F Matematicos 3 Unidade

UNIDADE 3.\nTrigonometria e sistemas de coordenadas\nDaniel de Freitas Barros Netto\n\nOBJETIVOS DA UNIDADE\n\n- Compreender conceitos básicos da trigonometria como ângulos, seno, cosseno e tangente, e o círculo trigonométrico;\n\n- Compreender um sistema de coordenadas em duas e três dimensões;\n\n- Calcular o valor de distâncias nos sistemas de coordenadas.\n\nTÓPICOS DE ESTUDO\nClique nos botões para saber mais\n\nTrigonometrias: ângulos e círculo trigonométrico\n\n// Ângulos e unidades de medida\n// Triângulo retângulo, círculo trigonométrico e identidades\n\nCoordenadas, planos e movimento\n\n// Coordenadas e plano tridimensional\n// Movimento em 3 dimensões\n\nO estudo da trigonometria é muito relevante para a formação de um cientista aeronáutico. Seu entendimento auxilia na compreensão de ferramentas matemáticas fundamentais para a assimilação de noções físicas, tais como a velocidade, distância e aceleração. Esta unidade trará elementos básicos da trigonometria para o entendimento dos instrumentos, como os ângulos e o círculo trigonométrico, apresentando como eles são empregados como unidades de medida, além das distinções expressivas e numéricas de graus e radianos.\n\nPara aprofundar a compreensão sobre o círculo trigonométrico, será revisitado o teorema de Pitágoras, um teorema de fundamental importância para a trigonometria. Somado a isso, serão trazidas as definições de seno, cosseno e tangente presentes no círculo trigonométrico e no triângulo retângulo.\n\nÂngulos e Unidades de Medida\n\nHá conhecimentos que compõem os fundamentos da matemática e são utilizados em áreas como análise, trigonometria e geometria. Um deles é o ângulo. O estudo dos ângulos não se restringe à matemática e influencia inúmeras áreas do conhecimento de navegação, astronomia e aviação. Existem múltiplas influências práticas disso, como a explicação sobre o formato do planeta, descartando o que apontou, por muitos séculos.\n\nA princípio, tal ideia será explicitada por meio da geometria, considerando o encontro de duas semirretas com a mesma origem (vértice), como na Figura 1. O ponto A é o vértice das duas semirretas, já B e C são pontos arbitrários que demarcam as semirretas.\n\nFigura 1. Ilustração de um ângulo. EXPLICANDO\n\nAs semirretas têm um começo demarcado por um ponto, mas não têm fim. Em outras palavras, elas se iniciam num ponto (vértice) e passam por outro ponto, estendendo-se de maneira ilimitada.\n\nAs semirretas AC e AB se originam em A, mas são estipuladas por pontos distintos B e C. Um ângulo é concebido como a região destacada entre as semirretas e simboliza uma medida de abertura, no caso, de quanto as duas semirretas estão distantes entre si.\n\nAo se pensar o ângulo como uma medida de abertura entre semirretas, se idealiza uma variação, isto é, um ângulo maior ou menor descreve uma abertura grande ou pequena.\n\nRessalta-se que o ângulo não leva em conta para onde apontam as semirretas, apenas a abertura que se dá entre elas. A Figura 2 traz o mesmo ângulo que a Figura 1, mesmo que as orientações das semirretas tenham mudado.\n\nFigura 2. Reprodução do mesmo ângulo. Ambas apresentam o ângulo descrevendo suas características e sentido geométrico. Porém, há mecanismos para se medir um ângulo em quantidade, sendo aferido em graus e em radianos.\n\n1 grau (1°) é a medida de um ângulo que corresponde a 1 / 360 de uma circunferência dividida em 360 partes, em que cada uma delas simboliza 1 grau, como demonstra a Figura 3.\n\nFigura 3. Representação de 1 grau.\n\nEssa unidade de medida é usual na construção de objetos matemáticos. Ressalta-se, contudo, que a unidade grau é subdividida em duas outras unidades: o minuto e o segundo. 1° tem 60 minutos (60'). Caso 1° for dividido em 60 partes, cada uma delas será uma unidade de minuto. Caso o minuto for dividido em 60 partes, a unidade será denominada segundo ('). Em outras palavras, a relação entre as medidas se dá pela seguinte conversão:\n\n1° = 60' e 1' = 60''\n\nOutra regra para se mensurar um ângulo é o radiano, presente na Figura 4. 1 radiano (rad) é a medida de um arco (segmento em vermelho) cujo comprimento é igual ao raio (segmentos em azul). Figura 4. Ilustração de um radiano.\n\nComo ambas as medidas (graus e radianos) são dadas em função de uma circunferência, se estabelece uma relação entre elas de:\n\n360° = 2π rad\n\nFundamentada nessa relação, é determinada a relação entre outros valores de graus e radianos apenas com regras de três simples. Os exemplos abaixo explicam como se dá o processo. // EXEMPLO 1\n\nPara encontrar o valor em radianos de um ângulo cuja medida é de 180°, é necessário respeitar a relação entre graus e radianos:\n\n360° = 2π rad\n\nRealizando a manipulação conforme a regra de três simples, tem-se que:\n\n360° ----------- 2π\n180° ----------- x\n\nConsequentemente, fica arranjado que:\n\n360x = 360π\nx = 360π / 360\nx = π\n\n// EXEMPLO 2\n\nPara encontrar o valor em radianos de um ângulo cuja medida é de 90°, novamente, se considera a relação entre graus e radianos:\n\n360° = 2π rad Realizando a manipulação de acordo com a regra de três simples, tem-se que:\n\n360° ----------- 2π\n90° ----------- x\n\nDesse modo, se chega a:\n\n360x = 360π\n\nx = 180π\n\nx = 360\n\nx = π/2 // EXEMPLO 3\n\nPara encontrar o valor em graus de um ângulo cuja medida é de π/3 radianos, também é empregue a relação entre graus e radianos:\n\n360° = 2π rad\n\nRealizando a manipulação segundo a regra de três simples, tem-se que:\n\n360° ----------- 2π\n360° ----------- π/3\n\nIsto posto, se auferte que:\n\n2πx = 360π/3\n\nx = 360π/6π\n\nx = 60°\n\nPor fim, ainda há a terminologia relativa a ângulos específicos. Um ângulo reto é aquele cuja medida equivale a 90°. Os que têm menos do que 90° são chamados de ângulos agudos e os que têm a medida mais do que 90° são os ângulos obtusos. TRIÂNGULO RETÂNGULO, CIRCULO TRIGONOMÉTRICO E IDENTIDADES\n\nEstipuladas as unidades básicas e fundamentais para o desenvolvimento algébrico de estruturas e objetos matemáticos mais complexos, conhecimentos que definem relações fundamentais para a Matemática, sobretudo para a Álgebra e a Geometria, é preciso recordar a relação mais conhecida da Geometria, descrita pelo teorema de Pitágoras. Tal relação se dá em um triângulo retângulo, que possui um ângulo reto (90°).\n\nNum triângulo retângulo com lados a, b e c, conforme a Figura 5, as áreas de quadrados construídos com base nos lados são comparadas. O lado de maior tamanho, oposto ao ângulo reto, é chamado hipotenusa. Os outros dois lados recebem o nome de catetos.\n\nFigura 5. Construção geométrica do teorema de Pitágoras. O teorema de Pitágoras exprime a seguinte relação:\n\na² = b² + c²\n\nO teorema relaciona as áreas de quadrados constituídos pelos lados do triângulo. A soma das áreas c² e b² equivale à área a². Ou seja, as figuras que retratam c² e b² juntas se sobrepõem à figura representada por a², com o quadrado da hipotenusa equivalente à soma dos quadrados dos catetos. O teorema permite descobrir o valor numérico de um dos lados do triângulo quando se sabe o valor de dois lados. Os exemplos a seguir explicam o uso do teorema:\n\n// EXEMPLO 4\n\nPara descobrir o valor da hipotenusa de um triângulo retângulo estabelecido pelos catetos de valores 3 e 4, se aplica o teorema de Pitágoras:\n\na² = b² + c²\n\n3 e 4 equivalem aos valores dos catetos. Em vista disso, se substitui c e b por 3 e 4, ressaltando que a ordem como os fatores serão postos não afetará o resultado da operação: