Aplicações na Aviação Unidade 2

Tendo em vista todos os valores das variáveis, calcula-se o valor de sua aceleração, conforme a fórmula a seguir: a = ΔV/t a = (v - v_0)/t a = (0 - 300)/5 a = 300/2 a = 150 ft/min² Portanto, a aceleração da aeronave nesse percurso é de a = -150 ft/min² . Isso significa que, para cada minuto que se passa, a razão de subida da aeronave é decrescida de 150 ft/min. EXPLICANDO O sinal da aceleração indica sempre se há um acréscimo ou decréscimo da velocidade ao longo do percurso. Um sinal negativo indica um decréscimo, enquanto o positivo indica um acréscimo. No entanto, tudo isso varia dependendo do referencial adotado para a resolução do exercício. Tendo em vista a fórmula utilizada para o cálculo da aceleração, é possível também o estabelecimento de uma função que possibilite o cálculo da velocidade final de um objeto, uma vez sabida sua velocidade inicial, sua aceleração e o intervalo de tempo referente ao seu percurso. Considera-se, novamente, a fórmula da aceleração média: O desenvolvimento tecnológico é algo que tem contribuído positivamente para que se alcance, cada vez mais, um desempenho ótimo das aeronaves. Os principais fatores físicos que afetam a performance da aeronave estão associados ao seu peso, às condições atmosféricas, e às próprias leis da física que governam as forças que agem sobre a aeronave. O avanço tecnológico tem auxiliado na mensuração desses fatores e como eles afetam a aeronave. Existem duas classificações para os motores a jato das aeronaves de transporte: o turbojato e o turbofan. Os detalhes técnicos que diferenciam os dois motores não serão abordados nessa disciplina, pois foge do escopo do curso. No entanto, o que é relevante ressaltar é que os objetos matemáticos estudados até o momento nos permitem observar a performance desses motores. Os Gráficos 2 e 3 apresentam algumas eficiências desses motores em certas condições de pressão e outras condições atmosféricas. Não é relevante saber o que significa cada um dos elementos presentes no gráfico, mas sim verificar que a utilização de funções e suas representações gráficas são de extrema relevância para a mensuração do rendimento de motores. Gráfico 2. Eficiência do motor turbofan em função de diferentes condições. Fonte: MATTINGLY, 1996. (Adaptado). O Gráfico 3 apresenta a eficiência de outro motor, o turbojato. Gráfico 3. Eficiência do motor turbojato em função de diferentes condições. Fonte: MATTINGLY, 1996. O que se busca evidenciar com esses gráficos é o papel importante da aplicação do conceito de função em elementos das Ciências Aeronáuticas, nesse caso, no estudo de rendimento de motores e desempenho de aeronaves. Para que haja a compreensão de como as funções são realmente aplicadas e manipuladas, é necessário se aprofundar nas áreas de Cálculo e Física, que fogem do escopo desse curso. O que se busca evidenciar com esses gráficos é o papel importante da aplicação do conceito de função em elementos das Ciências Aeronáuticas, nesse caso, no estudo de rendimento de motores e desempenho de aeronaves. Para que haja a compreensão de como as funções são realmente aplicadas e manipuladas, é necessário se aprofundar nas áreas de Cálculo e Física, que fogem do escopo desse curso. No entanto, um primeiro entendimento sobre os conceitos físicos pode ser estabelecido na subseção seguinte, que apresentará algumas funções que determinam movimentos físicos, denominadas funções de movimento. FUNÇÕES DE MOVIMENTO E ACELERAÇÃO As funções, objetos matemáticos estudados até o momento, auxiliam na formulação de conceitos físicos importantes para o estudo de Ciências Aeronáuticas. Essa subseção tratará de alguns conceitos físicos relacionados ao movimento, ou seja, o ramo da Física conhecido por Cinemática. Existem dois tipos de movimentos importantes para serem estudados em uma primeira abordagem física: o movimento uniforme e o movimento uniformemente variável. A distinção entre esses movimentos é com base na existência de aceleração. No movimento uniforme, não há aceleração, ou seja, a velocidade é constante. No movimento uniformemente variável, por sua vez, a aceleração existe, ou seja, a velocidade varia. O primeiro conceito importante a ser definido no contexto da aceleração nula é o de velocidade média. A velocidade média pode ser entendida como uma função que leva em conta duas variáveis: o intervalo de tempo e o espaço percorrido. Assim, define-se v como velocidade média de um objeto: v = ΔS / Δt O ΔS indica que há uma variação da distância, e pode ser entendido como ΔS = s - s₀, ou seja, a diferença entre a posição final (s) e a posição inicial (s₀) de um objeto. Já o Δt indica que há uma variação do tempo, e pode ser entendido como Δt = t - t₀, ou seja, a diferença entre o tempo final (t) e o tempo inicial (t₀). A velocidade também é representada, comumente, da seguinte forma: v = ΔS / t EXPLICANDO Esse tipo de representação da velocidade sem considerar a variação do tempo ocorre devido à consideração do tempo inicial ser 0. Ao considerar o tempo inicial sendo 0, ou seja, t₀ = 0, a variação Δt pode ser reescrita da seguinte forma: Δt = t - t₀ Δt = t - 0 Δt = t Portanto, ao fazer essa consideração do tempo inicial sendo 0, a variação de tempo será igual ao tempo final, o que valida a fórmula. A fim de elucidar como efetuar a utilização desse conceito, analisemos os exemplos abaixo: // Exemplo 1 Um determinado objeto inicialmente na posição s₀ = 10 m inicia seu percurso ao longo de uma determinada rota. Ao final desse trajeto, o objeto percorre 200 m em um tempo de 20 s. Calcule a velocidade média, em m/s desse objeto ao longo de sua trajetória. Para efetuar esse cálculo deve-se determinar quais são as variáveis que envolvem esse problema. A primeira variável a ser identificada pelo enunciado é a posição inicial s₀ = 10 e, sabendo seu deslocamento, define-se a posição final do objeto s = 210. Por fim, define-se o tempo que se realizou o percurso t = 20 s. Tendo em vista todos os valores das variáveis, calcula-se o valor da velocidade média segundo a fórmula supracitada: v = ΔS / t v = (s - s₀) / t v = (210 - 10) / 20 v = 200 / 20 v = 10 m/s Portanto, a velocidade média do objeto encontrada foi de 10 m/s, o que indica que a cada segundo o objeto percorreu 10 metros a uma velocidade constante, ou seja, sem a presença de uma aceleração. // Exemplo 2 Um determinado objeto, inicialmente na posição s₀ = 0 m, inicia seu percurso ao longo de uma determinada rota. Ao final desse trajeto, o objeto percorre 500 m em um tempo de 10 s. Calcule a velocidade média, em m/s, desse objeto ao longo de sua trajetória. Para efetuar esse cálculo, deve-se determinar quais são as variáveis que envolvem esse problema. A primeira variável a ser identificada pelo enunciado é a posição inicial s₀ = 0 e, sabendo seu deslocamento, define-se a posição final do objeto s = 500. Por fim, define-se o tempo que se realizou o percurso (t = 10 s). Tendo em vista todos os valores das variáveis, calcula-se o valor da velocidade média, de acordo com a seguinte fórmula: v = ΔS / t v = (s - s₀) / t v = (500 - 0) / 10 500 v=——— 10 v=50m/s Portanto, a velocidade média do objeto encontrada é de 50 m/s, indicando que, a cada segundo, o objeto percorreu 50 metros a uma velocidade constante, ou seja, sem a presença de uma aceleração. Algo importante a ser relacionado com o conceito de velocidade são os conceitos de razão, tanto de subida quanto descida. Esses conceitos também tratam de velocidades, ou seja, de uma variação de espaço (f) por uma variação de tempo (min). EXPLICANDO Normalmente, as razões de subida e descida são conhecidas, ou seja, são fornecidas pelo exercício. Todavia, elas podem ser determinadas sabendo o deslocamento da altitude da aeronave e o tempo que ela levou para que isso ocorresse. Tendo em vista a fórmula utilizada para o cálculo da velocidade, é possível o estabelecimento de uma função que possibilite o cálculo da posição final do objeto, uma vez sabida sua velocidade, posição inicial e o intervalo de tempo referente ao seu percurso. Considera-se, novamente, a fórmula da velocidade média: ΔS v=—— t Abrindo o termo ΔS, tem-se: S - S₀ v=——— Isolando a variável s, obtém-se: s = S₀ + vt A essa fórmula se dá o nome de função horária do deslocamento. Por meio dela, é possível calcular a posição final de uma partícula, uma vez sabida sua velocidade, posição inicial e o intervalo de tempo referente ao seu percurso. Para melhor entendimento dessa fórmula, observe os exemplos a seguir: // Exemplo 3 Um determinado objeto efetua um deslocamento partindo de uma posição inicial S₀ = 0, e uma velocidade constante v = 10 m/s , e leva 10 segundos para chegar até seu destino, ou seja, até sua posição final. Calcule sua posição final s ao término de seu percurso. Para efetuar esse cálculo, deve-se determinar quais são as variáveis que envolvem esse problema. A primeira variável a ser identificada pelo enunciado é a posição inicial S₀ = 0, e posteriormente sua velocidade v = 10 m/s e o tempo de deslocamento t = 10 s. Tendo em vista todos os valores das variáveis, calcula-se o valor da posição final do objeto, segundo a função horária do deslocamento: s - S₀ + vt s = 0 + 10 · 10 s = 100 m Portanto, ao final do percurso, o objeto se localizará na posição s = 100 m. // Exemplo 4 Um determinado objeto efetua um deslocamento partindo de uma posição inicial S₀ = 50 e uma velocidade constante v = 100 m/s, levando 100 segundos para chegar até o seu destino, ou seja. Calcule sua posição final s ao término de seu percurso. Para efetuar esse cálculo, deve-se determinar quais são as variáveis que envolvem esse problema. A primeira variável a ser identificada pelo enunciado é a posição inicial S₀ = 50, posteriormente sua velocidade v = 100 m/s e o tempo de deslocamento t = 100 s. Tendo em vista todos os valores das variáveis, calcula-se o valor da posição final do objeto, segundo a função horária do deslocamento: s = S₀ + vt s = 50 + 100 · 100 s = 50 + 1000 s = 10050 m Portanto, ao final do percurso, o objeto se localizará na posição s = 10050 m. Todas as fórmulas estão dentro de um contexto no qual não há aceleração, ou seja, não há algo com que faça a velocidade variar ao longo de um determinado percurso. No entanto, para um contexto físico mais fidedigno, deve-se considerar a existência da aceleração. Define-se, portanto, a aceleração média de um objeto da seguinte maneira: ΔV α =——— Δt A aceleração leva em conta a variação da velocidade ΔV, entendida como a diferença entre a velocidade final e a inicial. Portanto, ΔV = v - v₀. Ela leva em conta a variação do tempo no percurso Δt, entendido como a diferença do tempo inicial e do tempo final. Desse modo, Δt = t - t₀. A aceleração é representada da seguinte forma: ΔV α =——— t A fim de elucidar como é feita a utilização desse conceito em um problema matemático, observemos os exemplos abaixo: v = v₀ + at v = 500 - 100 · 5 v = 500 - 500 v = 0 ft/min // Exemplo 8 Uma determinada aeronave realiza um percurso a uma razão de descida de 0 ft/min e a uma aceleração de 50 ft/min². Calcule qual será o valor de sua razão de descida ao final do percurso, sabendo que a aeronave demorou três minutos para realizá-lo. Para efetuar esse cálculo deve-se determinar quais são as variáveis que envolvem esse problema. A primeira variável a ser identificada pelo enunciado é a velocidade inicial v₀ = 0 ft/min, posteriormente sua aceleração a = 50 ft/min² e, por fim, seu tempo de percurso t = 3 min. Tendo em vista todos os valores das variáveis, calcula-se o valor de velocidade final, de acordo com a seguinte fórmula: v = v₀ + at v = 0 + 50 · 3 v = 0 + 150 v = 150 ft/min // Exemplo 9 Uma determinada aeronave realiza um percurso a uma razão de subida de 200 ft/min e uma aceleração de 100 ft/min². Calcule qual será o valor de sua razão de subida ao final do percurso, sabendo que a aeronave demorou dois minutos para realizá-lo. Para efetuar esse cálculo, deve-se determinar quais são as variáveis que envolvem esse problema. A primeira variável a ser identificada pelo enunciado é a velocidade inicial v₀ = 200 ft/min, posteriormente sua aceleração a = 100 ft/min² e, por fim, seu tempo de percurso t = 2 min. Tendo em vista todos os valores das variáveis, calcula-se o valor de velocidade final de acordo com a fórmula: v = v₀ + at v = 200 + 100 · 2 v = 200 + 200 v = 400 ft/min