Lista de Exercícios de Cálculo Diferencial e Integral II - 1º Semestre de 2023

MAT039 Calculo Diferencial e Integral II 1 Semestre de 2023 1 Lista de Exercicios Notagao log x log x sinx senx e tanz tg Exercicio 1 Verifique se as sequéncias definidas pelos seguintes termos gerais convergem e caso convirjam calcule seus limites 1 1 1 n a sin b sinn c nsin d n n n n e log n nT log n ce f 28 hy 22 n n 8 cos n1 log 2n 4 n 1 1 i Tao j since k ntan 1 n1 cos Exercicio 2 Prove que a sequéncia de termo geral n41 V2an onde ag V2 écrescente e limitada superiormente Calcule o limite desta sequéncia Exercicio 3 Calcule o limite das sequéncias de termo geral yitatgt ta p DEMS WE V5 a 2 n n Exercicio 4 a Dé um exemplo de duas sequéncias ann e bnn divergentes tais que a sequéncia an bnn convergente b Dé um exemplo de duas sequéncias an n e bn n tais que namo nbn Tan an Hab Exercicio 5 Para quais valores de r R a sequéncia r converge 1 Exercicio 6 Suponha que para todo k N temos ax 09 e considere a sequéncia de termo geral La k Sn S 10k k0 A sequéncia s 6 convergente ou divergente Justifique Exercicio 7 Seja t 11 Mostre que n gntl k0 7 Conclua que a sequéncia de termo geral n k0 converge e calcule o seu limite Exercicio 8 Justifique porque as sequéncias dadas pelos seguintes termos gerais convergem 1 1 1 1 a cosn 75 Vp a k1 k1 k0 sin n 1 d z dx e sin ax 1 v 1 x Exercicio 9 Sejam a e ag dois numeros reais positivos Consideremos a sequéncia de termo geral 1 a antl z an 2 An Mostre que se n 1 valem a a2 a b n4i Gn a a cO0a a 4n1 Gn1 9n 1 ay Conclua que o limite lim an n00 existe e calculeo 2 Exercicio 10 a Explique o que é uma série telescépica Dé um exemplo de uma série telescépica divergente b Dé um exemplo de uma sequéncia ann decrescente e com ay 0 tal que a série alternada 00 dren n0 é divergente Exercicio 11 Verifique quais das séries abaixo séo convergentes sem necessariamente calcular o limite 00 1 00 1 a ge onde a 01 b ep k1 k1 00 1 00 en a Vs k0 n1 lo 2 00 n n24 nlogn n1 n2 00 n o T 8 5 71 d h sinna 5 g a cos xdx ys log In n1 n2 00 00 4 1 i inp ope ppRt 19 ay 2k 13 Exercicio 12 Calcule o limite das séries coo 1 coo k it 1 Soe GEE GETS dls EG k0 k3 00 1 k2 3 Exercicio 13 Deduza que usando a férmula do Exercicio 7 a seguinte formula 1 nl pp ppp pry lr lr para todo r 11 Lembremos também que para a 01 vale el dzr log1a la al Verifique que n k n1 log1 1 me of toa a dU kl nl k1 Note que disso segue que para a 01 temos k1 a log1 1 og1 a So1h15 k1 Exercicio 14 Leonhard Euler calculou as seguintes séries sz e n2 6 n 90 n1 n1 Use estes resultados para calcular as seguintes séries c00 1 c00 1 a mnie b aap n3 n 1 n3 2n 00 coo 4 1 1 9 Goa 01 fast G n 2 Ln1 n 4 Exercicio 15 Enuncie o critério da integral Use o critério da integral para verificar a convergéncia da série ss klogk log log k Exercicio 16 Enuncie o critério da comparacao Use o critério da comparacao para verificar se a série co 11 sin k k k1 é convergente Lembre que sinx x se x 0 5 Exercicio 17 Enuncie o critério do limite Use o critério do limite para verificar se a série 00 Ye logk han 08 é convergente Exercicio 18 Enuncie o critério da raiz Use o critério da raiz para verificar se a série 00 S 2k6 5k 2 k0 é convergente Exercicio 19 Discuta se a série 00 S 1 logk kag 08 é convergente divergente absolutamente convergente e condicionalmente convergente 5 Exercicio 20 Verifique quais das séries abaixo séo convergentes sem necessariamente calcular o limite 00 00 2 a yd bd WYas n1 k3 00 3 00 k 3 5 weere 0 345 oh logk 1 s n 1 x cos3n a f eee tne n VTE Brlogn n1 n2 00 k k 00 1 ca h ram k0 n1 coo 1 logn coo k k 21 1 sen i 221 n2 k1 6