Lista de Calculo 1

LISTA DE CÁLCULO I DepAdp Entrega pelo portal até dia 15062024 Valor 100 pontos Questão nº 01 Determine a derivada da função abaixo 05 ponto senx4 2x Questão nº 02 Determine a derivada da função abaixo 05 ponto Questão nº 03 Calcule a derivada abaixo 05 ponto Y 2x 3 x2 5x Questão nº 04 De acordo com o gráfico abaixo avalie a continuidade da função em x0 e marque a alternativa correta 025 ponto a f é continua em x0 b f0 c f não é continua em x0 d e nenhuma das alternativas anteriores LISTA DE CÁLCULO I DepAdp Entrega pelo portal até dia 15062024 Valor 100 pontos Questão nº 05 Calcule a derivada da função abaixo 05 ponto Questão nº 06 Determine a derivada da função abaixo 05 ponto Questão nº 07 Calcule a derivada da função abaixo 05 ponto Questão nº 08 Calcule a derivada da função abaixo 025 ponto Questão nº 09 Dada a função abaixo calcule a derivada mostrando e explicando o passo a passo 05 pontos Questão nº 10 Utilizando o gráfico abaixo responda o que se pede 15 pontos a Calcule e explique o limite abaixo b Calcule F1 c A função é continua Explique sua resposta Questão nº 11 Seja a função fx abaixo responda o que se pede 20 pontos LISTA DE CÁLCULO I DepAdp Entrega pelo portal até dia 15062024 Valor 100 pontos a b c d A função é continua em x5 Explique sua resposta Questão nº 12 De acordo com a função abaixo avalie a continuidade da função em x0 e marque a alternativa correta 05 ponto a f é continua em x0 b f0 c f não é continua em x0 d e nenhuma das alternativas anteriores Questão nº 13 Calculo o Limite abaixo 05 ponto Questão nº 14 Calculo o Limite abaixo 05 ponto Questão nº 15 Descreva uma aplicação de derivada na área da Engenharia 10 ponto Cálculo Questão 1 Dada a função fx sen x4 2x Temos que ddx x4 2x ddx x4 2 ddx x 4x3 2 1 4x3 2 ddx senx cosx Logo pela Regra da Cadeia temos que fx ddx sen x4 2x ddx4 2x sen x4 2x ddx x4 2x cos x4 2x 4x3 2 Portanto a derivada de primeira ordem da função fx é fx cos x4 2x 4x3 2 Questão 2 Dada a função fx cos3x Temos que ddx cos x sen x Logo pela Regra da Cadeia temos que fx ddx cos3 x dd cos x cos3 x ddx cos x 3 cos2 x sen x 3 cos2 x sen x Portanto a derivada de primeira ordem da função fx é fx 3 cos2 x sen x Questão 3 Dada a função y 2x 3 x2 5x Temos que ddx 2x 3 2 ddx x ddx 3 2 1 0 2 ddx x2 5x ddx x2 5 ddx x 2x 5 1 2x 5 Logo pela Regra do Produto temos que y ddx 2x 3 x2 5x ddx 2x 3 x2 5x 2x 3 ddx x2 5x 2 x2 5x 2x 3 2x 5 2x2 10x 4x2 16x 15 6x2 26x 15 Portanto a derivada de primeira ordem da função y é y 6x2 26x 15 Questão 4 Observando o gráfico da função 𝑓 𝑥 notamos que 𝑓 0 3 lim 𝑥0 𝑓 𝑥 3 lim 𝑥0 𝑓 𝑥 3 Como os limites laterais são diferentes temos que o limite da função 𝑓 𝑥 em 𝑥 0 não existe Para que uma função seja contínua em um ponto é necessário que o limite da função neste ponto exista e seja igual ao valor da função neste ponto Logo a função 𝑓 𝑥 não é contínua em 𝑥 0 possuindo uma descontinuidade de salto neste ponto Portanto a alternativa correta é c 𝑓 𝑥 não é contínua em 𝑥 0 Questão 5 Dada a função fx 4ex2 Temos que ddx x2 2x ddx ex ex Logo pela Regra da Cadeia temos que fx ddx 4ex2 ddx2 4ex2 ddx x2 4ex2 2x 8xex2 Portanto a derivada de primeira ordem da função fx é fx 8xex2 Questão 6 Dada a função Fx 9x2 4 Temos que ddx 9x2 4 9 ddx x2 ddx 4 9 2x 0 18x ddx x ddx x12 12 x12 12x Logo pela Regra da Cadeia temos que Fx ddx 9x2 4 dd9x2 4 9x2 4 ddx 9x2 4 129x2 4 18x 18x29x2 4 9x9x2 4 Portanto a derivada de primeira ordem da função Fx é Fx 9x9x2 4 Questão 7 Dada a função Fx 2x 3 x2 5x Temos que ddx 2x 3 2 ddx x ddx 3 2 1 0 2 ddx x2 5x ddx x2 5 ddx x 2x 5 1 2x 5 Logo pela Regra do Produto temos que Fx ddx 2x 3 x2 5x ddx 2x 3 x2 5x 2x 3 ddx x2 5x 2 x2 5x 2x 3 2x 5 2x2 10x 4x2 16x 15 6x2 26x 15 Portanto a derivada de primeira ordem da função Fx é Fx 6x2 26x 15 Questão 8 Dada a função fx 5x³ Calculando a derivada de primeira ordem de fx temos fx ddx 5x³ ddx eln5x³ ddx ex³ ln5 Temos que ddx x³ ln5 ln5 ddx x³ ln5 3x² ddx ex ex Logo pela Regra da Cadeia temos que fx ddx ex³ ln5 ddx³ ln5 ex³ ln5 ddx x³ ln5 ex³ ln5 ln5 3x² eln5x³ 3 ln5x² 5x³ 3 ln5x² Portanto a derivada de primeira ordem da função fx é fx 3 ln5x² 5x³ Questão 9 Dada a função y sencos2x² Temos que ddx 2x² 2 ddx x² 2 2x 4x ddx cosx senx ddx senx cosx Logo pela Regra da Cadeia temos que ddx cos2x² dd 2x² cos2x² ddx 2x² sen2x² 4x 4x sen2x² y ddx sencos2x² dd cos2x² sencos2x² ddx cos2x² coscos2x² 4x sen2x² Portanto a derivada de primeira ordem da função y é y 4x coscos2x² sen2x² Questão 10 a Observando o gráfico da função 𝑓 𝑥 notamos que lim 𝑥1 𝑓 𝑥 2 lim 𝑥1 𝑓 𝑥 0 Como os limites laterais são diferentes temos que o limite da função 𝑓 𝑥 em 𝑥 1 não existe b Observando o gráfico da função 𝑔𝑥 notamos que 𝑓 1 1 c Para que uma função seja contínua em um ponto é necessário que o limite da função neste ponto exista e seja igual ao valor da função neste ponto Como o limite da função 𝑓 𝑥 em 𝑥 1 não existe temos que a função 𝑓 𝑥 não é contínua em 𝑥 1 possuindo uma descontinuidade de salto neste ponto Questão 11 Dada a função fx x² 5 se x 5 5x se x 5 a Calculando o limite lateral à esquerda de fx em x 5 temos lim x5 fx lim x5 x² 5 5² 5 25 5 20 b Calculando o limite lateral à direita de fx em x 5 temos lim x5 fx lim x5 5x 5 5 25 c Para x 5 temos que f5 5 5 25 d Como os limites laterais são diferentes temos que o limite da função fx em x 5 não existe Para que uma função seja contínua em um ponto é necessário que o limite da função neste ponto exista e seja igual ao valor da função neste ponto Logo a função fx não é contínua em x 5 possuindo uma descontinuidade de salto neste ponto Questão 12 Dada a função fx x2 64 x2 11x 24 se x 8 5 se x 8 Calculando o limite de fx em x 0 temos lim x0 fx lim x0 x2 64 x2 11x 24 02 64 02 110 24 64 24 16 6 8 3 Para x 0 temos que f0 02 64 02 110 24 64 24 16 6 8 3 Como o limite da função fx em x 0 existe e é igual ao valor da função neste ponto temos que a função fx é contínua em x 0 Portanto a alternativa correta é a fx é contínua em x 0 Questão 13 Calculando o limite dado temos lim h0 1 h4 1 h lim h0 1 h22 12 h lim h0 1 h2 11 h2 1 h lim h0 1 2h h2 11 2h h2 1 h lim h0 2 2h h22h h2 h lim h0 2 2h h22 h 2 20 022 0 22 4 Portanto o limite dado é lim h0 1 h4 1 h 4 Questão 14 Calculando o limite dado temos lim x0 x2 4x 3 x2 lim x0 1 4x 3x2 Individualmente temos que lim x0 1 1 lim x0 4x 40 lim x0 4x 40 lim x0 3x2 Para um valor de x suficientemente próximo de 0 temos que o termo 3x2 é maior que o termo 4x Portanto o limite dado é lim x0 x2 4x 3 x2 Questão 15 A derivação de uma função em um ponto é taxa de variação instantânea da função neste ponto Dentre as diversas aplicações da derivada temos a relação entre as funções posição velocidade e aceleração de um corpo em movimento Dada a função posição 𝑠𝑡 de um corpo em movimento em relação ao tempo a derivada de primeira ordem desta função é a função velocidade 𝑣𝑡 do corpo isto é 𝑣𝑡 𝑠𝑡 𝑑𝑠 𝑑𝑡 e a derivada de primeira ordem da função velocidade em relação ao tempo é a função aceleração 𝑎𝑡 do corpo isto é 𝑎𝑡 𝑣𝑡 𝑑𝑣 𝑑𝑡 𝑑2𝑠 𝑑𝑡2 Além disso podemos continuar a realizar derivações de ordem superior obtendo outras funções como a função arrancada jerk dada por 𝑗𝑡 𝑎𝑡 𝑑𝑎 𝑑𝑡 𝑑2𝑣 𝑑𝑡2 𝑑3𝑠 𝑑𝑡3