Cálculo Integral 1

Nesta atividade exploraremos uma função específica para compreender seu comportamento em diversos aspectos críticos O objetivo é aplicar conceitos fundamentais do cálculo como descontinuidade limites laterais assíntotas horizontais e a existência de raízes em um intervalo específico Este exercício visa fortalecer seu entendimento dos conceitos fundamentais do cálculo e sua aplicação prática Dessa forma utilizando a função fx 2x1x22 responda às perguntas a seguir a 1 ponto Determine o ponto de descontinuidade da função explicando o motivo b 3 pontos No ponto determinado em a aplique os conceitos de limites laterais para identificar o comportamento na função a esquerda e a direita deste ponto c 3 pontos Verifique a existência de assíntotas horizontais nesta função Dica utilize os limites no mais e menos infinito d 3 pontos Verifique a existência ou não de pelo menos uma raiz no intervalo 0 1 Obs Apresentar o desenvolvimento e raciocínio aplicado em cada item Em matemática um ponto crítico também chamado de ponto estacionário é um ponto no domínio de uma função onde a primeira derivada é nula Os pontos críticos serão sempre pontos de máximos ou mínimos relativos ou pontos de inflexão podendose descobrir em que categoria o ponto cai analisando a sua segunda derivada a curvatura da função Em matemática a análise de máximos e mínimos pontos críticos possui diversas aplicações Uma delas é na área fabril Dessa forma imagine que o custo em reais de fabricação de uma unidade de um certo produto é dado pela função C 0 24 R definida por Cx 2x³ 66x² 432x 3000 onde x representa a quantidade produzida Determine o que se pede para cada situação a seguir a 2 pontos Para a fabricação de 8 e 20 peças determine o valor de custo para cada situação b 3 pontos Determine os pontos críticos da função custo c 3 pontos Verifique pela regra da derivada segunda se os pontos críticos são de máximo ou mínimo d 2 pontos Identifique pela derivada segunda o ponto de inflexão da função Justifique o motivo de ser um ponto de inflexão Dica utilize os resultados obtidos nos itens anteriores Obs apresentar o desenvolvimento e raciocínio aplicado em cada item Respostas Análise da Função fx 2x1x2 2 a Determine o ponto de descontinuidade da função explicando o motivo Para identificar o ponto de descontinuidade observamos que a função fx 2x1x2 2 possui um denominador x 2 o que significa que a função não é definida quando x 2 pois qualquer divisão por zero é indefinida Passo 1 Encontrar onde o denominador se torna zero Para encontrar onde ocorre a descontinuidade basta igualar o denominador a zero x 2 0 x 2 Portanto a função possui uma descontinuidade em x 2 pois neste ponto temos uma divisão por zero b Limites laterais no ponto de descontinuidade Para entender o comportamento da função ao se aproximar de x 2 pela esquerda e pela direita precisamos calcular os limites laterais Isso nos ajuda a verificar como fx se comporta próximo a x 2 Passo 1 Cálculo do limite quando x 2 Queremos o limite de fx quando x se aproxima de 2 pela esquerda x 2 Substituímos fx 2x1x2 2 lim x2 fx lim x2 2x 1x 2 2 lim x2 2x 1x 2 lim x2 2 1 Como x 2 o termo x 2 se aproxima de zero tornando o denominador muito pequeno e negativo pois estamos à esquerda de 2 Isso faz com que a fração 2x1x2 vá para Portanto lim x2 fx Passo 2 Cálculo do limite quando x 2 Agora calculamos o limite de fx quando x se aproxima de 2 pela direita x 2 lim x2 fx lim x2 2x1x2 2 lim x2 2x1x2 lim x2 2 Neste caso à medida que x se aproxima de 2 pela direita o termo x 2 é muito pequeno e positivo Isso faz com que a fração 2x1x2 vá para Assim temos lim x2 fx Portanto a descontinuidade em x 2 é do tipo infinita c Verificar a existência de assíntotas horizontais Para verificar a existência de assíntotas horizontais analisamos o comportamento de fx quando x Passo 1 Limite quando x Calculamos o limite de fx quando x lim x fx lim x 2x1x2 2 lim x 2x1x2 lim x 2 Dividimos o numerador e o denominador da fração por x para simplificar lim x 2x1x2 lim x 2 1x 1 2x 2 0 1 0 2 Assim temos lim x fx 4 Passo 2 Limite quando x Agora calculamos o limite de fx quando x lim x fx lim x 2x1x2 2 4 Portanto existe uma assíntota horizontal em y 4 d Verificar a existência de uma raiz no intervalo 01 Para verificar a existência de uma raiz no intervalo 01 resolvemos fx 0 2x1x2 2 0 2x1x2 2 Multiplicamos ambos os lados por x 2 2x1 2x2 2x1 2x 4 4x 3 x 34 Como 34 01 existe pelo menos uma raiz neste intervalo Analise da Funcao Cx 2x3 66x2 432x 3000 a Para a fabricacao de 8 a 20 pecas determine o valor de custo para cada situacao Para determinar o custo de producao de cada quantidade de pecas entre 8 e 20 substituımos cada valor de x na funcao de custo Cx 2x3 66x2 432x 3000 Calculos de Cx para x 8 a x 20 C8 283 6682 4328 3000 3256 C9 293 6692 4329 3000 3000 C10 2103 66102 43210 3000 2720 C11 2113 66112 43211 3000 2428 C12 2123 66122 43212 3000 2136 C13 2133 66132 43213 3000 1860 C14 2143 66142 43214 3000 1616 C15 2153 66152 43215 3000 1416 C16 2163 66162 43216 3000 1276 C17 2173 66172 43217 3000 1210 C18 2183 66182 43218 3000 1232 C19 2193 66192 43219 3000 1356 C20 2203 66202 43220 3000 1596 4 Tabela de Resultados Quantidade Produzida x Custo Cx 8 3256 9 3000 10 2720 11 2428 12 2136 13 1860 14 1616 15 1416 16 1276 17 1210 18 1232 19 1356 20 1596 b Determinar os pontos crıticos da funcao de custo Para encontrar os pontos crıticos precisamos calcular a primeira derivada Cx e verificar onde ela e igual a zero pois em pontos crıticos a derivada e nula Passo 1 Encontrando a primeira derivada Cx A derivada de cada termo da funcao e calculada usando a regra da potˆencia Cx 2x3 66x2 432x 3000 Cx 3 2x31 2 66x21 432 6x2 132x 432 Passo 2 Igualando Cx 0 Agora igualamos Cx a zero para encontrar os pontos crıticos 6x2 132x 432 0 Para simplificar a resolucao dividimos toda a equacao por 6 x2 22x 72 0 5 Passo 3 Resolvendo a equacao quadratica Para resolver x2 22x 72 0 usamos a formula quadratica x 22 222 4 1 72 2 1 22 484 288 2 22 196 2 22 14 2 Assim obtemos x 22 14 2 18 e x 22 14 2 4 Portanto os pontos crıticos sao x 4 e x 18 c Verificar pela regra da derivada segunda se os pontos crıticos sao de maximo ou mınimo Para identificar se os pontos crıticos encontrados sao maximos ou mınimos aplicamos a segunda derivada Cx e avaliamos seu valor nos pontos x 4 e x 18 Passo 1 Calculando a segunda derivada Cx Derivamos Cx 6x2 132x 432 para obter Cx 2 6x21 132 1 12x 132 Passo 2 Avaliacao da segunda derivada nos pontos crıticos Agora avaliamos Cx nos pontos x 4 e x 18 para determinar o tipo de ponto crıtico No ponto x 4 C4 124 132 48 132 84 Como C4 0 isso indica que x 4 e um maximo local 6 No ponto x 18 C18 1218 132 216 132 84 Como C18 0 isso indica que x 18 e um mınimo local d Identificar pela derivada segunda o ponto de inflexao da funcao Um ponto de inflexao ocorre onde a concavidade da funcao muda ou seja onde Cx 0 e ha uma mudanca de sinal em torno desse ponto Passo 1 Encontrando onde Cx 0 Para encontrar o ponto de inflexao igualamos Cx a zero Cx 12x 132 12x 132 0 x 132 12 11 Passo 2 Verificando a mudanca de concavidade em x 11 Para confirmar que x 11 e um ponto de inflexao verificamos o sinal de Cx ao redor de x 11 Para x 11 por exemplo x 10 C10 1210 132 12 indicando concavidade para baixo Para x 11 por exemplo x 12 C12 1212 132 12 indicando concavidade para cima Como Cx muda de sinal ao redor de x 11 este e um ponto de inflexao da funcao Cx 7