é ou não bijetora e assim se a função possui ou não uma inversa O método apresentado no exemplo acima pode ser usado com o gráfico de qualquer função Escreveremos aqui o enunciado formal do teste resultante Se você determinar ainda que uma única reta horizontal intercepta o gráfico em mais de um ponto então a função não é bijetora Por sua vez determinar uma reta horizontal que intercepte o gráfico em no máximo um ponto não repercute em nada no fato de a função ser ou não bijetora Para a função ser bijetora toda reta horizontal deve interceptar o gráfico em no máximo um ponto As funções que possuem inversas são precisamente as funções bijetoras Assim o teste da reta horizontal pode ser usado para determinar se uma função possui ou não uma inversa O domínio da função mostrada aqui é o intervalo 1 6 No intervalo 1 3 o gráfico dessa função sobe quando o percorremos da esquerda para a direita Dizemos então que essa função é crescente no intervalo 1 3 No intervalo 3 6 o gráfico da função desce quando o percorremos da esquerda para a direita Dizemos então que essa função é decrescente no intervalo 3 6 Estabelecemos abaixo as definições formais Uma função é dita crescente se seu gráfico subir ao ser percorrido da esquerda para a direita em todo seu domínio Abaixo a definição formal Como explicado aqui os termos crescente e decrescente são às vezes usados sem referência a nenhum intervalo específico Da mesma forma uma função é dita decrescente se seu gráfico descer ao ser percorrido da esquerda para a direita em todo seu domínio como definido abaixo Toda reta horizontal intercepta o gráfico de uma função crescente em no máximo um ponto e o mesmo ocorre para o gráfico de uma função decrescente Então temos Esse resultado implica que uma função que é ou crescente ou decrescente tem uma inversa O resultado acima leva à seguinte questão será que toda função bijetora deve ser crescente ou decrescente O gráfico que apresentamos aqui responde essa questão Especificamente esta função é bijetora pois toda reta horizontal intercepta o gráfico em no máximo um ponto Entretanto esta função não é nem crescente nem decrescente O gráfico no exemplo aqui apresentado não é um segmento conectado em uma única parte você não consegue desenhálo sem levantar o seu lápis do papel Uma função bijetora cujo gráfico consiste em uma única parte conectada deve ser ou crescente ou decrescente Entretanto uma explicação rigorosa da razão por que esse resultado é válido requer ferramentas estudadas no conteúdo da disciplina de cálculo Suponha que f seja uma função crescente e que a e b sejam números no domínio de f com a b Assim f a f b Lembre que f a e f b são números no domínio de f1 Temos f1 f a f1 f b O gráfico de uma função bijetora que não é nem crescente nem decrescente pois f1 f a a e f1 f b b A desigualdade acima mostra que f1 é uma função crescente Em outras palavras acabamos de demonstrar que a inversa de uma função crescente é crescente No Exemplo 2 apresentamos uma figura com os gráficos de uma função e de sua inversa que ilustra graficamente este resultado Um resultado similar vale para funções decrescentes Para funções cujo domínio consiste em apenas um número finito de números uma boa visão da ideia de função inversa é fornecida por tabelas As ideias usadas no exemplo acima aplicamse a qualquer função definida por uma tabela como resumido a seguir 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Para os Exercícios 112 utilize os seguintes gráficos O gráfico de f O gráfico de g Aqui f tem domínio 0 4 e g tem domínio 1 5 Qual é o maior intervalo no domínio de f no qual f é crescente Qual é o maior intervalo no domínio de g no qual g é crescente Representemos por F a função obtida de f pela restrição do domínio para o intervalo que você respondeu no Exercício 1 Qual é o domínio de F1 Representemos por G a função obtida de g pela restrição do domínio para o intervalo que você respondeu no Exercício 2 Qual é o domínio de G1 Com F do Exercício 3 qual é a imagem de F1 Com G do Exercício 4 qual é a imagem de G1 Qual é o maior intervalo no domínio de f no qual f é decrescente Qual é o maior intervalo no domínio de g no qual g é decrescente Representemos por H a função obtida de f pela restrição do domínio para o intervalo que você respondeu no Exercício 7 Qual é o domínio de H1 Representemos por J a função obtida de g pela restrição do domínio para o intervalo que você respondeu no Exercício 8 Qual é o domínio de J1 Com H do Exercício 9 qual é a imagem de H1 Com J do Exercício 10 qual é a imagem de J1 Para os Exercícios 1336 suponha que f e g sejam funções cada uma com domínio de quatro números sendo f e g definidas pelas tabelas a seguir Qual é o domínio de f Qual é o domínio de g 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 a b c 38 39 40 41 42 43 44 45 Qual é a imagem de f Qual é a imagem de g Esboce o gráfico de f Esboce o gráfico de g Escreva a tabela de valores para f1 Escreva a tabela de valores para g1 Qual é o domínio de f1 Qual é o domínio de g1 Qual é a imagem de f1 Qual é a imagem de g1 Esboce o gráfico de f1 Esboce o gráfico de g1 Escreva a tabela de valores para f1 f Escreva a tabela de valores para g1 g Escreva a tabela de valores para f f1 Escreva a tabela de valores para g g1 Escreva a tabela de valores para f g Escreva a tabela de valores para g f Escreva a tabela de valores para f g1 Escreva a tabela de valores para g f1 Escreva a tabela de valores para g1 f1 Escreva a tabela de valores para f1 g1 Suponha que f seja a função cujo domínio é o intervalo 2 2 com f definida pela seguinte fórmula Esboce o gráfico de f Explique por que o gráfico de f mostra que f não é uma função bijetora Dê um exemplo explícito de dois números distintos a e b tais que f a f b Desenhe o gráfico de uma função que seja crescente no intervalo 2 0 e decrescente no intervalo 0 2 Desenhe o gráfico de uma função que seja decrescente no intervalo 2 1 e crescente no intervalo 1 5 Dê um exemplo de uma função crescente cujo domínio é o intervalo 0 1 mas cuja imagem não é igual ao intervalo f 0 f 1 Demonstre que a soma de duas funções crescentes é crescente Dê um exemplo de duas funções crescentes cujo produto não é crescente Dica Não há exemplos assim quando as funções forem ambas sempre positivas Dê um exemplo de duas funções decrescentes cujo produto é crescente Mostre que a composição de duas funções crescentes é crescente Explique por que é importante como uma questão de política social que a função imposto de renda g do Exemplo 2 da Seção 11 seja uma função crescente 46 47 48 49 1 3 5 7 9 Suponha que a função imposto de renda do Exemplo 2 da Seção 11 seja alterada de forma que gx 015x 450 se 8500 x 34500 deixando as outras partes da definição de g sem alteração Demonstre que com essa alteração a função g do imposto de renda não seria mais uma função crescente Suponha que a função imposto de renda do Exemplo 2 da Seção 11 seja alterada de forma que gx 014x 425 se 8500 x 34500 deixando as outras partes da definição de g sem alteração Demonstre que com essa alteração a função g do imposto de renda não seria mais uma função crescente Explique por que uma função par cujo domínio contenha um número diferente de zero não pode ser uma função bijetora As soluções para os Exercícios 33 e 35 são iguais sugerindo que f g1 g1 f1 Explique por que a equação acima vale sempre que f e g forem funções bijetoras de tal forma que a imagem de g seja igual ao domínio de f Para os Exercícios 112 utilize os seguintes gráficos O gráfico de f O gráfico de g Aqui f tem domínio 0 4 e g tem domínio 1 5 Qual é o maior intervalo no domínio de f no qual f é crescente SOLUÇÃO Como pode ser visto no gráfico 3 4 é o maior intervalo no qual f é crescente Como sempre quando obtemos informação apenas de gráficos esta resposta bem como as respostas aos outros itens deste exercício devem ser consideradas uma aproximação Um gráfico expandido para uma escala maior poderia mostrar que 299 4 ou 301 4 seria uma resposta mais precisa do que 3 4 Representemos por F a função obtida de f pela restrição do domínio para o intervalo que você respondeu no Exercício 1 Qual é o domínio de F1 SOLUÇÃO O domínio de F1 é igual à imagem de F Como F é a função f com domínio restrito ao intervalo 3 4 vemos no gráfico acima que a imagem de F é o intervalo 3 2 Assim o domínio de F1 é o intervalo 3 2 Com F do Exercício 3 qual é a imagem de F1 SOLUÇÃO A imagem de F1 é igual ao domínio de F Assim a imagem de F1 é o intervalo 3 4 Qual é o maior intervalo no domínio de f no qual f é decrescente SOLUÇÃO Como pode ser visto no gráfico 0 3 é o maior intervalo no qual f é decrescente Representemos por H a função obtida de f pela restrição do domínio para o intervalo que você respondeu no Exercício 7 Qual 11 13 15 17 19 21 23 25 é o domínio de H1 SOLUÇÃO O domínio de H1 é igual à imagem de H Como H é a função f com domínio restrito ao intervalo 0 3 vemos no gráfico acima que a imagem de H é o intervalo 3 1 Assim o domínio de H1 é o intervalo 3 1 Com H do Exercício 9 qual é a imagem de H1 SOLUÇÃO A imagem de H1 é igual ao domínio de H Assim a imagem de H1 é o intervalo 0 3 Para os Exercícios 1336 suponha que f e g sejam funções cada uma com domínio de quatro números sendo f e g definidas pelas tabelas abaixo Qual é o domínio de f SOLUÇÃO O domínio de f é igual ao conjunto dos números na coluna esquerda da tabela que define f Portanto o domínio de f é igual a 1 2 3 4 Qual é a imagem de f SOLUÇÃO A imagem de f é igual ao conjunto dos números na coluna direita da tabela que define f Portanto a imagem de f é igual a 2 3 4 5 Esboce o gráfico de f SOLUÇÃO O gráfico de f consiste em todos os pontos sob a forma x f x quando x varia sobre o domínio de f Assim o gráfico de f mostrado abaixo consiste nos quatro pontos 1 4 2 5 3 2 e 4 3 Escreva a tabela de valores para f1 SOLUÇÃO A tabela para a inversa de uma função é obtida pela permutação das duas colunas da tabela para a função original depois disso podemse reordenar as linhas como foi feito abaixo Qual é o domínio de f1 SOLUÇÃO O domínio de f1 é igual à imagem de f Portanto o domínio de f1 é o conjunto 2 3 4 5 Qual é a imagem de f1 SOLUÇÃO A imagem de f1 é igual ao domínio de f Portanto a imagem de f1 é o conjunto 1 2 3 4 Esboce o gráfico de f1 SOLUÇÃO O gráfico de f1 consiste em todos os pontos sob a forma x f1 x quando x varia sobre o domínio de f1 Assim o gráfico de f1 mostrado abaixo consiste nos quatro pontos 4 1 5 2 2 3 e 3 4 27 29 31 Escreva a tabela de valores para f1 f SOLUÇÃO Sabemos que f1 f é a função identidade no domínio de f portanto não precisamos fazer cálculos No entanto como essa função f tem apenas quatro números em seu domínio pode ser instrutivo calcular f1 fx para cada valor de x no domínio de f Apresentamos a seguir esse cálculo f1 f 1 f1 f 1 f1 4 1 f1 f 2 f1 f 2 f1 5 2 f1 f 3 f1 f 3 f1 2 3 f1 f 4 f1 f 4 f1 3 4 Assim como esperado a tabela de valores para f1 f é a que escrevemos a seguir Escreva a tabela de valores para f f1 SOLUÇÃO Sabemos que f f1 é a função identidade na imagem de f que é igual ao domínio de f1 portanto não precisamos fazer cálculos No entanto como essa função f tem apenas quatro números em sua imagem pode ser instrutivo calcular f f1y para cada valor de y na imagem de f Apresentamos a seguir esse cálculo f f1 2 f f1 2 f 3 2 f f1 3 f f1 3 f 4 3 f f1 4 f f1 4 f 1 4 f f1 5 f f1 5 f 2 5 Assim como esperado a tabela de valores para f f1 é a que escrevemos a seguir Escreva a tabela de valores para f g SOLUÇÃO Precisamos calcular f gx para cada x no domínio de g Apresentamos a seguir esse cálculo f g 2 f g 2 f 3 2 f g 3 f g 3 f 5 5 f g 4 f g 4 f 3 3 33 35 f g 5 f g 5 f 4 4 Assim a tabela de valores é a apresentada a seguir Escreva a tabela de valores para f g1 SOLUÇÃO A tabela de valores para f g1 é obtida pela permutação das duas colunas da tabela para f g depois disso podemse reordenar as linhas como foi feito abaixo Assim a tabela para f g1 é a apresentada a seguir Escreva a tabela de valores para g1 f1 SOLUÇÃO Precisamos calcular g1 f1y para cada y no domínio de f1 Apresentamos a seguir esses cálculos g1 f1 2 g1 f1 2 g1 3 2 g1 f1 3 g1 f1 3 g1 4 4 g1 f1 4 g1 f1 4 g1 1 5 g1 f1 5 g1 f1 5 g1 2 3 Assim a tabela de valores para g1 f1 é a apresentada a seguir Para certificarse de que você domina os conceitos e as habilidades mais importantes cobertas neste capítulo assegurese de que você consegue executar cada um dos itens da seguinte lista Explicar o conceito de função incluindo o seu domínio Definir a imagem de uma função Localizar pontos no plano de coordenadas Explicar a relação entre uma função e seu gráfico Determinar o domínio e a imagem de uma função com base em seu gráfico Usar o teste da reta vertical para discernir se uma curva é o gráfico de uma função Discernir se uma transformação de função desloca o gráfico para cima para baixo para a esquerda ou para a direita Discernir se uma transformação de função alonga o gráfico verticalmente ou horizontalmente Discernir se uma transformação de função reflete o gráfico verticalmente ou horizontalmente Determinar o domínio a imagem e o gráfico de uma função transformada Discernir se uma função é par ou ímpar ou nenhum dos dois Calcular a composição de duas funções 1 2 3 4 5 6 a b c d e 7 8 9 10 11 Escrever uma função complicada como a composição de funções mais simples Explicar o conceito de função inversa Explicar quais funções possuem inversas Determinar uma fórmula para uma função inversa quando possível Esboçar o gráfico de f1 com base no gráfico de f Usar o teste da reta horizontal para discernir se uma função possui uma inversa Construir uma tabela de valores de f1 com base em uma tabela de valores de f Reconhecer com base em um gráfico se uma função é crescente ou decrescente ou nenhum dos dois em um intervalo Para revisar um capítulo percorra a lista acima procurando identificar itens que você não sabe como executar depois releia no capítulo o material a respeito desses itens Em seguida tente responder as questões de revisão do capítulo formuladas abaixo sem olhar outra vez no capítulo Suponha que f seja uma função Explique o que significa dizer que está no domínio de f Suponha que f seja uma função Explique o que significa dizer que está na imagem de f Escreva o domínio de como uma união de intervalos Dê um exemplo de uma função cujo domínio consiste em cinco números e cuja imagem consiste em três números Dê um exemplo de uma função cujo domínio é o conjunto dos números reais e cuja imagem não é um intervalo Suponha que f seja definida por f x x2 Qual é a imagem de f se o domínio de f for o intervalo 1 3 Qual é a imagem de f se o domínio de f for o intervalo 2 3 Qual é a imagem de f se o domínio de f for o conjunto dos números positivos Qual é a imagem de f se o domínio de f for o conjunto dos números negativos Qual é a imagem de f se o domínio de f for o conjunto dos números reais Explique como determinar o domínio de uma função com base em seu gráfico Explique como determinar a imagem de uma função com base em seu gráfico Explique por que nenhuma função tem como gráfico uma circunferência Explique como usar o teste da reta vertical para discernir se uma curva no plano é ou não o gráfico de uma função Esboce o gráfico de uma curva no plano de coordenadas que não seja o gráfico de nenhuma função Para as Questões 1219 suponha que f seja a função definida no intervalo 1 3 pela fórmula O domínio de f é o intervalo 1 3 a imagem de f é o intervalo e o gráfico de f é o apresentado a seguir O gráfico de f a b c d 12 13 14 15 16 17 18 19 20 a b c d e f 21 22 23 24 25 26 27 28 a b 29 Para cada função g descrita abaixo Esboce o gráfico de g Determine o domínio de g as extremidades desse intervalo devem ser mostradas sobre o eixo horizontal do seu desenho do gráfico de g Escreva uma fórmula para g Determine a imagem de g as extremidades desse intervalo devem ser mostradas sobre o eixo vertical do seu desenho do gráfico de g O gráfico de g é obtido pelo deslocamento do gráfico de f duas unidades para cima O gráfico de g é obtido pelo deslocamento do gráfico de f duas unidades para baixo O gráfico de g é obtido pelo deslocamento do gráfico de f duas unidades para a esquerda O gráfico de g é obtido pelo deslocamento do gráfico de f duas unidades para a direita O gráfico de g é obtido pelo alongamento vertical do gráfico de f por um fator 3 O gráfico de g é obtido pelo alongamento horizontal do gráfico de f por um fator 2 O gráfico de g é obtido pela reflexão do gráfico de f sobre o eixo horizontal O gráfico de g é obtido pela reflexão do gráfico de f sobre o eixo vertical Suponha que f seja uma função bijetora com domínio 1 3 e imagem 2 5 Defina funções g e h por gt 3f t e ht f 4t Qual é o domínio de g Qual é a imagem de g Qual é o domínio de h Qual é a imagem de h Qual é o domínio de f1 Qual é a imagem de f1 Suponha que o domínio de f seja o conjunto de quatro números 1 2 3 4 com f definida pela tabela que mostramos aqui Desenhe o gráfico de f Demonstre que a soma de duas funções ímpares é uma função ímpar Explique por que o produto de duas funções ímpares é uma função par Defina a composição de duas funções Suponha que f e g sejam funções Explique por que o domínio de f g está contido no domínio de g Suponha que f e g sejam funções Explique por que a imagem de f g está contida na imagem de f Suponha que f seja uma função e g uma função linear Explique por que o domínio de g f é igual ao domínio de f Suponha Determine uma função f tal que h f g Determine uma função f tal que h g f Suponha 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 a b c 44 45 a b c 46 a Determine duas funções g e h ambas mais simples do que f tais que f g h Para as Questões 3035 suponha hx 2x 3 x2 e f x 3x 5 Calcule o valor de Determine uma fórmula para f h 4 t Calcule o valor de h f3 Calcule o valor de f h4 Determine uma fórmula para h f Determine uma fórmula para f h Determine um número c tal que a função g definida por gt 2t c satisfaça a propriedade g g3 17 Explique como usar o teste da reta horizontal para discernir se uma função é ou não bijetora Suponha Calcule o valor de f1 5 Suponha Determine uma fórmula para g1 Suponha que f seja uma função bijetora Explique a relação entre o gráfico de f e o gráfico de f1 Suponha que f seja uma função bijetora Explique a relação entre o domínio e a imagem de f e o domínio e a imagem de f1 Explique os diferentes significados das notações f1 x f x1 e f x1 A função f definida por f x x5 2x3 2 é uma função crescente e portanto bijetora aqui o domínio de f é o conjunto dos números reais Calcule o valor de f1 f 1 Calcule o valor de ff1 4 Calcule f1 y para quatro valores distintos de y a sua escolha Desenhe o gráfico de uma função decrescente no intervalo 1 2 e crescente no intervalo 2 5 Construa uma tabela que defina uma função bijetora g cujo domínio consista em cinco números Esboce o gráfico de g Escreva a tabela para g1 Esboce o gráfico de g1 O número exato de jardas em c centímetros é f c em que f é a função definida por Determine uma fórmula para f1 y b 47 a b Qual é o significado de f1 y Uma placa em uma casa de câmbio no aeroporto de Roma anuncia que se você trocar d dólares você receberá f d euros em que f é a função definida por f d 079d 3 Aqui 079 representa a taxa de câmbio e a subtração de 3 representa a comissão da casa de câmbio Suponha que você quer receber 200 euros Explique por que você deve calcular f1 200 Calcule o valor de f1 200 1 milha é aproximadamente igual a 16 km NT 1 pé é aproximadamente igual a 305 cm NT Estátua do matemático e poeta persa Omar Khayyam cujo livro de álgebra escrito em 1070 conteve o primeiro estudo sério sobre polinômios cúbicos Neste capítulo nos concentraremos em quatro importantes classes especiais de funções Funções lineares constituem nossa primeira classe especial de funções Embora retas e suas inclinações sejam conceito simples são de uma importância imensa A seguir estudaremos funções quadráticas nossa segunda classe especial de funções Veremos como completar quadrados e como resolver equações quadráticas Expressões quadráticas vão levar às seções cônicas parábolas elipses e hipérboles Aprenderemos como determinar o vértice de uma parábola e veremos as propriedades geométricas de elipses e hipérboles Depois vamos fazer um pequeno desvio para estudar potências Veremos por que x é definido como igual a 1 xm é definido como igual a e x1m é definido como o número cuja mésima potência é igual a x Nosso trabalho com potências nos permitirá lidar com as funções polinomiais nossa terceira classe especial de funções Partindo das funções polinomiais vamos em direção às funções racionais nossa quarta classe especial de funções Considere uma reta no plano xy juntamente com quatro pontos x1 y1 x2 y2 x3 y3 e x4 y4 sobre a reta Desenhe dois triângulos retângulos com lados horizontais e verticais como mostrado na figura abaixo Triângulos semelhantes Nesta figura o comprimento de cada lado do triângulo maior é o dobro do comprimento do lado correspondente do triângulo menor Os dois triângulos retângulos na figura acima são semelhantes porque seus ângulos são iguais Assim a razão entre os lados correspondentes dos dois triângulos é igual Escrevendo a razão entre o lado vertical e o lado horizontal de cada triângulo temos Assim para cada par de pontos x1 y1 e x2 y2 sobre a reta a razão não depende do par particular de pontos escolhidos sobre a reta Se escolhermos outro par de pontos sobre a reta digamos x3 y3 e x4 y4 em vez de x1 y1 e x2 y2 a diferença entre as segundas coordenadas dividida pela diferença entre as primeiras coordenadas permanece a mesma Mostramos que a razão é um número que depende apenas da reta e não dos pontos particulares x1 y1 e x2 y2 que escolhemos sobre a reta Esse número é denominado a inclinação da reta Uma reta com inclinação positiva é inclinada para cima quando percorrida da esquerda para a direita uma reta com inclinação negativa é inclinada para baixo quando percorrida da esquerda para a direita Retas cujas inclinações têm maior valor absoluto são mais íngremes que retas cujas inclinações têm menor valor absoluto A figura abaixo mostra algumas retas e suas inclinações Em ambos os eixos a escala utilizada foi a mesma O eixo horizontal tem inclinação 0 como deve ser para qualquer reta horizontal Retas verticais incluindo o eixo vertical não possuem inclinação porque uma reta vertical não contém dois pontos x1 y1 e x2 y2 com x1 x2 Considere uma reta com inclinação m e suponha que x1 y1 seja um ponto sobre essa reta Representemos por x y um ponto típico sobre a reta como mostrado abaixo Como essa reta tem inclinação m temos Multiplicamos ambos os lados da equação acima por x x1 obtemos a seguinte fórmula A equação acima pode ser resolvida para y fornecendo uma equação para a reta sob a forma y mx b como mostrado no exemplo a seguir Como caso especial de determinação da equação de uma reta quando forem dados a inclinação e um ponto sobre ela suponha que desejamos determinar a equação da reta no plano xy com inclinação m e que intercepta o eixo dos y no ponto 0 b Nesse caso a fórmula acima tornase O ponto em que uma reta intercepta o eixo dos y é frequentemente denominado a interseção y y b mx 0 Se resolvermos essa equação para y obtemos o seguinte resultado Suponha agora que desejamos determinar a equação da reta que contém dois pontos específicos Podemos reduzir esse problema a um problema que já resolvemos calculando a inclinação da reta e depois usando um resultado anterior Especificamente suponha que desejamos determinar a equação da reta que contém os pontos x1 y1 e x2 y2 com x1 x2 Essa reta tem inclinação Então nossa fórmula para escrever a equação de uma reta quando forem dados sua inclinação e um ponto sobre ela fornece o seguinte resultado Vimos que uma reta no plano xy com inclinação m é caracterizada pela equação y mx b em que b é um número Para expressar novamente essa conclusão em termos de funções seja f a função definida por fx mx b em que m e b são números Assim o gráfico de f é uma reta com inclinação m Funções sob essa forma são tão importantes que possuem um nome funções lineares Embora já tenhamos visto essa definição na Seção 14 ela é suficientemente importante a ponto de valer a pena repetila aqui O cálculo diferencial mostra como se pode aproximar uma função arbitrária sobre uma pequena parte de seu domínio por uma função linear Como veremos nos próximos dois exemplos a conversão entre diferentes unidades de medida é usualmente efetuada por meio de uma função linear Frequentemente utilizase em vez da fórmula exata escrita aqui a fórmula aproximada p 22k A maioria das quantidades como pesos comprimentos e moedas possuem o mesmo ponto zero independentemente das unidades utilizadas Por exemplo sem conhecer a taxa de conversão você sabe que 0 centímetro tem o mesmo comprimento que 0 polegada A conversão entre escalas de temperaturas é não usual porque a temperatura zero em uma escala não corresponde à temperatura zero em outra escala O exemplo seguinte mostra como determinar uma fórmula para converteremse temperaturas Celsius para temperaturas Fahrenheit Um tipo especial de função linear é obtido quando consideramos funções sob a forma fx mx b com m 0 O gráfico de uma função constante é uma reta horizontal que tem inclinação 0 A reta horizontal azul é o gráfico da função constante f definida por fx 2 no intervalo 0 4 A reta vertical vermelha mostra os pontos que satisfazem a equação x 2 Considere duas retas paralelas no plano de coordenadas como mostrado aqui Visto que as duas retas são paralelas os ângulos correspondentes nos dois triângulos são iguais assim os dois triângulos são semelhantes Isto implica que Como é a inclinação da reta de cima e é a inclinação da reta de baixo concluímos que essas retas paralelas possuem a mesma inclinação Retas paralelas A lógica utilizada no parágrafo acima é reversível Especificamente suponhamos que em vez de começar com a suposição de que as duas retas na figura ao lado são paralelas começássemos com a suposição de que as duas retas possuem a mesma inclinação Assim o que implica que os dois triângulos retângulos na figura são semelhantes Portanto as duas retas formam ângulos iguais com o eixo horizontal o que implica que as duas retas são paralelas A figura e o raciocínio apresentados não funcionam se ambas as retas forem horizontais ou ambas as retas forem verticais No entanto todas as retas horizontais possuem inclinação 0 e a inclinação não é definida para retas verticais Podemos então resumir nossa caracterização de retas paralelas como se segue A expressão se e somente se conectando as duas sentenças significa que as duas sentenças são ou ambas verdadeiras ou ambas falsas Por exemplo x 1 6 se e somente se x 5 Por exemplo as retas y 4x 5 e y 4x 9 são paralelas ambas possuem inclinação 4 Como outro exemplo as retas y 6x 5 e y 7x 5 não são paralelas a primeira reta possui inclinação 6 a segunda reta possui inclinação 7 Antes de iniciar nosso estudo sobre retas perpendiculares faremos um pequeno desvio para esclarecer a geometria de uma reta com inclinação negativa Uma reta com inclinação negativa inclinase para baixo quando a percorremos da esquerda para a direita A figura abaixo mostra uma reta com inclinação negativa para evitar confusão não traçamos os eixos das coordenadas Uma reta com inclinação Na figura acima a é o comprimento do segmento de reta horizontal e c é o comprimento do segmento de reta vertical Evidentemente a e c são números positivos pois os comprimentos são positivos Como se vê na figura esses comprimentos podem ser escritos em termos de coordenadas como a x2 x1 e c y1 y2 A inclinação dessa reta é igual a y2 y1x2 x1 que é igual a ca O resultado a seguir fornece uma caracterização útil de retas perpendiculares Duas retas não verticais são perpendiculares se e somente se o produto de suas inclinações for igual a 1 Para explicar por que o resultado acima é válido consideremos duas retas perpendiculares como mostrado na figura aqui apresentada Além das duas retas perpendiculares em azul a figura mostra o segmento de reta horizontal PS e o segmento de reta vertical QT que passa por S Suponhamos que a medida do ângulo PQT seja θ graus Para verificar que as medidas indicadas para os outros três ângulos da figura estejam corretas comecemos por observar que os dois ângulos marcados como 90 θ são cada um o terceiro ângulo de um triângulo retângulo os triângulos retângulos são PSQ e QPT que possui um dos ângulos igual a θ Considerando agora o ângulo reto QPT concluímos que a medida do ângulo TPS é θ graus como marcado Consideremos os triângulos retângulos PSQ e TSP na figura Esses triângulos têm os mesmos ângulos e são portanto semelhantes Assim temos que as razões entre lados correspondentes são iguais Especificamente temos Multiplicando ambos os lados dessa equação por ca obtemos A figura mostra que a reta que contém os pontos P e Q tem inclinação Nossa discussão sobre retas com inclinação negativa mostra que a reta que contém os P e T tem inclinação Assim a equação acima implica que o produto das inclinações dessas 1 2 3 4 5 6 7 duas retas perpendiculares seja igual a 1 como desejado A lógica utilizada acima é reversível Especificamente suponhamos que em vez de começar com a suposição de que as duas retas em azul sejam perpendiculares comecemos com a suposição de que o produto de suas inclinações seja igual a 1 Isto implica que que por sua vez implica que os dois triângulos retângulos PSQ e TSP são semelhantes assim esses dois triângulos possuem os mesmos ângulos Isto implica que os ângulos estão marcados corretamente na figura acima supondo que iniciemos declarando que a medida do ângulo PQS seja θ graus Isto então implica que a medida do ângulo QPT seja de 90 Assim as duas retas em azul são perpendiculares como desejado Para mostrar que duas retas são perpendiculares nós necessitamos conhecer apenas as inclinações das retas não suas equações completas como mostraremos no próximo exemplo Quais são as coordenadas do vértice que não está marcado do menor entre os dois triângulos retângulos na figura apresentada no início desta seção Quais são as coordenadas do vértice que não está marcado do maior entre os dois triângulos retângulos na figura apresentada no início desta seção Determine a inclinação da reta que contém os pontos 3 4 e 7 13 Determine a inclinação da reta que contém os pontos 211 e 6 5 Determine um número w tal que a reta que contém os pontos 1 w e 3 7 tenha inclinação 5 Determine um número d tal que a reta que contém os pontos d 4 e 2 9 tenha inclinação 3 Suponha que as despesas com instrução na Euphoria State University sejam de US 525 por semestre mais US 200 por crédito cursado a b c d 8 a b c d 9 a b c 10 a b c 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 Quais são as despesas com instrução para um semestre no qual um estudante cursa 10 créditos Determine uma função linear t tal que tu represente as despesas com ensino em dólares para um semestre no qual um estudante cursa u créditos Determine a despesa total para um estudante que leva 12 semestres para acumular os 120 créditos necessários para graduarse Determine uma função linear g tal que gs seja a despesa total com instrução para um estudante que leva s semestres para acumular os 120 créditos necessários para graduarse Suponha que as despesas com instrução na Luxim University sejam de US 900 por semestre mais US 850 por crédito cursado Quais são as despesas com instrução para um semestre no qual um estudante cursa 15 créditos Determine uma função linear t tal que tu represente as despesas com ensino em dólares para um semestre no qual um estudante cursa u créditos Determine a despesa total para um estudante que leva 12 semestres para acumular os 120 créditos necessários para graduarse Determine uma função linear g tal que gs seja a despesa total com instrução para um estudante que leva s semestres para acumular os 120 créditos necessários para graduarse Suponha que a sua empresa de telefonia celular ofereça dois planos de ligações O plano com pagamento por ligação custa US 14 por mês mais 3 centavos de dólar por minuto de ligação O plano com número ilimitado de ligações custa uma taxa fixa de US 29 por mês Qual é seu custo mensal em dólares se você fizer ligações totalizando 400 minutos por mês no plano com pagamento por ligação Determine uma função linear c tal que cm seja seu custo mensal em dólares para fazer m minutos de ligações por mês no plano com pagamento por ligação Quantos minutos por mês você deve usar para que o plano com número ilimitado de ligações se torne mais barato Suponha que a sua empresa de telefonia celular ofereça dois planos de ligações O plano com pagamento por ligação custa US 11 por mês mais 4 centavos de dólar por minuto de ligação O plano com número ilimitado de ligações custa uma taxa fixa de US 25 por mês Qual é seu custo mensal em dólares se você fizer ligações totalizando 600 minutos por mês no plano com pagamento por ligação Determine uma função linear c tal que cm seja seu custo mensal em dólares para fazer m minutos de ligações por mês no plano com pagamento por ligação Quantos minutos por mês você deve usar para que o plano com número ilimitado de ligações se torne mais barato Determine a equação da reta no plano xy com inclinação 2 que contém o ponto 7 3 Determine a equação da reta no plano xy com inclinação 4 que contém o ponto 5 2 Determine a equação da reta que contém os pontos 2 1 e 4 9 Determine a equação da reta que contém os pontos 3 2 e 5 7 Determine um número t tal que o ponto 3 t esteja sobre a reta que contém os pontos 7 6 e 14 10 Determine um número t tal que o ponto 2 t esteja sobre a reta que contém os pontos 5 2 e 10 8 Determine uma função s tal que sd seja o número de segundos em d dias Determine uma função s tal que sw seja o número de segundos em w semanas Determine uma função f tal que fm seja o número de polegadas em m milhas Determine uma função m tal que mf seja o número de milhas em f pés A conversão exata entre o sistema de medidas inglês e o sistema métrico é dada pela equação 1 polegada 254 centímetros Determine uma função k tal que km seja o número de quilômetros em m milhas Determine uma função M tal que Mm seja o número de milhas em m metros Determine uma função f tal que fc seja o número de polegadas em c centímetros Determine uma função m tal que mf seja o número de metros em f pés Determine um número c tal que o ponto c 13 esteja sobre a reta que contém os pontos 4 17 e 6 33 Determine um número c tal que o ponto c 19 esteja sobre a reta que contém os pontos 2 1 e 4 9 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 Determine um número t tal que o ponto t 2t esteja sobre a reta que contém os pontos 3 7 e 5 15 Determine um número t tal que o ponto esteja sobre a reta que contém os pontos 2 4 e 3 11 Determine a equação da reta no plano xy que contém o ponto 3 2 e que é paralela à reta y 4x 1 Determine a equação da reta no plano xy que contém o ponto 4 5 e que é paralela à reta y 2x 3 Determine a equação da reta que contém o ponto 2 3 e que é paralela à reta que contém os pontos 7 1 e 5 6 Determine a equação da reta que contém o ponto 4 3 e que é paralela à reta que contém os pontos 3 7 e 6 9 Determine um número t tal que a reta que contém os pontos t 2 e 3 5 seja paralela à reta que contém os pontos 1 4 e 3 2 Determine um número t tal que a reta que contém os pontos 3 t e 2 4 seja paralela à reta que contém os pontos 5 6 e 2 4 Determine a interseção no plano xy das retas y 5x 3 e y 2x 1 Determine a interseção no plano xy das retas y 4x 5 e y 5x 2 Determine um número b tal que as três retas no plano xy dadas pelas equações y 2x b y 3x 5 e y 4x 6 possuam um mesmo ponto de interseção Determine um número m tal que as três retas no plano xy dadas pelas equações y mx 3 y 4x 1 e y 5x 7 possuam um mesmo ponto de interseção Determine a equação da reta no plano xy que contém o ponto 4 1 e que é perpendicular à reta y 3x 5 Determine a equação da reta no plano xy que contém o ponto 3 2 e que é perpendicular à reta y 5x 1 Determine um número t tal que a reta no plano xy que contém os pontos t 4 e 2 1 seja perpendicular à reta y 6x 7 Determine um número t tal que a reta no plano xy que contém os pontos 3 t e 4 3 seja perpendicular à reta y 5x 999 Determine um número t tal que a reta que contém os pontos 4 t e 1 6 seja perpendicular à reta que contém os pontos 3 5 e 1 2 Determine um número t tal que a reta que contém os pontos t 2 e 3 5 seja perpendicular à reta que contém os pontos 4 7 e 1 11 Alguns problemas exigem consideravelmente mais raciocínio que os exercícios Determine a equação da reta no plano xy que tem inclinação m e intercepta o eixo dos x em c 0 Demonstre que a composição de duas funções lineares é uma função linear Demonstre que se f e g forem funções lineares então os gráficos de f g e de g f possuem a mesma inclinação Demonstre que uma função linear é crescente se e somente se a inclinação de seu gráfico for positiva Demonstre que uma função linear é decrescente se e somente se a inclinação do seu gráfico for negativa Demonstre que toda função linear não constante é uma função bijetora Demonstre que se f for a função linear definida por fx mx b em que m 0 então a função inversa f1 é definida pela fórmula Demonstre que a função linear definida por fx mx b é uma função ímpar se e somente se b 0 Demonstre que a função linear definida por fx mx b é uma função par se e somente se m 0 Para demonstrar que o produto das inclinações de duas retas perpendiculares é igual a 1 fizemos uso de triângulos semelhantes Os passos discriminados abaixo estabelecem uma prova alternativa que evita o uso de triângulos semelhantes mas em compensação faz mais uso de álgebra Observe a figura abaixo que é a mesma desenhada anteriormente exceto que agora não é necessário identificar os ângulos a b c d e 55 56 57 58 59 60 a b c 61 a b 1 QP é perpendicular a PT Aplique o Teorema de Pitágoras ao triângulo PSQ para expressar o comprimento do segmento de reta PQ em termos de a e de b Aplique o Teorema de Pitágoras ao triângulo PST para expressar o comprimento do segmento de reta PT em termos de a e de c Aplique o Teorema de Pitágoras ao triângulo QPT para expressar o comprimento do segmento de reta QT em termos dos comprimentos dos segmentos de reta PQ e PT calculados nos itens a e b deste problema Como pode ser visto na figura o comprimento do segmento de reta QT é igual a b c Então iguale a b c à expressão que você obteve no item c deste problema e a partir daí escreva uma expressão para c em termos de a e de b Use o resultado que você obteve no item d deste problema para demonstrar que o produto da inclinação da reta que contém P e Q e da inclinação da reta que contém P e T é igual a 1 Suponha que a e b sejam números não nulos Em que pontos a reta no plano xy dada pela equação intercepta o eixo das coordenadas Demonstre que os pontos 84 14 21 1 e 98 12 estão sobre uma mesma reta Demonstre que os pontos 8 65 1 52 e 3 77 não estão sobre uma mesma reta Altere apenas um dos seis números no problema acima para que os três pontos resultantes passem a estar sobre uma mesma reta Demonstre que para qualquer número t o ponto 5 3t 7 4t está sobre a reta que contém os pontos 2 3 e 5 7 Suponha que x1 y1 e x2 y2 sejam as extremidades de um segmento de reta Demonstre que a reta que contém o ponto e a extremidade x1 y1 tem inclinação Demonstre que a reta que contém o ponto e a extremidade x1 y1 tem inclinação Explique por que os itens a e b deste problema implicam que o ponto esteja sobre a reta que contém as extremidades x1 y1 e x2 y2 A escala de temperaturas Kelvin é definida por K C 27315 em que K é a temperatura na escala Kelvin e C é a temperatura na escala Celsius Portanto 27315 graus Celsius que é a temperatura na qual cessa todo movimento atômico e portanto é a temperatura mais baixa possível corresponde a 0 na escala Kelvin Determine uma função F tal que Fx forneça a temperatura na escala Fahrenheit que corresponda à temperatura x na escala Kelvin Explique por que o gráfico da função F no item a é paralelo ao gráfico da função f obtida no Exemplo 5 Não leia estas soluções detalhadas antes de tentar resolver você mesmo os exercícios Caso contrário você corre o risco de imitar as técnicas demonstradas aqui sem no entanto compreender as ideias A melhor maneira de aprender leia cuidadosamente a seção do livrotexto depois resolva todos os exercícios ímpares e verifique suas respostas aqui Se você tiver alguma dificuldade para resolver algum exercício olhe a solução detalhada apresentada aqui Quais são as coordenadas do vértice que não está marcado do menor entre os dois triângulos retângulos na figura apresentada 3 5 7 a b c d a b c d 9 a b c a b no início desta seção SOLUÇÃO Traçando uma reta vertical e outra horizontal a partir do ponto em questão até os eixos coordenados vêse que as coordenadas do ponto são x2 y1 Determine a inclinação da reta que contém os pontos 3 4 e 7 13 SOLUÇÃO A reta que contém os pontos 3 4 e 7 13 tem inclinação que é igual a Determine um número w tal que a reta que contém os pontos 1 w e 3 7 tenha inclinação 5 SOLUÇÃO A inclinação da reta que contém os pontos 1 w e 3 7 é igual a que é igual a Queremos que essa inclinação seja igual a 5 Então devemos determinar um número w tal que Resolvendo a equação para w obtemos w 3 Suponha que as despesas com instrução na Euphoria State University sejam de US 525 por semestre mais US 200 por crédito cursado Quais são as despesas com instrução para um semestre no qual um estudante cursa 10 créditos Determine uma função linear t tal que tu represente as despesas com ensino em dólares para um semestre no qual um estudante cursa u créditos Determine a despesa total para um estudante que leva 12 semestres para acumular os 120 créditos necessários para graduarse Determine uma função linear g tal que gs seja a despesa total com instrução para um estudante que leva s semestres para acumular os 120 créditos necessários para graduarse SOLUÇÃO Para um semestre no qual um estudante cursa 10 créditos a despesa com instrução será de 200 10 525 que é igual a US 2525 A função t que queremos determinar é definida por tu 200u 525 Para um estudante que cursa 120 créditos em 12 semestres a despesa será de 525 12 200 120 dólares que é igual a US 30300 A função g que queremos determinar é definida por gs 525s 24000 Suponha que a sua empresa de telefonia celular ofereça dois planos de ligações O plano com pagamento por ligação custa US 14 por mês mais 3 centavos de dólar por minuto de ligação O plano com número ilimitado de ligações custa uma taxa fixa de US 29 por mês Qual é o seu custo mensal em dólares se você fizer ligações totalizando 400 minutos por mês no plano com pagamento por ligação Determine uma função linear c tal que cm seja seu custo mensal em dólares para fazer m minutos de ligações por mês no plano com pagamento por ligação Quantos minutos por mês você deve usar para que o plano com número ilimitado de ligações se torne mais barato SOLUÇÃO Convertendo 3 centavos para US 003 vemos que 400 minutos por mês de ligações custa 003 400 14 dólares que é igual a US 26 A função c que queremos determinar é definida por cm 003m 14 c 11 13 15 Os dois planos correspondem ao mesmo custo para m minutos se m for tal que cm 29 Para determinar esse valor de m devemos resolver a equação 003m 14 29 que fornece Então os dois planos correspondem ao mesmo custo se forem usados 500 minutos de ligações por mês Se forem usados mais de 500 minutos de ligações por mês então o plano com número ilimitado de ligações é mais barato Determine a equação da reta no plano xy com inclinação 2 que contém o ponto 7 3 SOLUÇÃO Se representarmos por x y um ponto típico sobre a reta com inclinação 2 que contém o ponto 7 3 então Multiplicandose por x 7 ambos os lados dessa equação e adicionandose 3 aos dois lados obtémse a equação y 2x 11 VERIFICAÇÃO A reta y 2x 11 tem inclinação 2 Devemos também verificar que o ponto 7 3 está sobre essa reta Em outras palavras precisamos verificar a equação abaixo 3 2 7 11 Por aritmética simples demonstrase que de fato essa equação é verdadeira Determine a equação da reta que contém os pontos 2 1 e 4 9 SOLUÇÃO A reta que contém os pontos 2 1 e 4 9 tem inclinação que é igual a 5 Assim se representarmos por x y um ponto típico sobre essa reta então Multiplicandose por x 4 ambos os lados dessa equação e adicionandose 9 aos dois lados obtémse a equação y 5x 11 VERIFICAÇÃO Precisamos verificar que tanto o ponto 2 1 quanto o ponto 4 9 estão sobre a reta y 5x 11 Em outras palavras precisamos verificar as equações adiante 1 5 2 11 e 9 5 4 11 Por aritmética simples demonstrase que de fato essas equações são ambas verdadeiras Determine um número t tal que o ponto 3 t esteja sobre a reta que contém os pontos 7 6 e 14 10 SOLUÇÃO Começaremos por determinar a equação da reta que contém os pontos 7 6 e 14 10 Para isso observe que a reta que contém esses dois pontos tem inclinação que é igual a Assim se representarmos por x y um ponto típico sobre essa reta então Multiplicandose por x 7 ambos os lados dessa equação e adicionandose 6 aos dois lados obtémse a equação Podemos agora determinar um número t tal que o ponto 3 t esteja sobre a reta dada pela equação acima Para fazer isso substituiremos na equação acima x por 3 e y por t de que obtemos 17 19 21 23 25 Efetuando as operações de aritmética necessárias para calcular o lado direito obtemos t VERIFICAÇÃO Devemos verificar que os três pontos 7 6 14 10 e 3 estão todos sobre a reta y x 2 Em outras palavras precisamos verificar as equações abaixo Por aritmética simples demonstrase que todas as três equações são de fato verdadeiras Determine uma função s tal que sd seja o número de segundos em d dias SOLUÇÃO Cada minuto tem 60 segundos e cada hora tem 60 minutos Então cada hora tem 60 60 segundos ou seja 3600 segundos Cada dia tem 24 horas então cada dia tem 24 3600 segundos ou seja 86400 segundos Assim sd 86400d Determine uma função f tal que fm seja o número de polegadas em m milhas SOLUÇÃO Cada pé tem 12 polegadas e cada milha tem 5280 pés Então cada milha tem 5280 12 polegadas ou seja 63360 polegadas Assim fm 63360m A conversão exata entre o sistema de medidas inglês e o sistema métrico é dada pela equação 1 polegada 254 centímetros Determine uma função k tal que km seja o número de quilômetros em m milhas SOLUÇÃO Multiplicandose ambos os lados da equação 1 polegadas 254 centímetros por 12 obtémse 1 pé 12 254 centímetros 3048 centímetros Multiplicandose ambos os lados da equação acima por 5280 obtémse 1 milha 5280 3048 centímetros 1609344 centímetros 1609344 metros 1609344 quilômetro Multiplicandose ambos os lados da equação acima por um número m concluise que m milhas 1609344m quilômetros Em outras palavras km 1609344m A fórmula acima é exata Entretanto é frequentemente usada a aproximação km 161 m ou a aproximação levemente menos exata km m Determine uma função f tal que fc seja o número de polegadas em c centímetros SOLUÇÃO Dividindose ambos os lados da equação 1 polegada 254 centímetros por 254 obtémse 1 centímetro polegadas Multiplicandose ambos os lados da equação acima por um número c concluise que c centímetros polegadas Em outras palavras Determine um número c tal que o ponto c 13 esteja sobre a reta que contém os pontos 4 17 e 6 33 SOLUÇÃO Começamos por determinar a equação da reta que contém os pontos 4 17 e 6 33 Para isso observe que a reta que contém esses dois pontos tem inclinação 27 29 que é igual a 5 Assim representando por x y um ponto típico sobre essa reta temse que Multiplicandose ambos os lados dessa equação por x 6 e adicionandose 33 obtémse a equação y 5x 3 Podemos agora determinar um número c tal que o ponto c 13 esteja sobre a reta dada pela equação acima Para isso substituímos na equação acima x por c e y por 13 obtendo 13 5c 3 Resolvendo a equação para c obtemos c 2 VERIFICAÇÃO Devemos verificar que os três pontos 4 17 6 33 e 2 13 estão todos sobre a reta y 5x 3 Em outras palavras precisamos verificar as equações abaixo 17 5 4 3 33 5 6 3 13 5 2 3 Por simples aritmética demonstrase que todas as três equações são de fato verdadeiras Determine um número t tal que o ponto t 2t esteja sobre a reta que contém os pontos 3 7 e 5 15 SOLUÇÃO Comecemos por determinar a equação da reta que contém os pontos 3 7 e 5 15 Para isso observe que a reta que contém esses dois pontos tem inclinação que é igual a 4 Assim representando por x y um ponto típico sobre essa reta temse que Multiplicandose ambos os lados dessa equação por x 3 e subtraindose 7 obtémse a equação y 4x 5 Podemos agora determinar um número t tal que o ponto t 2t esteja sobre a reta dada pela equação acima Para isso substituímos na equação acima x por t e y por 2t obtendo 2t 4t 5 Resolvendo a equação para t obtemos t VERIFICAÇÃO Devemos verificar que os três pontos 3 7 5 15 e 2 estão todos sobre a reta y 4x 5 Em outras palavras precisamos verificar as equações abaixo Por simples aritmética demonstrase que todas as três equações são de fato verdadeiras Determine a equação da reta no plano xy que contém o ponto 3 2 e que é paralela à reta y 4x 1 SOLUÇÃO A reta no plano xy cuja equação é y 4x 1 tem inclinação 4 Assim toda reta paralela a ela também terá inclinação 4 e portanto a forma y 4x b para algum número b Devemos então determinar um número b tal que o ponto 3 2 esteja sobre a reta dada pela equação acima Substituindose x por 3 e y por 2 na equação acima temos 2 4 3 b 31 33 35 Resolvendo essa equação para b obtemos b 10 Assim a reta que estamos procurando é descrita pela equação y 4x 10 Determine a equação da reta que contém o ponto 2 3 e que é paralela à reta que contém os pontos 7 1 e 5 6 SOLUÇÃO A reta que contém os pontos 7 1 e 5 6 tem inclinação que é igual a Assim toda reta paralela a ela também terá inclinação e portanto a forma y x b para algum número b Devemos então determinar um número b tal que o ponto 2 3 esteja sobre a reta dada pela equação anterior Substituindose x por 2 e y por 3 na equação acima temos 3 2 b Resolvendo essa equação para b obtemos b 8 Assim a reta que estamos procurando é descrita pela equação y x 8 Determine um número t tal que a reta que contém os pontos t 2 e 3 5 seja paralela à reta que contém os pontos 1 4 e 3 2 SOLUÇÃO A reta que contém os pontos 1 4 e 3 2 tem inclinação que é igual a 3 Assim toda reta paralela a ela também terá inclinação 3 A reta que contém os pontos t 2 e 3 5 tem inclinação que é igual a Pelo dado anteriormente queremos que essa inclinação seja igual a 3 Em outras palavras precisamos resolver a equação Dividindo ambos os lados da equação acima por 3 e multiplicandoos por 3 t obtemos a equação 1 3 t Portanto t 2 Determine a interseção no plano xy das retas y 5x 3 e y 2x 1 SOLUÇÃO Igualando entre si os dois lados direitos das equações acima obtemos 5x 3 2x 1 Para resolver a equação para x adicionamos 2x a ambos os lados e depois subtraímos 3 de ambos os lados obtendo 7x 2 Portanto x Para determinar o valor de y no ponto de interseção podemos substituir o valor x em qualquer uma das equações das duas retas Se escolhermos a primeira equação temos y 5 3 que implica y Portanto as duas retas interceptamse no ponto VERIFICAÇÃO Podemos substituir o valor x na equação da segunda reta para ver se esta também fornece o valor y Em outras palavras precisamos verificar se é válida a equação 37 39 41 43 Por simples aritmética chegase a que isto é verdadeiro Portanto a solução que apresentamos é de fato a solução correta Determine um número b tal que as três retas no plano xy dadas pelas equações y 2x b y 3x 5 e y 4x 6 possuam um mesmo ponto de interseção SOLUÇÃO A incógnita b aparece na primeira equação então nosso primeiro passo será determinar o ponto de interseção entre as últimas duas retas Para isso igualamos entre si os lados direitos das últimas duas equações o que leva a 3x 5 4x 6 Para resolver a equação para x adicionamos 4x a ambos os lados e depois adicionamos 5 a ambos os lados obtendo 7x 11 Portanto x Substituindose esse valor de x na equação y 3x 5 obtemos y 3 5 Portanto y Com isto demonstramos que as retas dadas pelas equações y 3x 5 e y 4x 6 interceptamse no ponto Queremos que a reta dada pela equação y 2x b também contenha esse ponto Assim estabelecemos que x e y para essa equação obtendo Resolvendo a equação para b obtemos b VERIFICAÇÃO Para verificar que a reta dada pela equação y 4x 6 contém o ponto podemos substituir o valor x na equação para essa reta e ver se ela fornece o valor y Em outras palavras precisamos verificar a igualdade abaixo Por simples aritmética demonstrase que a igualdade é verdadeira Concluímos portanto que encontramos corretamente o ponto de interseção Escolhemos a reta y 4x 6 para esta verificação porque as outras duas retas foram utilizadas nos cálculos diretos da nossa solução Determine a equação da reta no plano xy que contém o ponto 4 1 e que é perpendicular à reta y 3x 5 SOLUÇÃO A reta no plano xy cuja equação é y 3x 5 tem inclinação 3 Assim toda reta perpendicular a ela tem inclinação Portanto a equação da reta que estamos procurando tem a forma y x b para algum número b Queremos que o ponto 4 1 esteja sobre essa reta Substituindo x 4 e y 1 na equação acima temos 1 4 b Resolvendo a equação para b obtemos b Assim a equação da reta que procuramos é Determine um número t tal que a reta no plano xy que contém os pontos t 4 e 2 1 seja perpendicular à reta y 6x 7 SOLUÇÃO A reta no plano xy cuja equação é y 6x 7 tem inclinação 6 Assim toda reta perpendicular a ela terá inclinação Queremos portanto que a reta contendo os pontos t 4 e 2 1 tenha inclinação Em outras palavras queremos satisfazer Resolvendo a equação para t obtemos t 28 Determine um número t tal que a reta que contém os pontos 4 t e 1 6 seja perpendicular à reta que contém os pontos 3 5 e 1 2 SOLUÇÃO A reta que contém os pontos 3 5 e 1 2 tem inclinação que é igual a Assim toda reta perpendicular a ela terá inclinação Queremos portanto que a reta contendo os pontos 4 t e 1 6 tenha inclinação Em outras palavras queremos satisfazer Resolvendo a equação para t obtemos t Considere o problema de determinar os números x tais que x2 6x 4 0 Nada óbvio funciona aqui Por exemplo se adicionarmos ou 4 ou 4 6x a ambos os lados dessa equação e depois tirarmos as raízes quadradas isto não produzirá uma nova equação que leve à solução No entanto uma técnica denominada completamento de quadrado pode ser usada para lidar com equações como a acima A chave para essa técnica é a identidade que pode ser reescrita como a seguinte identidade Por exemplo se b 6 então x2 6x x 33 9 O exemplo a seguir ilustra a técnica do completamento de quadrado Aqui indica que podemos escolher ou o sinal de ou o sinal de Você não precisa necessariamente memorizar a identidade do completamento de quadrado Você só precisa lembrar que o coeficiente de x ou qualquer variável deve ser dividido por 2 e depois devese subtrair o número apropriado para levar à identidade correta Observe que o termo que deverá ser subtraído é sempre positivo pois é positivo tanto para b positivo quanto para b negativo Por exemplo suponha que você esteja trabalhando com a expressão x2 10x Como 5 o termo x 52 estará envolvido Expandindose x 52 obtémse x2 10x 25 e então devemos subtrair 25 para ter uma expressão igual a x2 10x Portanto x2 10x x 52 25 No exemplo a seguir completaremos o quadrado para deduzir a fórmula quadrática Resumindo o resultado do último exemplo temos o seguinte ax2 bx c 0 O exemplo a seguir ilustra o uso da fórmula quadrática Você deve verificar que se tivéssemos escolhido t teríamos chegado no mesmo par de números Na Seção 21 trabalhamos com funções lineares Subiremos agora o nível de complexidade para trabalhar com funções quadráticas Comecemos com a definição A função quadrática mais simples é a função f definida por fx x2 essa função é obtida da equação acima estabelecendo a 1 b 0 e c 0 Parábolas podem ser definidas geometricamente mas para nossos propósitos é mais simples definir uma parábola algebricamente O gráfico de fx x2 no intervalo 1 1 Por exemplo o gráfico da função quadrática f definida por fx x2 é a familiar parábola mostrada aqui Essa parábola é simétrica em relação ao eixo vertical isto é ela não varia se for refletida sobre o eixo vertical Observe que a reta de simetria intercepta a parábola na origem que é seu ponto mais baixo Toda parábola é simétrica em relação a alguma reta O ponto em que a reta de simetria intercepta a parábola é importante o suficiente para merecer um nome O vértice da parábola mostrada acima é a origem O procedimento utilizado no exemplo acima pode ser resumido como se segue Os antigos gregos descobriram que a interseção entre um cone e um plano adequadamente posicionado é uma parábola Como exemplo do procedimento acima para a 0 suponha fx 3x2 12x 8 Complete o quadrado para escrever fx 3x2 4x 8 3x 22 4 8 3x 22 4 Assim o gráfico de f é uma parábola que abre para baixo com vértice no ponto 2 4 como mostrado aqui Antes de obter a fórmula para a distância entre dois pontos começaremos com um exemplo concreto De modo geral para determinar a fórmula para a distância entre dois pontos x1 y1 e x2 y2 considere o triângulo retângulo na figura abaixo O comprimento da hipotenusa é igual à distância entre os pontos x1 y1 e x2 y2 Começando com os pontos x1 y1 e x2 y2 na figura acima certifiquese de que você entendeu por que o terceiro ponto no triângulo o vértice no ângulo reto tem as coordenadas x2 y1 Verifique também que o lado horizontal do triângulo tem comprimento x2 x1 e o lado vertical do triângulo tem comprimento y2 y1 como indicado na figura acima O Teorema de Pitágoras leva portanto à seguinte fórmula para o comprimento da hipotenusa Como caso especial dessa fórmula a distância entre um ponto x y e a origem é Usando a fórmula acima podemos agora determinar a distância entre dois pontos sem desenhar uma figura O conjunto de pontos que possuem distância 3 em relação à origem em um plano de coordenadas é a circunferência de raio 3 centrada na origem O próximo exemplo mostra como determinar uma equação que descreve essa circunferência De modo geral suponha que r seja um número positivo Usando o mesmo raciocínio que o apresentado acima vemos que x2 y2 r2 é a equação da circunferência no plano xy de raio r e centrada na origem Podemos também considerar circunferências centradas em outros pontos que não a origem Usando o mesmo raciocínio que no exemplo acima obtemos o seguinte resultado mais geral Por exemplo a equação x 32 y 52 7 descreve a circunferência no plano xy centrada em 3 5 e de raio Às vezes a equação de uma circunferência pode estar sob uma forma na qual o raio e o centro não são óbvios Você pode então precisar completar o quadrado para determinar o raio e o centro O próximo exemplo ilustra esse procedimento x 22 y 32 25 Aqui a técnica de completamento do quadrado foi aplicada separadamente às variáveis x e y Alongandose a circunferência horizontalmente por um fator 5 e verticalmente por um fator 3 transformase a circunferência à esquerda na elipse à direita Ver uma elipse como uma circunferência alongada leva à fórmula para a área dentro de uma elipse como apresentado no Apêndice A De modo geral suponhamos que a e b sejam números positivos Suponhamos que a circunferência de raio 1 centrada na origem seja alongada horizontalmente por um fator a e verticalmente por um fator b Usando o mesmo raciocínio que aquele utilizado acima apenas substituindo 5 por a e 3 por b vemos que a equação da elipse resultante no plano xy é Os pontos a 0 e 0 b satisfazem essa equação e pertencem à elipse Planetas têm órbitas que são elipses mas você pode ficar surpreso ao descobrir que o sol não está localizado no centro dessas órbitas Em vez disso o sol está localizado no que é denominado um foco de cada órbita elíptica que definiremos como se segue Como veremos no exemplo a seguir os focos para a elipse são os pontos 4 0 e 4 0 Isaac Newton mostrou que as equações da gravidade implicam que a órbita de um planeta em torno de uma estrela é uma elipse com a estrela em um dos focos Por exemplo se as unidades forem escolhidas de modo tal que a órbita de um planeta seja a elipse então a estrela deve estar situada ou em 4 0 ou em 4 0 Nenhum par de pontos que não seja 4 0 e 4 0 satisfaz a propriedade de que a soma das distâncias até os pontos dessa elipse seja constante O resultado que apresentaremos a seguir generaliza o exemplo acima A verificação desse resultado está delineada nos Problemas 99104 Para fazer a verificação simplesmente utilize as ideias do exemplo acima Os antigos gregos descobriram que a interseção entre um cone e um plano adequadamente posicionado é uma elipse Alguns cometas e todos os planetas percorrem órbitas que são elipses Entretanto existem muitos cometas cujas órbitas não são elipses mas sim hipérboles Hipérboles podem ser definidas geometricamente mas restringiremos nossa atenção a hipérboles no plano xy que podem ser definidas da seguinte forma muito simples Um cometa cuja órbita é uma hipérbole estará próximo da terra no máximo uma vez Um cometa cuja órbita é uma elipse retornará periodicamente A figura abaixo apresenta o gráfico em azul da hipérbole para 6 x 6 Observe que essa hipérbole consiste em dois ramos diferentemente das elipses e parábolas que consistiam em uma curva única No próximo exemplo discutiremos algumas propriedadeschave desse gráfico que é típico de hipérboles Cada ramo de uma hipérbole pode parecer uma parábola mas essas curvas não são parábolas Como uma notável diferença registramos o fato de que uma parábola não apresenta o comportamento descrito no exemplo acima Compare a seguinte definição de focos de uma hipérbole com a definição estabelecida anteriormente nesta seção para focos de uma elipse Os Problemas 108111 mostram porque o gráfico de y também é chamado de hipérbole Como veremos no exemplo a seguir os focos da hipérbole são os pontos 0 5 e 0 5 Nenhum par de pontos que não seja 0 5 e 0 5 satisfaz a propriedade de que a diferença entre as distâncias até os pontos dessa hipérbole seja constante O resultado que apresentaremos a seguir generaliza o exemplo anterior A verificação desse resultado está delineada nos Problemas 105107 Para fazer a verificação simplesmente utilize as ideias do exemplo anterior Isaac Newton mostrou que a órbita de um cometa em torno de uma estrela é uma elipse ou uma parábola raro ou uma hipérbole com a estrela em um dos focos Por exemplo se as unidades forem escolhidas de tal modo que a órbita de um cometa seja o ramo superior da hipérbole então a estrela deve estar situada em 0 5 Às vezes quando se descobre um novo cometa não há observações suficientes para determinar se o cometa está em uma órbita elíptica ou hiperbólica A distinção é importante porque um cometa em uma órbita hiperbólica desaparecerá e nunca mais será visível da terra 1 a b c 2 a b c 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Para os exercícios 112 utilize a seguinte informação Se um objeto for lançado no ar verticalmente e para cima no instante 0 de uma altura H pés com velocidade inicial V pés por segundo então no instante t segundos a altura do objeto será ht pés em que ht 161t2 Vt H Essa fórmula utiliza apenas a força gravitacional ignorando a resistência do ar Ela é válida apenas até que o objeto bata no solo ou em qualquer outro objeto Suponha que uma bola seja arremessada no ar verticalmente e para cima de uma altura de 5 pés 152 m com velocidade inicial 20 pés 6 m por segundo Quanto tempo leva a bola até bater no solo Quanto tempo leva a bola até atingir a sua altura máxima Qual é a altura máxima da bola Suponha que uma bola seja arremessada no ar verticalmente e para cima de uma altura de 4 pés 12 m com velocidade inicial 40 pés 12 m por segundo Quanto tempo leva a bola até bater no solo Quanto tempo leva a bola até atingir a sua altura máxima Qual é a altura máxima da bola Suponha que uma bola seja arremessada no ar verticalmente e para cima de uma altura de 5 pés 152 m Qual deve ser a velocidade inicial da bola para que ela permaneça no ar durante 4 segundos Suponha que uma bola seja arremessada no ar verticalmente e para cima de uma altura de 4 pés 12 m Qual deve ser a velocidade inicial da bola para que ela permaneça no ar durante 3 segundos Suponha que uma bola seja arremessada no ar verticalmente e para cima de uma altura de 5 pés 152 m Qual deve ser a velocidade inicial da bola para que ela atinja sua altura máxima após 1 segundo Suponha que uma bola seja arremessada no ar verticalmente e para cima de uma altura de 4 pés 12 m Qual deve ser a velocidade inicial da bola para que ela atinja sua altura máxima após 2 segundos Suponha que uma bola seja arremessada no ar verticalmente e para cima de uma altura de 5 pés 152 m Qual deve ser a velocidade inicial da bola para que ela atinja uma altura de 50 pés 152 m Suponha que uma bola seja arremessada no ar verticalmente e para cima de uma altura de 4 pés 12 m Qual deve ser a velocidade inicial da bola para que ela atinja uma altura de 70 pés 213 m Suponha que um computador do tipo notebook tenha caído acidentalmente de uma prateleira que está a uma altura de 6 pés 18 m Quanto tempo levará o computador até bater no solo Suponha que um computador do tipo notebook tenha caído acidentalmente de uma mesa que está a uma altura de 3 pés 09 m Quanto tempo levará o computador até bater no solo Alguns computadores do tipo notebook possuem um sensor que detecta alterações súbitas no movimento e desligam o disco rígido do notebook protegendoo de algum dano Suponha que o mecanismo de detecçãoproteção de um computador do tipo notebook leve 03 segundo depois que o computador começa a cair para entrar em funcionamento Qual é a altura mínima da qual o computador tipo notebook pode cair de modo a funcionar o seu mecanismo de proteção Suponha que o mecanismo de detecçãoproteção de um computador do tipo notebook leve 04 segundo depois que o computador começa a cair para entrar em funcionamento Qual é a altura mínima da qual o computador tipo notebook pode cair de modo a funcionar o seu mecanismo de proteção Determine todos os números x tais que Determine todos os números x tais que Determine dois números w tais que os pontos 3 1 w 4 e 5 w estejam todos sobre uma mesma linha reta 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 a b c d 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 Determine dois números r tais que os pontos 1 4 r 2r e 1 r estejam todos sobre uma mesma linha reta Para os Exercícios 1722 determine o vértice do gráfico da função f dada fx 7x2 12 fx 9x2 5 fx x 22 3 fx x 32 4 fx 2x 52 6 fx 7x 32 5 Determine os únicos números x e y tais que x2 6x y2 8y 25 Determine os únicos números x e y tais que x2 5x y2 3y Determine o ponto sobre a reta y 3x 1 no plano xy mais próximo do ponto 2 4 Determine o ponto sobre a reta y 2x 3 no plano xy mais próximo do ponto 5 1 Determine um número t tal que a distância entre os pontos 2 3 e t 2t seja a menor possível Determine um número t tal que a distância entre os pontos 2 1 e 3t 2t seja a menor possível Para os Exercícios 2932 para cada uma das funções f especificadas Escreva fx sob a forma ax h2 k Determine o valor de x para o qual fx atinge seu valor mínimo ou seu valor máximo Esboce o gráfico de f em um intervalo de comprimento 2 centrado no número para o qual f atinge seu valor mínimo ou seu valor máximo Determine o vértice do gráfico de f fx x2 7x 12 fx 5x2 2x 1 fx 2x2 5x 2 fx 3x 2 5x 1 Determine um número c tal que o gráfico de y x2 6x c no plano xy tenha seu vértice sobre o eixo dos x Determine um número c tal que o gráfico de y x2 5x c no plano xy tenha seu vértice sobre a reta y x Determine dois números cuja soma seja igual a 10 e cujo produto seja igual a 7 Determine dois números cuja soma seja igual a 6 e cujo produto seja igual a 4 Determine dois números positivos cuja diferença seja igual a 3 e cujo produto seja igual a 20 Determine dois números positivos cuja diferença seja igual a 4 e cujo produto seja igual a 15 Determine o valor mínimo de x2 6x 2 Determine o valor mínimo de 3x2 5x 1 Determine o valor máximo de 7 2x x2 Determine o valor máximo de 9 5x 4x2 Suponha que o gráfico de f seja uma parábola com vértice em 3 2 Suponha gx 4x 5 Quais são as coordenadas do vértice do gráfico de f g Suponha que o gráfico de f seja uma parábola com vértice em 5 4 Suponha gx 3x 1 Quais são as coordenadas do vértice do gráfico de f g Suponha que o gráfico de f seja uma parábola com vértice em 3 2 Suponha gx 4x 5 Quais são as coordenadas do vértice do gráfico de g f 46 47 48 49 50 51 a b c d 52 a b c d 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 Suponha que o gráfico de f seja uma parábola com vértice em 5 4 Suponha gx 3x 1 Quais são as coordenadas do vértice do gráfico de g f Suponha que o gráfico de f seja uma parábola com vértice em t s Suponha gx ax b em que a e b são números com a 0 Quais são as coordenadas do vértice do gráfico de f g Suponha que o gráfico de f seja uma parábola com vértice em t s Suponha gx ax b em que a e b são números com a 0 Quais são as coordenadas do vértice do gráfico de g f Suponha hx x2 3x 4 e o domínio de h o conjunto dos números positivos Calcule h17 Suponha hx x2 2x 5 e o domínio de h o conjunto dos números positivos Calcule h14 Suponha que f seja a função cujo domínio é o intervalo 1 com fx x2 3x 5 Qual é a imagem de f Determine uma fórmula para f1 Qual é o domínio de f1 Qual é a imagem de f1 Suponha que g seja a função cujo domínio é o intervalo 1 com gx x2 4x 7 Qual é a imagem de g Determine uma fórmula para g1 Qual é o domínio de g1 Qual é a imagem de g1 Suponha fx x2 6x 11 Determine o menor número b tal que f seja crescente no intervalo b Suponha fx x2 8x 5 Determine o menor número b tal que f seja crescente no intervalo b Determine a distância entre os pontos 3 2 e 1 4 Determine a distância entre os pontos 4 7 e 8 5 Determine duas escolhas para t de modo que a distância entre 2 1 e t 3 seja igual a 7 Determine duas escolhas para t de modo que a distância entre 3 2 e 1 t seja igual a 5 Determine duas escolhas para b tais que 4 b esteja a uma distância 5 de 3 6 Determine duas escolhas para b tais que b 1 esteja a uma distância 4 de 3 2 Determine dois pontos sobre o eixo horizontal cuja distância até 3 2 seja igual a 7 Determine dois pontos sobre o eixo horizontal cuja distância até 1 4 seja igual a 6 Determine dois pontos sobre o eixo vertical cuja distância até 5 1 seja igual a 8 Determine dois pontos sobre o eixo vertical cuja distância até 2 4 seja igual a 5 Um navio navega 2 milhas 32 km para o norte e depois 5 milhas 80 km para o oeste A que distância o navio está de seu ponto de partida Um navio navega 7 milhas 113 km para o leste e depois 3 milhas 48 km para o sul A que distância o navio está de seu ponto de partida Determine a equação da circunferência no plano xy centrada em 3 2 e de raio 7 Determine a equação da circunferência no plano xy centrada em 4 5 e de raio 6 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 Determine duas escolhas para b tais que 5 b esteja sobre a circunferência de raio 4 centrada em 3 6 Determine duas escolhas para b tais que b 4 esteja sobre a circunferência de raio 3 centrada em 1 6 Determine o centro e o raio da circunferência x2 8x y2 2y 14 Determine o centro e o raio da circunferência x2 5x y2 6y 3 Determine os dois pontos em que a circunferência de raio 2 centrada na origem intercepta a circunferência de raio 3 centrada em 3 0 Determine os dois pontos em que a circunferência de raio 3 centrada na origem intercepta a circunferência de raio 4 centrada em 5 0 Suponha que as unidades sejam escolhidas de modo tal que a órbita de um planeta em torno de uma estrela seja a elipse 4x2 5y2 1 Qual é a localização da estrela Suponha que a primeira coordenada da estrela seja positiva Suponha que as unidades sejam escolhidas de modo tal que a órbita de um planeta em torno de uma estrela seja a elipse 3x2 7y2 1 Qual é a localização da estrela Suponha que a primeira coordenada da estrela seja positiva Suponha que as unidades sejam escolhidas de modo tal que a órbita de um cometa em torno de uma estrela seja o ramo superior da hipérbole 3y2 2x2 5 Qual é a localização da estrela Suponha que as unidades sejam escolhidas de modo tal que a órbita de um cometa em torno de uma estrela seja o ramo superior da hipérbole 4y2 5x2 7 Qual é a localização da estrela Demonstre que a b2 a2 b2 se e somente se a 0 ou b 0 Explique por que x2 4x y2 10y 29 para todos os números reais x e y Demonstre que uma função quadrática f definida por fx ax2 bx c é uma função par se e somente se b 0 Demonstre que se f for uma função linear não constante e g for uma função quadrática então f g e g f serão ambas funções quadráticas Suponha 2x2 3x c 0 para todo número real x Demonstre que c 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 Suponha 3x2 bx 7 0 para todo número real x Demonstre que b 2 Suponha at2 5t 4 0 para todo número real t Demonstre que a Suponha a 0 e b2 4 ac Verifique por substituição direta que se então ax2 bx c 0 Suponha a 0 e b2 4 ac Verifique por substituição direta que Suponha fx ax2 bx c em que a 0 Demonstre que o vértice do gráfico de f é o ponto Suponha que b e c sejam números tais que a equação x2 bx c 0 não tenha solução real Explique por que a equação x2 bx c 0 tem duas raízes reais Determine um número ϕ tal que na figura abaixo o retângulo amarelo seja semelhante ao retângulo grande formado pela união do quadrado azul com o retângulo amarelo O número ϕ que constitui a solução deste problema é denominado a razão áurea o símbolo ϕ é a letra grega fi Retângulos cuja razão entre o comprimento do maior lado e o comprimento do menor lado é igual a ϕ são supostamente os retângulos mais agradáveis esteticamente O retângulo grande formado pela união do quadrado azul com o retângulo amarelo apresenta a razão áurea assim como o retângulo amarelo Muitos trabalhos de arte são caracterizados por retângulos com razão áurea Demonstre que não existem dois números reais cuja soma é 7 e cujo produto é 13 Suponha que f seja uma função quadrática tal que a equação fx 0 tenha exatamente uma solução Demonstre que essa solução é a primeira coordenada do vértice do gráfico de f e que a segunda coordenada do vértice é igual a 0 Suponha que f seja uma função quadrática tal que a equação fx 0 tenha duas soluções reais Demonstre que a média dessas duas soluções é a primeira coordenada do vértice do gráfico de f Determine dois pontos um sobre o eixo horizontal e outro sobre o eixo vertical tais que a distância entre esse dois pontos seja igual a 15 Explique por que não existe nenhum ponto sobre o eixo horizontal cuja distância até o ponto 5 4 seja igual a 3 Determine a distância entre os pontos 21 15 e 17 28 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 No WolframAlpha você pode fazer isso digitando distance from 21 15 to 17 28 no box de entrada Observe que além da distância tanto na forma exata quanto na aproximada apresentase uma figura mostrando os dois pontos Tente determinar a distância entre outros pares de pontos Determine seis pontos distintos cuja distância até a origem seja igual a 3 Determine seis pontos distintos cuja distância até o ponto 3 1 seja igual a 4 Suponha a b 0 Determine uma fórmula em termos de x para a distância entre um ponto típico x y na elipse 1 e o ponto Suponha a b 0 Determine uma fórmula em termos de x para a distância entre um ponto típico x y na elipse 1 e o ponto Suponha a b 0 Use os resultados dos dois últimos problemas para mostrar que e são focos da elipse Suponha b a 0 Determine uma fórmula em termos de y para a distância entre um ponto típico x y na elipse 1 e o ponto Suponha b a 0 Determine uma fórmula em termos de y para a distância entre um ponto típico x y na elipse 1 e o ponto Suponha b a 0 Use os resultados dos dois últimos problemas para mostrar que e são focos da elipse Suponha que a e b sejam números não nulos Determine uma fórmula em termos de y para a distância entre um ponto típico x y com y 0 na hipérbole 1 e o ponto Suponha que a e b sejam números não nulos Determine uma fórmula em termos de y para a distância entre um ponto típico x y com y 0 na hipérbole 1 e o ponto Suponha que a e b sejam números não nulos Use os resultados dos dois últimos problemas para mostrar que e são focos da hipérbole Suponha x 0 Demonstre que a distância entre o ponto x e o ponto é x Para um gráfico de y veja o Exemplo 6 da Seção 23 Suponha x 0 Demonstre que a distância entre o ponto x e o ponto é x Suponha x 0 Demonstre que a distância entre o ponto x e o ponto menos a distância entre o ponto x e o ponto é igual a 2 Explique por que o resultado desse último problema justifica que a curva y seja identificada como uma hipérbole com focos em e Para os exercícios 112 utilize a seguinte informação Se um objeto for lançado no ar verticalmente e para cima no instante 0 de uma altura H pés com velocidade inicial V pés por segundo então no instante t segundos a altura do objeto será ht pés em que ht 161t2 Vt H 1 a b c a b c 3 5 7 Essa fórmula utiliza apenas a força gravitacional ignorando a resistência do ar Ela é válida apenas até que o objeto bata no solo ou em qualquer outro objeto Suponha que uma bola seja arremessada no ar verticalmente e para cima de uma altura de 5 pés 15 m com velocidade inicial 20 pés 6 m por segundo Quanto tempo leva a bola até bater no solo Quanto tempo leva a bola até atingir a sua altura máxima Qual é a altura máxima da bola SOLUÇÃO Aqui temos ht 161t2 20t 5 A bola bate no solo quando ht 0 a fórmula quadrática mostra que isso ocorre quando t 146 segundo a outra solução produzida pela fórmula quadrática foi descartada porque é negativa Completando o quadrado temos Então a bola atinge a sua altura máxima quando t 062 segundo A solução para o item b mostra que a altura máxima da bola é 5 112 pés 34 m Suponha que uma bola seja arremessada no ar verticalmente e para cima de uma altura de 5 pés 15 m Qual deve ser a velocidade inicial da bola para que ela permaneça no ar durante 4 segundos SOLUÇÃO Suponha que a velocidade inicial da bola seja V pés por segundo Então a altura ht da bola no instante de tempo t é dada pela fórmula ht 161t2 Vt 5 Queremos h4 0 porque a bola bate no solo quando sua altura é 0 Em outras palavras queremos satisfazer a equação 161 42 4V 5 0 Resolvendo a equação para V obtémse V 6315 pés 192 m por segundo Suponha que uma bola seja arremessada no ar verticalmente e para cima de uma altura de 5 pés 15 m Qual deve ser a velocidade inicial da bola para que ela atinja sua altura máxima após 1 segundo SOLUÇÃO Suponha que a velocidade inicial da bola seja V pés por segundo Então a altura da bola no instante de tempo t é dada por Assim a bola atinge sua altura máxima quando t 0 Queremos que isso aconteça quanto t 1 Em outras palavras queremos satisfazer a equação 1 0 que implica V 322 pés por segundo Suponha que uma bola seja arremessada no ar verticalmente e para cima de uma altura de 5 pés 15 m Qual deve ser a 9 11 13 15 17 velocidade inicial da bola para que ela atinja uma altura de 50 pés 152 m SOLUÇÃO Suponha que a velocidade inicial da bola seja V pés por segundo Como pode ser visto na resolução do Exercício 5 a altura máxima da bola é 5 que queremos igual a 50 Resolvendo a equação para V obtemos V 5383 pés 164 m por segundo Suponha que um computador do tipo notebook tenha caído acidentalmente de uma prateleira que está a uma altura de 6 pés 18 m Quanto tempo levará o computador até bater no solo SOLUÇÃO Nesse caso temos V 0 e H 6 então a altura ht no instante t é dada pela fórmula ht 161t2 6 Queremos calcular o tempo t para o qual ht 0 Em outras palavras precisamos resolver a equação 161t2 6 0 As soluções da equação acima são t O valor negativo não faz sentido aqui portanto t 061 segundo Alguns computadores do tipo notebook possuem um sensor que detecta alterações súbitas no movimento e desligam o disco rígido do notebook protegendoo de algum dano Suponha que o mecanismo de detecçãoproteção de um computador do tipo notebook leve 03 segundo depois que o computador começa a cair para entrar em funcionamento Qual é a altura mínima da qual o computador tipo notebook pode cair de modo a funcionar o seu mecanismo de proteção SOLUÇÃO Queremos determinar a altura inicial H tal que o computador do tipo notebook venha a bater no solo o que significa estar na altura 0 após 03 segundo Em outras palavras queremos 161 032 H 0 Então H 161 032 1449 pé Determine todos os números x tais que SOLUÇÃO A equação acima é equivalente à equação x 1x 2 2x 1x 3 Expandindose e depois reunindose de um mesmo lado todos os termos obtemos a equação x2 4x 1 0 A fórmula quadrática mostra agora que x 2 Determine dois números w tais que os pontos 3 1 w 4 e 5 w estejam todos sobre uma mesma linha reta SOLUÇÃO A inclinação da reta que contém 3 1 e w 4 é A inclinação da reta que contém 3 1 e 5 w é Precisamos que essas duas inclinações sejam iguais entre si o que significa que Assim 2 3 w 1w 3 o que significa que w2 4w 3 0 A fórmula quadrática mostra agora que w 2 Para os Exercícios 1722 determine o vértice do gráfico da função f dada fx 7x2 12 19 21 23 25 27 SOLUÇÃO O valor de 7x2 12 é minimizado quando x 0 O valor de f0 é 12 Portanto o vértice do gráfico de f é 0 12 fx x 22 3 SOLUÇÃO O valor de x 22 3 é minimizado quando x 2 O valor de f2 é 3 Portanto o vértice do gráfico de f é 2 3 fx 2x 52 6 SOLUÇÃO O valor de 2x 52 6 é minimizado quando 2x 5 0 Isto ocorre quando x O valor de f é 6 Portanto o vértice do gráfico de f é 6 Determine os únicos números x e y tais que x2 6x y2 8y 25 SOLUÇÃO Completamos o quadrado para reescrever a equação acima 25 x2 6x y2 8y x 32 9 y 42 16 x 32 y 42 25 Então a equação original pode ser reescrita como x 32 y 42 0 A única solução para essa equação é x 3 e y 4 Portanto 3 4 é o único ponto no gráfico dessa equação Determine o ponto sobre a reta y 3x 1 no plano xy mais próximo do ponto 2 4 SOLUÇÃO Um ponto típico na reta y 3x 1 no plano xy tem coordenadas x 3x 1 A distância entre esse ponto e 2 4 é igual a que com um pouco de álgebra pode ser reescrita como Queremos tornar essa quantidade tão pequena quanto possível o que significa que precisamos tornar 10x2 22x tão pequeno quanto possível Isto pode ser feito completandose o quadrado A última quantidade será a menor possível quando x Substituindo x na equação y 3x 1 chegase a y Então é o ponto sobre a reta y 3x 1 que está mais próximo do ponto 2 4 Determine um número t tal que a distância entre os pontos 2 3 e t 2t seja a menor possível SOLUÇÃO A distância entre 2 3 e t 2t é igual a Queremos tornar essa quantidade a menor possível e isso ocorre quando t 22 2t 32 for o menor possível Observe que t 22 2t 32 5t2 16t 13 Isto será o menor possível quando 5t2 16t for o menor possível Para determinar quando isso acontece completamos o quadrado a b c d 29 a b c d 31 a b c Essa quantidade é minimizada quando t Para os Exercícios 2932 para cada uma das funções f especificadas Escreva fx sob a forma ax h2 k Determine o valor de x para o qual fx atinge seu valor mínimo ou seu valor máximo Esboce o gráfico de f em um intervalo de comprimento 2 centrado no número para o qual f atinge seu valor mínimo ou seu valor máximo Determine o vértice do gráfico de f fx x2 7x 12 SOLUÇÃO Completandose o quadrado podemos escrever A expressão anterior mostra que o valor de fx é minimizado quando x A expressão anterior para f implica que o gráfico de f é obtido do gráfico de x2 deslocandoo para a esquerda unidades e depois deslocandoo para baixo unidade Isto produz o seguinte gráfico no intervalo que é o intervalo de comprimento 2 centrado em A figura acima mostra que o vértice do gráfico de f é o ponto Poderíamos ter calculado essas coordenadas mesmo sem olhar para a figura observando que f tem seu valor mínimo em e que f Ou poderíamos ter observado que o gráfico de f é obtido do gráfico de x2 deslocandoo para a esquerda unidades e depois deslocandoo para baixo unidade o que move a origem que é o vértice do gráfico de x2 para o ponto fx 2x2 5x 2 SOLUÇÃO Completandose o quadrado podemos escrever A expressão acima mostra que o valor de fx é maximizado quando x A expressão acima para f implica que o gráfico de f é obtido do gráfico de x2 deslocandoo para a direita unidades depois alongandoo verticalmente por um fator 2 depois refletindoo sobre o eixo horizontal e finalmente deslocandoo para cima unidades Isto produz o seguinte gráfico no intervalo que é o intervalo de comprimento 2 centrado em d 33 35 37 A figura mostra que o vértice do gráfico de f é o ponto Poderíamos ter calculado essas coordenadas mesmo sem olhar para a figura observando que f tem seu valor mínimo em e que f Ou poderíamos ter observado que o gráfico de f é obtido do gráfico de x2 deslocandoo para a direita unidades em seguida alongandoo verticalmente por um fator 2 depois refletindoo sobre o eixo horizontal e finalmente deslocandoo para cima unidades o que move a origem que é o vértice do gráfico de x2 para o ponto Determine um número c tal que o gráfico de y x2 6x c tenha seu vértice sobre o eixo dos x SOLUÇÃO Começamos por determinar o vértice do gráfico de y x2 6x c Para isso completamos o quadrado x2 6x c x 32 9 c Assim o valor de x2 6x c é minimizado quando x 3 Quando x 3 o valor de x2 6x c é igual a 9 c Dessa forma o vértice de y x2 6x c é 3 9 c O eixo dos x consiste nos pontos cuja segunda coordenada é igual a 0 Portanto o vértice do gráfico de y x2 6x c estará sobre o eixo dos x quando 9 c 0 ou equivalentemente quando c 9 Determine dois números cuja soma seja igual a 10 e cujo produto seja igual a 7 SOLUÇÃO Representemos os dois números por s e t Queremos s t 10 e st 7 Resolvendo a primeira equação para s obtemos s 10 t Substituindo na segunda equação essa expressão para s obtemos 10 tt 7 que é equivalente à equação t2 10t 7 0 Usando a fórmula quadrática para resolver a equação para t obtemos Escolhemos a solução t 5 3 Substituindo esse valor de t na equação s 10 t obtemos s 5 3 Portanto os dois números cuja soma é igual a 10 e cujo produto é igual a 7 são 5 3 e 5 3 VERIFICAÇÃO Para verificar que essa solução está correta observe que e Determine dois números positivos cuja diferença seja igual a 3 e cujo produto seja igual a 20 SOLUÇÃO Representemos os dois números por s e t Queremos s t 3 e st 20 Resolvendo a primeira equação para s obtemos s t 3 Substituindo na segunda equação essa expressão para s obtemos t 3t 20 que é equivalente à equação t2 3t 20 0 Usando a fórmula quadrática para resolver a equação para t obtemos 39 41 43 45 Se escolhermos o sinal de menos na expressão com mais ou menos acima chegaremos a um valor negativo para t Como este exercício requer que t seja positivo escolhemos a solução t Substituindo esse valor de t na equação s t 3 obtemos s Então os dois números cuja diferença é igual a 3 e cujo produto é igual a 20 são e VERIFICAÇÃO Para verificar que essa solução está correta observe que e Determine o valor mínimo de x2 6x 2 SOLUÇÃO Completando o quadrado podemos escrever x2 6x 2 x 32 9 2 x 32 7 A expressão acima mostra que o valor mínimo de x2 6x 2 é 7 e que esse valor mínimo ocorre quando x 3 Determine o valor máximo de 7 2x x2 SOLUÇÃO Completando o quadrado podemos escrever 7 2x x2 x2 2x 7 x 12 1 7 x 12 8 A expressão acima mostra que o valor máximo de 7 2x x2 é 8 e que esse valor máximo ocorre quando x 1 Suponha que o gráfico de f seja uma parábola com vértice em 3 2 Suponha gx 4x 5 Quais são as coordenadas do vértice do gráfico de f g SOLUÇÃO Observe que f gx f gx f4x 5 Como fx atinge seu valor mínimo ou seu valor máximo quando x 3 vemos na equação acima que f g x atinge seu valor mínimo ou seu valor máximo quando 4x 5 3 Resolvendo a equação para x vemos que f g x atinge seu valor mínimo ou seu valor máximo quando x A equação apresentada acima mostra que esse valor mínimo ou valor máximo de f g x é o mesmo que o valor mínimo ou valor máximo de f que é igual a 2 Portanto o vértice do gráfico de f g é 2 Suponha que o gráfico de f seja uma parábola com vértice em 3 2 Suponha gx 4x 5 Quais são as coordenadas do vértice do gráfico de g f SOLUÇÃO Observe que g fx gfx 4fx 5 Como fx atinge seu valor mínimo ou seu valor máximo que é igual a 2 quando x 3 vemos na equação acima que g f x também atingirá seu valor mínimo ou seu valor máximo quando x 3 Temos g f 3 gf3 4f3 5 4 2 5 13 Então o vértice do gráfico de g f é 3 13 47 49 51 a b c d a Suponha que o gráfico de f seja uma parábola com vértice em t s Suponha gx ax b em que a e b são números com a 0 Quais são as coordenadas do vértice do gráfico de f g SOLUÇÃO Observe que f gx fax b Como fx atinge seu valor mínimo ou seu valor máximo quando x t vemos na equação acima que f gx atingirá seu valor mínimo ou seu valor máximo quando ax b t Assim f gx atingirá seu valor mínimo ou seu valor máximo quando x A equação mostra que esse valor mínimo ou máximo de f gx é o mesmo que o valor mínimo ou máximo de f que é igual a s Portanto o vértice do gráfico é s Suponha hx x2 3x 4 e o domínio de h seja o conjunto dos números positivos Calcule h17 SOLUÇÃO Precisamos determinar um número positivo x tal que hx 7 Em outras palavras precisamos determinar uma solução positiva para a equação x2 3x 4 7 que é equivalente à equação x2 3x 3 0 A fórmula quadrática mostra que a equação acima tem soluções Como o domínio de h é o conjunto de números positivos o valor de x que procuramos deve ser positivo A segunda solução acima é negativa portanto ela pode ser descartada o que leva a concluir que VERIFICAÇÃO Para verificar que devemos verificar que Temos como queríamos mostrar Suponha que f seja a função cujo domínio é o intervalo 1 com f x x2 3x 5 Qual é a imagem de f Determine uma fórmula para f1 Qual é o domínio de f1 Qual é a imagem de f1 SOLUÇÃO Para determinar a imagem de f precisamos determinar os números y tais que y x2 3x 5 para algum x no domínio de f Em outras palavras precisamos determinar os valores de y tais que a equação acima possa ser resolvida para um número x 1 Para resolver essa equação para x subtraímos y de ambos os lados obtendo a equação x2 3x 5 y 0 Usando a equação quadrática para resolver a equação para x obtemos b c d 53 55 57 Se na equação acima escolhermos o sinal negativo obteríamos um valor negativo para x o que não é possível pois x precisa estar no domínio de f que é o intervalo 1 Assim devemos ter Como x precisa estar no domínio de f que é o intervalo 1 devemos ter Multiplicando por 2 ambos os lados dessa desigualdade e depois adicionando 3 a ambos os lados obtemos a desigualdade Assim 4 y 11 25 o que implica 4y 36 que por sua vez implica y 9 Portanto a imagem de f é o intervalo 9 A expressão que deduzimos na resolução do item a mostra que f1 é dada pela fórmula O domínio de f1 é igual à imagem de f Portanto o domínio de f1 é o intervalo 9 A imagem de f1 é igual ao domínio de f Portanto a imagem de f1 é o intervalo 1 Suponha fx x2 6x 11 Determine o menor número b tal que f seja crescente no intervalo b SOLUÇÃO O gráfico de f é uma parábola com o formato apresentado na figura abaixo O maior intervalo no qual f é crescente é b em que b é a primeira coordenada do vértice do gráfico de f Como pode ser visto na figura anterior o menor número b para o qual f é crescente no intervalo b é a primeira coordenada do vértice do gráfico de f Para determinar esse número completamos o quadrado x2 6x 11 x 32 9 11 x 32 2 A equação acima mostra que a primeira coordenada do vértice da parábola é 3 Assim escolhemos b 3 Determine a distância entre os pontos 3 2 e 1 4 SOLUÇÃO A distância entre os pontos 3 2 e 1 4 é igual a que é igual a que por sua vez é igual a que finalmente é igual a o que pode ser simplificado como se segue Assim a distância entre os pontos 3 2 e 1 4 é igual a 2 Determine duas escolhas para t de modo que a distância entre 2 1 e t 3 seja igual a 7 SOLUÇÃO A distância entre 2 1 e t 3 é igual a 59 61 63 65 67 Queremos que isso seja igual a 7 assim devemos ter t 22 16 49 Subtraindo 16 de ambos os lados da equação acima obtemos t 22 33 que implica t 2 Assim t 2 ou t 2 Determine duas escolhas para b tais que 4 b esteja a uma distância 5 de 3 6 SOLUÇÃO A distância entre 4 b e 3 6 é igual a Queremos que isso seja igual a 5 assim devemos ter 1 6 b2 25 Subtraindo 1 de ambos os lados da equação acima obtemos 6 b2 24 Então 6 b Portanto b 6 6 2 ou b 6 6 6 2 Determine dois pontos sobre o eixo horizontal cuja distância até 3 2 seja igual a 7 SOLUÇÃO Um ponto típico sobre o eixo horizontal tem coordenadas x 0 A distância desse ponto até 3 2 é Assim precisamos resolver a equação Elevando ao quadrado ambos os lados da equação acima e depois subtraindo 4 de ambos os lados obtemos x 32 45 Assim x 3 3 Portanto x 3 3 Concluímos assim que os dois pontos sobre o eixo horizontal cuja distância até 3 2 é igual a 7 são 3 3 0 e 3 3 0 Determine dois pontos sobre o eixo vertical cuja distância até 5 1 seja igual a 8 SOLUÇÃO Um ponto típico sobre o eixo vertical tem coordenadas 0 y A distância desse ponto até 5 1 é Assim precisamos resolver a equação Elevando ao quadrado ambos os lados da equação acima e depois subtraindo 25 de ambos os lados obtemos y 12 39 Assim y 1 Portanto y 1 Concluímos assim que os dois pontos sobre o eixo vertical cuja distância até 5 1 é igual a 8 são 0 1 e 0 1 Um navio navega 2 milhas 32 km para o norte e depois 5 milhas 80 km para o oeste A que distância o navio está de seu ponto de partida SOLUÇÃO A figura abaixo mostra o trajeto do navio O comprimento da reta vermelha é a distância do navio até o seu ponto de partida Pelo Teorema de Pitágoras essa distância é igual a milhas que é igual a milhas Estamos supondo que a superfície da terra seja parte de um plano em vez de parte de uma esfera Para distâncias menores que algumas centenas de milhas essa é uma boa aproximação Determine a equação da circunferência no plano xy centrada em 3 2 e com raio 7 69 71 73 75 SOLUÇÃO A equação dessa circunferência é x 32 y 22 49 Determine duas escolhas para b tais que 5 b esteja sobre a circunferência de raio 4 centrada em 3 6 SOLUÇÃO A equação da circunferência de raio 4 centrada em 3 6 é x 32 y 62 16 O ponto 5 b está sobre essa circunferência se e somente se 5 32 b 62 16 que é equivalente à equação b 62 12 Assim Portanto b 6 2 ou b 6 2 Determine o centro e o raio da circunferência x2 8x y2 2y 14 SOLUÇÃO Completando o quadrado podemos reescrever o lado esquerdo da equação acima como se segue x2 8x y2 2y x 42 16 y 12 1 x 42 y 12 17 Substituindo essa expressão no lado esquerdo da equação original e depois adicionando 17 a ambos os lados chegase a que a equação original é equivalente à equação x 42 y 12 3 Portanto essa circunferência tem centro em 4 1 e raio Determine os dois pontos em que a circunferência de raio 2 centrada na origem intercepta a circunferência de raio 3 centrada em 3 0 SOLUÇÃO As equações dessas duas circunferências são x2 y2 4 e x 32 y2 9 Subtraindo a primeira equação da segunda equação obtemos x 32 x2 5 que pode ser simplificada para a equação 6x 9 5 cuja solução é x Substituindo esse valor de x em qualquer uma das equações acima e resolvendoa para y obtemos Portanto as circunferências interceptamse nos pontos e Suponha que as unidades sejam escolhidas de tal modo que a órbita de um planeta em torno de uma estrela seja a elipse 4x2 5y2 1 Qual é a localização da estrela Suponha que a primeira coordenada da estrela seja positiva SOLUÇÃO Para colocar a equação acima sob a forma padrão para uma elipse reescrevemos essa equação como A estrela está localizada em um foco da elipse O foco com uma primeira coordenada positiva é que é igual a que por sua vez é igual a 77 Suponha que as unidades sejam escolhidas de tal modo que a órbita de um cometa em torno de uma estrela seja o ramo superior da hipérbole 3y2 2x2 5 Qual é a localização da estrela SOLUÇÃO Para colocar a equação acima sob a forma padrão para uma hipérbole reescrevemos essa equação como A estrela está localizada em um foco da hipérbole O foco com uma segunda coordenada positiva o que é necessário porque a órbita está no ramo superior da hipérbole é que é igual a que por sua vez é igual a A multiplicação por um inteiro positivo é uma adição repetida no sentido de que se x for um número real e m um inteiro positivo então mx é igual à soma em que x aparece m vezes Exatamente como a multiplicação por um inteiro positivo é definida como uma adição repetida uma potência com expoente inteiro positivo representa uma multiplicação repetida A próxima seção trata de polinômios Para entender polinômios você precisa ter uma boa compreensão do significado de xm Se m for um número inteiro positivo então podemos definir uma função f por fx xm Para m 1 o gráfico da função definida por fx x é uma reta que passa pela origem e que possui inclinação igual a 1 Para m 2 o gráfico da função definida por fx x2 é a parábola familiar com vértice na origem como mostrado aqui A seguir mostramos os gráficos de x3 x4 x5 e x6 separados em dois grupos de acordo com sua forma Observe que a x3 e x5 são funções crescentes mas x4 e x6 são funções decrescentes no intervalo 0 e crescentes no intervalo 0 Embora os gráficos de x4 e de x6 tenham formato do tipo parábola esses gráficos não são verdadeiras parábolas Os gráficos de x3 azul e x5 vermelho no intervalo 13 13 Os gráficos de x4 azul e x6 vermelho no intervalo 13 13 Até agora vimos os gráficos de xm para m 1 2 3 4 5 6 Para valores maiores ímpares de m o gráfico de xm tem aproximadamente a mesma forma que os gráficos de x3 e x5 para valores maiores pares de m o gráfico de xm tem aproximadamente a mesma forma que os gráficos de x2 x4 e x6 As propriedades das potências com expoentes inteiros positivos derivam da definição de xm como uma multiplicação repetida A expressão xm é denominada a mésima potência de x Considerando n m no exemplo acima vemos que xm xm xmm o que pode ser escrito como xm2 x2m O exemplo seguinte generaliza essa equação substituindo o número 2 por um inteiro positivo qualquer O próximo exemplo fornece uma fórmula para elevar o produto de dois números a uma potência Os três exemplos anteriores mostram que os expoentes inteiros positivos obedecem às regras expostas a seguir Depois vamos estender essas regras para expoentes que não sejam necessariamente inteiros positivos Começamos por considerar como poderíamos definir x0 Lembre que se x for um número real e m e n forem inteiros positivos então xm xn xmn Definimos xm como o produto com x aparecendo m vezes Essa definição faz sentido apenas quando m é um inteiro positivo Para definir xm para outros valores de m escolheremos definições tais que as propriedades listadas acima para expoentes inteiros positivos continuem valendo Queremos escolher uma definição de x0 tal que a equação acima seja válida mesmo se m 0 Em outras palavras queremos definir x0 tal que x0xn x0n Reescrevendo essa equação sob a forma x0xn xn vemos que se x 0 então não temos outra escolha a não ser definir x0 como igual a 1 No parágrafo anterior mostramos como poderíamos definir x0 para x 0 mas o que acontece quando x 0 Infelizmente é impossível construir uma definição para 00 que preserve as propriedades das potências Duas considerações conflitantes apontam para diferentes definições possíveis para 00 A equação x0 1 válida para todo x 0 sugere que precisamos definir 00 1 A equação 0m 0 válida para todos os inteiros positivos m sugere que precisamos definir 00 0 Se optarmos por definir 00 igual a 1 como sugerido pelo primeiro ponto acima estaremos violando a equação 0 m 0 sugerida pelo segundo ponto Se optarmos por definir 00 igual a 0 como sugerido pelo segundo ponto acima estaremos violando a equação x0 1 sugerida pelo primeiro ponto De qualquer forma não podemos manter a consistência de nossas propriedades algébricas envolvendo potências Entender que 00 é indefinido será importante quando você estudar conteúdos da disciplina de cálculo Para resolver esse dilema deixamos 00 indefinido em vez de escolher uma definição que violará uma de nossas propriedades algébricas Existe um posicionamento semelhante em Matemática com relação à divisão por zero As equações x y e 0 0 não podem ser satisfeitas simultaneamente se x 0 e y 1 independentemente de como definimos Dessa forma deixamos indefinido Em resumo aqui está nossa definição de x0 Por exemplo 40 1 Até o momento definimos xm sempre que x 0 e m é um inteiro positivo ou zero Vamos agora voltar nossa atenção para definir o significado de potências com expoentes inteiros negativos Assim como para a definição de potência com expoente zero buscaremos o significado dos expoentes inteiros negativos de tal modo que haja uma consistência com as propriedades algébricas anteriores Lembre que se x 0 e m e n forem inteiros não negativos então xm xn xmn Queremos escolher o significado das potências com expoentes inteiros negativos de tal forma que a equação acima seja válida sempre que m e n forem inteiros incluindo a possibilidade de que um ou ambos m e n sejam negativos Na equação acima se fizermos n m obtemos xm xm xmm Como x0 1 essa equação pode ser reescrita como xm xm 1 Assim vemos que não temos outra escolha a não ser definir xm como o inverso multiplicativo de xm Para evitar a divisão por 0 não nos podemos permitir ter x igual a 0 nessa definição Assim se m for um inteiro positivo deixaremos 0m indefinido Podemos ter alguma ideia sobre o comportamento da função xm com m como um inteiro negativo olhando para seu gráfico Se m for um inteiro positivo então o gráfico de comportase como o gráfico de se m for ímpar e como o gráfico de se m for par Valores mais altos de m correspondem a funções cujos gráficos se aproximam mais rapidamente do eixo dos x para valores altos do valor absoluto de x e do eixo vertical para valores de x mais próximos de 0 Suponha que x seja um número real e que m seja um inteiro positivo Como devemos definir x1m Para responder essa pergunta vamos procurar algo que seja consistente com as propriedades algébricas das potências assim como fizemos quando definimos o significado dos expoentes inteiros negativos Lembre que se x for um número real e m e n forem inteiros positivos então xnm xnm Queremos que a equação acima seja válida mesmo quando m e n não forem inteiros positivos Em particular se escolhermos n igual a 1m a equação acima tornase x1mm x Vemos portanto que devemos definir x1m como o número que quando elevado à mésima potência fornece o valor x A expressão x3 é denominada o cubo de x O próximo exemplo mostra o problema que surge quando tentamos definir x1m com x negativo e m como um inteiro par Os números complexos foram inventados para dar algum significado a expressões do tipo 912 mas aqui restringimos nossa atenção a números reais Com a experiência dos exemplos anteriores estamos agora prontos para estabelecer a definição formal de x1m Assim a raiz mésima de x é o número que quando elevado à mésima potência dá x com o entendimento que se m for par e x positivo então escolhemos o número positivo que satisfaça essa propriedade O número x12 é denominado a raiz quadrada de x e o número x13 é denominado a raiz cúbica de x Por exemplo a raiz quadrada de é igual a e a raiz cúbica de 125 é igual a 5 A notação representa a raiz quadrada de x e a notação representa a raiz cúbica de x Por exemplo 3 e De um modo mais geral a notação representa a raiz mésima de x A expressão não pode ser simplificada de nenhuma forma não existe nenhum número racional cujo quadrado seja igual a 2 veja a Seção 01 Dessa forma a expressão é normalmente deixada simplesmente como a menos que seja necessário algum cálculo numérico A propriedadechave de é que 2 2 Suponha que x e y sejam números positivos Então Assim é um número positivo cujo quadrado é igual a xy Nossa definição de raiz quadrada agora implica que é igual a de modo que temos o seguinte resultado Nunca cometa o erro de pensar que é igual No próximo exemplo o resultado acima será utilizado duas vezes uma vez em cada direção O exemplo a seguir deverá ajudar a solidificar sua compreensão sobre raízes quadradas O pontochave a ser entendido na definição de x1m é que a função raiz mésima é simplesmente a função inversa da função m ésima potência Embora não tenhamos usado essa linguagem quando definimos as raízes mésimas podíamos ter feito assim porque definimos y1m como o número que satisfaz a equação exatamente como foi feito na definição de uma função inversa veja Seção 15 Apresentamos a seguir uma reapresentação das raízes mésimas em termos de funções inversas Se m for par o domínio de f é restrito a 0 para obter uma função bijetora Como a função x1m é a função inversa da função xm podemos obter o gráfico de x1m refletindo o gráfico de xm sobre a reta y x como ocorre com qualquer função bijetora e sua inversa No caso em que m 2 já fizemos isso ao obter o gráfico de por meio da reflexão do gráfico de x2 sobre a reta y x veja o Exemplo 1 da Seção 16 Aqui mostramos o gráfico de x3 e de sua função inversa A função inversa de uma função crescente é crescente Portanto para todo inteiro positivo m a função x1m é crescente O gráfico de vermelho é obtido pela reflexão do gráfico de x3 azul sobre a reta y x Após ter definido o significado de expoentes sob a forma 1m em que m é um inteiro positivo concluiremos agora que é fácil definir o significado de expoentes racionais Lembre do Exemplo 3 que se n e p forem inteiros positivos então para todo x real Se supusermos que a equação acima deve valer inclusive quando p não é inteiro positivo isso nos leva ao significado de expoentes racionais Especificamente supondo que m seja um inteiro positivo e estabelecendo p 1m na equação acima obtemos O lado esquerdo da equação acima ainda não faz sentido porque ainda não vimos o significado de expoente racional Entretanto o lado direito da equação faz sentido porque já definimos anteriormente x1m e também já definimos a nésima potência de qualquer número Podemos assim usar o lado direito da equação acima para definir o lado esquerdo como faremos a seguir A expressão sempre que isto fizer sentido exclui o caso em que x 0 e m é par porque nesse caso x1m é indefinido e o caso em que x 0 e n 0 porque nesse caso 0n é indefinido A definição de xp quando p é um número racional foi escolhida de tal modo que as identidadeschave para expoentes inteiros também sejam válidas para expoentes racionais como mostraremos abaixo Como um exemplo de como essas identidades podem não ser válidas se x não for positivo temos que a equação x212 x não vale se x 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Para simplificar frações que envolvem expoentes mantenha em mente que o expoente muda de sinal quando movido do numerador para o denominador ou do denominador para o numerador Para os Exercícios 16 calcule o valor da expressão dada Não use calculadora 25 52 43 34 Os números nos Exercícios 714 são grandes demais para serem manipulados por uma calculadora Esses exercícios requerem uma compreensão dos conceitos Escreva 93000 como uma potência de 3 Escreva 274000 como uma potência de 3 Escreva 54000 como uma potência de 25 Escreva 23000 como uma potência de 8 Escreva 25 81000 como uma potência de 2 Escreva 53 252000 como uma potência de 5 Escreva 2100 4200 8300 como uma potência de 2 Escreva 3500 9200 27100 como uma potência de 3 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 Para os Exercícios 1520 simplifique a expressão dada escrevendoa como uma potência de uma única variável Escreva como uma potência de 2 Escreva como uma potência de 5 Determine inteirosm m e n tais que 2m 5n 16000 Determine inteirosm m e n tais que 2m 5n 00032 Para os Exercícios 2532 simplifique a expressão dada Para os Exercícios 3344 determine uma fórmula para f g para as funções f e g indicadas fx x2 gx x3 fx x5 gx x4 fx 4x2 gx 5x3 fx 3x5 gx 2x4 fx 4x2 gx 5x3 fx 3x5 gx 2x4 fx 4x2 gx 5x3 fx 3x5 gx 2x4 fx x12 gx x37 fx x53 gx x49 fx 3 x54 gx x27 Para os Exercícios 4556 expanda a expressão 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 Para os Exercícios 5764 determine todos os números reais x que satisfazem a equação indicada x 5 6 0 x 7 12 0 x 6 x 12 x23 6x13 8 x23 3x13 10 x4 3x2 10 x4 8x2 15 Calcule o valor de 32x sendo x um número tal que 3x 4 Calcule o valor de 24x sendo x um número tal que Calcule o valor de 8x sendo x um número tal que 2x 5 Calcule o valor de sendo x um número tal que 3x 5 Para os Exercícios 6978 esboce o gráfico da função f dada no intervalo 1 3 1 3 fx x3 1 fx x4 2 fx x4 15 fx x3 05 fx 2x3 fx 3x4 fx 2x4 fx 3x3 fx 2x4 3 fx 3x3 4 Para os Exercícios 7986 calcule o valor das quantidades indicadas Não use calculadora porque senão você não vai ganhar o entendimento que esses exercícios devem ajudálo a atingir 2532 853 3235 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 8134 3245 853 873 2743 Para os Exercícios 8798 determine uma fórmula para a função inversa f1 da função f indicada fx x9 fx x12 fx x17 fx x111 fx x25 fx x177 fx 32x5 fx 6 x3 fx x6 5 fx 4x37 1 fx 7 8x59 Para os Exercícios 99108 esboce o gráfico da função f dada no domínio Determine um inteiro m tal que 3 2 2 m2 seja um inteiro Determine um inteiro m tal que 5 2 2 m seja um inteiro 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 Suponha que m seja um inteiro positivo Explique por que 10m quando escrito na notação decimal usual é o dígito 1 seguido de m zeros Suponha que m seja um número ímpar Demonstre que a função f definida por fx xm é uma função ímpar Suponha que m seja um inteiro par Demonstre que a função f definida por fx xm é uma função par a Verifique que b Demonstre que se m for um inteiro maior que 2 então Qual é o domínio da função 3 x14 Qual é o domínio da função 1 x218 Suponha que p e q sejam números racionais Defina funções f e g com base em fx xp e gx xq Explique por que f gx xpq Suponha que x seja um número real e m n e p sejam inteiros positivos Explique por que xmnp xm xn xp Suponha que x seja um número real e m n e p sejam inteiros positivos Explique por que Suponha que x y e z sejam números reais e m seja um inteiro positivo Explique por que xmym zm xyzm Demonstre que se x 0 então xn x n para todos os inteiros n Esboce o gráfico das funções 1 e no intervalo 0 4 Explique por que quando se diz a raiz quadrada de x mais um essa expressão poderia ser interpretada de duas formas distintas que não levariam ao mesmo resultado Esboce os gráficos das funções 2x13 e 2x13 no intervalo 0 8 Esboce os gráficos das funções x14 e x15 no intervalo 0 81 Demonstre que Demonstre que Demonstre que 3321232 216 Demonstre que Demonstre que Demonstre que Demonstre que Formule um problema com forma similar à do problema anterior sem copiar nada deste livro Demonstre que Demonstre que Demonstre que se x e y forem números positivos com x y então 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 Explique por que é aproximadamente igual a Explique por que a equação não é válida para todos os números reais x e deve ser substituída pela equação Explique por que a equação é válida para todos os números reais x sem necessidade de usar o valor absoluto Demonstre que se x e y forem números positivos então Em particular se x e y forem números positivos então Demonstre que se 0 x y então Explique por que e Esboce os gráficos das funções e no intervalo 0 4 Usando o fato de que é irracional demonstrado na Seção 01 demonstre que 252 é irracional Usando o fato de que é irracional explique por que 216 é irracional Dê um exemplo de três números irracionais x y e z tais que xyz seja um número racional Suponha que sua calculadora calcule apenas raízes quadradas Explique como você poderia usar essa calculadora para calcular 718 Suponha que sua calculadora calcule apenas raízes quadradas e possa multiplicar Explique como você poderia usar essa calculadora para calcular 734 O Último Teorema de Fermat estabelece que se n for um inteiro maior que 2 então não existem inteiros positivos x y e z tais que xn yn zn O Último Teorema de Fermat não havia sido provado até 1994 embora durante séculos matemáticos tenham tentado obter a sua prova Use o Último Teorema de Fermat para mostrar que se n for um inteiro maior que 2 então não existem números racionais positivos x e y tais que xn yn 1 Dica Use a prova por contradição suponha que existam números racionais e tais que xn yn 1 depois demonstre que essa suposição leva a uma contradição do Último Teorema de Fermat Use o Último Teorema de Fermat para mostrar que se n for um inteiro maior que 2 então não existem números racionais positivos x y e z tais que xn yn zn A equação 32 42 52 mostra a necessidade da hipótese de que n 2 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 Para os Exercícios 16 calcule o valor da expressão dada Não use calculadora 25 52 SOLUÇÃO 25 52 32 25 7 SOLUÇÃO SOLUÇÃO Os números nos Exercícios 714 são grandes demais para serem manipulados por uma calculadora Esses exercícios requerem uma compreensão dos conceitos Escreva 93000 como uma potência de 3 SOLUÇÃO 93000 323000 36000 Escreva 54000 como potência de 25 SOLUÇÃO 54000 52 2000 522000 252000 Escreva 25 81000 como potência de 2 SOLUÇÃO 25 81000 25 231000 25 23000 23005 Escreva 2100 4200 8300 como potência de 2 SOLUÇÃO 2100 4200 8300 2100 22200 23300 2100 2400 2900 21400 Para os Exercícios 1520 simplifique a expressão dada escrevendoa como uma potência de uma única variável SOLUÇÃO SOLUÇÃO SOLUÇÃO 21 23 25 27 29 Escreva como potência de 2 SOLUÇÃO Determine inteiros m e n tais que 2m 5n 16000 SOLUÇÃO Observe que 16000 16 1000 24 103 24 2 53 24 23 53 27 53 Portanto se quisermos determinar inteiros m e n tais que 2m 5n 16000 poderíamos escolher m 7 e n 3 Para os Exercícios 2532 simplifique a expressão dada SOLUÇÃO SOLUÇÃO SOLUÇÃO 31 33 35 37 39 41 43 SOLUÇÃO Para os Exercícios 3344 determine uma fórmula para f g para as funções f e g indicadas fx x2 gx x3 SOLUÇÃO fx 4x2 gx 5x3 SOLUÇÃO fx 4x2 gx 5x3 SOLUÇÃO fx 4x2 gx 5x3 SOLUÇÃO fx x12 gx x37 SOLUÇÃO fx 3 x54 gx x27 SOLUÇÃO Para os Exercícios 4556 expanda a expressão 45 47 49 51 53 55 SOLUÇÃO SOLUÇÃO SOLUÇÃO Observer que Portanto precisamos começar por calcular Já fizemos isso no Exercício 45 obtendo Então SOLUÇÃO SOLUÇÃO SOLUÇÃO Para os Exercícios 5764 determine todos os números reais x que satisfazem a equação indicada 57 59 61 63 SOLUÇÃO Essa equação envolve portanto fazemos a substituição y Elevando ao quadrado ambos os lados da equação y obtemos x y2 Com estas substituições a equação acima tornase y2 5y 6 0 Fatorando o lado esquerdo obtemos y 2y 3 0 Assim ou y 2 ou y 3 que também poderiam ter sido obtidos usando a fórmula quadrática Substituindo agora no lugar de y vemos que ou 2 ou 3 Então ou x 4 ou x 9 x 6 SOLUÇÃO Essa equação envolve portanto fazemos a substituição y Elevando ao quadrado ambos os lados da equação y obtemos x y2 Fazendo essas substituições e subtraindo 6 de ambos os lados temos y2 y 6 0 A fórmula quadrática fornece Então y 3 ou y 2 o mesmo resultado poderia ser obtido por fatoração Substituindo agora y por obtemos A primeira possibilidade corresponde a x 9 Não existe número real tal que 2 Portanto x 9 é a única solução para essa equação x23 6x13 8 SOLUÇÃO Essa equação envolve x13 e x23 portanto fazemos a substituição x13 y Elevando ao quadrado ambos os lados da equação x13 y obtemos x23 y2 Fazendo essas substituições e adicionando 8 a ambos os lados temos y2 6y 8 0 Fatorando o lado esquerdo obtemos y 2y 4 0 Assim ou y 2 ou y 4 que também poderiam ter sido obtidos usando a fórmula quadrática Substituindo agora x13 no lugar de y vemos que x13 2 ou x13 4 Assim ou x 23 ou x 43 Em outras palavras ou x 8 ou x 64 x4 3x2 10 SOLUÇÃO Essa equação envolve x2 e x4 portanto fazemos a substituição x2 y Elevando ao quadrado ambos os lados da equação x2 y obtemos x4 y2 Fazendo essas substituições e subtraindo 10 de ambos os lados temos y2 3y 10 0 Fatorando o lado esquerdo obtemos y 5y 2 0 Assim ou y 5 ou y 2 que também poderiam ter sido obtidos usando a fórmula quadrática Substituindo agora x2 no lugar de y vemos que x2 5 ou x2 2 A primeira dessas equações implica que 65 66 69 71 73 a segunda equação não é satisfeita por nenhum valor real de x Em outras palavras a equação original implica que ou x ou x Calcule o valor de 32x sendo x um número tal que 3x 4 SOLUÇÃO Calcule o valor de 8 x sendo x um número tal que 2x 5 SOLUÇÃO Para os Exercícios 6978 esboce o gráfico da função f dada no intervalo 1 3 13 fx x3 1 SOLUÇÃO Deslocando o gráfico de x3 para cima uma unidade obtemos o seguinte gráfico O gráfico de x3 1 fx x4 15 SOLUÇÃO Deslocando o gráfico de x4 para baixo 15 unidade obtemos o seguinte gráfico O gráfico de x4 15 fx 2x3 SOLUÇÃO Alongando verticalmente o gráfico de x3 por um fator 2 obtemos o seguinte gráfico 75 77 79 81 83 85 O gráfico de 2x3 fx 2x4 SOLUÇÃO Alongando verticalmente o gráfico de x4 por um fator 2 e depois refletindoo sobre o eixo dos x obtemos o seguinte gráfico O gráfico de 2x4 fx 2x4 3 SOLUÇÃO Alongando verticalmente o gráfico de x4 por um fator 2 depois refletindoo sobre o eixo dos x e finalmente deslocandoo para cima três unidades obtemos o seguinte gráfico O gráfico de 2x4 3 Para os Exercícios 7986 calcule o valor das quantidades indicadas Não use calculadora porque senão você não vai ganhar o entendimento que esses exercícios devem ajudálo a atingir 2532 SOLUÇÃO 3235 SOLUÇÃO 3245 SOLUÇÃO 873 SOLUÇÃO 87 89 91 93 95 97 99 Para os Exercícios 8798 determine uma fórmula para a função inversa f1 da função f indicada fx x9 SOLUÇÃO Pela definição de raízes a função inversa de f é a função f1 definida por f1y y19 fx x17 SOLUÇÃO Pela definição de raízes f g1 em que g é a função definida por gy y7 Portanto Em outras palavras f1y y7 fx x25 SOLUÇÃO Para determinar uma fórmula para f1 resolvemos a equação x25 y para x Elevando os dois lados dessa equação à potência obtemos x y52 Assim f1y y52 SOLUÇÃO Para determinar uma fórmula para f1 resolvemos a equação para x Multiplicando ambos os lados da equação por 81 e depois elevando ambos os lados à potência obtemos x 81y14 3y14 Assim f1y 3y14 fx 6 x3 SOLUÇÃO Para determinar uma fórmula para f1 resolvemos a equação 6 x3 y para x Subtraindo 6 de ambos os lados da equação e depois elevando ambos os lados à potência obtemos x y 613 Assim f1y y 613 fx 4x37 1 SOLUÇÃO Para determinar uma fórmula para f1 resolvemos a equação 4x37 1 y para x Adicionando 1 a ambos os lados da equação depois dividindo ambos os lados por 4 e finalmente elevando ambos os lados à potência obtemos Assim Para os Exercícios 99108 esboce o gráfico da função f dada no domínio 3 3 SOLUÇÃO Deslocando o gráfico de para cima uma unidade obtemos o seguinte gráfico 101 103 105 O gráfico de 1 SOLUÇÃO Deslocando o gráfico de para baixo duas unidades obtemos o seguinte gráfico O gráfico de 2 fx SOLUÇÃO Alongando verticalmente o gráfico de por um fator 2 obtemos o seguinte gráfico O gráfico de SOLUÇÃO Alongando verticalmente o gráfico de por um fator 2 e depois refletindoo sobre o eixo dos x obtemos o seguinte gráfico 107 109 O gráfico de SOLUÇÃO Alongando verticalmente o gráfico de por um fator 2 depois refletindoo sobre o eixo dos x e finalmente deslocandoo para cima três unidades obtemos o seguinte gráfico O gráfico de 3 Determine um inteiro m tal que seja um inteiro Então Se escolhermos m 29 então temos que é um inteiro Qualquer escolha diferente de m 29 deixará um termo envolvendo quando expandirmos 29 12 m2 Assim a única solução para esse exercício é m 29 Euclides explicando geometria de A Escola de Atenas pintado por Raphael em torno de 1510 Anteriormente vimos funções lineares e funções quadráticas que estão entre os polinômios mais simples Nesta seção trabalharemos com polinômios mais gerais Começaremos pela definição de um polinômio A expressão que define um polinômio faz sentido para todo número real Assim supõese que o domínio de um polinômio seja o conjunto dos números reais a menos que outro domínio seja especificado Um exemplo de polinômio é a função p definida por px 3 7x5 2x6 Aqui em termos da definição acima temos a1 a2 a3 a4 0 O maior expoente na expressão que define um polinômio exerce um papel importante na determinação do comportamento do polinômio Dessa forma a seguinte definição é útil Os números a0 a1 a2an são denominados os coeficientes do polinômio p Polinômios de grau 0 são funções constantes Polinômios de grau 1 são funções lineares Polinômios de grau 2 são funções quadráticas Vimos na Seção 14 que duas funções podem ser adicionadas subtraídas ou multiplicadas produzindo outra função Especificamente se p e q forem funções então as funções p q p q e pq são definidas por p qx px qx p qx px qx pqx pxqx Quando as duas funções que estão sendo adicionadas subtraídas ou multiplicadas forem ambas polinômios então o resultado é também um polinômio como ilustrado pelos próximos dois exemplos De modo mais geral temos o seguinte resultado O polinômio constante p definido por px 0 para todo número x não possui coeficientes não nulos Assim o grau desse polinômio é indefinido Às vezes é conveniente escrever grau 0 para evitar exceções triviais em vários resultados Esse resultado é válido porque nem p q nem p q podem ter um expoente maior que o maior expoente de p ou q Devido a cancelamento o grau de p q ou o grau de p q pode ser menor que o máximo entre o grau de p e o grau de q como mostrado no item f do exemplo acima De modo mais geral temos o seguinte resultado Essa igualdade é válida porque quando o termo de expoente mais alto em p for multiplicado pelo termo de expoente mais alto em q os expoentes serão adicionados Os zeros de uma função às vezes também são denominados as raízes da função Por exemplo se px x2 5x 6 então 2 e 3 são zeros de p porque p2 22 5 2 6 0 e p3 32 5 3 6 0 A fórmula quadrática veja Seção 22 pode ser usada para determinar os zeros de um polinômio de grau 2 Existe uma fórmula cúbica para determinar os zeros de um polinômio de grau 3 e uma fórmula quártica para determinar os zeros de um polinômio de grau 4 No entanto essas fórmulas complicadas não são de grande utilidade prática e a maioria dos matemáticos não as conhece A fórmula cúbica que foi descoberta no século XVI é apresentada a seguir apenas para que você tome conhecimento Não a memorize Notavelmente matemáticos provaram que não existe fórmula para os zeros de polinômios de grau maior ou igual a 5 Mas podem ser usados bons métodos numéricos em computadores e calculadoras para obter boas aproximações para os zeros de qualquer polinômio mesmo quando não for possível determinar zeros exatos Por exemplo ninguém conseguiu escrever uma fórmula exata para calcular um zero do polinômio p definido por px x5 5x4 6x3 17x2 4x 7 suponha px ax3 bx2 cx d em que a 0 Seja e depois seja Suponha v 0 Então é um zero de p No entanto um computador ou uma calculadora simbólica que possam determinar zeros aproximados de polinômios fornecerão para esse p os seguintes cinco zeros aproximados 187278 0737226 0624418 147289 551270 digite por exemplo solve x5 5 x4 6 x3 17 x2 4 x 7 0 em uma caixa de entrada do WolframAlpha ou use sua tecnologia favorita para determinar os zeros deste polinômio Os zeros de uma função têm uma interpretação gráfica Especificamente suponhamos que p seja uma função e t seja um zero de p Dessa forma pt 0 e assim t 0 está no gráfico de p observe que t 0 está também sobre o eixo horizontal Concluímos que cada zero de p corresponde a um ponto em que o gráfico de p intercepta o eixo horizontal A função cujo gráfico mostramos aqui tem dois zeros correspondendo aos dois pontos em que o gráfico intercepta o eixo horizontal Os números complexos foram inventados para fornecer soluções para a equação x2 1 Este livro trabalha principalmente com números reais mas na Seção 64 serão apresentados os números complexos e os zeros complexos A seguir estudaremos a íntima conexão entre a determinação dos zeros de um polinômio e a determinação dos fatores do polinômio sob a forma x t O exemplo acima fornece uma boa ilustração do seguinte resultado Esse resultado mostra que o problema de determinar os zeros de um polinômio é de fato o mesmo problema que determinar fatores do polinômio sob a forma x t Para ver por que a parte se do resultado é válida suponha que p seja um polinômio e que t seja um número real tal que x t seja um fator de px Dessa forma existe um polinômio G tal que px x t Gx Assim pt t t Gt 0 e portanto t é um zero de p A próxima seção apresentará uma explicação de por que a parte somente se do resultado acima é válida O resultado acima implica que para determinar os zeros de um polinômio precisamos apenas fatorar o polinômio No entanto não existe um caminho fácil para fatorar um polinômio típico que não seja a determinação de seus zeros Sem usar um computador ou uma calculadora você deve ser capaz de fatorar rapidamente expressões como x2 2x 1 que é igual a x 12 e x2 9 que é igual a x 3 x 3 No entanto para a maioria dos polinômios quadráticos e de maior grau não contando os exemplos artificiais frequentemente encontrados nos livrostexto será mais fácil usar a fórmula quadrática ou um computador ou uma calculadora para determinar zeros do que tentar reconhecer fatores da forma x t Um polinômio de grau 1 tem exatamente um zero porque a equação ax b 0 tem exatamente uma solução Da fórmula quadrática sabemos que um polinômio de grau 2 tem no máximo dois zeros De um modo mais geral temos o seguinte resultado Então por exemplo um polinômio de grau 15 tem no máximo 15 zeros Esse resultado vale porque cada zero real de um polinômio p corresponde a no mínimo um termo x tj em uma fatoração sob a forma px x t1x t2 x tmGx em que G é um polinômio sem zeros reais Se o polinômio p tem mais zeros que seu grau então o lado direito da equação acima teria um grau mais alto que o lado esquerdo o que seria uma contradição Importante Lembre sempre que nem nem são números reais Vamos agora investigar o comportamento de um polinômio perto de e perto de Dizer que x está perto de é apenas uma maneira informal de dizer que x é muito grande Similarmente dizer que x está perto de é apenas uma maneira informal de dizer que x é negativo e x é muito grande A expressão muito grande não tem significado preciso mesmo seu significado informal pode depender do contexto Nosso foco será determinar se um polinômio assume valores positivos ou negativos perto de e perto de O procedimento usado no exemplo acima funciona com qualquer polinômio O exemplo a seguir mostra como descobrir que um intervalo contém um zero O raciocínio usado no exemplo anterior leva ao seguinte resultado Esse resultado é um caso especial do que é denominado o Teorema do Valor Intermediário O resultado acima vale não apenas para polinômios mas também para o que denominamos funções contínuas em um intervalo Uma função cujo gráfico consiste em apenas uma curva conectada é contínua Suponha que p seja um polinômio de grau n Por simplicidade suponhamos que xn seja o termo de maior grau de p se nosso interesse estiver apenas nos zeros de p podemos sempre satisfazer essa condição pela divisão de p pelo coeficiente do termo de maior grau Sabemos que px comportase como xn quando x for muito grande Como n é um inteiro positivo ímpar isto implica que px é negativo para x perto de e positivo para x perto de Assim existe um número negativo a tal que pa seja negativo e um número positivo b tal que pb seja positivo O resultado acima implica agora que p tem um zero no intervalo a b Após ter examinado o comportamento de um polinômio de grau ímpar perto de e perto de somos levados à seguinte conclusão Se usarmos números complexos então todo polinômio não constante tem um zero veja a Seção 64 Os computadores conseguem traçar gráficos de polinômios melhor do que os humanos No entanto é necessária alguma decisão humana na seleção de um intervalo apropriado para traçar o gráfico de um polinômio 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 Suponha px x2 5x 2 qx 2x3 3x 1 sx 4x3 2 Nos Exercícios 118 escreva a expressão indicada sob a forma de um polinômio p qx p qx 3p 2qx 4p 5qx pqx psx px2 qx2 px2sx qx2sx p qx q px p sx s px q p sx q p sx Fatore x8 y8 tanto quanto possível Fatore x16 y8 tanto quanto possível Determine todos os números reais x tais que x6 8x3 15 0 Determine todos os números reais x tais que x6 3x3 10 0 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 a b 38 a b 39 40 41 Determine todos os números reais x tais que x4 2x2 15 0 Determine todos os números reais x tais que x4 5x2 14 0 Determine um número b tal que 3 seja um zero do polinômio p definido por px 1 4x bx2 2x3 Determine um número c tal que 2 seja um zero do polinômio p definido por px 5 3x 4x2 cx3 Determine um polinômio p de grau 3 tal que 1 2 e 3 sejam zeros de p e p0 1 Determine um polinômio p de grau 3 tal que 2 1 e 4 sejam zeros de p e p1 2 Determine todas as escolhas de b c e d tais que 1 e 4 sejam os únicos zeros do polinômio p definido por px x3 bx2 cx d Determine todas as escolhas de b c e d tais que 3 e 2 sejam os únicos zeros do polinômio p definido por px x3 bx2 cx d Dê um exemplo de dois polinômios de grau 4 cuja soma tem grau 3 Determine um polinômio p de grau 2 com coeficientes inteiros tal 21 e 41 sejam zeros de p Determine um polinômio p com coeficientes inteiros tal 235 seja um zero de p Demonstre que se p e q forem polinômios não nulos com grau p grau q então grau p q grau q Dê um exemplo de polinômios p e q tais que grau pq 8 e grau p q 5 Dê um exemplo de polinômios p e q tais que grau pq 8 e grau p q 2 Suponha qx 2x3 3x 1 Demonstre que o ponto 2 11 está no gráfico de q Demonstre que a inclinação de uma reta contendo 2 11 e um ponto no gráfico de q muito próximo de 2 11 é aproximadamente igual a 21 Dica Use o resultado do Exercício 17 Suponha sx 4x3 2 Demonstre que o ponto 1 2 está no gráfico de s Determine uma estimativa para a inclinação de uma reta contendo 1 2 e um ponto no gráfico de s muito próximo de 1 2 Dica Use o resultado do Exercício 18 Dê um exemplo de polinômios p e q de grau 3 tais que p1 q1 p2 q2 e p3 q3 mas p4 q4 Suponha que p e q sejam polinômios de grau 3 tais que p1 q1 p2 q2 p3 q3 e p4 q4 Explique por que p q Explique por que o polinômio p definido por px x6 7x5 2x 3 tem um zero no intervalo 0 1 Para os Problemas 4243 seja p o polinômio definido por 42 b c d 43 b c 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 px x6 87x4 92x 2 a Use um computador ou uma calculadora para esboçar um gráfico de p no intervalo 5 5 O polinômio px é positivo ou negativo para x perto de O polinômio px é positivo ou negativo para x perto de Explique por que o gráfico do item a não mostra com precisão o comportamento de px para grandes valores de x a Calcule p2 p1 p0 e p1 Explique por que os resultados do item a implicam que p tem um zero no intervalo 2 1 e p tem um zero no intervalo 0 1 Demonstre que p tem no mínimo quatro zeros no intervalo 10 10 Dica Nós já sabemos do item b que p tem no mínimo dois zeros no intervalo 10 10 Você pode mostrar a existência de outros zeros determinando inteiros n tais que um dos números pn pn 1 seja positivo e o outro negativo Uma nova lanchonete no campus observa que o número de estudantes que a seguem no Twitter no final de cada uma das suas primeiras cinco semanas de funcionamento é 23 89 223 419 e 647 Um empregado esperto descobre que o número de estudantes que seguem a nova lanchonete no Twitter após oito semanas é pw em que p é definido por pw 7 3w 5w2 9w3 w4 De fato com p definido acima temos p1 23 p2 89 p3 223 p4 419 p5 647 Explique por que o polinômio p definido acima não pode fornecer previsões precisas para o número de seguidores no Twitter após dado número de semanas em um futuro distante Um livrotexto estabelece que a população de coelhos em uma pequena ilha é observada como 1000 120t 04t4 em que t é o tempo em meses a partir do início da observação na ilha Explique por que a fórmula acima não pode fornecer corretamente o número de coelhos no ilha para grandes valores de t Verifique que x y3 x3 3x2y 3xy2 y3 Verifique que x3 y3 x yx2 xy y2 Verifique que x3 y3 x yx2 xy y2 Verifique que x4 1 x2 x 1x2 x 1 Escreva o polinômio x4 16 como o produto de dois polinômios de grau 2 Dica Use o resultado do problema anterior com x substituído por Demonstre que a b3 a3 b3 se e somente se a 0 ou b 0 ou a b Suponha que d seja um número real Demonstre que d 14 d4 1 se e somente se d 0 Sem fazer nenhum cálculo nem usar calculadora explique por que x2 87559743x 787727821 não possui zeros inteiros Dica Se x for um inteiro ímpar a expressão anterior é par ou ímpar Se x for um inteiro par a expressão anterior é par ou ímpar Suponha que M e N sejam inteiros ímpares Explique por que x2 Mx N 55 56 a b c 57 58 59 60 a b c d 61 a b c d 62 63 não tem zeros inteiros Suponha que M e N sejam inteiros ímpares Explique por que x2 Mx N não tem zeros racionais Suponha px 3x7 5x3 7x 2 Demonstre que se m for um zero de p então Demonstre que os únicos zeros inteiros possíveis de p são 2 1 1 e 2 Demonstre que nenhum inteiro é zero de p Suponha que a b e c sejam inteiros e que px ax3 bx2 cd 9 Explique por que todo zero de p que for inteiro está no conjunto 9 3 1 1 3 9 Suponha px 2x5 5x4 2x3 1 Demostre que 1 é o único zero inteiro de p Suponha px a0 a1x an xn em que a0 a1 an são inteiros Suponha que m seja um inteiro não nulo que é um zero de p Demonstre que a0m é um inteiro Esse resultado mostra que para determinar zeros inteiros de um polinômio com coeficientes inteiros necessitamos olhar apenas para os divisores do seu termo constante Suponha px 2x6 3x5 5 Demonstre que se for um zero de p então 2M6 3M5N 5N6 0 Demonstre que se M e N forem inteiros sem fator comum e for um zero de p então 5M e 2N são inteiros Demonstre que os únicos zeros racionais possíveis de p são 5 1 e Demonstre que nenhum número racional é um zero de p Suponha px 2x4 9x3 1 Demonstre que se for um zero de p então 2M4 9M3 N N4 0 Demonstre que se M e N forem inteiros sem fator comum e for um zero de p então ou M 1 ou M 1 Demonstre que se M e N forem inteiros sem fator comum e for um zero de p então ou N 2 ou N 2 ou N 1 ou N 1 Demonstre que é o único zero racional de p Suponha px a0 a1x an xn em que a0 a1 an são inteiros Suponha que M e N sejam inteiros não nulos sem fator comum e que seja um zero de p Demonstre que a0M e an N são inteiros Assim para determinar zeros racionais de um polinômio com coeficientes inteiros precisamos olhar apenas para frações cujo numerador é um divisor do termo constante e cujo denominador é um divisor do coeficiente do termo de maior grau Esse resultado é denominado o Teorema dos Zeros Racionais ou o Teorema das Raízes Racionais Explique por que o polinômio p definido por x x6 100x2 5 não tem zeros reais 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 a b c 1 Dê um exemplo de um polinômio de grau 5 que tem exatamente dois zeros Dê um exemplo de um polinômio de grau 8 que tem exatamente três zeros Dê um exemplo de um polinômio p de grau 4 tal que p7 0 e px 0 para todo número real x Dê um exemplo de um polinômio p de grau 6 tal que p0 5 e px 5 para todo número real x Dê um exemplo de um polinômio p de grau 8 tal que p2 3 e px 3 para todo número real x Explique por que não existe polinômio p de grau 7 tal que px 100 para todo número real x Explique por que a composição de dois polinômios é um polinômio Demonstre que se p e q forem polinômios não nulos então graup q grau pgrau q Na primeira figura da solução do Exemplo 6 o gráfico do polinômio p situase claramente abaixo do eixo dos x para x no intervalo 5000 10000 Já na segunda figura da mesma solução o gráfico de p parece situarse ou sobre ou acima do eixo dos x para todos os valores de x no intervalo 0 1000000 Explique Suponha que t seja um zero do polinômio p definido por px 3x5 7x4 2x 6 Demonstre que é um zero do polinômio q definido por qx 3 7x 2x4 6x5 Generalize o problema acima Suponha que q seja um polinômio de grau 4 tal que q0 1 Defina p por meio de px x5 qx Explique por que p tem um zero no intervalo 0 Suponha que q seja um polinômio de grau 5 tal que q1 3 Defina p por meio de px x6 qx Explique por que p tem no mínimo dois zeros Suponha px x5 2x3 1 Determine dois pontos distintos no gráfico de p Explique por que p é uma função crescente Determine dois pontos distintos no gráfico de p1 Suponha px x2 5x 2 qx 2x3 3x 1 sx 4x3 2 Nos Exercícios 118 escreva a expressão indicada sob a forma de um polinômio p qx SOLUÇÃO p qx x2 5x 2 2x3 3x 1 2x3 x2 2x 3 3 5 7 9 11 13 3p 2qx SOLUÇÃO 3p 2qx 3x2 5x 2 22x3 3x 1 3x2 15x 6 4x3 6x 2 4x3 3x2 21x 4 pqx SOLUÇÃO pqx x2 5x 2 2x3 3x 1 x22x3 3x 1 5x 2x3 3x 1 22x3 3x 1 2x5 10x4 x3 14x2 x 2 px2 SOLUÇÃO px x2 5x 2x2 5x 2 x2x2 5x 2 5xx2 5x 2 2x2 5x 2 x4 5x3 2x2 5x3 25x2 10x 2x2 10x 4 x4 10x3 29x2 20x 4 px2 sx SOLUÇÃO Usando a expressão que calculamos para px2 na solução do Exercício 7 temos px sx x4 10x3 29x2 20x 44x3 2 4x3 x4 10x3 29x2 20x 4 2x4 10x3 29x2 20x 4 4x7 40x6 116x5 80x4 16x3 2x4 20x3 58x2 40x 8 4x7 40x6 116x5 78x4 4x3 58x2 40x 8 p qx SOLUÇÃO p qx pqx p2x3 3x 1 2x3 3x 12 52x3 3x 1 2 4x6 12x4 4x3 9x2 6x 1 10x3 15x 5 2 4x6 12x4 14x3 9x2 21x 8 p sx SOLUÇÃO p sx psx p4x3 2 4x3 22 54x3 2 2 15 17 19 21 23 16x6 16x3 4 20x3 10 2 16x6 4x3 4 q p sx SOLUÇÃO q p sx qp sx qpx sx q4x3 x2 5x 24x3 x2 5x3 34x3 x2 5x 1 24x3 x2 5x2 4x3 x2 5x 12x3 3x2 15x 1 216x6 8x5 41x4 10x3 25x2 4x3 x2 5x 12x3 3x2 15x 1 128x9 96x8 504x7 242x6 630x5 150x4 238x3 3x2 15x 1 SOLUÇÃO Fatore x8 y8 tanto quanto possível SOLUÇÃO x8 y8 x4 y4x4 y4 x2 y2x2 y2x4 y4 x yx yx2 y2x4 y4 Determine todos os números reais x tais que x6 8x3 15 0 SOLUÇÃO Essa equação envolve x3 e x6 portanto fazemos a substituição x3 y Elevando ao quadrado ambos os lados da equação x3 y obtemos x6 y2 Com essas substituições a equação acima tornase y2 8y 15 0 Essa nova equação pode agora ser resolvida ou fatorandose o lado esquerdo ou usandose a fórmula quadrática Pela fatoração do lado esquerdo obtemos y 3y 5 0 Então y 3 ou y 5 o mesmo resultado poderia ter sido obtido pela fórmula quadrática Substituindo agora x3 no lugar de y vemos que x3 3 ou x3 5 Assim x 313 ou x 513 Determine todos os números reais x tais que x4 2x2 15 0 25 27 29 SOLUÇÃO Essa equação envolve x2 e x4 portanto fazemos a substituição x2 y Elevando ao quadrado ambos os lados da equação x2 y obtemos x4 y2 Com essas substituições a equação acima tornase y2 2y 15 0 Essa nova equação pode agora ser resolvida ou fatorandose o lado esquerdo ou usandose a fórmula quadrática Com a fórmula quadrática obtemos Então y 5 ou y 3 o mesmo resultado poderia ter sido obtido pela fatoração Substituindo agora x2 no lugar de y vemos que x2 5 ou x2 3 A equação x2 5 implica que x ou x A equação x2 3 não tem solução nos números reais Assim a única solução para nossa equação original x4 2x2 15 0 são x ou x Determine um número b tal que 3 seja um zero do polinômio p definido por px 1 4x bx2 2x3 SOLUÇÃO Observe que p3 1 4 3 b 32 2 33 43 9b Queremos p3 igual a 0 Assim resolvemos a equação 0 43 9b que nos dá Determine um polinômio p de grau 3 tal que 1 2 e 3 sejam zeros de p e p0 1 SOLUÇÃO Se p for um polinômio p de grau 3 e 1 2 e 3 forem zeros de p então px cx 1x 2x 3 para algum número c Temos p0 c 0 1 0 2 0 3 6c Assim para satisfazer p0 1 devemos escolher Dessa forma que efetuando os produtos no numerador pode também ser escrita sob a forma Determine todas as escolhas de b c e d tais que 1 e 4 sejam os únicos zeros do polinômio p definido por px x3 bx2 cx d SOLUÇÃO Como 1 e 4 são zeros de p existe um polinômio q tal que px x 1x 4qx Como p tem grau 3 o polinômio q deve ter grau 1 Assim q tem um zero que deve ser igual a 1 ou a 4 porque aqueles são os únicos zeros de p Além disso o coeficiente de x no polinômio q deve ser igual a 1 porque o coeficiente de x3 no polinômio p é igual a 1 Dessa forma qx x 1 ou qx x 4 Em outras palavras px x 12 x 4 ou px x 1 x 42 Efetuandose os produtos nessas expressões vemos que px x3 6x2 9x 4 ou px x3 9x2 24x 16 Portanto b 6 c 9 d 4 ou b 9 c 24 d 16 Exatamente como um número racional é a razão entre dois inteiros uma função racional é a razão entre dois polinômios Todo polinômio é também uma função racional pois um polinômio pode ser escrito como a razão entre ele próprio e o polinômio constante 1 A menos que seja especificado outro domínio assumimos que o domínio de uma função racional seja o conjunto de todos os números reais para os quais a expressão que define a função racional faz sentido Como a divisão por zero não é definida o domínio de uma função racional exclui todos os zeros de q como mostrado no exemplo a seguir O procedimento para adicionar ou subtrair funções racionais é o mesmo que para adicionar ou subtrair números racionais multiplicar numerador e denominador pelo mesmo fator para obter denominadores comuns O procedimento para multiplicar ou dividir funções racionais é o mesmo que para multiplicar ou dividir números racionais Em particular dividir por uma função racional é o mesmo que multiplicar por Observe que dividir por é o mesmo que multiplicar por Às vezes é útil expressar um número racional como um inteiro mais um número racional para o qual o numerador é menor que o denominador Por exemplo Do mesmo modo às vezes é útil expressar uma função racional como um polinômio mais uma função racional para a qual o grau do numerador é menor que o grau do denominador Por exemplo aqui o numerador da função racional tem grau 1 e seu denominador tem grau 2 Para considerar um exemplo mais complicado suponha que queiramos expressar como um polinômio mais uma função racional sob a forma Digitando simplify x5 6x3 11x 7 x2 4 em uma caixa de entrada do WolframAlpha obtémse o resultado desejado O próximo exemplo mostra como você poderia obter o resultado a mão obtendo daí uma boa ideia de como um computador pode chegar ao resultado Um procedimento similar ao da divisão entre inteiros pode ser usado para polinômios O procedimento abaixo que é exatamente o mesmo da divisão entre inteiros tem a vantagem de você poder entender como ele funciona A ideia ao longo deste procedimento é concentrarse no termo de maior grau no numerador Novamente nos concentramos no termo de maior grau no numerador O procedimento que seguimos no exemplo acima pode ser aplicado à razão entre quaisquer dois polinômios O resultado do procedimento acima é a decomposição de uma função racional em um polinômio mais uma função racional cujo grau do numerador é menor do que o grau do denominador ou o numerador é 0 O símbolo R é utilizado porque esse termo é análogo ao termo remanescente na divisão de inteiros Multiplicandose por q ambos os lados da equação no quadro acima obtémse uma forma alternativa útil para estabelecer a conclusão Como um caso especial do resultado acima fixemos um número real t e seja q o polinômio definido por qx x t Como grau q 1 teremos no resultado acima grau R 0 ou R 0 de qualquer forma R será um polinômio constante Em outras palavras o resultado acima implica que se p for um polinômio então existirão um polinômio G e um número c tais que px x tGx c para todo número real x Substituindo x t na equação acima obtemos pt c então a equação acima pode ser reescrita como px x tGx pt Lembre que t é denominado um zero de p se e somente se pt 0 o que ocorrerá se e somente se a equação acima puder ser reescrita como px x t Gx Assim vemos agora por que o seguinte resultado da seção anterior é válido Queremos agora investigar o comportamento de uma função racional perto de e perto de Lembre que para determinar o comportamento de um polinômio perto de ou perto de fatoramos o polinômio colocando em evidência o termo de maior grau Para funções racionais o procedimento é o mesmo exceto que o termo de maior grau deve ser fatorado separadamente do numerador e do denominador O exemplo seguinte ilustra o procedimento Nem nem são números reais A expressão informal x está perto de significa que x é muito grande Da mesma forma x está perto de significa que x é negativo e x é muito grande Como pode ser visto acima o gráfico de uma função racional pode ser inesperadamente bonito e complexo De modo geral o mesmo procedimento usado no exemplo acima funciona bem com qualquer função racional A reta y 15 exerce um papel especial na compreensão do comportamento do gráfico acima Tais retas são suficientemente importantes para ter um nome Embora a definição a seguir não seja precisa porque arbitrariamente perto é vago seu significado deve ficar claro para você Assim a reta y 15 é uma assíntota do gráfico de como pode ser visto no gráfico no Exemplo 6 Como outro exemplo temos que o eixo dos x que é a reta y 0 é uma assíntota do gráfico de como vimos no Exemplo 5 Aqui novamente vemos que o gráfico de uma função racional pode ser inesperadamente bonito e complexo Até agora estudamos o comportamento de uma função racional cujo numerador tem grau menor que seu denominador e também observamos funções racionais cujo numerador e denominador possuem grau igual O próximo exemplo ilustra o comportamento perto de de uma função racional cujo numerador tem grau maior que seu denominador O gráfico de r parece o gráfico de 2x4 para grandes valores de x Exatamente como com polinômios a tarefa de traçar o gráfico de uma função racional pode ser mais bem executada por computadores do que por humanos Nós já vimos os gráficos de várias funções racionais e discutimos o comportamento de funções racionais perto de O gráfico de uma função racional pode parecer bastante diferente do gráfico de um polinômio em um aspecto importante que ainda não discutimos como mostrado no seguinte exemplo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 As retas vermelhas acima são as assíntotas verticais do gráfico de r O eixo dos x também é uma assíntota desse gráfico Para os Exercícios 14 escreva o domínio da função r dada sob a forma de uma união de intervalos Para os Exercícios 58 determine as assíntotas do gráfico da função r dada Nos Exercícios 926 escreva a expressão indicada sob a forma de uma razão entre polinômios sendo r sx r sx s tx s tx 3r 2sx 4r 5sx rsx rtx rx2 sx2 rx2tx sx2tx r sx s rx r tx t rx Para os Exercícios 2732 suponha 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 a b c 44 Qual é o domínio de r Qual é o domínio de s Determine dois números x distintos tais que Determine dois números x distintos tais que Qual é a imagem de r Qual é a imagem de s Nos Exercícios 3338 escreva cada expressão como a soma de um polinômio e de uma função racional cujo numerador tem grau menor que seu denominador Determine um número c tal que r10100 6 em que Determine um número c tal que r21000 5 em que O custo médio por bicicleta quando uma fábrica de bicicletas produz n mil bicicletas é an dólares em que Qual será o custo aproximado por bicicleta quando a fábrica estiver produzindo um grande número de bicicletas O custo médio por bicicleta quando uma fábrica de bicicletas produz n mil bicicletas é an dólares em que Qual será o custo aproximado por bicicleta quando a fábrica estiver produzindo um grande número de bicicletas Suponha que você começa a dirigir um carro em um dia frio de outono Enquanto você dirige o aquecedor no carro mantém a temperatura dentro do carro em Ft graus Fahrenheit em que t é o número de minutos após você começar a dirigir sendo Qual era a temperatura no carro quando você começou a dirigir Qual era a temperatura aproximada no carro dez minutos depois que você começou a dirigir Qual será a temperatura aproximada no carro depois que você estiver dirigindo durante muito tempo Suponha que você começa a dirigir um carro em um dia quente de verão Enquanto você dirige o condicionador de ar no carro mantém a temperatura dentro do carro em Ft graus Fahrenheit em que t é o número de minutos após você começar a dirigir sendo a b c 45 a b 46 a b 47 48 49 50 a b c 51 52 1 Qual era a temperatura no carro quando você começou a dirigir Qual era a temperatura aproximada no carro 15 minutos depois que você começou a dirigir Qual será a temperatura aproximada no carro depois que você estiver dirigindo durante muito tempo Suponha que Demonstre que o ponto 1 3 está no gráfico de s Demonstre que a inclinação da reta que contém 1 3 e um ponto no gráfico de s muito perto de 1 3 é aproximadamente 4 Dica Use o resultado do Exercício 25 Suponha que Demonstre que o ponto 1 5 está no gráfico de t Dê uma estimativa para a inclinação de uma reta que contém 1 5 e um ponto no gráfico de t muito perto de 1 5 Dica Use o resultado do Exercício 26 Explique por que a composição de um polinômio com uma função racional em qualquer ordem é uma função racional Explique por que a composição de duas funções racionais é uma função racional Suponha que p seja um polinômio e t seja um número Explique por que existe um polinômio G tal que para todo número x t Suponha que r seja a função com domínio 0 definida por para todo número positivo x Determine dois pontos distintos no gráfico de r Explique por que r é uma função decrescente em 0 Determine dois pontos distintos no gráfico de r1 Suponha que p seja um polinômio não nulo com no mínimo um zero real Explique por que existem números reais t1 t2 tm e um polinômio G tais que G não tem zeros reais e px x t1x t2x tmGx para todo número real x cada um dos números t1 t2 tm é um zero de p p não tem zeros diferentes de t1 t2 tm Suponha que p e q sejam polinômios e que o eixo horizontal seja uma assíntota do gráfico de Explique por que grau p grau q Para os Exercícios 14 escreva o domínio da função r dada sob a forma de uma união de intervalos 3 5 7 SOLUÇÃO Como não temos outra informação a respeito do domínio de r supomos que o domínio de r seja o conjunto de números em que a expressão que define r faz sentido isto é em que o denominador não é 0 O denominador da expressão que define r é 0 se x ou x Assim o domínio de r é o conjunto de números diferentes de e Em outras palavras o domínio de r é SOLUÇÃO Para determinar quando é que a expressão que define r não faz sentido aplicamos a fórmula quadrática à equação x2 2x 6 0 obtendo x 1 ou x 1 Em outras palavras o domínio de r é 1 1 1 1 Para os Exercícios 58 determine as assíntotas do gráfico da função r dada SOLUÇÃO O denominador dessa função racional nunca é 0 assim precisamos nos preocupar apenas com o comportamento de r perto de Para um x muito grande temos Então a reta y 3 é uma assíntota do gráfico de r como mostrado a seguir O gráfico de no intervalo 15 15 SOLUÇÃO O denominador dessa função racional é 0 quando x2 x 2 0 Resolvendo essa equação por fatoração ou usando a fórmula quadrática obtemos x 2 ou x 1 Como o grau do numerador é menor que o grau do denominador o valor dessa função está perto de 0 quando x é grande Assim as assíntotas do gráfico de r são as retas x 2 x 1 e y 0 como mostrado abaixo O gráfico de no intervalo 6 6 com o eixo vertical truncado para o intervalo 20 20 Nos Exercícios 926 escreva a expressão indicada sob a forma de uma razão entre polinômios sendo 9 11 13 15 r sx SOLUÇÃO s tx SOLUÇÃO 3r 2sx SOLUÇÃO rsx SOLUÇÃO 17 19 21 23 rx2 SOLUÇÃO rx2 tx SOLUÇÃO Usando a expressão que calculamos para rx2 na solução do Exercício 17 temos r sx SOLUÇÃO Temos Multiplicando o numerador e o denominador da expressão acima por 2x 12 obtemos r tx SOLUÇÃO Temos 25 27 29 31 Multiplicando o numerador e o denominador da expressão acima por 4x3 32 obtemos SOLUÇÃO Observe que s1 3 Assim Multiplicando o numerador e o denominador da expressão acima por 2x 1 obtemos Para os Exercícios 2732 suponha Qual é o domínio de r SOLUÇÃO O denominador da expressão que define r é um número diferente de zero para todo número real x dessa forma a expressão que define r faz sentido para todo número x real Como não temos nenhuma outra indicação a respeito do domínio de r assumimos que o domínio de r seja o conjunto dos números reais Determine dois números x distintos tais que rx SOLUÇÃO Precisamos resolver a equação para x Multiplicando ambos os lados da equação por x2 3 depois multiplicando ambos os lados por 4 e reunindo todos os termos em um mesmo lado obtemos x2 4x 1 0 Usando a fórmula quadrática obtemos as soluções x 2 e x 2 Qual é a imagem de r 33 35 37 SOLUÇÃO Para determinar a imagem de r devemos determinar todos os números y tais que para no mínimo um número x Para isso resolvemos a equação acima para x e depois determinamos para quais números y obtémse uma expressão para x que faça sentido Multiplicando ambos os lados da equação acima por x2 3 e reunindo os termos obtemos yx2 x 3y 1 0 Se y 0 a equação tem a solução x 1 Se y 0 usamos a fórmula quadrática para resolver a equação para x obtendo ou Essas expressões para x fazem sentido precisamente quando 1 4y 12y2 0 Completando o quadrado podemos reescrever a inequação como Assim devemos ter que é equivalente a y Adicionandose de cada lado dessas desigualdades obtemos y Portanto a imagem de r é o intervalo Nos Exercícios 3338 escreva cada expressão como a soma de um polinômio e de uma função racional cujo numerador tem grau menor que seu denominador SOLUÇÃO SOLUÇÃO 39 SOLUÇÃO Determine um número c tal que r10100 6 em que SOLUÇÃO Como 10100 é um número muito grande precisamos estimar o valor de rx para valores muito grandes de x O termo de maior grau no numerador de r é cx3 a menos que escolhamos c 0 o termo de maior grau no denominador de r é 5x3 Fatorando esses termos e considerando apenas valores muito grandes de x temos Para x muito grande e são ambos muito próximos de 1 o que explica como obtivemos a aproximação acima 41 43 a b c a b c Essa aproximação mostra que r10100 Assim queremos escolher c tal que 6 Portanto escolhemos c 30 O custo médio por bicicleta quando uma fábrica de bicicletas produz n mil bicicletas é an dólares em que Qual será o custo aproximado por bicicleta quando a fábrica estiver produzindo um grande número de bicicletas SOLUÇÃO Para n grande temos Assim o custo médio para produzir cada bicicleta será em torno de US 175 quando a fábrica estiver produzindo muitas bicicletas Suponha que você começa a dirigir um carro em um dia frio de outono Enquanto você dirige o aquecedor no carro mantém a temperatura dentro do carro em Ft graus Fahrenheit em que t é o número de minutos após você começar a dirigir sendo Qual era a temperatura no carro quando você começou a dirigir Qual era a temperatura aproximada no carro dez minutos depois que você começou a dirigir Qual será a temperatura aproximada no carro depois que você estiver dirigindo durante muito tempo SOLUÇÃO Como F0 40 a temperatura no carro era de 40o Fahrenheit quando você começou a dirigir Como F10 673 a temperatura no carro era de 673o Fahrenheit dez minutos depois que você começou a dirigir Suponha que t seja um número grande Então Assim depois que você estiver dirigindo durante muito tempo a temperatura no carro será de aproximadamente 70o Fahrenheit Para certificarse de que você domina os conceitos e as habilidades mais importantes cobertos neste capítulo assegurese de que você consegue executar cada um dos itens da seguinte lista Determinar a equação de uma reta dados sua inclinação e um ponto sobre ela Determinar a equação de uma reta dados dois pontos sobre ela Determinar a equação de uma reta paralela a uma reta dada que contém um ponto dado Determinar a equação de uma reta perpendicular a uma reta dada que contém um ponto dado Usar a técnica de completamento do quadrado com expressões quadráticas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 Resolver equações quadráticas Calcular a distância entre dois pontos Determinar a equação de uma circunferência dados seu centro e seu raio Determinar o vértice de uma parábola Manipular e simplificar expressões envolvendo expoentes Explicar como são definidas x0 xm e x1m Explicar a conexão entre os fatores lineares de um polinômio e seus zeros Determinar o comportamento de um polinômio perto de e perto de Calcular a soma a diferença o produto e o quociente de duas funções racionais e também de dois polinômios Escrever uma função racional como a soma de um polinômio com uma função racional cujo numerador tem grau menor que seu denominador Determinar o comportamento de uma função racional perto de e perto de Para revisar um capítulo percorra a lista acima procurando identificar itens que você não sabe como executar depois releia no capítulo o material a respeito desses itens Em seguida tente responder as questões de revisão do capítulo formuladas abaixo sem olhar outra vez no capítulo Explique como se determina a inclinação de uma reta se forem dadas as coordenadas de dois pontos sobre a reta Dadas as inclinações de duas retas como pode você determinar se as retas são ou não paralelas Dadas as inclinações de duas retas como pode você determinar se as retas são ou não perpendiculares Determine um número t tal que a reta que contém os pontos 3 5 e 4 t tenha inclinação 6 Determine a equação da reta no plano xy que tem inclinação 4 e contém o ponto 3 7 Determine a equação da reta no plano xy que contém os pontos 6 1 e 1 8 Determine a equação da reta no plano xy que é perpendicular à reta y 6x 7 e que contém o ponto 2 9 Suponha que f seja uma função e g seja uma função linear não constante Explique por que a imagem de f g é a mesma que a imagem de f Determine o vértice do gráfico da equação y 5x2 2x 3 Dê um exemplo de números a b e c tais que o gráfico de y ax2 bx c tenha seu vértice no ponto 4 7 Determine um número c tal que a equação x2 cx 3 0 tenha exatamente uma solução Determine um número x tal que Determine a distância entre os pontos 5 6 e 2 4 Determine dois pontos um sobre o eixo horizontal e outro sobre o eixo vertical tais que a distância entre esses dois pontos seja igual a 21 Determine a equação da circunferência no plano xy centrada em 4 3 que tenha raio igual a 6 Suponha que tenha sido recémdescoberto um planeta que orbita em torno de uma estrela e que tenha sido escolhido um sistema de coordenadas e unidades tais que a órbita do planeta seja descrita pela equação Quais são as duas localizações possíveis da estrela Determine o centro e o raio da circunferência no plano xy descrita por x2 8x y2 10y 2 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 Qual é o número maior 10100 ou 10010 Escreva como uma potência de 3 Escreva y5y6y342 como uma potência de y Simplifique as expressão Explique por que 30 é definido como igual a 1 Explique por que 344 é definido como igual a Explique por que Dê um exemplo de um número t tal que Demonstre que Calcule o valor de 3275 Expanda Qual é o domínio da função f definida por fx x35 Qual é o domínio da função f definida por fx x 534 Determine a inversa da função f definida por fx 3 2x45 Esboce o gráfico da função f definida por fx 5x4 7 no intervalo 1 1 Esboce o gráfico da função f definida por em 2 2 Dê um exemplo de dois polinômios de grau 9 cuja soma tem grau 4 Determine um polinômio cujos zeros são 3 2 e 5 Determine um polinômio p tal que p1 0 p4 0 e p2 3 Explique por que x7 9999x6 88x5 77x4 6x3 55 é negativo para valores negativos de x com valor absoluto muito grande Explique por que existe um número positivo x tal que x7 5x4 1 0 Explique por que o polinômio x6 5x5 2 tem no mínimo um zero positivo e no mínimo um zero negativo Determine um polinômio p de grau 3 com coeficientes inteiros tais que 21 31 e 41 sejam zeros de p Escreva como uma razão entre dois polinômios Escreva como uma razão entre dois polinômios Suponha Qual é o maior r10100 ou s10100 44 45 46 47 48 49 50 Escreva o domínio de como uma união de intervalos Suponha que p seja um polinômio Explique por que existe um polinômio G tal que px p2 x 2Gx Escreva sob a forma Gx em que G é um polinômio e R é uma função linear Determine as assíntotas do gráfico da função f definida por Dê um exemplo de uma função racional cujo gráfico no plano xy tem como assíntotas as retas x 2 e x 5 Dê um exemplo de uma função racional cujo gráfico no plano xy tem como assíntotas as retas x 2 x 5 e y 3 Suponha que p e q sejam polinômios com grau p grau q Explique por que o eixo horizontal é uma assíntota do gráfico de 1 polegada é aproximadamente igual a 254 mm e 1 milha é aproximadamente igual a 16 km NT 1 pé é aproximadamente igual a 305 cm NT 1 pé é aproximadamente igual a 305 cm NT 103 Fahrenheit é aproximadamente igual a 394 Celsius NT Noite Estrelada pintado por Vincent Van Gogh em 1889 O brilho de uma estrela como visto da Terra é medido usando uma escala logarítmica Neste capítulo estudaremos potências e logaritmos juntamente com as aplicações destes importantes conceitos Cada número b 1 e positivo leva a uma função exponencial bx A inversa dessa função é o logaritmo na base b Assim logb y x significa bx y Veremos que as importantes propriedades algébricas dos logaritmos decorrem diretamente das propriedades algébricas das potências Usaremos potências e logaritmos para modelar o decaimento radioativo a intensidade de terremoto a intensidade do som e o brilho de uma estrela Também veremos como é que funções com crescimento exponencial descrevem o crescimento populacional e os juros compostos Nosso enfoque para o número mágico e e para o logaritmo natural levarão a várias importantes aproximações que mostrarão as propriedades especiais do e Essas aproximações demonstram por que o logaritmo natural faz jus a seu nome Concluiremos este capítulo com uma revisão sobre crescimento exponencial através da lente do nosso conhecimento a respeito do número e Veremos como o número e é usado para modelar juros compostos continuamente e taxas de crescimento contínuo O significado de expoente racional será definido na Seção 23 mas uma expressão do tipo ainda não foi definida Apesar disso o exemplo seguinte deverá fazer sentido para você como a única forma razoável racional de pensarse em expoentes irracionais O exemplo acima sugere a definição do significado de um expoente irracional Queremos definir funções f tais como fx 2x cujo domínio é o conjunto de todos os números reais Para isso precisamos definir o significado de expoentes irracionais A definição de bx acima não possui o nível de rigor esperado para uma definição matemática mas a ideia deve estar clara a partir do exemplo acima Uma abordagem rigorosa dessa questão vai levarnos além do material apropriado para um curso de pré cálculo Dessa forma confiaremos no sentido intuitivo da definição vaga dada acima O boxe abaixo resume as propriedades algébricas chave das potências São as mesmas propriedades que vimos antes mas agora estendemos o significado dos expoentes para uma classe maior de números Agora que já definimos bx para todo número b positivo e todo número real x podemos definir uma função f por meio de fx bx Essas funções uma para cada número b são tão importantes que fazem jus a ter seu próprio nome O gráfico da função exponencial 2x no intervalo 5 5 Aqui usamos a mesma escala em ambos os eixos para enfatizar o crescimento rápido dessa função Por exemplo escolhendo b 2 temos a função exponencial f com base 2 definida por fx 2x O domínio dessa função é o conjunto dos números reais e sua imagem é o conjunto dos números positivos A base potencial b 1 é excluída da definição de função exponencial porque não queremos fazer exceções para essa base Por exemplo é conveniente e verdadeiro dizer que a imagem de toda função exponencial é o conjunto de todos os números positivos Mas a função f definida por fx 1x satisfaz a propriedade de que fx 1 para todo número real x então a imagem desta função é o conjunto 1 e não o conjunto dos números positivos Para excluir esse tipo de exceção nós não chamaremos essa função de função exponencial Seja cuidadoso ao distinguir entre a função 2x e a função x2 Os gráficos dessas funções têm formas diferentes A função g definida por gx x2 não é uma função exponencial Para ser uma função exponencial como fx 2x a variável precisa aparecer no expoente O gráfico de x2 no intervalo 3 3 Diferentemente do gráfico de 2x o gráfico de x2 é simétrico em relação ao eixo vertical Considere a função exponencial f definida por fx 2x A tabela aqui apresentada registra o valor de 2x para algumas escolhas de x A seguir definiremos uma nova função denominada logaritmo na base 2 isto é a inversa da função exponencial 2x A cada aumento de 1 em x o valor de 2x duplica isso ocorre porque 2x1 2 2x Por exemplo log2 8 3 pois 23 8 Da mesma forma log2 5 pois 25 A definição de log2 y como o número x tal que 2x y significa que se f for a função definida por fx 2 x então a função inversa de f será dada pela fórmula f1y log2 y Assim a tabela aqui apresentada mostrando alguns valores de log2 y é obtida pela permutação das duas colunas da tabela anterior que fornecia os valores de 2x como sempre acontece com uma função e sua inversa Expressões tais como log2 0 e log2 1 não fazem sentido pois não existe número x tal que 2x 0 nem tal que 2x 1 A figura aqui apresentada mostra parte do gráfico de log2 x Como a função log2 x é a inversa da função 2x concluímos que o gráfico de log2 x é obtido pela reflexão do gráfico de 2x sobre a reta y x Observe que log2 é uma função assim log2 y poderia ser uma notação melhor do que log2 y Em uma expressão tal como não podemos cancelar log2 no numerador e no denominador da mesma forma como não podemos cancelar uma função f no numerador e no denominador de Da mesma forma a expressão acima não é igual a log2 3 exatamente como não é em geral igual a f3 O gráfico de log2 x à direita no intervalo 8 é obtido pela reflexão do gráfico de 2x à esquerda no intervalo 3 3 sobre a reta y x A seguir vamos definir logaritmos com outras bases além do 2 Para essa situação mais geral não são necessárias novas ideias simplesmente substituiremos 2 por um número positivo b 1 Eis a definição formal A base b 1 é excluída porque 1x 1 para todo número real x Duas identidades importantes decorrem imediatamente da definição A primeira identidade é válida porque b0 1 a segunda identidade é válida porque b1 b A definição de logb y como o número x tal que bx y tem a seguinte consequência Logs têm muitos usos e a palavra log em inglês tem mais de um significado entre os quais tora como essas da figura Como uma função e sua inversa permutam domínios e imagens entre si o domínio da função f1 definida por f1y logb y é o conjunto dos números positivos e a imagem dessa função é o conjunto dos números reais Se y 0 então logb y não é definido f1y 7 log5 Como a função logb x é a inversa da função bx se refletirmos o gráfico de bx sobre a reta y x obtemos o gráfico de logb x Se b 1 então logb x é uma função crescente porque bx é uma função crescente Como veremos na próxima seção a forma do gráfico de logb x é semelhante à forma do gráfico de log2 x obtido anteriormente A maioria das aplicações dos logaritmos envolve bases maiores que 1 A definição de logaritmo implica as duas equações apresentadas a seguir Assegurese de que você esteja familiarizado com essas equações e compreenda por que elas são válidas Observe que se f for definida por fx bx então f1y logb y As equações abaixo poderiam então ser escritas sob a forma f f1y y e f1 fx x equações essas que são sempre válidas para uma função e sua inversa Nas aplicações dos logaritmos os valores mais comumente usados como base são 10 2 e o número e que discutiremos na Seção 35 O uso de um logaritmo com base 10 é tão frequente que ele tem um nome especial John Napier o matemático escocês que inventou os logaritmos por volta de 1614 Assim por exemplo log 10000 4 porque 104 10000 e log 2 porque 102 Se sua calculadora tiver uma tecla log então ela calculará o logaritmo na base 10 que é frequentemente denominado apenas logaritmo Observe que 101 é um número de dois dígitos 102 é um número de três dígitos 103 é um número de quatro dígitos e de maneira geral 10n1 é um número de n dígitos Então os inteiros com n dígitos são os inteiros no intervalo 10n1 10n Como log 10n1 n 1 e log 10n n isso implica que um inteiro positivo de n dígitos tem um logaritmo no intervalo n 1 n Sentença alternativa Se M for um inteiro positivo com n dígitos então n 1 log M n A conclusão acima é frequentemente útil para fazer estimativas Por exemplo sem usar calculadora podemos ver que o número 123456789 que tem nove dígitos tem um logaritmo entre 8 e 9 o valor exato é em torno de 809 O próximo exemplo mostra como usar a conclusão acima para determinar o número de dígitos em um número com base em seu logaritmo Sempre arredonde para cima o logaritmo de um número para determinar o número de dígitos Aqui log M 731 é arredondado para cima para mostrar que M tem 74 dígitos Para os Exercícios 16 calcule o valor das quantidades indicadas supondo que f e g sejam as funções definidas por 1 f g1 2 g f0 3 f g 0 4 g f 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 5 f f 6 f f Para os Exercícios 78 determine uma fórmula para f g dadas as funções indicadas f e g 7 8 Para os Exercícios 924 calcule o valor da expressão indicada Para esses exercícios não use calculadora 9 log2 64 10 log2 1024 11 12 13 log4 2 14 log8 2 15 log4 8 16 log8 128 17 log 10000 18 19 20 21 log2 831 22 log8 263 23 log16 32 24 log27 81 Determine um número y tal que log2 y 7 Determine um número t tal que log2 t 8 Determine um número y tal que log2 y 5 Determine um número t tal que log2 t 9 Para os Exercícios 2936 determine um número b tal que seja satisfeita a igualdade indicada logb 64 1 logb 64 2 logb 64 3 logb 64 6 logb 64 12 logb 64 18 logb 64 logb 64 Para os Exercícios 3748 determine todos os números x tais que a equação indicada seja satisfeita log x 2 log x 3 log x 2 log x 3 log35x 1 2 log43x 1 2 13 102x 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 59 103x 102x 10x 12 102x 3 10x 18 Para os Exercícios 4966 determine uma fórmula para a função inversa f1 da função f indicada f x 3x f x 47x f x 2x5 f x 9x6 f x 6x 7 f x 5x 3 f x 4 5 x f x 8 7 x f x 2 9 x 1 f x 3 4x 5 f x log8 x f x log3 x f x log43x 1 f x log72x 9 f x 53 log62x 1 f x 89 log24x 7 f x logx 13 f x log5x 6 Para os Exercícios 6774 determine uma fórmula para f gx supondo que f e g sejam as funções indicadas f x log6 x e gx 63x f x log5 x e gx 532x f x 63x e gx log6 x f x 532x e gx log5 x f x logx 4 e gx 10x f x log2x 7 e gx 10x f x logx 4 e gx 100x f x log2x 7 e gx 100x Determine um número n tal que log3 log5 n 1 Determine um número n tal que log3 log2 n 2 Determine um número m tal que log7 log8 m 2 Determine um número m tal que log5 log6 m 3 Suponha que N seja um inteiro positivo tal que log N 354 Quantos dígitos tem N Suponha que k seja um inteiro positivo tal que log k 832 Quantos dígitos tem k 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 1 3 5 Alguns problemas exigem consideravelmente mais raciocínio que os exercícios Demonstre que Dê um exemplo de três números irracionais x y e z tais que seja um número racional A função f definida por fx 2x para todo número real x é uma função par ímpar ou nenhuma das duas Suponha fx 8x e gx 2x Explique por que o gráfico de g pode ser obtido alongandose horizontalmente o gráfico de f por um fator 3 Suponha fx 2x Explique por que deslocandoo 3 unidades para a esquerda o gráfico de f produz o mesmo gráfico que o alongamento vertical do gráfico de f por um fator 8 Explique por que não existe polinômio p tal que px 2x para todo número real x Dica Considere o comportamento de px e de 2x para x perto de Explique por que não existe função racional r tal que rx 2x para todo número real x Dica Considere o comportamento de rx e de 2x para x perto de Explique por que log5 Explique por que log3 100 está entre 4 e 5 Explique por que log40 3 está entre e Mostre que log2 3 é um número irracional Dica Use prova por contradição Suponha que log2 3 seja igual a um número racional escreva o que isto significa e pense em números pares e ímpares Mostre que log 2 é irracional Explique por que logaritmos com base negativa não são definidos Escreva as coordenadas de três pontos distintos do gráfico da função f definida por fx log3 x Escreva as coordenadas de três pontos distintos do gráfico da função g definida por gb logb 4 Suponha gb logb 5 em que o domínio de g é o intervalo 1 A função g é uma função crescente ou decrescente Não leia estas soluções detalhadas antes de tentar resolver você mesmo os exercícios Caso contrário você corre o risco de imitar as técnicas demonstradas aqui sem no entanto compreender as ideias Melhor caminho para aprender Leia cuidadosamente a seção do livrotexto depois resolva todos os exercícios ímpares e verifique suas respostas aqui Se você tiver alguma dificuldade para resolver algum exercício olhe a solução detalhada apresentada aqui Para os Exercícios 16 calcule o valor das quantidades indicadas supondo que f e g sejam as funções definidas por f g 1 SOLUÇÃO f g 1 f g1 f 0 20 1 f g0 SOLUÇÃO f g0 f g0 f 212 1414 f f SOLUÇÃO 7 9 11 13 15 17 19 21 Para os Exercícios 7 e 8 determine uma fórmula para f g dadas as funções indicadas f e g SOLUÇÃO Para os Exercícios 924 calcule o valor da expressão indicada Para esses exercícios não use calculadora log2 64 SOLUÇÃO Sendo x log2 64 então x é o número tal que 64 2x Como 64 26 concluímos que x 6 Portanto log2 64 6 log2 SOLUÇÃO Sendo x log2 então x é o número tal que Como concluímos que x 7 Portanto log2 log4 2 SOLUÇÃO Como 2 412 temos log4 2 log4 8 SOLUÇÃO Como 8 2 4 412 4 432 temos que log4 8 log 10000 SOLUÇÃO log 10000 log 104 4 log SOLUÇÃO log2 851 SOLUÇÃO 23 25 27 29 31 33 35 log16 32 SOLUÇÃO Determine um número y tal que log2 y 7 SOLUÇÃO A equação log2 y 7 implica que y 27 128 Determine um número y tal que log2 y 5 SOLUÇÃO A equação log2 y 5 implica que y 25 Para os Exercícios 2936 determine um número b tal que seja satisfeita a igualdade indicada logb 64 1 SOLUÇÃO A equação logb 64 1 implica que b1 64 Então b 64 logb 64 3 SOLUÇÃO A equação logb 64 3 implica que b3 64 Como 43 64 isto implica que b 4 logb 64 12 SOLUÇÃO A equação logb 64 12 implica que b12 64 Então logb 64 SOLUÇÃO A equação logb 64 implica que b32 64 Elevandose ambos os lados dessa equação à potência 23 obtemos 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 Para os Exercícios 3748 determine todos os números x tais que a equação indicada seja satisfeita log x 2 SOLUÇÃO A equação log x 2 é equivalente à equação x 102 100 Portanto os dois valores de x que satisfazem a equação são x 100 e x 100 log x 2 SOLUÇÃO A equação log x 2 significa que log x 2 ou log x 2 assim x 102 100 ou x 102 log35x 1 2 SOLUÇÃO A equação log3 5x 1 2 implica que 5x 1 32 9 Assim 5x 8 que implica que x 13 102x SOLUÇÃO A equação 13 102x implica que 2x log 13 Assim que é aproximadamente igual a 0557 SOLUÇÃO Multiplicandose ambos os lados da equação acima por 10x 2 obtemos 10x 1 08 10x 16 Resolvendo a equação para 10x obtemos 10x 3 o que significa que x log 3 0477121 102x 10x 12 SOLUÇÃO Observe que Isto sugere estabelecer y 10x Assim a equação acima pode ser reescrita como y2 y 12 0 As soluções da equação que podem ser obtidas ou usando a fórmula quadrática ou por fatoração são y 4 ou y 3 Assim 10x 4 ou 10x 3 Todavia não existe número real x tal que 10x 4 porque para todo número real x temse 10x positivo dessa forma devemos ter 10x 3 Portanto x log 3 0477121 Para os Exercícios 4966 determine uma fórmula para a função inversa f1 da função f indicada f x 3x SOLUÇÃO Pela definição de logaritmo a inversa de f é a função f1 definida por f1y log3 y f x 2x5 SOLUÇÃO Para determinar uma fórmula para f1y resolvemos a equação 2x 5 y para x Essa equação significa que x 5 log2 y Assim x 5 log2 y Portanto f1y 5 log2 y f x 6x 7 SOLUÇÃO Para determinar uma fórmula para f1y resolvemos a equação 6x 7 y para x Subtraindose 7 de ambos os lados obtemos 6x y 7 Essa equação significa que x log6 y 7 Portanto f1y log6y 7 f x 4 5x SOLUÇÃO Para determinar uma fórmula para f1y resolvemos a equação 4 5x y para x Dividindose ambos os lados por 4 obtemos 5x Essa equação significa que x log5 Portanto f 1y log5 f x 2 9x 1 SOLUÇÃO Para determinar uma fórmula para f1y resolvemos a equação 2 9x 1 y para x Subtraindose 1 de ambos os lados e depois dividindoos por 2 obtemos Essa equação significa que Portanto 59 61 63 65 67 69 71 73 f x log8 x SOLUÇÃO Pela definição de logaritmo a inversa de f é a função f1 definida por f1y 8y f x log43x 1 SOLUÇÃO Para determinar uma fórmula para f1y resolvemos a equação log43x 1 y para x Esta equação significa que 3x 1 4y Resolvendoa para x obtemos Portanto f x 5 3 log62x 1 SOLUÇÃO Para determinar uma fórmula para f1y resolvemos a equação 5 3 log62x 1 y para x Subtraindose 5 de ambos os lados e depois dividindoos por 3 obtemos Essa equação significa que 2x 1 6y 53 Resolvendoa para x obtemos Portanto f x logx 13 SOLUÇÃO Para determinar uma fórmula para f1y resolvemos a equação logx 13 y para x Essa equação significa que xy 13 Elevandose ambos os lados à potência obtemos x 131y Portanto f1y 131y Para os Exercícios 6774 determine uma fórmula para f gx supondo que f e g sejam as funções indicadas f x log6 x e gx 63x SOLUÇÃO f gx f gx f 63x log6 63x 3x f x 63x e gx log6 x SOLUÇÃO f x logx 4 e gx 10x SOLUÇÃO f x logx 4 e gx 100x SOLUÇÃO 75 77 79 Determine um número n tal que log3 log5 n 1 SOLUÇÃO A equação log3 log5 n 1 implica que log5 n 3 e portanto que n 53 125 Determine um número m tal que log7 log8 m 2 SOLUÇÃO A equação log7 log8 m 2 implica que log8 m 72 49 A equação acima agora implica que m 849 Suponha que N seja um inteiro positivo tal que log N 354 Quantos dígitos tem N SOLUÇÃO Como 354 está no intervalo 35 36 podemos concluir que N é um número de 36 dígitos Os gráficos de log2 x azul log3 x vermelho log4 x verde log5 x laranja e log6 x roxo no intervalo 01 100 Logaritmos convertem potências em produtos Para visualizar isto suponha que b e y sejam números positivos com b 1 e que t seja um número real Seja x logb y Assim a definição de logaritmo implica que bx y Elevando ambos os lados dessa equação à potência t e usando a identidade obtemos btx yt Usando novamente a definição de logaritmo na base b a equação acima implica que logb yt tx t logb y Assim temos a seguinte fórmula para o logaritmo de uma potência Uma expressão sem parênteses sob a forma logb yt deve ser interpretada como tendo o significado de logb yt e não de logb yt O exemplo seguinte mostra uma bonita aplicação da fórmula acima A sua calculadora não consegue calcular o valor de 35000 Assim a fórmula para o logaritmo de uma potência fazse necessária embora também seja usada uma calculadora Antes de existirem as calculadoras e os computadores os livros traziam tábuas de logaritmos que eram frequentemente usadas para calcular potências de números Como um exemplo de como isso funciona considere o problema de calcular o valor de 1737 A chave para efetuar este cálculo está na fórmula log1737 37 log 17 Suponhamos que temos um livro que apresente os logaritmos dos números de 1 a 10 em incrementos de 0001 isto é que o livro forneça os logaritmos de 1001 1002 1003 e assim por diante Atualmente a maioria dos livros de logaritmos desapareceu do mercado No entanto sua calculadora usa a fórmula logb yt t logb y quando você solicita que ela calcule o valor de uma expressão como 1737 A ideia é começar por calcular o lado direito da equação acima Para fazer isso nós olharíamos no livro de logaritmos e encontraríamos log 17 0230449 Multiplicando o último número por 37 concluiríamos que o valor do lado direito da equação acima é aproximadamente 0852661 Assim de acordo com a equação acima log1737 0852661 Portanto podemos calcular o valor de 1737 determinando um número cujo logaritmo seja igual a 0852661 Para isso procuraríamos na nossa tábua de logaritmos e encontraríamos que o mais próximo corresponde ao log 7123 0852663 Portanto 1737 7123 Hoje em dia as pessoas raramente usam logaritmos para efetuar cálculos diretos como o de 1737 Contudo sua calculadora usa logaritmos para efetuar esses cálculos Em tópicos da disciplina de Cálculo e também em outros ramos da Matemática os logaritmos têm usos importantes Além disso como veremos a seguir os logaritmos possuem vários usos práticos Cientistas observaram que iniciandose com uma grande amostra de átomos de radônio depois de 92 horas a metade dos átomos de radônio decairá para polônio Depois de outras 92 horas metade dos átomos de radônio remanescentes também decairão para polônio Em outras palavras depois de 184 horas restarão apenas um quarto dos átomos originais de radônio Depois de outras 92 horas metade do quarto remanescente dos átomos originais decairá para polônio deixando apenas um oitavo dos átomos de radônio originais após 276 horas Marie Curie a única pessoa a ganhar Prêmios Nobel tanto em Física 1903 quanto em Química 1911 foi pioneira nos estudos sobre decaimento radioativo Depois de t horas o número de átomos de radônio será reduzido pela metade t92 vezes Assim depois de t horas o número de átomos de radônio restantes será igual ao número original de átomos de radônio dividido por 2t92 Aqui t não precisa ser um múltiplo inteiro de 92 Por exemplo após cinco horas o número original de átomos de radônio será dividido por 2592 Como isto significa que depois de cinco horas uma amostra de radônio irá conter 963 do número original de átomos de radônio Como em qualquer amostra de radônio a metade do número de átomos decairá para polônio em 92 horas dizemos que o radônio tem uma meiavida de 92 horas Alguns átomos de radônio existem durante menos de 92 horas e alguns átomos de radônio existem por muito mais que 92 horas A meiavida de qualquer isótopo radioativo é o intervalo de tempo durante o qual em uma grande amostra do isótopo metade dos seus átomos decai Na tabela abaixo estão apresentados valores aproximados para as meiasvidas de vários isótopos radioativos o número do isótopo registrado após o nome de cada elemento informa o número total de prótons e nêutrons em cada átomo do isótopo Meiavida de alguns isótopos radioativos Alguns dos isótopos nesta tabela são criações humanas que não existem na natureza Por exemplo o nitrogênio na Terra é quase inteiramente nitrogênio14 7 prótons e 7 nêutrons que não é radioativo e não decai O nitrogênio13 listado aqui tem 7 prótons e 6 nêutrons ele pode ser criado em laboratório mas é radioativo e metade dele decairá em 10 minutos Se um isótopo radioativo tiver meiavida de h unidades de tempo que poderia ser segundos minutos horas dias ou anos então depois de t unidades de tempo o número de átomos do isótopo terá sido por th vezes reduzido pela metade Portanto depois de t unidades de tempo o número de átomos remanescente do isótopo será igual ao número original de átomos dividido por 2th Como temos o seguinte resultado O decaimento radioativo do carbono14 levou a uma maneira interessante de se determinar a idade de fósseis florestas e outros resíduos de plantas e animais O carbono12 sem dúvida a forma mais comum de carbono na Terra não é radioativo e não decai O carbono14 radioativo é produzido regularmente quando raios cósmicos atingem a atmosfera superior O carbono14 radioativo então desce inserindose nas plantas por meio da fotossíntese depois nos animais que comem as plantas e depois nos animais que comem os animais que comem as plantas e assim por diante O carbono14 é responsável por aproximadamente 1010 dos átomos de carbono em plantas e animais vivos Quando uma planta ou um animal morre ele para de absorver novo carbono porque não estará mais envolvido em fotossíntese ou comendo Então não há novo carbono14 absorvido O carbono14 radioativo na planta ou no animal decai sendo que metade dele se perde após 5730 anos como mostrado na tabela acima Assim se medirmos a quantidade de carbono14 como uma porcentagem da quantidade total de carbono nos restos de uma planta ou de um animal poderemos determinar há quanto tempo ele morreu O Prêmio Nobel de Química em 1960 foi concedido a Willard Libby pela invenção desse método de datação com o carbono14 Se você quiser usar uma calculadora para calcular o valor de alguma coisa como log2 739 provavelmente precisará de uma fórmula para converter logaritmos de uma base para outra Para deduzir essa fórmula suponha que a b e y sejam números positivos com a 1 e b 1 Seja Sua calculadora provavelmente calcula o valor de logaritmos em apenas duas bases Uma delas é provavelmente o logaritmo na base 10 o logaritmo comum provavelmente representado por log na sua calculadora O outro é provavelmente o logaritmo na base e este é o logaritmo natural que discutiremos na Seção 35 ele é provavelmente representado por ln na sua calculadora x logb y Então a definição de logaritmo na base b implica que bx y Calculando o logaritmo de ambos os lados da equação acima na base a escrevemos x loga b loga y Então Substituindo x da equação acima por seu valor logb y obtemos a seguinte fórmula para converter logaritmos de uma base para outra Um caso especial dessa fórmula conveniente para uso em calculadoras é usar a 10 e assim usando logaritmos comuns obtemos a seguinte fórmula Cuidado No WolframAlpha e em outros softwares avançados log sem especificar a base significa logaritmo na base e Use então log10 68 para calcular o valor do logaritmo comum de 68 no WolframAlpha o underscore representa um subscrito 1 a b 2 a b 3 4 5 6 7 8 9 A fórmula da mudança de base para logaritmos implica que o gráfico do logaritmo usando qualquer base pode ser obtido por meio de um alongamento vertical do gráfico do logaritmo usando qualquer outra base supondo que ambas as bases sejam maiores que 1 como mostrado no seguinte exemplo De modo geral para números positivos fixos a e b nenhum dos quais igual a 1 a fórmula da mudança de base loga x loga b logb x implica que o gráfico de loga x pode ser obtido do gráfico de logb x por seu alongamento vertical por um fator de loga b Os próximos dois exercícios enfatizam que logxy não é igual a log xy Para x 5 e y 2 calcule o valor de cada um dos seguintes logx y log xy Para x 2 e y 3 calcule o valor de cada um dos seguintes logx y log xy Suponha que y seja tal que log2 y 1767 Calcule o valor de log2 y100 Suponha que x seja tal que log6 x 2341 Calcule o valor de log6 x10 Para os Exercícios 58 determine todos os números x que satisfazem a equação indicada 3x 8 7x 5 Suponha que m seja um inteiro positivo tal que log m 132 Quantos dígitos tem m3 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 Suponha que M seja um inteiro positivo tal que log M 503 Quantos dígitos tem M4 Quantos dígitos tem 74000 Quantos dígitos tem 84444 Determine um inteiro k tal que 18k tenha 357 dígitos Determine um inteiro n tal que 22n tenha 222 dígitos Determine um inteiro m tal que m1234 tenha 1991 dígitos Determine um inteiro N tal que N4321 tenha 6041 dígitos Determine o menor inteiro n tal que 7n 10100 Determine o menor inteiro k tal que 9k 101000 Determine o menor inteiro M tal que 51M 101 Determine o menor inteiro m tal que 81m 1001 Suponha que log8 log7 m 5 Quantos dígitos deve ter m Suponha que log5 log9 m 6 Quantos dígitos deve ter m Um número primo é um inteiro maior que 1 que não tem divisores outros além dele próprio e de 1 Quando este livro foi escrito o terceiro maior número primo conhecido era 237156667 1 Quantos dígitos tem esse número primo Quando este livro foi escrito o segundo maior número primo conhecido era 242643801 1 Quantos dígitos tem esse número primo Aproximadamente quantas horas levará para que uma amostra de radônio222 tenha apenas um oitavo da quantidade existente na amostra original Aproximadamente quantos minutos levará para que uma amostra de nitrogênio13 tenha apenas um sessenta e quatro avos da quantidade existente na amostra original Aproximadamente quantos anos levará para que uma amostra de césio137 tenha apenas dois terços da quantidade existente na amostra original Aproximadamente quantos anos levará para que uma amostra de plutônio239 tenha apenas 1 da quantidade existente na amostra original Suponha que um isótopo radioativo seja tal que um quinto dos átomos em uma amostra decaia após três anos Determine a meiavida desse isótopo Suponha que um isótopo radioativo seja tal que cinco sextos dos átomos em uma amostra decaia após quatro dias Determine a meiavida desse isótopo Suponha que a razão de carbono14 para carbono12 em um gato mumificado seja de 64 da razão correspondente para organismos vivos Há aproximadamente quanto tempo morreu o gato Suponha que a razão de carbono14 para carbono12 em um instrumento de madeira fossilizada seja de 20 da razão correspondente para organismos vivos Qual é a idade aproximada desse instrumento de madeira Para os Exercícios 3340 calcule o valor das quantidades indicadas Sua calculadora provavelmente não consegue calcular o valor dos logaritmos em nenhuma das bases envolvidas nestes exercícios por isso você precisará usar a fórmula de mudança de base apropriada log2 13 log4 27 log13 972 log17 1231 log9 023 log7 058 log438 71 40 41 42 43 44 45 46 47 48 1 a b a b 3 log506 992 Explique por que não existe nenhum inteiro m tal que 67m tenha 9236 dígitos Faça uma pesquisa na Internet para encontrar o maior número primo atualmente conhecido Depois calcule o número de dígitos desse número Geralmente a descoberta de um novo maior número primo recebe alguma cobertura jornalística incluindo a informação sobre o número de dígitos correspondente Assim você provavelmente pode encontrar na Internet o número de dígitos do maior número primo atualmente conhecido aqui solicitase que você efetue o cálculo para verificar que o número de dígitos relatado está correto Suponha que fx log x e gx logx4 sendo que o domínio tanto de f quanto de g é o conjunto dos números positivos Explique por que o gráfico de g pode ser obtido alongandose verticalmente o gráfico de f por um fator 4 Explique por que para todo número positivo b 1 Suponha que x e b sejam números positivos com b 1 Demonstre que se x então Determine um número positivo x tal que para todo número positivo b 1 Explique por que o número de dígitos quando se escreve um grande inteiro positivo em notação binária base 2 deve ser de aproximadamente 33 vezes o número de dígitos quando se escreve o mesmo inteiro positivo em notação decimal padrão base 10 Por exemplo este problema prevê que o número 5 trilhões que requer 13 dígitos 5000000000000 para expressálo em notação decimal deve requerer aproximadamente 13 33 dígitos que é igual a 429 dígitos para expressálo em notação binária Na verdade expressar 5 trilhões em notação binária requer 43 dígitos Suponha que a e b sejam números positivos com a 1 e b 1 Demonstre que Os próximos dois exercícios enfatizam que logxy não é igual a log xy Para x 5 e y 2 calcule o valor de cada um dos seguintes logxy log xy SOLUÇÃO log52 log 25 139794 log 52 0698972 048856 Suponha que y seja tal que log2 y 1767 Calcule o valor de log2 y100 SOLUÇÃO log2y100 100 log2 y 100 1767 5 7 9 11 13 15 1767 Para os Exercícios 58 determine todos os números x que satisfazem a equação indicada 3x 8 SOLUÇÃO Calculandose o logaritmo comum de ambos os lados escrevemos log 3x log 8 que pode ser reescrita como x log 3 log 8 Assim SOLUÇÃO Calculandose o logaritmo comum de ambos os lados escrevemos log log 2 que pode ser reescrita como log 6 log 2 Assim Portanto Suponha que m seja um inteiro positivo tal que log m 132 Quantos dígitos tem m3 SOLUÇÃO Observe que logm3 3 log m 3 132 396 Como 396 está no intervalo 39 40 podemos concluir que m3 é um número de 40 dígitos Quantos dígitos tem 74000 SOLUÇÃO Usando a fórmula para o logaritmo de uma potência juntamente com uma calculadora obtemos log74000 4000 log 7 338039 Então 74000 tem 3381 dígitos Determine um inteiro k tal que 18k tenha 357 dígitos SOLUÇÃO Queremos determinar um inteiro k tal que 356 log18k 357 Usando a fórmula para o logaritmo de uma potência podemos reescrever as desigualdades acima sob a forma 356 k log 18 357 Pela divisão por log 18 obtemos Usando uma calculadora vemos que 2836 e 28454 Portanto a única escolha possível é k 284 Usando novamente uma calculadora vemos que log18284 284 log 18 3565 Assim 18284 tem de fato 357 dígitos Determine um inteiro m tal que m1234 tenha 1991 dígitos SOLUÇÃO Queremos determinar um inteiro m tal que 1990 logm1234 1991 Usando a fórmula para o logaritmo de uma potência podemos reescrever as desigualdades acima sob a forma 1990 1234 log m 1991 17 19 21 23 Pela divisão por 1234 obtemos Então 1019901234 m 1019911234 Usando uma calculadora vemos que 1019901234 4099 e 1019911234 4106 Portanto a única escolha possível é m 41 Usando novamente uma calculadora vemos que log411234 1234 log 41 199018 Assim 411234 tem de fato 1991 dígitos Determine o menor inteiro n tal que 7n 10100 SOLUÇÃO Suponha 7n 10100 Efetuando o logaritmo comum de ambos os lados obtemos log7n log10100 que pode ser reescrita como n log 7 100 Isso implica que O menor inteiro maior que 11833 é 119 Assim temos que n 119 Determine o menor inteiro M tal que 51M 101 SOLUÇÃO Suponha 51M 101 Efetuando o logaritmo comum de ambos os lados obtemos log51M log 101 que pode ser reescrita como Isso implica que O menor inteiro maior que 1617 é 162 Assim temos que M 162 Suponha que log8 log7 m 5 Quantos dígitos deve ter m SOLUÇÃO A equação log8 log7 m 5 implica que log7 m 85 32768 A equação acima implica agora que m 732768 Para calcular o número de dígitos que m possui observe que log m log732768 32768 log 7 276922 Assim m tem 27693 dígitos Um número primo é um inteiro maior que 1 que não tem divisores outros além dele próprio e de 1 Quando este livro foi escrito o terceiro maior número primo conhecido era 237156667 1 Quantos dígitos tem esse número primo SOLUÇÃO Para calcular o número de dígitos em 237156667 1 precisamos calcular log237156667 1 Entretanto 237156667 1 é grande demais para ser calculado diretamente em uma calculadora e não existe fórmula para o logaritmo da diferença entre dois números 25 27 29 O artifício aqui consiste em observar que 237156667 e 237156667 1 têm o mesmo número de dígitos como veremos a seguir Embora seja possível que um número e esse mesmo número menos 1 tenham um número de dígitos diferente por exemplo 100 e 99 não têm o mesmo número de dígitos isso ocorre apenas se o maior dos dois números consistir em um dígito 1 seguido por uma sequência de zeros e o menor dos dois números consistir apenas em noves Existem três caminhos distintos que levam a ver que essa situação não se aplica a 237156667 e 237156667 1 escolha a explicação que lhe parecer mais fácil a 237156667 não pode terminar em 0 porque todas as potências inteiras positivas de 2 terminam ou em 2 4 6 ou 8 b 237156667 não pode terminar em 0 porque então seria divisível por 5 mas 237156667 é divisível apenas por potências inteiras de 2 c 237156667 1 não pode consistir apenas em noves porque então seria divisível por 9 o que não é possível para um número primo Agora que sabemos que 237156667 e 237156667 1 possuem o mesmo número de dígitos podemos calcular esse número tomando o logaritmo de 237156667 e aplicando a ele a fórmula do logaritmo de potência Temos log237156667 37156667 log 2 111852713 Então 237156667 tem 11185272 dígitos portanto 237156667 1 também tem 11185272 dígitos Aproximadamente quantas horas levará para que uma amostra de radônio222 tenha apenas um oitavo da quantidade existente na amostra original SOLUÇÃO A meiavida do radônio222 é de aproximadamente 92 horas como mostrado na tabela desta seção Para reduzir o número de átomos de radônio222 para um oitavo do número original precisamos de 3 meiasvidas porque 23 8 Assim levará 276 horas porque 92 3 276 para que se encontre apenas um oitavo da quantidade de radônio222 existente na amostra original Aproximadamente quantos anos levará para que uma amostra de césio137 tenha apenas dois terços da quantidade existente na amostra original SOLUÇÃO A meiavida do césio137 é de aproximadamente 30 anos como mostrado na tabela desta seção Se iniciarmos no tempo 0 com a átomos de césio137 então após t anos restarão a 2t30 átomos Queremos que isso seja igual a a Para isso devemos resolver a equação a 2t30 a Para resolver a equação para t dividimos ambos os lados por a e depois efetuamos o logaritmo de ambos os lados obtendo Agora multiplicamos ambos os lados por 1 substituímos log por log e depois resolvemos a equação para t obtendo Portanto remanescerão dois terços da amostra original após aproximadamente 175 anos Suponha que um isótopo radioativo seja tal que um quinto dos átomos em uma amostra decaia após três anos Determine a meiavida desse isótopo SOLUÇÃO Representemos por h a meiavida desse isótopo medida em anos Se iniciarmos no tempo 0 com a átomos desse isótopo então após 3 anos restarão a 23h átomos Queremos que isso seja igual a a Para isso devemos resolver a equação a 23h a Para resolver a equação para h dividimos ambos os lados por a e depois efetuamos o logaritmo de ambos os lados obtendo Agora multiplicamos ambos os lados por 1 substituímos log por log e depois resolvemos a equação para h obtendo Portanto a meiavida desse isótopo é de aproximadamente 93 anos 31 33 35 37 39 Suponha que a razão de carbono14 para carbono12 em um gato mumificado seja de 64 da razão correspondente para organismos vivos Há aproximadamente quanto tempo morreu o gato SOLUÇÃO A meiavida do carbono14 é de 5730 anos Se iniciarmos no tempo 0 com a átomos de carbono14 então após t anos restarão a 2t5730 átomos Queremos determinar t de forma que seja igual a 064a Para isso devemos resolver a equação a 2t5730 064a Para resolver a equação para t dividimos ambos os lados por a e depois efetuamos o logaritmo de ambos os lados obtendo Resolvendo agora a equação para t obtemos Portanto o gato morreu há aproximadamente 3689 anos O carbono14 não pode ser medido com muita precisão Dessa forma é melhor estimar que o gato tenha morrido há aproximadamente 3700 anos porque um número como 3689 carrega mais precisão do que estará presente nas medidas Para os Exercícios 3340 calcule o valor das quantidades indicadas Sua calculadora provavelmente não consiga calcular o valor dos logaritmos em nenhuma das bases envolvidas nestes exercícios por isso você precisará usar a fórmula de mudança de base apropriada log2 13 SOLUÇÃO log13 972 SOLUÇÃO log9 023 SOLUÇÃO log438 71 SOLUÇÃO O segundo gato do autor revisando o manuscrito Logaritmos convertem produtos em somas Para visualizar isso suponha que b x e y sejam números positivos com b 1 Seja u logb x e v logb y Assim a definição de logaritmo na base b implica bu x e bv y Multiplicando essas duas equações uma pela outra e usando a identidade bubv buv obtemos buv xy Usando novamente a definição de logaritmo na base b a equação acima implica logb xy u v logb x logb y Então temos a seguinte fórmula para o logaritmo de um produto Em geral logbx y não é igual a logb x logb y Não existe fórmula simples para logbx y Logaritmos convertem quocientes em diferenças Para visualizar isto suponha que b x e y sejam números positivos com b 1 Seja u logb x e v logb y Então a definição de logaritmo na base b implica bu x e bv y Dividindo a primeira equação pela segunda equação e usando a identidade obtemos Usando novamente a definição de logaritmo na base b a equação acima implica Assim temos a seguinte fórmula para o logaritmo de um quociente Aqui e no boxe ao lado supomos que b x e y sejam números positivos com b 1 Como caso especial da fórmula para o logaritmo de um quociente use x 1 na fórmula acima para o logaritmo de um quociente obtendo logb logb 1 logb y Lembrando que logb 1 0 temos o seguinte resultado A intensidade de um terremoto é medida pelo tamanho das ondas sísmicas gerada pelo terremoto Esses números variam ao longo de uma escala tão grande que os terremotos são normalmente registrados usando a escala de magnitude Richter que é uma escala logarítmica que utiliza logaritmos comuns base 10 O tamanho de uma onda sísmica é grosso modo proporcional à quantidade de agitação do solo Alguns pontos vão ajudar a esclarecer essa definição O valor de S0 foi estabelecido em 1935 pelo sismólogo americano Charles Richter como aproximadamente o tamanho das menores ondas sísmicas que poderiam ser medidas naquela época A unidade usada para medir S e S0 não interessa pois qualquer variação na escala dessa unidade desaparecerá na razão Um aumento por um fator 10 na intensidade de um terremoto corresponde a um aumento de 1 unidade em magnitude Richter como pode ser visto na equação Como mostrado neste exemplo mesmo pequenas diferenças na magnitude Richter podem corresponder a grandes diferenças em intensidade A razão da intensidade do som que causa dor pela intensidade do menor ruído que podemos ouvir é mais de um trilhão Trabalhar com números tão grandes pode ser inconveniente Dessa forma o som é medido em uma escala logarítmica denominada decibéis A intensidade de um som é a quantidade de energia carregada pelo som através de cada unidade de área O fator 10 na definição da escala de decibéis é um pequeno contrassenso A parte deci da palavra decibel vem desse fator 10 Alguns pontos vão ajudar a esclarecer essa definição O valor de E0 é 1012 watts por metro quadrado A intensidade do som é usualmente medida em watts por metro quadrado mas a unidade utilizada para medir E e E0 não interessa pois qualquer variação na escala dessa unidade desaparecerá na razão Multiplicar a intensidade sonora por um fator 10 corresponde a adicionar 10 à medida em decibéis como pode ser visto na equação O aumento em intensidade sonora por um fator de mais de 3000 no último exemplo não é tão drástico quanto parece devido ao modo como percebemos o volume Os antigos gregos dividiram as estrelas visíveis em seis grupos de acordo com seu brilho As estrelas mais brilhantes foram denominadas estrelas de primeira magnitude O próximo grupo de estrelas mais brilhantes foram denominadas estrelas de segunda magnitude e assim por diante até as estrelas de sexta magnitude que consistiam em estrelas quase invisíveis Cerca de dois mil anos mais tarde astrônomos tornaram mais precisa a escala de magnitude das estrelas dos antigos gregos As estrelas típicas de primeira magnitude eram em torno de 100 vezes mais brilhantes que as estrelas típicas de sexta magnitude isso significa que a cada magnitude o brilho deve decrescer por um fator 10015 Originalmente a escala foi definida de tal forma que a Polaris Estrela do Norte tivesse magnitude 2 Representando por b2 o brilho da Polaris isso significaria que uma estrela de terceira magnitude teria brilho b210015 uma estrela de quarta magnitude teria brilho b2100152 uma estrela de quinta magnitude teria brilho b2100153 e assim por diante Assim o brilho b de uma estrela com magnitude m deve ser dado pela equação Como 10015 2512 cada magnitude é aproximadamente 2512 vezes mais fraca que a magnitude anterior em que b0 b210025 Se dividirmos ambos os lados da equação acima por b0 e depois efetuarmos os logaritmos obtemos Resolvendo a equação para m chegase à seguinte definição Alguns pontos vão ajudar a esclarecer essa definição O termo magnitude aparente é mais preciso que magnitude pois estamos medindo quão brilhante uma estrela parece ser da Terra Uma estrela brilhante luminosa pode parecer fraca observandose da Terra porque ela está muito longe Embora essa escala de magnitude aparente tenha sido originalmente estabelecida para estrelas ela pode ser aplicada a outros objetos tais como a lua cheia Embora o valor de b0 tenha sido originalmente estabelecido de modo tal que a Polaris Estrela do Norte tivesse magnitude 2 a definição mudou levemente Com a definição atual de b0 a Polaris tem magnitude aproximadamente 2 mas não exatamente igual a 2 A unidade utilizada para medir o brilho não interessa pois qualquer variação na escala dessa unidade desaparecerá na razão Devido à falta de interferência atmosférica o telescópio Hubble pode ver estrelas mais fracas que os telescópios de mesmo tamanho baseados na Terra 1 a b 2 a b 3 a b 4 a b 5 a b 6 a b 7 8 9 Os próximos dois exercícios enfatizam que logx y não é igual a log x log y Para x 7 e y 13 calcule o valor de logx y log x log y Para x 04 e y 35 calcule o valor de logx y log x log y Os próximos dois exercícios enfatizam que logx y não é igual a log x log y Para x 3 e y 8 calcule o valor de logxy log xlog y Para x 11 e y 5 calcule o valor de logxy log xlog y Os próximos dois exercícios enfatizam que log não é igual a Para x 12 e y 2 calcule o valor de Para x 18 e y 03 calcule o valor de Quantos dígitos tem 6700 231000 Quantos dígitos tem 5999 172222 Suponha que m e n sejam inteiros positivos tais que log m 321 e log n 73 Quantos dígitos tem mn 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 Suponha que m e n sejam inteiros positivos tais que log m 413 e log n 128 Quantos dígitos tem mn Suponha que log a 1187 e log b 1197 Calcule o valor de Suponha que log a 2034 e log b 2054 Calcule o valor de Para os Exercícios 1326 calcule o valor das quantidades dadas supondo que log3 x 53 e log3 y 21 log4 u 32 e log4 v 13 log39xy log42uv log3x2 y3 log4u3 v4 log9x10 log2u100 Para os Exercícios 2734 determine todos os números x que satisfazem a equação dada log7x 5 log7x 1 2 log4x 4 log4x 2 3 log3x 5 log3x 1 2 log5x 4 log5x 2 2 log3x log x 4 log6x log x 5 Quantas vezes um terremoto com magnitude Richter 7 é mais intenso que um terremoto com magnitude Richter 5 Quantas vezes um terremoto com magnitude Richter 6 é mais intenso que um terremoto com magnitude Richter 3 O terremoto de Northridge em 1994 no sul da Califórnia que matou várias dezenas de pessoas teve magnitude Richter 67 Qual seria a magnitude Richter de um terremoto 100 vezes mais intenso que o terremoto de Northridge O terremoto de Kobe Japão em 1995 que matou mais de 6 mil pessoas teve magnitude Richter 72 Qual seria a magnitude Richter de um terremoto 1000 vezes menos intenso que o terremoto de Kobe O terremoto mais intenso registrado em Nova York foi em 1944 ele teve magnitude Richter 58 O terremoto mais intenso registrado em Minnesota foi em 1975 ele teve magnitude Richter 50 Quantas vezes o terremoto de 1944 em Nova York foi mais intenso que o terremoto de 1975 em Minnesota O terremoto mais intenso registrado em Wyoming foi em 1959 ele teve magnitude Richter 65 O terremoto mais intenso 41 42 43 a b 44 a b 45 a b 46 a b 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 registrado em Illinois foi em 1968 ele teve magnitude Richter 53 Quantas vezes o terremoto de 1959 em Wyoming foi mais intenso que o terremoto de 1968 em Illinois O terremoto mais intenso registrado no Texas ocorreu em 1931 ele teve magnitude Richter 58 Se um terremoto estivesse por atacar o Texas no próximo ano que fosse três vezes mais intenso que o recorde atual no Texas qual seria sua magnitude Richter O terremoto mais intenso registrado em Ohio ocorreu em 1937 ele teve magnitude Richter 54 Se um terremoto estivesse por atacar Ohio no próximo ano que fosse 16 vezes mais intenso que o recorde atual em Ohio qual seria sua magnitude Richter Suponha que você sussurre em 20 decibéis e que você converse normalmente em 60 decibéis Determine a razão entre a intensidade do som da sua conversa normal e a intensidade do som do seu sussurro Quantas vezes sua conversa normal parece mais alta que seu sussurro Suponha que seu aspirador de pó produza um som de 80 decibéis e que você converse normalmente em 60 decibéis Determine a razão entre a intensidade do som do seu aspirador de pó e a intensidade do som da sua conversa normal Quantas vezes seu aspirador de pó parece mais alto que sua conversa normal Suponha que uma aeronave decolando faça um ruído de 117 decibéis e que você converse normalmente em 63 decibéis Determine a razão entre a intensidade do som da aeronave e a intensidade do som da sua conversa normal Quantas vezes a aeronave parece mais alta que sua conversa normal Suponha que o seu telefone celular toque em um nível de ruído de 74 decibéis e que você normalmente converse em 61 decibéis Determine a razão entre a intensidade do som do toque do seu telefone celular e a intensidade do som da sua conversa normal Quantas vezes o toque do seu telefone celular parece mais alto que sua conversa normal Suponha que uma televisão esteja tocando suavemente em um nível sonoro de 50 decibéis Qual nível de decibéis corresponderia a um som da televisão oito vezes mais alto Suponha que um rádio esteja tocando alto em um nível sonoro de 80 decibéis Qual nível de decibéis reduziria o som do radio a um quarto da sua altura Suponha que uma motocicleta produza um nível sonoro de 90 decibéis Qual nível de decibéis reduziria o som da motocicleta a um terço de sua altura Suponha que uma banda de rock esteja tocando alto em um nível sonoro de 100 decibéis Qual nível de decibéis reduziria o som da banda a três quintos da sua altura Quantas vezes uma estrela com magnitude aparente 2 tem mais brilho que uma estrela com magnitude aparente 17 Quantas vezes uma estrela com magnitude aparente 3 tem mais brilho que uma estrela com magnitude aparente 23 Sirius a estrela mais brilhante que pode ser vista da Terra sem contar o sol tem uma magnitude aparente de 14 Vega que foi a Estrela do Norte há aproximadamente 12 mil anos pequenas alterações na órbita da Terra levam à troca das Estrelas do Norte a cada vários mil anos tem uma magnitude aparente de 003 Quantas vezes Sirius é mais brilhante que Vega A lua cheia tem uma magnitude aparente de aproximadamente 126 Quantas vezes a lua cheia é mais brilhante que Sirius Netuno tem uma magnitude aparente de aproximadamente 78 Qual é a magnitude aparente de uma estrela 20 vezes mais brilhante que Netuno Qual é a magnitude aparente de uma estrela oito vezes mais brilhante que Netuno Explique por que log 500 3 log 2 Explique por que Explique por que 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 1 log x log10x para todo número x positivo Explique por que para todo número x positivo Explique por que 1 log x2 log10x2 log x2 para todo número x positivo Explique por que para todo número x positivo Suponha fx log x e gx log1000x Explique por que o gráfico de g pode ser obtido pelo deslocamento do gráfico de f 3 unidades para cima Suponha fx log6 x e gx log6 Explique por que o gráfico de g pode ser obtido pela reflexão do gráfico de f sobre o eixo horizontal e depois por seu deslocamento 2 unidades para cima Suponha fx log x e gx log100x3 Explique por que o gráfico de g pode ser obtido pelo alongamento vertical do gráfico de f por um fator 3 e depois por seu deslocamento 2 unidades para cima Demonstre que um terremoto com magnitude Richter R tem ondas sísmicas de tamanho S010R em que S0 é o tamanho das ondas sísmicas de um terremoto com magnitude Richter 0 Faça uma pesquisa na Internet para identificar o terremoto mais intenso nos Estados Unidos no último ano e o terremoto mais intenso no Japão no último ano Aproximadamente quantas vezes o maior desses dois foi mais intenso que o menor dos dois Demonstre que um som com d decibéis tem intensidade E010d10 em que E0 é a intensidade de um som com 0 decibéis Identifique pelo menos três sites diferentes que informem a magnitude aparente da Polaris a Estrela do Norte com precisão de no mínimo dois dígitos após a vírgula decimal Se você encontrar valores distintos em sites diferentes como aconteceu com o autor tente explicar o que poderia justificar a discrepância e faça disso uma boa lição quanto ao cuidado necessário ao usar a Internet como fonte de informação científica Escreva uma descrição da escala logarítmica usada para a escala pH que mede acidez isto vai provavelmente requerer o uso da biblioteca ou da Internet Sem fazer cálculos explique por que as soluções das equações nos Exercícios 31 e 32 não se alteram se mudarmos a base de todos os logaritmos naqueles exercícios para qualquer número positivo b 1 Explique por que a equação tem uma solução mas a equação logx 3 logx 2 2 não tem solução Faça de conta que você está vivendo na época anterior à existência das calculadoras e dos computadores e que você tem um livro contendo uma tabela com os logaritmos de 1001 1002 1003 e assim por diante até o logaritmo de 9999 Explique de que modo você poderia determinar o logaritmo de 4572 que está fora do intervalo de seu livro Explique por que livros de tabelas de logaritmos que eram frequentemente usados antes da era das calculadoras e dos computadores apresentam logaritmos apenas para números entre 1 e 10 Suponha que b e y sejam números positivos com b 1 e b Demonstre que 1 a b a b 3 a b a b 5 a b a b 7 9 11 Os próximos dois exercícios enfatizam que logx y não é igual a log x log y Para x 7 e y 13 calcule o valor de logx y log x log y SOLUÇÃO log7 13 log 20 130103 log 7 log 13 0845098 1113943 1959041 Os próximos dois exercícios enfatizam que logx y não é igual a log x log y Para x 3 e y 8 calcule o valor de logxy log xlog y SOLUÇÃO log3 8 log 24 138021 log 3log 8 0477121 0903090 0430883 Os próximos dois exercícios enfatizam que log não é igual a Para x 12 e y 2 calcule o valor de SOLUÇÃO Quantos dígitos tem 6700 231000 SOLUÇÃO Usando as fórmulas do logaritmo de um produto e do logaritmo de uma potência temos log6700 231000 log6700 log231000 700 log 6 1000 log 23 190643 Portanto 6700 231000 tem 1907 dígitos Suponha que m e n sejam inteiros positivos tais que log m 321 e log n 73 Quantos dígitos tem mn SOLUÇÃO Observe que logmn logm log n 321 73 394 Portanto mn tem 40 dígitos Suponha que log a 1187 e log b 1197 Calcule o valor de SOLUÇÃO Observe que log log b log a 1197 1187 1 Portanto 10 Para os Exercícios 1326 calcule o valor das quantidades dadas supondo que 13 15 17 19 21 23 log3 x 53 e 3 y 21 log4 u 32 e 4 v 13 log39xy SOLUÇÃO log39xy log3 9 log3 x log3 y 2 53 21 94 SOLUÇÃO log3 x log33y log3 x log3 3 log3 y 53 1 21 22 SOLUÇÃO SOLUÇÃO log3x2y3 SOLUÇÃO log3x2y3 log3x2 log3y3 2 log3 x 3 log3 y 2 53 3 21 169 SOLUÇÃO log3x3 log3y2 3 log3 x 2 log3 y 3 53 2 21 117 25 27 29 31 33 log9x10 SOLUÇÃO Como log3 x 53 vemos que 353 x Essa equação pode ser reescrita como 91253 x que pode então ser reescrita como 9265 x Em outras palavras log9x 265 Assim log9x10 10 log9 x 265 Para os Exercícios 2734 determine todos os números x que satisfazem a equação dada log7x 5 log7x 1 2 SOLUÇÃO Reescreva a equação como se segue 2 log7x 5 log7x 1 Portanto Podemos resolver a equação acima para x obtendo x log3x 5 log3x 1 2 SOLUÇÃO Reescreva a equação como se segue 2 log3x 5 log3x 1 log3 x 5x 1 log3 x2 4x 5 Então x2 4x 5 32 9 que implica x2 4x 14 0 Podemos resolver a equação acima usando a fórmula quadrática obtendo x 3 2 ou x 3 2 Contudo tanto x 5 quanto x 1 serão negativos se x 3 2 como o logaritmo de um número negativo é indefinido devemos descartar essa raiz da equação acima Concluímos que o único valor de x que satisfaz a equação log3x 5 log3x 1 2 é x 3 2 SOLUÇÃO Reescreva a equação como se segue Resolvendo a equação para log6x o primeiro passo para fazer isso é multiplicar ambos os lados pelo denominador log65 log6x obtemos Então x log3x log x 4 SOLUÇÃO Reescreva a equação como se segue 35 37 39 4 log3x log x log x log 3 log x log x2 log 3log x Estabelecendo y log x podemos reescrever a equação acima como y2 log 3y 4 0 Use a fórmula quadrática para resolver a equação acima para y obtendo y 225274 ou y 177562 Então log x 225274 ou log x 177562 o que significa que x 10225274 000558807 ou x 10177562 596509 Quantas vezes um terremoto com magnitude Richter 7 é mais intenso que um terremoto com magnitude Richter 5 SOLUÇÃO Aqui está uma solução informal mas precisa Cada aumento de uma unidade na magnitude Richter corresponde a um aumento no tamanho da onda sísmica por um fator 10 Assim um aumento de duas unidades na magnitude Richter corresponde a um aumento no tamanho da onda sísmica por um fator 102 Portanto um terremoto com magnitude Richter 7 é 100 vezes mais intenso que um terremoto com magnitude Richter 5 Aqui está uma explicação mais formal usando logaritmos Seja S7 o tamanho das ondas sísmicas de um terremoto com magnitude Richter 7 e seja S5 o tamanho das ondas sísmicas de um terremoto com magnitude Richter 5 Então Subtraindo a segunda equação da primeira equação obtemos Então Portanto um terremoto com magnitude Richter 7 é 100 vezes mais intenso que um terremoto com magnitude Richter 5 O terremoto de Northridge em 1994 no sul da Califórnia que matou várias dezenas de pessoas teve magnitude Richter 67 Qual seria a magnitude Richter de um terremoto 100 vezes mais intenso que o terremoto de Northridge SOLUÇÃO Cada aumento de uma unidade na magnitude Richter corresponde a um aumento na intensidade do terremoto por um fator 10 Assim um aumento na intensidade por um fator 100 que é igual por 102 corresponde a um aumento de 2 na magnitude Richter Portanto um terremoto 100 vezes mais intenso que o terremoto de Northridge teria magnitude Richter 67 2 que é igual a 87 O terremoto mais intenso registrado em Nova York foi em 1944 ele teve magnitude Richter 58 O terremoto mais intenso registrado em Minnesota foi em 1975 ele teve magnitude Richter 50 Quantas vezes o terremoto de 1944 em Nova York foi mais intenso que o terremoto de 1975 em Minnesota SOLUÇÃO Representemos por SN o tamanho das ondas sísmicas provenientes do terremoto de 1944 em Nova York e por SM o tamanho das ondas sísmicas provenientes do terremoto de 1975 em Minnesota Assim Subtraindo a segunda equação da primeira obtemos 41 43 a b a b 45 a b a b Portanto Em outras palavras o terremoto de 1944 em Nova York foi aproximadamente 63 vezes mais intenso que o terremoto de 1975 em Minnesota O terremoto mais intenso registrado no Texas ocorreu em 1931 ele teve magnitude Richter 58 Se um terremoto estivesse por atacar o Texas no próximo ano que fosse três vezes mais intenso que o recorde atual no Texas qual seria sua magnitude Richter SOLUÇÃO Representemos por ST o tamanho das ondas sísmicas provenientes do terremoto de 1931 no Texas Assim Um terremoto três vezes mais intenso teria magnitude Richter Devido à dificuldade de obter medidas precisas as magnitudes Richter são usualmente registradas com um único dígito depois da vírgula decimal Arredondando os resultados diríamos então que um terremoto no Texas que fosse três vezes mais intenso que o recorde atual teria magnitude Richter 63 Suponha que você sussurre em 20 decibéis e que você converse normalmente em 60 decibéis Determine a razão entre a intensidade do som da sua conversa normal e a intensidade do som do seu sussurro Quantas vezes sua conversa normal é mais alta que seu sussurro SOLUÇÃO Cada aumento de 10 decibéis corresponde à multiplicação da intensidade do som por um fator 10 Indo de um sussurro de 20 decibéis para uma conversa normal de 60 decibéis isto significa que a intensidade do som aumentou por um fator 10 quatro vezes Como 104 10000 isto significa que a razão entre a intensidade do som da sua conversa normal e a intensidade do som de seu sussurro é 10000 Cada aumento de 10 decibéis resulta em uma duplicação de volume Temos aqui um aumento de 40 decibéis portanto um aumento de 10 decibéis quatro vezes Dessa forma o volume percebido aumentou por um fator 24 Como 24 16 isso significa que a sua conversa normal parece 16 vezes mais alta que o seu sussurro Suponha que uma aeronave decolando faça um ruído de 117 decibéis e que você converse normalmente em 63 decibéis Determine a razão entre a intensidade do som da aeronave e a intensidade do som da sua conversa normal Quantas vezes a aeronave parece mais alta que sua conversa normal SOLUÇÃO Representemos por EA a intensidade do som da aeronave decolando e por ES a intensidade do som da sua conversa normal Assim Subtraindo a segunda equação da primeira obtemos Portanto Então Em outras palavras a aeronave decolando produz som aproximadamente 250 mil vezes mais intenso que sua conversa normal Cada aumento de 10 decibéis resulta em uma duplicação de volume Temos aqui um aumento de 54 decibéis portanto um 47 49 51 53 55 aumento de 10 decibéis 54 vezes Dessa forma o volume percebido aumentou por um fator 254 Como 254 42 isso significa que a aeronave decolando parece aproximadamente 42 vezes mais alta que sua conversa normal Suponha que uma televisão esteja tocando suavemente em um nível sonoro de 50 decibéis Qual nível de decibéis corresponderia a um som da televisão oito vezes mais alto SOLUÇÃO Cada aumento de 10 decibéis resulta em uma duplicação de volume do som da televisão Como 8 23 o som deve ser duplicado 3 vezes para que o volume da televisão seja 8 vezes mais alto Portanto devem ser adicionados 30 decibéis ao nível sonoro para que este aumente para 80 decibéis Suponha que uma motocicleta produza um nível sonoro de 90 decibéis Qual nível de decibéis reduziria o som da motocicleta a um terço de sua altura SOLUÇÃO Cada decréscimo de dez decibéis reduz pela metade o volume do som da motocicleta Então para que o volume do som da motocicleta seja reduzido a um terço de seu valor queremos reduzir pela metade x vezes em que Essa equação pode ser reescrita como 2x 3 Efetuando o logaritmo comum de ambos os lados temse que x log 2 log 3 o que implica Dessa forma o nível sonoro deve ser decrescido 1585 vez em dez decibéis e assim o nível sonoro será reduzido em 1585 decibéis Como 90 1585 7415 concluímos que um nível sonoro de 7415 decibéis reduziria o som da motocicleta a um terço de sua altura Quantas vezes uma estrela com magnitude aparente 2 tem mais brilho que uma estrela com magnitude aparente 17 SOLUÇÃO Cada cinco magnitudes correspondem a uma alteração no brilho por um fator 100 Assim uma alteração em 15 magnitudes corresponde a uma alteração no brilho por um fator de 1003 porque 15 5 3 Como 1003 106 concluímos que uma estrela com magnitude aparente 2 é um milhão de vezes mais brilhante que uma estrela com magnitude aparente 17 Sirius a estrela mais brilhante que pode ser vista da Terra sem contar o sol tem uma magnitude aparente de 14 Vega que foi a Estrela do Norte há aproximadamente 12 mil anos pequenas alterações na órbita da Terra levam à troca das Estrelas do Norte a cada vários mil anos tem uma magnitude aparente de 003 Quantas vezes Sirius é mais brilhante que Vega SOLUÇÃO Representemos por bV o brilho de Vega e por bS o brilho de Sirius Assim Subtraindo a segunda equação da primeira obtemos Multiplicando ambos os lados por obtemos Então Portanto Sirius é aproximadamente 37 vezes mais brilhante que Vega Netuno tem uma magnitude aparente de aproximadamente 78 Qual é a magnitude aparente de uma estrela 20 vezes mais brilhante que Netuno SOLUÇÃO Cada decréscimo de uma unidade na magnitude aparente corresponde a um acréscimo no brilho por um fator de 10015 Se a magnitude decrescer por x então o brilho crescerá por um fator de Neste exercício queremos 20 Para resolver a equação para x efetuamos o logaritmo de ambos os lados obtendo Então Como 78 325 455 concluímos que uma estrela 20 vezes mais brilhante que Netuno tem magnitude aparente de aproximadamente 455 Começaremos esta seção com uma história n 2n 10 1024 20 1048576 30 1073741824 40 1099511627776 50 1125899906842624 60 1152921504606846976 Para entender por que o pedido aparentemente modesto do matemático acabou sendo tão extravagante observe que o nésimo quadrado do tabuleiro de xadrez requer 2n1 grãos de arroz Esses números começam lentamente mas crescem rapidamente como mostrado na tabela ao lado O 64o quadrado do tabuleiro de xadrez teria requerido 263 grãos de arroz Para estimar a magnitude desse número observe que 210 1024 103 Assim A aproximação 210 1000 é útil quando se estima grandes potências de 2 Quando x tornase grande 2x cresce muito mais rapidamente que x2 Por exemplo 263 é igual a 9223372036854775808 mas 632 é igual a apenas 3969 Se cada grande saco contiver um milhão que é igual a 106 de grãos de arroz então os aproximadamente 1019 grãos de arroz necessários para o 64o quadrado teriam requerido aproximadamente 1019106 sacos de arroz ou aproximadamente 1013 sacos de arroz Se supusermos que a antiga Índia tinha uma população de aproximadamente dez milhões 107 então cada residente teria que ter produzido 1013107 sacos de arroz para satisfazer o que o matemático pediu para o 64o quadrado do tabuleiro de xadrez Teria sido impossível para cada residente na Índia produzir um milhão 1013107 de sacos de arroz Assim o matemático não deve terse surpreendido com a perda de sua cabeça A função f definida por fx 2x é um exemplo do que é denominado função com crescimento exponencial Outros exemplos de funções com crescimento exponencial são as funções g e h definidas por gx 3 5x e hx 5 73x De um modo geral temos a seguinte definição A condição b 1 assegura que f seja uma função crescente Funções com crescimento exponencial crescem rapidamente De fato toda função com crescimento exponencial cresce mais rapidamente que todo polinômio no sentido de que se f for uma função com crescimento exponencial e p for qualquer polinômio então fx px para todo x suficientemente grande Por exemplo 2x x1000 para todo x 13747 o Problema 35 mostra que o número 13747 não poderia ser substituído por 13746 Funções com crescimento exponencial crescem tão rapidamente que traçar seu gráfico da maneira usual pode prover muito pouca informação como mostrado no seguinte exemplo O gráfico da função 9x no intervalo 0 8 Como os gráficos de funções com crescimento exponencial frequentemente não fornecem informação visual suficiente o gráfico de dados que se sabe ter crescimento exponencial é frequentemente feito com base no logaritmo desses dados A vantagem desse procedimento é que se f for uma função com crescimento exponencial então o logaritmo de f é uma função linear Por exemplo se Aqui nós calculamos o logaritmo na base 10 mas a conclusão a respeito da linearidade do logaritmo de f continua valendo seja qual for a base utilizada f x 2 35x então log f x 5log 3x log 2 assim o gráfico de log f é a reta cuja equação é y 5log 3x log 2 que é a reta com declividade 5log 3 De um modo geral se fx cbkx então log fx log c logbkx klog bx log c Aqui k log b e log c são todos números que não dependem de x dessa forma a função log f é de fato linear Se k 0 e b 1 como requerido na definição de crescimento exponencial então k log b 0 o que implica que a reta y log fx tem declividade positiva A Lei de Moore tem esse nome em homenagem a Gordon Moore cofundador da Intel que previu em 1965 que o poder de processamento seguiria um padrão de crescimento exponencial O logaritmo do número de transistores por circuito integrado A Lei de Moore prevê crescimento exponencial do poder de processamento o que tornaria esse gráfico uma reta Considere a função f com crescimento exponencial definido por fx 5 32x Como 32x 9x podemos reescrever f sob a forma fx 5 9x De modo geral suponha que f seja uma função com crescimento exponencial definido por fx cBkx Como Bkx se fizermos b Bk então podemos reescrever f sob a forma fx cbx Em outras palavras variando b podemos se quisermos estabelecer sempre k 1 na definição dada anteriormente de uma função com crescimento exponencial A forma mais simples de crescimento exponencial usa apenas duas constantes b e c em vez das três constantes b c e k envolvidas na nossa definição original Considere agora a função f de crescimento exponencial definida por fx 3 57x Como podemos reescrever f sob a forma fx 3 2kx em que k 7log25 Não há nada especial em relação aos números 5 e 7 que aparecem no parágrafo acima O mesmo procedimento poderia ser aplicado a qualquer função f de crescimento exponencial definida por fx cbkx Temos então o seguinte resultado que mostra que variando k podemos se desejarmos fazer sempre b 2 na definição dada anteriormente de uma função com crescimento exponencial Para algumas aplicações a escolha mais natural de base é o número e que investigaremos na próxima seção No resultado acima não há nada especial em relação ao número 2 O mesmo resultado vale se 2 for substituído por 3 ou por 4 ou qualquer número maior que 1 Em outras palavras podemos escolher que a base para uma função com crescimento exponencial seja o que quisermos de forma que k precisa ser convenientemente ajustada Você frequentemente vai escolher um valor para a base que seja relacionado ao tópico em consideração Logo vamos considerar modelos de duplicação de população em que 2 é a escolha mais natural para a base Populações de vários organismos variando desde bactérias até humanos frequentemente exibem crescimento exponencial Para ilustrar esse comportamento começaremos considerando bactérias Bactérias são criaturas unicelulares que se reproduzem quando absorvem alguns nutrientes crescem e depois partemse ao meio uma célula de bactéria tornase duas células de bactéria Embora uma função com crescimento exponencial leve frequentemente ao melhor modelo para crescimento populacional em certo intervalo de tempo os dados de populações reais podem não exibir crescimento exponencial por intervalos de tempo excessivamente longos Por exemplo a fórmula 700 2t3 que deduzimos acima para nossa colônia de bactérias prevê que após 10 dias que é igual a 240 horas teríamos aproximadamente 1027 células que é muito mais do que poderia conter até mesmo uma placa de Petri gigantesca As bactérias teriam ficado sem espaço e sem nutrientes muito antes de atingir esse nível populacional Como as funções com crescimento exponencial crescem muito rapidamente elas podem ser usadas para modelar dados reais apenas por intervalos de tempo limitados Agora estenderemos nosso exemplo com bactérias para uma situação mais geral Suponha que uma população duplique a cada d unidades de tempo aqui as unidades de tempo podem ser horas dias anos ou qualquer outra unidade apropriada Suponha também que em um momento específico t0 saibamos que a população é p0 No instante t terão transcorrido t t0 unidades de tempo a partir do instante t0 Assim no instante t vaise ter passado t t0d períodos de duplicação portanto a população terá crescido por um fator Esse fator deve ser multiplicado pela população no instante inicial t0 Em outras palavras no instante t poderíamos esperar uma população A função p tem crescimento exponencial porque poderíamos reescrever p sob a forma que corresponde a nossa definição de função com crescimento exponencial fazendo p0 b 2 e k 1d Os dados de populações humanas frequentemente seguem padrões de crescimento exponencial por décadas ou séculos O gráfico a seguir mostra o logaritmo da população mundial ano a ano desde 1950 até 2000 O logaritmo da população mundial ano a ano de 1950 a 2000 como estimado pelo Departamento de Recenseamento dos EUA O gráfico do logaritmo da população mundial parece muito com uma linha reta mostrando que a população mundial teve um crescimento exponencial durante esse período Agora a população mundial está crescendo a uma taxa mais lenta duplicando a aproximadamente cada 69 anos Aqui usamos y e não t para a variável tempo Esse quadrinho do Dilbert ilustra o poder dos juros compostos Veja a solução do Exercício 13 para verificar se esse plano vai funcionar O cálculo dos juros compostos envolve funções com crescimento exponencial Começaremos com um exemplo simples No exemplo acima a situação na qual os juros são pagos apenas sobre a quantia original é denominada juros simples Para generalizar o exemplo acima podemos substituir os US 8000 por qualquer quantia inicial P Além disso podemos substituir os juros anuais de 5 por qualquer taxa de juros anuais r expressa por um número em vez de uma porcentagem assim juros de 5 corresponderia a r 005 A cada ano o valor dos juros recebidos será rP Portanto após t anos o total de juros recebidos será rPt e o montante total após t anos será P rPt Colocando P em evidência obtemos o seguinte resultado O símbolo P vem de principal que é uma palavra formal para a quantia inicial A expressão P1 rt é uma função linear de t supondo que o principal P e a taxa de juros r sejam fixos Assim quando o dinheiro cresce com juros simples originamse naturalmente funções lineares Voltemos nossa atenção agora para a situação mais realística de juros compostos significando que são pagos juros sobre os juros Os juros no segundo ano são de US 20 a mais que os juros no primeiro ano devido ao pagamento de juros sobre os juros anteriores A tabela abaixo apresenta uma síntese dos dados para os dois métodos de cálculo de juros que consideramos nos dois últimos exemplos Após o primeiro ano os juros compostos produzem um total maior que os juros simples Isso ocorre porque com juros compostos são pagos juros sobre os juros Juros simples e compostos pagos uma vez ao ano a 5 sobre US 8000 Para generalizar o exemplo acima podemos substituir os US 8000 usados acima por uma quantia inicial qualquer P Além disso podemos substituir os juros anuais de 5 por uma taxa de juros anual qualquer r expressa como um número em vez de uma porcentagem A cada ano o montante na conta bancária aumenta por um fator 1 r Assim ao final do primeiro ano a quantia inicial P aumentará para P1 r Ao final de dois anos ela terá aumentado para P1 r2 Ao final de três anos ela terá aumentado para P1 r3 De um modo geral temos o seguinte resultado A variável t está sendo usada como um lembrete de que ela representa um intervalo de tempo A expressão P1 rt acima tem um crescimento exponencial como uma função de t Como funções com crescimento exponencial crescem rapidamente os juros compostos podem levar a grandes quantias de dinheiro após longos intervalos de tempo Existe pouca evidência histórica relacionada à alegada venda de Manhattan A maioria das histórias sobre esse evento deve ser considerada lenda Os juros compostos são frequentemente pagos mais de uma vez por ano Para ver como isso funciona nós agora modificaremos o Exemplo 7 acima No nosso novo exemplo os juros compostos serão pagos duas vezes por ano em vez de apenas uma vez Isto significa que em vez de pagar 5 de juros ao final de cada ano os juros virão em dois pagamentos de 25 por ano com o pagamento de 25 de juros efetuado ao final de cada seis meses No exemplo acima devemos agora comparar os US 8405 que estarão na conta bancária no final do primeiro ano com os US 8400 que estariam na conta bancária se os juros tivessem sido pagos ao final do ano Os US 5 a mais são devidos aos juros pagos durante o segundo período de seis meses sobre os juros que haviam sido ganhos ao final do primeiro período de seis meses Em vez de compor os juros duas vezes por ano como no exemplo anterior os juros poderiam ser compostos quatro vezes por ano Para juros anuais de 5 isso significa que seriam pagos juros de 125 ao final de cada três meses Também poderíamos compor os juros 12 vezes por ano com de juros pagos ao final de cada mês A tabela abaixo mostra o crescimento de US 8000 com juros de 5 durante três anos compostos pagos uma duas quatro ou 12 vezes por ano Quanto maior a frequência dos pagamentos maior será a quantia total pois os pagamentos de juros serão mais frequentes e haverá juros ganhos sobre juros mais vezes 1 2 3 4 O crescimento de US 8000 a juros de 5 arredondado para o dólar mais próximo Para determinar uma fórmula que descreva como cresce o dinheiro quando pagos juros compostos mais de uma vez por ano considere uma conta bancária com taxa de juros anual r pagos de forma composta duas vezes por ano Assim a cada seis meses a quantia na conta bancária cresce por um fator Após t anos isso acontecerá 2t vezes Portanto em t anos uma quantia inicial P terá crescido para De modo geral suponha agora que uma taxa de juros anual r é paga de maneira composta n vezes por ano Assim n vezes por ano a quantia na conta bancária cresce por um fator Após t anos isso terá ocorrido nt vezes levando ao seguinte resultado Se a taxa de juros r e o número n de vezes do pagamento de juros compostos por ano forem fixos então a função f definida por ft é uma função com crescimento exponencial Em anúncios de instituições financeiras frequentemente informase o APY que você receberá sobre seu dinheiro em vez da taxa de juros A abreviação APY vem de annual percentage yield em inglês que quer dizer rendimento anual percentual e significa a taxa de juros real que você receberia ao final de um ano após a composição Por exemplo se um banco remunerar 5 de juros anuais pagos de forma composta uma vez por mês como é bastante comum então o banco pode legalmente anunciar que ele remunera um APY de 5116 Aqui o APY é igual a 5116 porque Na Seção 37 discutiremos o que acontece quando os juros compostos são pagos um número muito grande de vezes por ano Em outras palavras a juros anuais de 5 pagos de forma composta 12 vezes por ano US 1000 crescerão para US 105116 No período de um ano isso corresponde a juros anuais simples de 5116 Sem usar calculadora ou computador dê uma estimativa preliminar de 283 Sem usar calculadora ou computador dê uma estimativa preliminar de 2103 Sem usar calculadora ou computador determine qual dos dois números 2125 ou 32 1036 é maior Sem usar calculadora ou computador determine qual dos dois números 2400 ou 17100 é maior Dica Observe que 24 16 Para os Exercícios 58 suponha que você deposite um centavo em uma caderneta de poupança no dia 1o de janeiro dois centavos no dia 2 de janeiro quatro centavos no dia 3 de janeiro e assim por diante duplicando a cada dia a quantia do seu 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 a b 20 a b 21 22 23 24 25 26 27 28 29 depósito supondo que você use um banco eletrônico que abra todos os dias do ano Quanto você depositará em 7 de janeiro Quanto você depositará em 11 de janeiro Qual é o primeiro dia em que seu depósito excederá US 10000 Qual é o primeiro dia em que seu depósito excederá US 100000 Para os Exercícios 912 suponha que você deposite um centavo em uma caderneta de poupança no dia 1o de janeiro três centavos no dia 2 de janeiro nove centavos no dia 3 de janeiro e assim por diante triplicando a cada dia a quantia do seu depósito supondo que você use um banco eletrônico que abra todos os dias do ano Quanto você depositará em 7 de janeiro Quanto você depositará em 11 de janeiro Qual é o primeiro dia em que seu depósito excederá US 10000 Qual é o primeiro dia em que seu depósito excederá US 100000 Suponha fx 7 23x Determine um número b tal que o gráfico de logb f tenha declividade 1 Suponha fx 4 25x Determine um número b tal que o gráfico de logb f tenha declividade 1 Uma colônia de bactérias está crescendo exponencialmente duplicando de tamanho a cada 100 minutos Quantos minutos levará para que a colônia de bactérias triplique de tamanho Uma colônia de bactérias está crescendo exponencialmente duplicando de tamanho a cada 140 minutos Quantos minutos levará para que a colônia de bactérias se torne cinco vezes o seu tamanho atual Pelas taxas de crescimento atuais a população da Terra está duplicando a aproximadamente cada 69 anos Se essa taxa de crescimento continuar em torno de quantos anos levará para que a população da Terra cresça 50 do nível atual Pelas taxas de crescimento atuais a população da Terra está duplicando a aproximadamente cada 69 anos Se essa taxa de crescimento continuar em torno de quantos anos levará para que a população da Terra cresça um quarto do nível atual Suponha que uma colônia de bactérias comece com 200 células e triplique de tamanho a cada quatro horas Determine uma função que modele o crescimento populacional dessa colônia de bactérias Aproximadamente quantas células estarão na colônia após seis horas Suponha que uma colônia de bactérias comece com 100 células e que triplique de tamanho a cada duas horas Determine uma função que modele o crescimento populacional dessa colônia de bactérias Aproximadamente quantas células estarão na colônia após uma hora Suponha que US 700 sejam depositados em uma conta bancária que remunera 6 de juros por ano compostos pagos 52 vezes em um ano Quanto haverá na conta bancária ao final de 10 anos Suponha que US 8000 sejam depositados em uma conta bancária que remunera 7 de juros por ano compostos pagos 12 vezes em um ano Quanto haverá na conta bancária ao final de 100 anos Suponha que uma conta bancária remunerando 4 de juros ao ano compostos pagos 12 vezes por ano contenha US 10555 ao final de 10 anos Qual foi a quantia inicialmente depositada na conta bancária Suponha que uma conta bancária remunerando 6 de juros ao ano compostos pagos quatro vezes por ano contenha US 27707 ao final de 20 anos Qual foi a quantia inicialmente depositada na conta bancária Suponha que uma caderneta de poupança remunere 6 de juros por ano compostos pagos uma vez no ano Se a caderneta de poupança começar com US 500 quanto tempo levará para que o saldo ultrapasse US 2000 Suponha que uma caderneta de poupança remunere 5 de juros por ano compostos pagos quatro vezes no ano Se a caderneta de poupança começar com US 600 quanto tempo levará para que o saldo ultrapasse US 1400 Suponha que um banco queira anunciar que US 1000 depositados em sua caderneta de poupança crescerá para US 1040 em um ano Esse banco paga os juros compostos 12 vezes por ano Qual taxa anual de juros deve o banco pagar Suponha que um banco queira anunciar que US 1000 depositados na sua caderneta de poupança crescerá para US1050 em um ano Este banco compõe os juros 365 vezes por ano Qual taxa anual de juros deve o banco pagar Um anúncio para o setor imobiliário publicado no The New York Times de 28 de julho de 2004 estabeleceu Você sabia que o crescimento percentual do valor de uma casa em Manhattan entre os anos 1950 e 2000 foi de 721 Compre uma casa em Manhattan e invista em seu futuro 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 Suponha que em vez de comprar uma casa em Manhattan em 1950 alguém investiu o dinheiro em uma conta bancária que paga juros compostos quatro vezes por ano Qual taxa anual de juros o banco teria que pagar para igualar o crescimento indicado no anúncio Suponha que em vez de comprar uma casa em Manhattan em 1950 alguém investiu o dinheiro em uma conta bancária que paga juros compostos uma vez por mês Qual taxa anual de juros o banco teria que pagar para igualar o crescimento indicado no anúncio do exercício anterior Suponha que f seja uma função com crescimento exponencial tal que f1 3 e f3 5 Determine o valor de f8 Suponha que f seja uma função com crescimento exponencial tal que f2 3 e f5 8 Determine o valor de f10 Os Exercícios 3334 ajudarão você a determinar se a história em quadrinhos do Dilbert apresentada anteriormente nesta seção fornece ou não um método razoável para transformar cem dólares em um milhão de dólares A uma taxa de juros de 5 compostos pagos uma vez por ano quantos anos levará para transformar cem dólares em um milhão de dólares A uma taxa de juros de 5 compostos pagos mensalmente quanto tempo levará para transformar cem dólares em um milhão de dólares Explique como você usaria uma calculadora para verificar que 213746 137461000 mas 213747 137471000 e depois use de fato a calculadora para verificar ambas as desigualdades Os números envolvidos nessas desigualdades possuem mais de 4 mil dígitos Assim será necessária alguma esperteza quando você for usar sua calculadora Mostre que 210n 1024n 103n Essa igualdade leva à aproximação 210n 103n Demonstre que se f for uma função com crescimento exponencial também o será a raiz quadrada de f Mais precisamente demonstre que se f for uma função com crescimento exponencial também o será a função g definida por gx Suponha que f seja uma função com crescimento exponencial e que f0 1 Explique por que f pode ser representada por uma fórmula do tipo fx bx para b 1 Explique por que toda função f com crescimento exponencial pode ser representada por uma fórmula do tipo fx c 3kx para escolhas apropriadas de c e de k Encontre três artigos de jornal que façam uso da palavra exponencialmente um caminho para isso é usar o site de um jornal que permita pesquisas Para cada uso da palavra exponencialmente que você encontrar em um artigo de jornal discuta se a palavra está ou não sendo usada em seu significado matemático correto Suponha que um banco remunere a uma taxa de juros anual r compostos pagos n vezes por ano Explique por que o banco pode anunciar que o seu APY rendimento anual percentual é igual a Encontre um anúncio de jornal ou da Internet que indique a taxa de juros antes da composição a frequência do pagamento dos juros compostos e o APY Determine se o APY foi ou não calculado corretamente Suponha que f seja uma função com crescimento exponencial Demonstre que existe um número b 1 tal que 44 1 3 5 7 f x 1 bfx para todo x O que há de errado no seguinte paradoxo aparente Você tem dois pais quatro avôs oito bisavôs e assim por diante Retrocedendo n gerações você deve ter 2n ancestrais Supondo três gerações em cada século se retrocedermos 2000 anos que é igual a 20 séculos e portanto 60 gerações você deverá ter que é igual a um bilhão de bilhões que é muito mais que o número total de pessoas que já viveram Sem usar calculadora ou computador dê uma estimativa preliminar de 283 SOLUÇÃO Sem usar calculadora ou computador determine qual dos dois números 2125 ou 32 1036 é maior SOLUÇÃO Observe que Portanto 2125 é maior que 32 1036 Para os Exercícios 58 suponha que você deposite um centavo em uma caderneta de poupança no dia 1o de janeiro dois centavos no dia 2 de janeiro quatro centavos no dia 3 de janeiro e assim por diante duplicando a cada dia a quantia do seu depósito supondo que você use um banco eletrônico que abra todos os dias do ano Quanto você depositará em 7 de janeiro SOLUÇÃO No nésimo dia serão depositados 2n1 centavos Assim no dia 7 de janeiro a quantia depositada será 26 centavos Em outras palavras serão depositados US 064 no dia 7 de janeiro Qual é o primeiro dia em que seu depósito excederá US 10000 SOLUÇÃO No nésimo dia serão depositados 2n1 centavos Como US 10000 é igual a 106 centavos precisamos determinar o menor inteiro n tal que 2n1 106 Podemos fazer uma rápida estimativa observando que Assim estabelecendo n 1 20 que é equivalente a n 21 devemos estar próximos da resposta exata Para ser mais preciso observe que a desigualdade 2n1 106 é equivalente à desigualdade 9 11 13 15 log2n1 log106 que pode ser reescrita como n 1 log 2 6 Dividindo ambos os lados por log 2 e depois adicionando 1 a ambos os lados vemos que a equação é equivalente a Com uma calculadora obtemos que Como 21 é o menor inteiro maior que 209 o primeiro dia em que o depósito ultrapassará US 10000 será o dia 21 de janeiro Para os Exercícios 912 suponha que você deposite um centavo em uma caderneta de poupança no dia 1o de janeiro três centavos no dia 2 de janeiro nove centavos no dia 3 de janeiro e assim por diante triplicando a cada dia a quantia do seu depósito supondo que você use um banco eletrônico que abra todos os dias do ano Quanto você depositará em 7 de janeiro SOLUÇÃO No nésimo dia serão depositados 3n1 centavos Assim no dia 7 de janeiro a quantia depositada será 36 centavos Como 36 729 concluímos que US 729 serão depositados no dia 7 de janeiro Qual é o primeiro dia em que seu depósito excederá US 10000 SOLUÇÃO No nésimo dia serão depositados 3n1 centavos Como US 10000 é igual a 106 centavos precisamos determinar o menor inteiro n tal que 3n1 106 Isto é equivalente à desigualdade log3n1 log106 que pode ser reescrita como n 1 log 3 6 Dividindo ambos os lados por log 3 e depois adicionando 1 a ambos os lados vemos que a equação é equivalente a Com uma calculadora obtemos que Como 14 é o menor inteiro maior que 136 o primeiro dia em que o depósito ultrapassará US 10000 será o dia 14 de janeiro Suponha fx 7 23x Determine um número b tal que o gráfico de logb f tenha declividade 1 SOLUÇÃO Observe que logb fx logb 7 logb 23x logb 7 3logb 2x Assim a declividade do gráfico de logb f é igual a 3 logb 2 que é igual a 1 quando logb 2 Assim b13 2 de que b 23 8 Uma colônia de bactérias está crescendo exponencialmente duplicando de tamanho a cada 100 minutos Quantos minutos levará para que a colônia de bactérias triplique de tamanho SOLUÇÃO Seja pt o número de células na colônia de bactérias no instante t sendo t medido em minutos Assim pt p02t100 em que p0 é o número p de células no instante 0 Precisamos determinar t tal que pt 3 p0 Em outras palavras precisamos determinar t tal que p02t100 3p0 Dividindo ambos os lados da equação por p0 e depois efetuando o logaritmo de ambos os lados obtemos 17 19 a b a b 21 23 25 Assim t 100 que é aproximadamente 158496 Portanto a colônia de bactérias triplicará de tamanho a aproximadamente cada 158 minutos Pelas taxas de crescimento atuais a população da Terra está duplicando a aproximadamente cada 69 anos Se essa taxa de crescimento continuar em torno de quantos anos levará para que a população da Terra cresça 50 do nível atual SOLUÇÃO Seja pt a população da Terra no instante t sendo t medido em anos a partir do presente Assim pt p02t69 em que p0 é a população da Terra no presente Precisamos determinar t tal que pt 15 p0 Em outras palavras precisamos determinar t tal que p02t69 15p0 Dividindo ambos os lados da equação acima por p0 e depois efetuando o logaritmo de ambos os lados obtemos Assim t 69 que é aproximadamente 404 Portanto pelas taxas de crescimento atuais a população da Terra crescerá 50 em aproximadamente 404 anos Suponha que uma colônia de bactérias comece com 200 células e triplique de tamanho a cada quatro horas Determine uma função que modele o crescimento populacional dessa colônia de bactérias Aproximadamente quantas células estarão na colônia após seis horas SOLUÇÃO Seja pt o número de células na colônia de bactérias no instante t sendo t medido em horas Sabemos que p0 200 Em t horas ocorrem t4 períodos de triplicação assim o número de células cresce por um fator 3t4 Portanto pt 200 3t4 Após seis horas poderíamos esperar que houvesse p6 células de bactérias Usando a equação acima temos p6 200 364 200 332 1039 Suponha que US 700 sejam depositados em uma conta bancária que remunera 6 de juros por ano compostos pagos 52 vezes em um ano Quanto haverá na conta bancária ao final de 10 anos SOLUÇÃO Após 10 anos com juros compostos pagos 52 vezes por ano a uma taxa de 6 ao ano a quantia de US 700 crescerá para Suponha que uma conta bancária remunerando 4 de juros ao ano compostos pagos 12 vezes por ano contenha US 10555 ao final de 10 anos Qual foi a quantia inicialmente depositada na conta bancária SOLUÇÃO Seja P a quantia inicial depositada na conta bancária Após 10 anos com juros compostos pagos 12 vezes por ano a uma taxa de 4 ao ano a quantia de P dólares crescerá para dólares que é dado como igual a US 10555 Dessa forma precisaremos resolver a equação A solução para essa equação é Suponha que uma caderneta de poupança remunere 6 de juros por ano compostos pagos uma vez no ano Se a caderneta de poupança começar com US 500 quanto tempo levará para que o saldo ultrapasse US 2000 SOLUÇÃO Com uma taxa de 6 de juros pagos de forma composta uma vez por ano uma caderneta de poupança inicialmente com US 500 teria 500106t 27 29 dólares após t anos Queremos que esse montante ultrapasse US 2000 o que significa ter 500106t 2000 Dividindo ambos os lados por 500 e depois efetuando o logaritmo de ambos os lados obtemos t log 106 log 4 Então Como os juros compostos são pagos apenas uma vez por ano t precisa ser um número inteiro O menor número inteiro maior que 238 é 24 Assim levará 24 anos para que o montante na caderneta de poupança ultrapasse US 2000 Suponha que um banco queira anunciar que US 1000 depositados em sua caderneta de poupança crescerá para US1040 em um ano Esse banco paga os juros compostos 12 vezes por ano Qual taxa anual de juros deve o banco pagar SOLUÇÃO Seja r a taxa anual de juros a serem pagos pelo banco Em um ano a essa taxa de juros pagos de maneira composta 12 vezes por ano US1000 crescerá para dólares Queremos que isto seja igual a US1040 o que significa que precisamos resolver a equação Para resolver essa equação dividimos ambos os lados por 1000 e depois elevamos ambos os lados à potência 112 obtendo Agora subtraímos 1 de cada um dos lados e depois multiplicamos ambos os lados por 12 obtendo r 12104112 1 00393 Portanto os juros anuais devem ser de aproximadamente 393 Um anúncio para o setor imobiliário publicado no The New York Times de 28 de julho de 2004 estabeleceu Você sabia que o crescimento percentual do valor de uma casa em Manhattan entre os anos 1950 e 2000 foi de 721 Compre uma casa em Manhattan e invista em seu futuro Suponha que em vez de comprar uma casa em Manhattan em 1950 alguém investiu o dinheiro em uma conta bancária que paga juros compostos quatro vezes por ano Qual taxa anual de juros o banco teria que pagar para igualar o crescimento indicado no anúncio SOLUÇÃO Um crescimento de 721 significa que o valor final é 821 do valor inicial Seja r a taxa de juros que o banco teria que pagar ao longo dos 50 anos de 1950 até 2000 para aumentar a quantia de dinheiro para 821 do valor inicial Em 50 anos a essa taxa de juros pagos de forma composta quatro vezes por ano uma quantia inicial de P dólares cresce para dólares Queremos que isto seja igual a 821 vezes a quantia inicial o que significa que precisamos resolver a equação Para resolver essa equação dividimos ambos os lados por P e depois elevamos ambos os lados à potência 1200 obtendo Agora subtraímos 1 de ambos os lados e depois multiplicamos ambos os lados por 4 obtendo r 48211200 1 00423 Portanto a taxa anual de juros precisaria ser de aproximadamente 423 para igualar o crescimento indicado no anúncio Observe que 423 não é um retorno particularmente alto para um investimento a longo prazo contrariamente à insinuação do anúncio 31 33 Suponha que f seja uma função com crescimento exponencial tal que f1 3 e f3 5 Determine o valor de f8 SOLUÇÃO Podemos supor fx cbx Precisamos determinar c e b Temos 3 f1 cb e 5 f3 cb3 Dividindo a segunda equação pela primeira equação vemos que b2 Assim Substituindo esse valor para b na primeira equação acima obtemos que implica Portanto Usando a fórmula acima temos Os Exercícios 3334 ajudarão você a determinar se a história em quadrinhos do Dilbert apresentada anteriormente nesta seção fornece ou não um método razoável para transformar cem dólares em um milhão de dólares A uma taxa de juros de 5 pagos de forma composta uma vez no ano quantos anos levará para transformar cem dólares em um milhão de dólares SOLUÇÃO Queremos determinar t tal que 106 100 105t Assim 105t 104 Efetuando o logaritmo de ambos os lados obtemos t log 105 4 Portanto Como os juros são pagos apenas uma vez por ano arredondamos o resultado para o ano seguinte concluindo que levará 189 anos para transformar cem dólares em um milhão de dólares a juros compostos anuais de 5 pagos uma vez por ano Portanto o quadrinho estava correto ao estabelecer que após 190 anos haverá no mínimo um milhão de dólares na conta de investimento Na verdade o quadrinho poderia ter usado 189 anos em vez de 190 anos A ideia básica para o cálculo da área de uma região limitada por uma curva é aproximar a área com o uso de retângulos Ilustraremos essa ideia usando a curva y pois essa curva leva ao e um dos números mais úteis na matemática e ao logaritmo natural Começaremos por considerar a região amarela mostrada aqui cuja área é representada pela área 1 2 Em outras palavras área 1 2 significa a área da região no plano xy sob a curva y acima do eixo dos x e entre as retas x 1 e x 2 O exemplo que se segue mostra como obter uma estimativa preliminar da área da forma mais rudimentar possível usando apenas um retângulo A área da região em amarelo é representada por área 1 2 Considere agora a região amarela mostrada a seguir A área dessa região amarela é representada por área 1 3 A área da região amarela acima é representada por área 1 3 Em outras palavras área 1 3 significa a área da região no plano xy sob a curva y acima do eixo dos x e entre as retas x 1 e x 3 O próximo exemplo ilustra o procedimento para aproximar a área de uma região colocando retângulos dentro da região Diferentemente do rudimentar exemplo anterior desta vez usamos oito retângulos para obter uma estimativa mais acurada A desigualdade aqui apresentada tem sentido oposto àquela do exemplo anterior Agora estamos posicionando os retângulos sob a curva e não acima dela No exemplo acima fornecenos uma estimativa para área 1 3 Se quisermos uma estimativa mais acurada poderíamos usar sob a curva um número maior de retângulos mais estreitos A tabela a seguir mostra a soma das áreas dos retângulos sob a curva para diferentes escolhas de número de retângulos Aqui supomos que todos os retângulos têm o mesmo tamanho de base como no exemplo acima As somas foram arredondadas até cinco dígitos Estimativas de área 1 3 A soma das áreas desses retângulos foi calculada com a ajuda de um computador O valor exato de área 1 3 é um número irracional cujos primeiros cinco dígitos são 10986 o que está de acordo com a última entrada na tabela acima Em resumo podemos obter uma estimativa acurada da área na região amarela dividindo o intervalo 1 3 em vários intervalos pequenos e depois calculando a soma das áreas dos correspondentes retângulos posicionados sob a curva A área sob partes da curva y tem propriedades notáveis Para discutir essas propriedades introduzimos a seguinte notação que já usamos para c 2 e c 3 Para ter uma ideia de como área 1 c depende de c consideremos a seguinte tabela Aqui os valores de área 1 c foram arredondados até seis dígitos depois da vírgula decimal A tabela acima está de acordo com as desigualdades que derivamos anteriormente nesta seção área 1 2 1 e área 1 3 1 Antes de ler o próximo parágrafo pare por um momento para ver se você consegue descobrir uma relação entre quaisquer entradas na tabela acima Se você procurar uma relação entre entradas na tabela acima provavelmente a primeira coisa que você observará é que Para ver se alguma outra relação está oculta na tabela acrescentaremos agora uma terceira coluna mostrando a razão de área 1 c para área 1 2 e uma quarta coluna mostrando a razão de área 1 c para área 1 3 As entradas inteiras das últimas duas colunas destacamse Nós já observamos que área 1 4 2 área 1 2 a tabela acima mostra agora as interessantes relações Como 4 22 e 8 23 e 9 32 escrevemos essas equações de modo mais sugestivo como As equações acima sugerem a seguinte fórmula notável Nós já sabemos que a fórmula acima vale em três casos especiais Essa fórmula será deduzida em uma situação mais geral na próxima seção Por enquanto vamos assumir que a evidência observada na tabela acima é suficientemente convincente para aceitar essa fórmula O lado direito da equação acima seria simplificado se c fosse tal que área 1 c 1 Assim estabelecemos a seguinte definição Anteriormente nesta seção mostramos que área 1 2 é menor que 1 e que área 1 3 é maior que 1 Assim para algum número entre 2 e 3 a área da região que estamos considerando deve ser igual a 1 Esse número se chama e Definimos e como o número tal que a região amarela tenha área 1 Para atrair profissionais com habilidades matemáticas o Google certa vez distribuiu cartazes pela cidade perguntando pelo primeiro número primo de 10 dígitos que pudesse ser encontrado em dígitos consecutivos de e A solução encontrada com a ajuda de um computador foi 7427466391 Esses dez dígitos iniciamse no 99o dígito após o ponto decimal na representação de e O número e tem um nome especial porque ele é muito útil em várias partes da matemática Veremos alguns usos do e nas próximas duas seções O número e é irracional O valor aproximado de e até 40 dígitos é o seguinte e 2718281828459045235360287471352662497757 Para vários propósitos 2718 é uma boa aproximação para e o erro é da ordem de 001 A fração é uma aproximação bastante boa para e o erro é da ordem de 01 A fração aproxima melhor ainda o erro é da ordem de 0000004 Tenha em mente que e não é igual nem a 2718 nem a nem a Todos esses valores são aproximações úteis mas e é um número irracional que não pode ser representado exatamente nem como um número decimal nem como uma fração A fórmula foi apresentada acima Essa fórmula deve fazêlo lembrar do comportamento dos logaritmos em relação a potências Veremos agora que a área sob a curva y é de fato intimamente conectada a um logaritmo Na fórmula acima estabelecemos c igual a e e utilizamos a equação área 1 e 1 para observar que para todo número positivo t Consideremos agora um número c 1 Podemos escrever c sob a forma de uma potência de e da maneira usual Assim em que a última igualdade decorre do estabelecimento de t loge c na equação apresentada no parágrafo anterior O logaritmo na base e que apareceu acima é tão útil que ele tem um nome e uma notação especiais Com essa nova notação a igualdade área 1 c loge c que deduzimos acima pode ser reescrita como segue Como uma indicação da utilidade de e e do logaritmo natural dê uma olhada na sua calculadora Ela provavelmente tem teclas para ex e para ln x A função cujo valor em um número x é igual a ex é tão importante que também tem um nome especial Na Seção 31 definimos a função exponencial com base b como a função cujo valor em x é bx Assim a função exponencial definida acima nada mais é do que a função exponencial com base e Em outras palavras se nenhuma base for mencionada assuma que a base é e O gráfico da função exponencial ex assemelhase aos gráficos das funções exponenciais 2x e 3x ou qualquer outra função exponencial com base b 1 Especificamente ex cresce rapidamente quando x é grande e aproximase de 0 para valores negativos de x com grande valor absoluto O domínio da função exponencial é o conjunto dos números reais e a imagem da função exponencial é o conjunto dos números positivos Além disso a função exponencial é uma função crescente assim como toda função do tipo bx com b 1 Potências de e satisfazem as mesmas propriedades algébricas que as potências de qualquer número Dessa forma as identidades listadas abaixo já devem ser familiares para você Elas foram incluídas aqui como uma revisão das propriedades algébricas chave no caso específico de potências de e O gráfico da função exponencial ex em 2 2 A mesma escala foi usada em ambos os eixos para evidenciar o quão rápido é o crescimento de ex quando x aumenta O logaritmo natural de um número positivo x representado por ln x é igual a loge x Portanto o gráfico do logaritmo natural assemelhase aos gráficos das funções log2 x log x ou logb x para qualquer número b 1 Especificamente ln x cresce lentamente quando x aumenta Além disso se x for um número positivo pequeno então ln x é um número negativo com grande valor absoluto como apresentado na figura a seguir O gráfico de ln x no intervalo e2 e2 A mesma escala foi usada em ambos os eixos para mostrar o lento crescimento de ln x e sua rápida descida perto de 0 e em direção aos números negativos com grande valor absoluto O domínio de ln x é o conjunto dos números positivos e a imagem de ln x é o conjunto dos números reais Além disso ln x é uma função crescente porque é a função inversa da função crescente ex Como o logaritmo natural é o logaritmo com base e ele satisfaz todas as propriedades que vimos anteriormente para os logaritmos com qualquer base Para revisar resumimos aqui suas propriedades chave No quadro a seguir supomos que x e y sejam números positivos Lembrese de que neste livro como na maioria dos livros de précálculo log x significa log10 x Entretanto o logaritmo natural é tão importante que vários matemáticos usam log x para representar o logaritmo natural em vez do logaritmo com base 10 A função exponencial ex e o logaritmo natural ln x que é igual a loge x são funções inversas uma da outra exatamente como as funções 2x e log2 x são funções inversas uma da outra Assim a função exponencial e a função logaritmo natural exibem o mesmo comportamento que quaisquer duas funções que sejam inversas uma da outra Para revisar resumimos aqui as propriedades chave que conectam a função exponencial e a função logaritmo natural 1 a b 2 a b 3 a b 4 a b 5 a b 6 a b 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 O gráfico de ln x vermelho é obtido pela reflexão do gráfico de ex azul sobre a reta y x Os próximos dois exercícios enfatizam que lnx y não é igual a ln x ln y Para x 7 e y 13 calcule o valor de cada um dos seguintes lnx y ln x ln y Para x 04 e y 35 calcule o valor de cada um dos seguintes lnx y ln x ln y Os próximos dois exercícios enfatizam que lnxy não é igual a ln x ln y Para x 3 e y 8 calcule o valor de cada um dos seguintes lnxy ln xln y Para x 11 e y 5 calcule o valor de cada um dos seguintes lnxy ln xln y Os próximos dois exercícios enfatizam que ln não é igual a Para x 12 e y 2 calcule o valor de cada um dos seguintes Para x 18 e y 03 calcule o valor de cada um dos seguintes Determine um número y tal que ln y 4 Determine um número c tal que ln c 5 Determine um número x tal que ln x 2 Determine um número x tal que ln x 3 Determine um número t tal que ln 2t 1 4 Determine um número w tal que ln 3w 2 5 Determine todos os números y tais que ln y2 1 3 Determine todos os números r tais que ln 2r2 3 1 Determine um número x tal que e3x 1 2 Determine um número y tal que e4y 3 5 Para os Exercícios 1728 determine todos os números x que satisfazem a equação dada 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 a b c d e 39 40 41 42 lnx 5 lnx 1 2 lnx 4 lnx 2 3 lnx 5 lnx 1 2 lnx 4 lnx 2 2 e2x ex 6 e2x 4ex 12 ex ex 6 ex ex 8 ln3x ln x 4 ln6x ln x 5 Determine o número c tal que área 1 c 2 Determine o número c tal que área 1 c 3 Determine o número t que torna o menor possível Aqui significa Determine o número t que torna o menor possível Determine um número y tal que Determine um número w tal que Para os Exercícios 3538 determine uma fórmula para f gx supondo que f e g sejam as funções indicadas fx ln x e gx e5x fx ln x e gx e47x fx e2x e gx ln x fx e85x e gx ln x Para cada uma das funções f dadas nos Exercícios 3948 Determine o domínio de f Determine a imagem de f Determine uma fórmula para f1 Determine o domínio de f1 Determine a imagem de f1 Você pode checar suas soluções para o item c verificando que f1 f I e f f1 I Lembre que I é a função definida por Ix x fx 2 ln x fx 3 ln x fx 4 5 ln x fx 6 7 ln x 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 a b c 53 54 55 56 fx 3e2x fx 5e9x fx 4 lnx 2 fx 3 lnx 5 fx 5 6e7x fx 4 2e8x Qual é a área da região sob a curva y acima do eixo dos x e entre as retas x 1 e x e2 Qual é a área da região sob a curva y acima do eixo dos x e entre as retas x 1 e x e5 Verifique que os últimos cinco retângulos na figura do Exemplo 2 têm área e Considere a figura A região sob a curva y acima do eixo dos x e entre as retas x 1 e x 25 Calcule a soma das áreas de todos os seis retângulos mostrados na figura acima Explique por que o cálculo que você efetuou no item a mostra que Explique por que a desigualdade acima mostra que e 25 A seguinte notação é usada nos Problemas 5356 áreax2 1 2 é a área da região sob a curva y x2 acima do eixo dos x e entre as retas x 1 e x 2 como mostrado a seguir Usando um retângulo demonstre que 1 áreax2 1 2 Usando um retângulo demonstre que áreax2 1 2 4 Usando quatro retângulos demonstre que 196 áreax2 1 2 Usando quatro retângulos demonstre que 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 áreax2 1 2 272 Os dois problemas acima mostram que áreax2 1 2 está no intervalo 196 272 Se usarmos como estimativa o ponto médio desse intervalo obtemos área x2 1 2 Esta é uma estimativa muito boa o valor exato de áreax2 1 2 é que é aproximadamente 233 Explique por que ln x 2302585 log x para todo número positivo x Explique por que a solução do item b do Exercício 5 desta seção é a mesma solução do item b do Exercício 5 da Seção 33 Suponha que c seja um número tal que área 1 c 1000 Explique por que c 21000 As funções cosh e senh são definidas por para todo número real x Essas funções são denominadas cosseno hiperbólico e seno hiperbólico são funções úteis na engenharia Demonstre que cosh é uma função par Demonstre que senh é uma função ímpar Demonstre que cosh x2 senh x2 1 para todo número real x Demonstre que cosh x 1 para todo número real x Demonstre que coshx y cosh x cosh y senh x senh y para todos os números reais x e y Demonstre que senhx y senh x cosh y cosh x senh y para todos os números reais x e y Demonstre que cosh x senh xt coshtx senhtx para todos os números reais x e t Demonstre que se x for muito grande então Demonstre que a imagem de senh é o conjunto dos números reais Demonstre que senh é uma função bijetora e que sua inversa é dada pela fórmula para todo número real y Demonstre que a imagem de cosh é o intervalo 1 Suponha que f seja a função definida por fx cosh x para todo x 0 Em outras palavras f é definida pela mesma fórmula do cosh mas o domínio de f é o intervalo 0 enquanto o domínio do cosh é o conjunto dos números reais Demonstre que f é uma função bijetora e que sua inversa é dada pela fórmula 72 1 a b a b 3 a b a b 5 a b a b para todo y 1 Escreva uma descrição de como a forma do arco de entrada de St Louis é relacionada com o gráfico de cosh x Você deve conseguir encontrar a informação necessária usando um site de busca na Internet O arco de entrada de St Louis o mais alto monumento nacional dos Estados Unidos Os próximos dois exercícios enfatizam que lnx y não é igual a ln x ln y Para x 7 e y 13 calcule o valor de cada um dos seguintes lnx y ln x ln y SOLUÇÃO ln7 13 ln 20 299573 ln 7 ln 13 194591 256495 451086 Os próximos dois exercícios enfatizam que lnxy não é igual a ln x ln y Para x 3 e y 8 calcule o valor de cada um dos seguintes lnxy ln x ln y SOLUÇÃO ln3 8 ln 24 317805 ln 3ln 8 109861207944 22845 Os próximos dois exercícios enfatizam que ln não é igual a Para x 12 e y 2 calcule o valor de cada um dos seguintes SOLUÇÃO 7 9 11 13 15 17 19 Determine um número y tal que ln y 4 SOLUÇÃO Lembre que ln y é simplesmente uma abreviação para loge y Assim a equação ln y 4 pode ser reescrita sob a forma loge y 4 A definição de logaritmo agora implica que y e4 Determine um número x tal que ln x 2 SOLUÇÃO Lembre que ln x é simplesmente uma abreviação para loge x Assim a equação ln x 2 pode ser reescrita sob a forma loge x 2 A definição de logaritmo agora implica que x e2 Determine um número t tal que ln 2t 1 4 SOLUÇÃO A equação ln 2t 1 4 implica que e4 2t 1 Resolvendo a equação para t obtemos Determine todos os números y tais que ln y2 1 3 SOLUÇÃO A equação ln y2 1 3 implica que e3 y2 1 Assim y2 e3 1 o que significa que ou ou Determine um número x tal que e3x 1 2 SOLUÇÃO A equação e3x 1 2 implica que 3x 1 ln 2 Resolvendo a equação para x obtemos Para os Exercícios 1728 determine todos os números x que satisfazem a equação dada lnx 5 lnx 1 2 SOLUÇÃO Nossa equação pode ser reescrita como segue Então Podemos resolver a equação acima para x obtendo lnx 5 lnx 1 2 SOLUÇÃO Nossa equação pode ser reescrita como segue 2 lnx 5 lnx 1 lnx 5x 1 lnx2 4x 5 Então 21 23 25 27 x2 4x 5 e2 que implica x2 4x e2 5 0 Podemos resolver a equação acima usando a fórmula quadrática de que obtemos ou No entanto tanto x 5 quanto x 1 são negativos se como o logaritmo de um número negativo não é definido devemos descartar essa raiz da equação acima Concluímos que o único valor de x que satisfaz a equação lnx 5 lnx 1 2 é SOLUÇÃO Nossa equação pode ser reescrita como segue Resolvendo esta equação para ln x o primeiro passo para isso é multiplicar ambos os lados pelo denominador ln 5 ln x obtemos ln x ln 12 2 ln 5 ln 12 ln 25 Então e2x ex 6 SOLUÇÃO Observe que Isso sugere estabelecer t ex Assim a equação acima pode ser reescrita como t2 t 6 0 As soluções para essa equação que podem ser obtidas usando ou a fórmula quadrática ou a fatoração são t 3 e t 2 Assim ex 3 ou ex 2 No entanto não existe número real x tal que ex 3 porque ex é positivo para todo número real x portanto devemos ter ex 2 Dessa forma x ln 2 0693147 ex ex 6 SOLUÇÃO Seja t ex Assim a equação acima pode ser reescrita como Multiplicando ambos os lados por t obtemos a equação t2 6t 1 0 As soluções para essa equação que podem ser obtidas usando a fórmula quadrática são t 3 e t 3 Assim ou ex 3 ou ex 3 Portanto as soluções da equação original são x ln3 e x ln3 ln3x ln x 4 SOLUÇÃO Nossa equação pode ser reescrita como segue 4 ln3x ln x ln x ln 3 ln x ln x2 ln 3ln x Fazendo y ln x podemos reescrever a equação acima como y2 ln 3y 4 0 Usando a fórmula quadrática resolvemos a equação acima para y obtendo 29 31 33 35 37 a b c d e 39 a y 262337 ou y 152476 Então ln x 262337 ou lnx 152476 que significa x e262337 0072558 ou x e152476 459403 Determine o número c tal que área 1 c 2 SOLUÇÃO Como 2 área 1 c ln c vemos que c e2 Determine o número t que torna o menor possível SOLUÇÃO Como ex é uma função crescente de x o número será o menor possível quando t2 6t for o menor possível Para determinar quando é que t2 6t é o menor possível completamos o quadrado t2 6t t 32 9 A equação acima mostra que t2 6t é o menor possível quando t 3 Determine um número y tal que SOLUÇÃO Multiplicando ambos os lados da equação acima por 2 ln y e depois resolvendo para ln y obtemos ln y 8 Assim y e8 298096 Para os Exercícios 3538 determine uma fórmula para f gx supondo que f e g sejam as funções indicadas fx ln x e gx e5x SOLUÇÃO f gx f gx fe5x lne5x 5x fx e2x e gx ln x SOLUÇÃO Para cada uma das funções f dadas nos Exercícios 3948 Determine o domínio de f Determine a imagem de f Determine uma fórmula para f1 Determine o domínio de f1 Determine a imagem de f1 Você pode checar suas soluções para o item c verificando que f1 f I e f f1 I Lembre que I é a função definida por Ix x fx 2 ln x SOLUÇÃO A expressão 2 ln x faz sentido para todos os números x positivos Portanto o domínio de f é o conjunto dos números positivos