Exercícios Resolvidos de Cálculo Diferencial e Equações Diferenciais - Derivadas e Taxa de Variação

O estudo de equações diferenciais é um assunto que fecha o ciclo de estudos de derivadas e integral O resultado de uma equação diferencial é uma família de funções que não contém derivadas diferenciais e que satisfaz a equação dada Então para a equação diferencial y y 2 ou seja o dobro da derivada primeira subtraída com a própria função é igual a 2 classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas A derivada de uma função em seu conceito mais teórico é dada pela razão entre a variação da função ao longo da variável dependente quando a variável independente sofre uma pequena variação Desta forma a importância da derivada de uma função reside na capacidade de fornecer informações cruciais sobre o seu comportamento local e global Assim sendo seja a função ft sen2t cos assinale a alternativa CORRETA que apresenta a sua derivada Uma maneira eficiente de encontrar a reta tangente a uma função em um determinado ponto é utilizando a derivada Como proposto por Leibniz ao realizar a derivada de uma função em um determinado ponto encontramos o coeficiente angular da reta tangente naquele ponto Sendo assim assinale a alternativa CORRETA que apresenta a reta tangente da função fx 2x³ 4x² 2 no ponto 1 4 No cálculo a derivada em um ponto de uma função y fx representa a taxa de variação instantânea de y em relação a x neste ponto A partir disso determine a derivada da função a seguir fx 2x³ x² 1 Acerca do resultado assinale a alternativa CORRETA Informalmente dizemos que uma função é contínua quando seu gráfico não apresenta interrupções ou seja seu gráfico pode ser traçado sem que o lápis se levante do papel Na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral o conceito de continuidade está ligado ao de limite de uma função em um ponto específico Desta forma verifique se a função a seguir é contínua no ponto x 1 fx 3 x² se x 1 1 x² se x 1 No cálculo a derivada em um ponto de uma função y fx representa a taxa de variação instantânea de y em relação a x neste ponto Um exemplo típico é a função velocidade que representa a taxa de variação derivada da função espaço Seja a derivada do produto entre fx 2x² 1 e gx 2 x analise as possibilidades I 6x² 8x 1 II 6x² 8x 1 III 6x² 8x 1 IV 6x² 8x 1 Assinale a alternativa CORRETA 1 A Somente a opção III está correta CORRETO SERIA hx6x²4x2 2 A FVVF 3 B ft2cos2t3t²sint³ 4 5 C y2x6 6 C fx4x1 7 C Somente a opção I está correta 8 A As sentenças I III e V estão corretas 9 D 6 10 A gx12x44sen2x Ao estudar o Cálculo Diferencial descobrimos que existem algumas funções que são infinitamente deriváveis em todos os pontos de seu domínio Um exemplo disso é a função exponencial que possui diferenciação de ordem superior infinita Acerca das derivadas da função exponencial fx e²ˣ analise as sentenças a seguir I A derivada primeira é 2e²ˣ II A derivada primeira é 2e²ˣ III A derivada segunda é 4e²ˣ IV A derivada segunda é 6e²ˣ V A derivada terceira é 8e²ˣ Assinale a alternativa CORRETA Porque não tem alternativa correta no 1 do 1º arquivo hx 2x²2x1 2x²2x12x²2x1 pela propriedade do produto da derivada Logo hx 4xx1 2x²2 4x² 4x 2x² 2 6x² 4x 2 Além de todos os conceitos que podem ser estudados a respeito do cálculo diferencial podemos resumir o conceito de derivada como sendo a taxa de variação instantânea de uma grandeza com relação a outra como por exemplo a variação da posição com relação ao tempo Baseado nisto assinale a alternativa CORRETA que apresenta o valor da derivada da função fx 3x² no ponto x 1 1 Em cálculo podemos dizer que fx é contínua em x 1 se lim x1 fx f1 Nesse caso f1 3 12 3 1 f1 2 Para calcular se existe o limite vamos fazer os limites laterais lim x1 fx lim x1 1 x2 1 12 2 lim x1 fx lim x1 3 x2 3 12 2 Logo lim x1 fx 2 Portanto f é contínua em x 1 pois lim x1 fx 2 f1 A derivada é a medida da declividade de uma reta tangente a cada ponto da função de onde surgiu ela também é uma função que fornece valores relativos de muita utilidade O ângulo da reta tangente ao ponto da curva inicial pode ser encontrado através da derivada pois a derivada fornece o valor da tangente deste ângulo Em outros momentos é fundamental realizar a derivada de uma função mais vezes Desta forma sendo a função fx sen2x 2x² assinale a alternativa que apresenta a derivada segunda desta função No cálculo a derivada em um ponto de uma função y fx representa a taxa de variação instantânea de y em relação a x neste ponto Um exemplo típico é a função velocidade que representa a taxa de variação derivada da função espaço Com relação à função hx 2x² 2x 1 observe as possibilidades para a sua derivada I hx 6x² 4x 2 II hx 6x² 4x 2 III hx 6x² 4x 2 IV hx 6x² 4x 2 Assinale a alternativa CORRETA Brunno Ricardo de Candido Engenharia de Produção 6090886 Avaliação II Individual Cod883781 Prova Período para responder 05102023 20102023 No cálculo a derivada em um ponto de uma função y fx representa a taxa de variação instantânea de y em relação a x neste ponto Um exemplo típico é a função velocidade que representa a taxa de variação derivada da função espaço Com relação à função hx 2x² 2x 1 observe as possibilidades para a sua derivada I hx 6x² 4x 2 II hx 6x² 4x 2 III hx 6x² 4x 2 IV hx 6x² 4x 2 Assinale a alternativa CORRETA Bruno Ricardo de Candido Engenharia de Produção 6090886 Cálculo Diferencial e Integral I MAD101 71612141 20102023 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Além de todos os conceitos que podem ser estudados a respeito do cálculo diferencial podemos resumir o conceito de derivada como sendo a taxa de variação instantânea de uma grandeza com relação a outra como por exemplo a variação da posição com relação ao tempo Baseado nisto assinale a alternativa CORRETA que apresenta o valor da derivada da função fx 3x² no ponto x 1 A 3 B 6 C 3 D 6 Anterior Próxima Para finalizar a avaliação é necessário responder todas as questões Finalizar