Lista de Exercícios sobre Séries de Potências e Limites

MAT039 Calculo Diferencial e Integral IT 2 Semestre de 2022 2 Lista de Exercicios Exercicio 1 Considere uma série de poténcias 00 S Anx xo n0 onde a 0 para todo n p onde p é um natural fixo Nesta situacao o raio de convergéncia da série pode ser calculado pelo limite R lim n0o An1 desde que este limite exista seja ele finito ou infinito Isto 6 uma consequéncia direta do teste da razao Calcule o raio de convergéncia das seguinte séries 00 k 00 x 6 kik b So1ka k1 k1 00 k 00 k x x c d 2k k5k k0 k1 x 4 log n 2 login way ss f ot a n2 n2 00 00 g So b2 b0 h Son n0 n1 SS Sock LL ig i Eps n0 k0 Exercicio 2 As funcoes sinxz e cosx podem ser escritas como série de poténcias com raio de convergéncia infinito Ache a série de poténcias destas fungdes em torno de 0 1 Exercicio 3 A fungao 4 x xr é representada por uma série de poténcias ache essa séries de poténcias e seu raio de convergéncia Exercicio 4 Mostre que a funcao f R R definida por 00 1x Lr satisfaz a equacao diferencial fx fx 0 Exercicio 5 A fungao 1 O TT e é representada por uma série de poténcias no intervalo 11 Ache esta série de poténcias Depois ache a série de potencias que representa a funcao 5 x MO Te Exercicio 6 Calcule os limites e 12 lim a paar x2 b lim 2cosx 2 a xr0 xt log1 c Tim 8G 2 2 xr0 ye logl2r d lim logl e eto xr0 tie 2 Exercicio 7 Definimos as fungoes seno hiperbélico e coseno hiperbdlico por e e ee sinh e cosha 2 2 Calcule suas séries de Taylor em torno de 0 Exercicio 8 Diremos que um polinémio px de ordem é uma aproximacao de ordem k de uma fungao continua fz para x pequeno se o limite x px im 2 Pla x0 x 1 existe e é finito Neste caso diremos que fx px No Exercicio 6 foi visto que e1ae log12 Use isto para mostrar que lal1l4ra Exercicio 9 Na teoria da relatividade especial a massa m de um objeto se movendo com velocidade v é o n J1 vc onde mp a massa do objeto em repouso e c é a velocidade da luz Neste caso a energia cinética é dada por K m mc Ja a energia cinética na fisica classica é calculada como 2 MoU C 2 Use o Exercicio 8 para mostrar que K C quando a velocidade v é pequena comparada com a velocidade da luz 3 Exercicio 10 A fungao definida por 1x A 0 e se re 6 se x 0 possui todas as derivadas Calcule a série de Taylor de fz em x 0 Dica use que k y y kl e Para concluir que se x 4 0 entao 1x e Exercicio 11 Escreva uma curva parametrizada 0 1 R que passa por todos os pontos xy que satisfazem a equacao ry1P4 Exercicio 12 Escreva uma curva parametrizada 0 1 R que passa por todos os pontos xy que satisfazem a equacao 2 2 a atpok paraaOeb0 Esboce a imagem desta curva O que acontece com esta imagem quando o valor de b varia Exercicio 13 Seja r um numero real positivo Considere uma fungao F J R derivavel e tal que Ft r para todo t I Prove que dF Fit t 0 AE k1 Dados dois pontos v w R sao ditos ortogonais se S URW 0 k1 4 Note que isto significa que a condicgao Ft r implica que para todo t J temos que os vetores Ft e S4 sio ortogonais Exercicio 14 Suponha que a fungao f J R satisfaz ft 4 0 para todo t I Deste modo podemos definir 7 J R por t Tt St FI Assume que f é derivavel Prove que a Tt e sao ortogonais para todo t I b A derivada de f satisfaz df dr dil fll t t t tTt Tt LOIS Sore Exercicio 15 Calcule o comprimento das curvas dadas a t2t1t1 te 12 2t 9 b yt 44 1 t 14 c yt ecostesinte t 01 d yt 1costtsint t 07 Exercicio 16 Ache a equacéo em coordenadas polares para as curvas representadas pelas equacoes a a y 7 b 1 c y v3 d a y by e y 22 5 Exercicio 17 Ache a area delimitada pelas curvas dadas em coordenadas polares a r vsin20 para 6 0 5 b r 2 cos para 0 57 cr4 3sin6 para 0 5 5 d r Vlog para 1 27 Exercicio 18 Uma curva parametrizada em coordenadas polares é uma curva ab R onde 0 ba 27 da forma 0 x y r0 cos 6 r0 sin 8 Note que dx 2 dy 2 ra2 Ge ay Ilr GO F d 2 d 2 alr COs 0 Gr sin dr 2 Assim o comprimento do arco L da curca y é dada pela equacao b L f vae dr 2 2 720 2 ae Usando isto calcule o comprimento de arco quando as curvas sao a r 1sin com extremos a 0 e b 27 b r0 e com extremos a 0 e b 2z c r0 2cos com extremos a 0 e b7 d r0 6 com extremos a 0 e b 2r 6