Triangulação e Trigonometria na Topografia - Aula 5

AULA 5 TRIANGULAÇÃO E TRIGONOMETRIA T O P O G R A F I A TOPOGRAFIA TRIANGULAÇÃO Sabese que o triângulo é uma figura geométrica que se torna totalmente determinada quando se conhecem seus três lados não há necessidade de conhecer os ângulos Para levantamentos com medidas exclusivamente lineares os triângulos constituirão a amarração do levantamento T r i a n g u l a ç ã o TOPOGRAFIA Devese portanto tomarse alguns cuidados para que não haja acumulação de erros a saber Devese ter a preocupação de estabelecer triângulos principais Os detalhes devem ser amarrados a se necessário triângulos secundários Devese medir cada uma das retas que constituem os lados de todos os triângulos A medição deve ser feita de preferência com trena de aço T r i a n g u l a ç ã o TOPOGRAFIA Ao medirse uma linha os detalhes que a margeiam serão nela amarrados Observar que a base do triângulo deverá estar na linha tendo como vértice o ponto do detalhe Procurar determinar triângulos acutângulos A solução do triângulo por usar apenas medidas lineares pode ser aplicada com sucesso em grande quantidade de pequenos problemas a saber T r i a n g u l a ç ã o TOPOGRAFIA Para medição de um pequeno lote urbano irregular Medir os quatro lados e pelo menos uma das duas diagonais BD ou AC T r i a n g u l a ç ã o TOPOGRAFIA A B C D T r i a n g u l a ç ã o TOPOGRAFIA Caso o lote possuir muito fundo e pouca largura a diagonal ficará quase coincidente com os lados e a precisão será prejudicada neste caso Dividir o lote em partes menores e utilizar o procedimento anterior T r i a n g u l a ç ã o TOPOGRAFIA Triangulação TOPOGRAFIA Para a propriedade rural delimitada pela poligonal ABCDEF esboçar uma triangulação capaz de propiciar a determinação da área da propriedade bem como fazer a correta amarração da edificação existente T r i a n g u l a ç ã o TOPOGRAFIA A B C D E F T r i a n g u l a ç ã o TOPOGRAFIA E G E G T r i a n g u l a ç ã o TOPOGRAFIA 1 Triângulos principais ABC ACE CDE EFA 2 Triângulos secundários AGE EGC 3 Medir todos os lados AB BC CD DE EF FA AG AE EG EC GC 4 Amarrar a construção M na linha EG secundária T r i a n g u l a ç ã o TOPOGRAFIA A fórmula de Heron permite o cálculo da área de um triângulo utilizandose apenas as medidas de seus lados 𝐴 𝑝 𝑝 𝑎 𝑝 𝑏 𝑝 𝑐 Onde A é a área de um triângulo qualquer p é o semiperímetro ab e c são os lados do triângulo Á r e a d o t r i â n g u l o q u a l q u e r TOPOGRAFIA 1 Aplicando a fórmula de Heron calcule a área da região triangular limitada pelo triângulo retângulo cujos lados medem 3 m 4 m e 5 m E x e r c í c i o s TOPOGRAFIA Resolução 𝐴 𝑝 𝑝 𝑎 𝑝 𝑏 𝑝 𝑐 𝐴 6 6 3 6 4 6 5 𝐴 6 3 2 1 𝐴 36 𝐴 6 𝑚² E x e r c í c i o s TOPOGRAFIA Resolução 𝐴 𝐵 ℎ 2 4 3 2 12 2 6 𝑚² E x e r c í c i o s 3 m 4 m TOPOGRAFIA 2 Aplicando a fórmula de Heron calcule a área da região triangular limitada pelo triângulo cujos lados medem 4 m 6 m e 8 m E x e r c í c i o s TOPOGRAFIA Resolução 𝐴 𝑝 𝑝 𝑎 𝑝 𝑏 𝑝 𝑐 𝐴 9 9 4 9 6 9 8 𝐴 9 5 3 1 𝐴 135 𝐴 1162 𝑚² E x e r c í c i o s TOPOGRAFIA 3 Calcule a área do terreno cuja forma e dimensões estão representadas pela figura E x e r c í c i o s TOPOGRAFIA Resolução 𝐴 𝑝 𝑝 𝑎 𝑝 𝑏 𝑝 𝑐 𝐴 155 155 10 155 13 155 8 𝐴 155 55 25 75 𝐴 15984375 𝐴 3998 𝑚² E x e r c í c i o s TOPOGRAFIA 4 Calcule a área do terreno cuja forma e dimensões estão representadas pela figura E x e r c í c i o s TOPOGRAFIA Solução 𝐴1 6771 𝑚² 𝐴2 13905 𝑚² 𝐴3 15411 𝑚² 𝐴4 16791 𝑚² 𝐴 52879 𝑚² E x e r c í c i o s TOPOGRAFIA Aplicase extensivamente a trigonometria na busca de soluções de problemas de engenharia e astronomia e principalmente nas resoluções de problemas topográficos CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO É um círculo de raio unitário destinado a determinar as funções trigonométricas e os valores por eles assumidos quando se toma os respectivos valores angulares Figura 27 T r i g o n o m e t r i a TOPOGRAFIA No ciclo trigonométrico temos OI cos OJ sen AE tg BF cotg OG sec OH cosec T r i g o n o m e t r i a TOPOGRAFIA Triangonometria FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS VALORES Coseno 1 a 1 Seno 1 a 1 Tangente a Cotangente a Secante a 1 e 1 a Cosecante a 1 e 1 a TOPOGRAFIA RELAÇÃO ENTRE O CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO E UM TRIÂNGULO QUALQUER T r i g o n o m e t r i a TOPOGRAFIA 𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐷𝐸 𝐴𝐸 𝐴𝐶 𝐴𝐷 𝐴𝐵 𝐷𝐸 𝐵𝐶 𝐴𝐸 1 𝐴𝐷 cos 𝛼 𝐷𝐸 𝑠𝑒𝑛 𝛼 Concluise que 𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 𝑐𝑜𝑠 𝛼 𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 T r i g o n o m e t r i a TOPOGRAFIA Relações métricas no triângulo retângulo T r i g o n o m e t r i a TOPOGRAFIA Relações métricas no triângulo retângulo T r i g o n o m e t r i a TOPOGRAFIA Relações métricas no triângulo qualquer T r i g o n o m e t r i a TOPOGRAFIA Relações métricas no triângulo qualquer Lei dos Cosenos Num triângulo qualquer o quadrado de um lado é igual a soma dos quadrados dos outro dois lados menos duas vezes o produto desses pelo cosseno do ângulo por eles formado 𝑏2 𝑎2 𝑐2 2𝑎𝑐 cos 𝐵 𝑐2 𝑎2 𝑏2 2𝑎𝑏 cos 𝐶 T r i g o n o m e t r i a TOPOGRAFIA Relações métricas no triângulo qualquer T r i g o n o m e t r i a TOPOGRAFIA Relações métricas no triângulo qualquer Lei dos Senos Num triângulo qualquer o quociente de um lado pelo seno do ângulo oposto a este lado é igual ao quociente de qualquer dos outros dois lados pelos respectivos senos dos ângulos opostos 𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝐴 𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝐵 𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝐶 T r i g o n o m e t r i a TOPOGRAFIA 1 Na observação de um triângulo que servirá de apoio para um levantamento obtiveramse os seguintes valores A 51º1639 B74º1635 C54º2646 lado BC10060 m Calcular o comprimento do lado AB E x e r c í c i o s TOPOGRAFIA Figura sem escala para simples demonstração E x e r c í c i o s A B C c a b TOPOGRAFIA Aplicando a lei dos senos ao triângulo em questão teremos 𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝐴 𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝐶 10060 𝑠𝑒𝑛 511639 𝐴𝐵 𝑠𝑒𝑛 542646 E x e r c í c i o s TOPOGRAFIA Transformando de graus minuto e segundo para grau decimal 𝐴 511639 51 16 60 39 3600 512775 𝐶 542646 54 26 60 46 3600 544461 E x e r c í c i o s TOPOGRAFIA Assim sendo 10060 𝑠𝑒𝑛 512775 𝐴𝐵 𝑠𝑒𝑛 544461 10060 07802 𝐴𝐵 08136 𝐴𝐵 10060 08136 07802 10491 𝑚 E x e r c í c i o s TOPOGRAFIA 2 Um segmento AB de 574 m forma com a reta r um ângulo de 26º2855 Calcule a medida da projeção ortogonal de AB sobre r E x e r c í c i o s TOPOGRAFIA Das relações métricas no triângulo retângulo lembramos que 𝐴𝐵 𝐴𝐵 cos 𝛼 E x e r c í c i o s A B AB r 𝛼 TOPOGRAFIA Então 𝛼 262855 26 28 60 55 3600 264819 𝐴𝐵 𝐴𝐵 cos 𝛼 𝐴𝐵 574 cos 264819 𝐴𝐵 574 08951 𝐴𝐵 514 𝑚 E x e r c í c i o s TOPOGRAFIA 3 Qual é a altura de uma chaminé cuja sombra se espalha por 20 metros quando o sol está a uma altura de 60 grados em relação ao horizonte E x e r c í c i o s TOPOGRAFIA E x e r c í c i o s 20 m h 𝛼 60 𝑔𝑟 Das relações métricas no triângulo retângulo lembramos que ℎ 𝐴𝐵 tg 𝛼 A B TOPOGRAFIA Então 𝛼 60 𝑔𝑟 60 180 200 54 ℎ 𝐴𝐵 tg 𝛼 ℎ 20 tg 54 ℎ 20 13764 ℎ 2753 𝑚 E x e r c í c i o s TOPOGRAFIA 4 Calcular a distância entre dois pontos inacessíveis A e B conhecendo uma base CD medida 15000 m e os ângulos medidos 𝛼 40 𝛽 60 𝛾 3830 𝑒 𝛿 7030 E x e r c í c i o s TOPOGRAFIA E x e r c í c i o s 𝛼 𝛽 𝛾 𝛿 A B C D 150 m TOPOGRAFIA Assim sendo 𝐵𝐷 𝑠𝑒𝑛 705 150 𝑠𝑒𝑛 695 𝐵𝐷 09426 150 09367 𝐵𝐷 150 09426 09367 15094 𝑚 E x e r c í c i o s TOPOGRAFIA Assim sendo 𝐴𝐶 𝑠𝑒𝑛 60 150 𝑠𝑒𝑛 815 𝐴𝐶 08660 150 09890 𝐴𝐶 150 08660 09890 13134 𝑚 E x e r c í c i o s TOPOGRAFIA Então 𝐵𝐷 𝐵𝐷 cos 𝛼 𝐵𝐷 15094 cos 40 𝐵𝐷 15094 07660 𝐵𝐷 11562 𝑚 E x e r c í c i o s TOPOGRAFIA Então 𝐴𝐶 𝐴𝐶 cos 𝛾 𝐴𝐶 13134 cos 385 𝐴𝐶 13134 07826 𝐴𝐶 10283 𝑚 E x e r c í c i o s TOPOGRAFIA Então 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐵𝐷 𝐶𝐷 𝐴𝐵 10283 11562 150 𝐴𝐵 6845 𝑚 E x e r c í c i o s TOPOGRAFIA 5 Para determinar a largura AB de um rio mediu se 𝐶𝐷 8000 𝑚 𝛼 7418 𝛽 5620 𝛾 1856 E x e r c í c i o s TOPOGRAFIA E x e r c í c i o s A B C D 𝛾 𝛽 𝛼 Rio TOPOGRAFIA Assim sendo 𝐵𝐷 𝑠𝑒𝑛 743 85 𝑠𝑒𝑛 8677 𝐵𝐷 09627 85 09984 𝐵𝐷 85 09627 09984 8196 𝑚 E x e r c í c i o s C D 𝛾 𝛼 B 𝛿 TOPOGRAFIA Assim sendo 𝐴𝐵 𝑠𝑒𝑛 𝜑 𝐵𝐷 𝑠𝑒𝑛 𝜇 𝐴𝐵 𝑠𝑒𝑛 374 𝐵𝐷 𝑠𝑒𝑛 4937 𝐵𝐷 06074 8196 07589 𝐵𝐷 8196 06074 07589 6560 𝑚 E x e r c í c i o s A B D 𝜃 𝜇 𝜑 Boa noite FACULDADE MAURÍCIO DE NASSAU TADS TECNOLOGIA EM ANÁLISE E DESENVOLVIMENTO DE SISTEMAS