Transformada de Laplace Inversa - Frações Parciais e Aplicações

Aula do dia 30082023 ATC Transformada de Inversa de Laplace TIL Frações Parciais Simulação de Sistemas de Controle Transformada Inversa de Laplace A ideia é encontrar Fs L1f ft Transformada Inversa de Laplace utilizando a expansão de funções em frações parciais e então utilizar a tabela para encontrar ft Seja Fs PsQs sendo que Ps e Qs são polinômios e grau QsgrauPs Polinômio Qs é da forma Qs sn a1 sn1 an sendo ai ℜ i1 2 n que pode ser expresso na forma Qs s s1s s2s sn1s sn sendo si i1 2 n as raízes de Qs 1ºCaso Se o polinômio do denominador Qs s s1s s2s sn1s sn possuir somente raízes distintas ou seja sisj ij1 2 n ij Transformada Inversa de Laplace Exemplo Fs 5s 3s 1s 2s 3 determine ft Sol Neste caso Ps5s3 e Qss1s2s3 temos Fs PsQs k1s1 k2s2 k3s3 e ki ssiFs ssi logo k1 s15s3s1s2s3 s1 22 1 k2 s25s3s1s2s3 s2 7 k3 s35s3s1s2s3 s3 6 Transformada Inversa de Laplace então Fs 1s1 7s2 6s3 Finalmente usando a linha 6 da tabela temse L1Fs et 7e2t 6e3t t 0 Aplique a transformada inversa de Laplace em Fs e obtenha ft Solução A transformada inversa de Laplace é definida por 𝐿1 𝐹 𝑆 𝑓𝑡 EXERCÍCIO 2 Fs 8𝑠 1 𝑠7𝑠8 𝑠9 1ª expandir Fs em frações parciais 𝐹 𝑆 𝑃𝑆 𝑄𝑆 𝐾1 𝐾2 𝑆𝑆1 𝑆𝑆2 𝑆𝑆3 𝐾 3 𝐹𝑆 𝐾1 𝐾2 𝑆7 𝑆8 𝑆9 𝐾 3 Solução Fs 8𝑠 1 𝑠7𝑠8 𝑠9 𝐹𝑆 𝐾1 𝐾2 𝑆7 𝑆8 𝑆9 𝐾 3 1 𝐾 S7 8𝑠 1 Expressão para obter os valores de k 𝐾𝑖 𝑠 𝑆𝑖Fs para S𝑆𝑖 Obter o valor de k1 𝑠7𝑠8 𝑠9 para s7 Solução Fs 8𝑠 1 𝑠7𝑠8 𝑠9 1 𝐾 S7 8𝑠 1 𝑠7𝑠8 𝑠9 para s7 1 𝐾 8𝑠1 𝑠8 𝑠9 para s7 1 𝐾 78 79 871 55 2 Solução Fs 8𝑠 1 𝑠7𝑠8 𝑠9 2 𝐾 S8 8𝑠 1 𝑠7𝑠8 𝑠9 para s8 2 𝐾 8𝑠1 𝑠7 𝑠9 para s8 2 𝐾 881 87 89 63 Solução Fs 8𝑠 1 𝑠7𝑠8 𝑠9 3 𝐾 S9 8𝑠 1 𝑠7𝑠8 𝑠9 para s9 3 𝐾 8𝑠1 𝑠7 𝑠8 para s9 3 𝐾 97 98 891 71 2 Solução Fs 8𝑠 1 𝑠7𝑠8 𝑠9 Expandindo em FP TEMOS 𝐹𝑆 𝐾1 𝐾2 𝑆7 𝑆8 𝑆9 𝐾 3 Substituindo os valores na expressão temos 𝐹𝑆 2 6 3 55 71 2 𝑆7 𝑆8 𝑆9 Solução Fs 8𝑠 1 𝑠7𝑠8 𝑠9 55 𝐹𝑆 2 6 3 2 71 𝑆7 𝑆8 𝑆9 𝐹 𝑆 55 12 𝑆7 63 1 𝑆8 71 2 𝑆9 1 𝑓 𝑡 𝐿1 1 𝑠 𝑎 𝑒𝑎 𝑡 ft 𝟓 𝟓 𝒆𝟕𝒕 𝟔𝟑 𝒆𝟖𝒕 𝟕𝟏 𝒆𝟗 𝒕 Solução Fs 8𝑠 1 𝑠7𝑠8 𝑠9 TDE Calcular a transformada inversa de Laplace para Fs dado abaixo 1 Fs 2𝑠 1 𝑠4𝑠5 𝑠6 CONTROLADOR PID Controle Proporcional Kp Controle Integral kiS Controle Derivativo kdS US Kp Ki 1S KdS PROCESSO VS Prática usando o simulador Control System Modeling Tool 1ª Abrir o simulador e selecionar opção New Control system modeling tool ibelkin123gmailcom File New Open Save Save as Edit Properties Cut Copy Paste Remove selected object Prática usando o simulador Control System Modeling Tool 2ª Selecionar a opção PI Controller Create new document Blank Document First order linear system Second order linear system First order linear system with feedback PI controller CANCEL OK Prática usando o simulador Control System Modeling Tool 3ª aparecerá o sistema de controle ilustrado abaixo K Ws Ws K O app meetgooglecom está compartilhando uma janela Interromper compartilhamento Ocultar Prática usando o simulador Control System Modeling Tool 4ª Variáveis do controlador e opções do simulador Entrada do sistema Saída do sistema Clicar nos 3 pontos para simular e alterar os parâmetros do controlador O app meetgooglecom está compartilhando uma janela Interromper compartilhamento Ocultar Prática usando o simulador Control System Modeling Tool 5ª Selecionar o Ws clicar nos 3 pontos do lado direito superior selecionar a opção Properties Remove selected object Properties Connect two blocks Simulate Linearization Settings Help content Prática usando o simulador Control System Modeling Tool 6ª Definir a FT os parâmetros e clicar em OK Transfer Function CANCEL OK Prática usando o simulador Control System Modeling Tool 7ª Clicar novamente nos 3 pontos superior e selecionar simular Remove selected object Properties Connect two blocks Simulate Linearization Settings Help content Prática usando o simulador Control System Modeling Tool 8ª Analisar o resultado da simulação ou seja da saída Time interval 100 103 073 044 015 125 375 625 875 Prática usando o simulador Control System Modeling Tool 9ª Clicar na fonte de geração do sinal de entrada do sistema depois clicar nos 3 pontos do lado superior e depois clicar na opção Remove Prática usando o simulador Control System Modeling Tool 10ª Mudar a entrada do sistema clicando na opção no canto inferior direito Prática usando o simulador Control System Modeling Tool 11ª Mudar a entrada do sistema clicando na opção no canto inferior direito e selecionar outro tipo de entrada Senoide Linear Randômica Quadrada Dente de serra Triangular Degral Prática usando o simulador Control System Modeling Tool 12ª Selecionar a ultima opção Connectors e ligar a fonte selecionada no somador Prática usando o simulador Control System Modeling Tool 13ª Simular novamente o sistema e analisar a saída para a nova entrada escolhida Prática usando o simulador Control System Modeling Tool 14ª Aplicar várias entradas e verificar saída triangular senoidal randômica etc Prática usando o simulador Control System Modeling Tool 15ª Aplicar várias entradas e verificar saída triangular senoidal randômica etc Prática usando o simulador Control System Modeling Tool 16ª Alterar os valores dos parâmetros e o grau da FT e simular novamente