Estatística Básica - Probabilidade e Fenômenos Aleatórios

ESTATÍSTICA BÁSICA Probabilidade associada a jogos de azar ao cálculo de seguros de cargas fenícios no século XVII 𝑒𝑡𝑐 Características de um jogo de azar 𝑖𝑛𝑐𝑒𝑟𝑡𝑒𝑧𝑎 e 𝑟𝑒𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 Consigo encontrar uma fórmula para ganhar sempre Fenômeno aleatório todo acontecimento ou situação cujos resultados não podem ser previstos com certeza Definiçõesiniciais Espaço amostral conjunto de todos os resultados possíveis de um experimentofenômeno aleatório Notação 𝑺 ou Omega Exemplos 𝑎 Altura dos alunos da FZEA 𝑆 𝑥 ℝ 140 𝑥 210 𝑏Face superior de um dado não viciado 𝑆 12 3 4 5 6 Evento qualquer subconjunto do espaço amostral Exemplos 𝐴 altura dos alunos da turma 2024 de Gestão de Qualidade e Sustentabilidade 𝐴 𝑎 ℝ 140 𝑎 19 𝐵 a face superior do dado é um número primo 𝐵 1 2 3 5 Notação ideal o evento é nomeado por uma letra maiúscula e os seus elementos por letras minúsculas Um evento genérico tem a nota ção X 𝑥1 𝑥2 𝑥𝑛 Exemplo O experimento aleatório envolvendo o lançamento de um dado tem um espaço amostral 𝑆 1 2 3 4 5 6 Alguns eventos 𝐴 a face superior é um número par 𝐴 2 4 6 𝐵 a face superior é um número primo 𝐵 1 2 35 𝐶 a face superior é um múltiplo de três 𝐶 3 6 Vamos conhecer algumas operações comeventos A união dos eventos 𝐴 e 𝐵 é um novo evento denotado por 𝐴 𝐵 formado pelos elementos que são de 𝐴 de 𝐵 ou de ambos Exemplo 𝐴 𝐵 1 2 3 4 5 6 𝐷 face par ou um númeroprimo 𝐴 𝐶 2 3 4 6 𝐸 face par ou múltiplo detrês 𝐵 𝐶 1 2 3 5 6 𝐹 número primo ou múltiplo de três A intersecção dos eventos 𝐴 e 𝐵 é um novo evento denotado por 𝐴 𝐵 formado pelos elementos que são de 𝐴 e de 𝐵 simultanea mente Exemplo 𝐴 𝐵 2 𝐺 face par e número primo 𝐴 𝐶 6 𝐻 face par e múltiplo de três 𝐵 𝐶 3 𝐼 número primo e múltiplo de três O complementar do evento 𝐴 em relação ao espaço amostral é um novo evento denotado por 𝐴𝑐 formado por todos os elementos que não são de 𝐴 Exemplo 𝐴𝑐 1 3 5 𝐽 face ímpar 𝐵𝑐 4 6 L face não é um número primo 𝐶𝑐 1 2 4 5 M face não é múltiplo de três A diferença entre os eventos 𝐴 e 𝐵 é um novo evento 𝐴𝐵 for mado pelos elementos de 𝐴 que não pertencem a 𝐵 Exemplo 𝐴 𝐵 4 6 N face par mas não é númeroprimo B A 1 3 5 face ímpar mas não é par face ímpar A C 2 4 face par mas não é múltiplo de três B C 1 2 5 face é número primo mas não é múltiplo de três Dois eventos A e B são chamados mutuamente exclusivos ou disjuntos se não têm pontos amostrais comuns ou seja se A B Exemplo A B 2 Ø A C 6 Ø e B C 3 Ø A e B A e C B e C não são eventos mutuamente exclusivos Dois eventosA e B são chamados complementares se juntosuni dos formarem o espaço amostral ou seja 𝐴 𝐵 S Exemplo 𝐴 𝐵 1 2 3 4 5 6 𝑆 𝐴 e 𝐵 são eventos com plementares ou seja 𝑆 é formado por números pares ou primos Para visualizar as operações entre eventos usamos os Diagramas de Venn AB AB 𝐀𝑐 PROBABILIDADE Definição clássica Suponha que um evento A possa ocorrer de k maneiras diferentes num total de n maneiras possíveis e igualmente prováveis Então a probabilidade de ocorrência do evento A é kn definida como a frequência relativa do evento A Definição moderna axiomática Uma função é denominada probabilidade se satisfaz as condições i 0 PA 1 para evento A Ω ii P Ω 1 iii P ¹ⱼ₁ Aⱼ ¹ⱼ₁ PAⱼ quando os Aⱼs disjuntos Podemos atribuir probabilidades aos eventos com base em Características teóricas da realização do fenômeno Exemplo a probabilidade de ocorrer uma das faces no lançamento de um dado é 16 no lançamento de uma moeda Pcara Pcoroa 12 Frequência relativa observada do evento em diversas repetições do fenômeno em que pode ocorrer o evento de interesse Exemplo acompanhar diversos partos para calcular a probabilidade de o primeiro leitão nascido vivo ser uma fêmea Probabilidade da união de eventos Sejam 𝐴 e 𝐵 dois eventos de 𝑆 A probabilidade de ocorrência do evento 𝐴 ou 𝐵 é P𝐴 𝐵 P𝐴 P𝐵 P𝐴 𝐵 Exemplo Usando os eventos do exemplo dos dados temos P𝐴 12 P𝐵 23 e P𝐴 𝐵 16 Então P𝐴 𝐵 P𝐴 P𝐵 P𝐴 𝐵 1 2 1 341 2 3 6 6 1 Confirmando a afirmação que 𝐴 e 𝐵 são eventos exaustivos Probabilidade condicional Situação O fenômeno aleatório acontece em etapas e a informação do que ocorreu em uma etapa pode influenciar na probabilidade de ocorrências em outras etapas Exemplo A probabilidade de ganhar na megasena com um jogo sim ples é 150063860 000000002 Essa probabilidade pode au mentar se eu souber que a aposta vencedora é do estado de São Pau lo de Pirassununga da lotérica da avenida Definição 41 Para dois eventos 𝐴 e 𝐵 com P𝐵 0 a probabili dade do evento 𝐴 ocorrer dado que o evento 𝐵 já ocorreu ou a pro babilidade condicional de 𝐴 dado 𝐵 é definida por 𝑃𝐴𝐵 𝑃𝐵 P𝐴𝐵 com P𝐵 0 Perceba que A ocorrência do evento 𝐵 diminui o espa ço amostral e a probabilidade de 𝐴 é cal culada neste novo espaço amostral Sempre que os eventos 𝐴 e 𝐵 não são disjuntos 𝐴 𝐵 Φ a ocorrência de 𝐵 altera a probabilidade de ocorrência do evento A Um evento 𝐵 é dito independente do evento 𝐴 se a probabilidade de 𝐵 ocorrer não é influenciada pelo fato de 𝐴 já ter ocorrido isto é 𝐴 é independente de 𝐵 P 𝐵 P 𝐵𝐴 ou P 𝐴 P 𝐴𝐵 Usando a fórmula da probabilidade condicional podemos calcular a probabilidade de ocorrência simultânea de dois eventos 𝑃𝐴𝐵 𝑃𝐵 P𝐴𝐵 P𝐴 𝐵 P𝐵P𝐴𝐵 ou P𝐴 𝐵 P𝐵 𝐴 P𝐴P𝐵𝐴 Se A e B são dois eventos independentes a fórmula simplifica para P𝐴 𝐵 P𝐴P𝐵𝐴 P𝐴P𝐵 Vamos calcular algumas probabilidades com base em um estudo en volvendo 1000 estudantes de Santos classificados pela área de estudo e a classe socioeconômica da sua família Dados fictícios sobre a área de estudo e a classe sócio econômica de 1000 estudantes de Santos Área Classe socioeconômica Total Alta Média Baixa Exatas 120 156 68 344 Humanas 72 85 112 269 Biológicas 169 145 73 387 Total 361 386 253 1000 Determine a probabilidade de um estudante escolhido ao acaso a Ser da classe econômica mais alta bEstudar na área de exatas c Estudar na área de humanas e ser da classe média 16 dSer da classe baixa sabendose que estuda na área de biológicas e Ser da classe média ou estudar na área de exatas f Estudar na área de exatas sabendose que é da classe alta g Será que a escolha de um estudante de Pirassununga pela área de Exatas depende da classe socioeconômica E a escolha pela área de Humanas E pela área de Biológicas Solução a PAlta 3611000 0361 b PExatas 3441000 0344 c PHumanas Média 851000 0085 d PBaixa Biológicas 73387 0189 17 e PMédia Exatas 386 344 156 1000 1000 1000 0574 f PExatas Alta 120 361 0332 g PExatasAlta 0332 PExatasMédia 156 386 0404 PExatasBaixa 68 253 0269 PExatas 0344 concluímos que a escolha pela área de Exatas depende da clas se socioeconômica do estudante O mesmo acontece com as áreas de Humanas e Biológicas veri fique Consideremos três baias da granja de suínos com as características Baia 1 tem 10 leitões 4 dos quais já foram vacinados Baia 2 tem 6 leitões 1 dos quais já foivacinado Baia 3 tem 8 leitões 3 dos quais já foramvacinados O experimento consiste de duas etapas sortear uma das três baias e desta baia escolhida sortear um leitão Perguntase 𝑎 Qual é a probabilidade deste leitão sorteado já estarvacinado 𝑏 Qual é a probabilidade deste leitão sorteado ser da baia 1 saben dose que ele já foi vacinado E da baia 2 E da baia3 𝐷𝑖𝑐𝑎 Construir um diagrama de árvore Evento Probabilidade 1V 13410 48360 01333 1N 13610 72360 02000 2V 1316 20360 00556 2N 1356 100360 02778 3V 1338 45360 01250 3N 1358 75360 02083 𝑎 P1V P1PV1 13410 48360 01333 PV P1V P2V P3V PV 13410 1316 1338 113360 PV 03139 e PN 1PV 06861 24 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 Note que PV 8 𝑣𝑎𝑐𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑠 03333 porque o ensaio érea lizado em duas fases e as baias têm números diferentes de leitões 𝑏 P1𝑉 𝑃1𝑉 48360 48 𝑃𝑉 𝑃2𝑉 04248 P2𝑉 113360 113 20360 20 𝑃𝑉 113360 113 01770 P3𝑉 𝑃3𝑉 45360 45 𝑃𝑉 113360 113 03982 Esta forma de resolver o item b está associada ao Teorema de Bayes que será conhecido com detalhes a seguir O teorema mostra como alterar as probabilidades a 𝑝𝑟𝑖𝑜𝑟𝑖 tendoem vista novas evidências para obter probabilidades a 𝑝𝑜𝑠𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑖 Consideremos três baias da granja de suínos com as características Baia 1 tem 10 leitões 4 dos quais já foram vacinados Baia 2 tem 6 leitões 1 dos quais já foivacinado Baia 3 tem 8 leitões 3 dos quais já foramvacinados O experimento consiste de duas etapas sortear uma das três baias e desta baia escolhida sortear um leitão Perguntase 𝑎 Qual é a probabilidade deste leitão sorteado já estarvacinado 𝑏 Qual é a probabilidade deste leitão sorteado ser da baia 1 saben dose que ele já foi vacinado E da baia 2 E da baia3 𝐷𝑖𝑐𝑎 Construir um diagrama de árvore Evento Probabilidade 1V 13410 48360 01333 1N 13610 72360 02000 2V 1316 20360 00556 2N 1356 100360 02778 3V 1338 45360 01250 3N 1358 75360 02083 𝑎 Já sabemos que 𝑃𝑉 03139 e 𝑃𝑁 1 𝑃𝑉 06861 Para resolver o item 𝑏 vamos usar o Teorema de Bayes queserá apresentado a seguir TEOREMA DEBAYES Suponhamos que os eventos 𝐴1 𝐴2 𝐴𝑘 formem uma partição do espaço amostral S isto é 𝐴1 𝐴2 𝐴𝑘 𝑆 e 𝐴𝑖 𝐴𝑗 para 𝑖 𝑗 Os eventos 𝐴𝑖 são mutuamente exclusivos e exaustivos Seja 𝐵 outro evento qualquer Então 𝐵 𝐵 𝑆 𝐵 𝐴1 𝐴2 𝐴𝑘 𝐵 𝐴1𝐵 𝐴2𝐵 𝐴𝑘 Note que os eventos 𝐵 𝐴𝑖 para 𝑖 1 2𝑘 também são mutuamente exclusivos Consequentemente temos que 𝑃𝐵 𝑃𝐵 𝐴1 𝑃𝐵 𝐴2 𝑃𝐵 𝐴𝑘 Pelo Teorema da Multiplicação 𝑃𝐵 𝐴𝑖 𝑃𝐴𝑖𝑃𝐵𝐴𝑖 então 𝑃𝐵 𝑃𝐴1𝑃𝐵𝐴1 𝑃𝐴2𝑃𝐵𝐴2 𝑃𝐴𝑘𝑃𝐵𝐴𝑘 No Exemplo 42 vamos calcular 𝑃1𝑉 a probabilidade de o leitão sorteado ser da baia 1 sabendo que ele já foi vacinado 𝑃1𝑉 𝑃1𝑉 𝑃1𝑃𝑉1 13410 48 𝑃𝑉 𝑃𝑉 113360 113 04248 Portanto sabendo que o leitão escolhido está vacinado a probabili dade dele ter sido escolhido da baia 1 é igual a 04248 De maneira análoga calculamos também as probabilidades de o lei tão ser da baia 2 ou da baia 3 já sabendo que ele está vacinado 𝑃2𝑉 20 45 113 113 01770 𝑃3𝑉 03982 Vale lembrar que inicialmenteantesde sabermos que o leitão estava vacinado 𝑃1 𝑃2 𝑃3 13 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS Os recursos disponíveis para o estudo e análise das variáveis quan titativas são mais ricos e numerosos Inicialmente vamos estudar al gumas características importantes de uma 𝑣 𝑎 discreta Definição 54 Dada uma variável aleatória discreta 𝑋 assumindo os valores 𝑥1 𝑥𝑛 com as respectivas probabilidades 𝑝1 𝑝𝑛 cha mamos de média ou esperança matemática da va 𝑋 o valor numé rico calculado por 𝐸𝑋 𝑛 𝑥𝑖 𝑃X 𝑥𝑖 𝑛 𝑥𝑖 𝑝𝑖 𝜇 𝑖1 𝑖1 Chamamos de variância da va 𝑋 o valor calculado pela fórmula 𝑖1 𝑣𝑎𝑟𝑋 𝑛 𝑥𝑖 𝐸𝑋2 𝑝𝑖 𝜎2 A variância 𝜎2 também pode ser calculadacomo 𝑣𝑎𝑟𝑋 𝐸𝑋2 𝐸𝑋2 𝐸𝑋2 𝜇2 em que 𝐸𝑋2 𝑛 𝑥2𝑃X 𝑥𝑖 𝑛 𝑥2 𝑝𝑖 𝑖1 𝑖 𝑖1 𝑖 O desvio padrão da vaX é calculadocomo a raiz quadra da variância ou seja 𝐷𝑃X 𝑣𝑎𝑟𝑋 𝜎 A tabela formada pelos valores da va 𝑋 e suas respectivas probabi lidades é chamada distribuição de probabilidades da va 𝑿 𝑥𝑖 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥𝑛 𝑃𝑋 𝑥𝑖 𝑝1 𝑝2 𝑝3 𝑝𝑛 𝑖1 Note que numa distribuição de probabilidades 𝑛 𝑝𝑖 1 Algumas propriedades da esperança matemática Se somarmos uma constante 𝑘 a todos os valores da va 𝑋 sua mé dia fica aumentada pela constante mas a variância e o desvio pa drão não serão alterados 𝑖 𝐸𝑋 𝑘 𝐸𝑋 𝑘 𝑖𝑖 𝑣𝑎𝑟𝑘 𝑋 𝑣𝑎𝑟𝑋 𝑖𝑖𝑖 𝐷𝑃𝑘 𝑋 𝐷𝑃𝑋 Se multiplicarmos por uma constante 𝑘 todos os valores da va 𝑋 sua média e seu desvio padrão ficarão multiplicados pela constante e sua variância pelo quadrado da constante 𝑖𝑣 𝐸𝑘𝑋 𝑘𝐸𝑋 𝑣 𝑣𝑎𝑟𝑘𝑋 𝑘2𝑣𝑎𝑟𝑋 𝑣𝑖 𝐷𝑃𝑘𝑋 𝑘 𝐷𝑃𝑋 Exemplo 51 Em um piquete com dois bezerros Gir G e três Nelo res N foram sorteados sem reposição dois animais para serem submetidos a um tratamento com carrapaticida Espaço amostral é S GG GN NG NN Variável aleatória 𝑋 número se bezerros Gir na amostra Evento Probabilidade GG 2514 110 GN 2534 310 NG 3524 310 NN 3524 310 A distribuição de probabilidades de 𝑋 número se bezerros Gir na amostra fica 𝑥 0 1 2 𝑃𝑋 𝑥 03 06 01 Neste caso 𝐸𝑋 031016102110 810 08 bezerros 𝐸𝑋2 02310 12610 22110 10 𝑉𝑎𝑟𝑋 𝐸𝑋2 𝐸𝑋2 10 082 036 bezerros2 𝐷𝑃𝑋 𝑉𝑎𝑟𝑋 036 06 bezerros MAGALHÃES MA e LIMA ACP 2008 Na construção de certo prédio as fundações devem atingir 15 metros de profundi dade e para cada 5 metros de estacas colocadas o operador anota se houve alteração no ritmo de perfuração previamente estabeleci do Essa alteração resulta de mudanças para mais ou para menos na resistência do subsolo e quando ocorrem atingem a perfuração de todas as estacas Se ocorrer alguma alteração aos 5 ou a 10 metros de profundidade serão necessárias medidas corretivas que encare cerão a obra Com base em avaliações geológicas feitas no terreno admitese que a probabilidade de ocorrência de alterações é de 010 para cada 5 metros O custo básico inicial da obra é de 100 UPC unidade padrão de cons trução e será acrescido de 50𝑘 em que 𝑘 representa o número de alterações observadas Admitindo que as alterações na perfuração ocorrem de forma inde pendente entre cada um dos intervalos de 5 metros perguntase Como se comporta a variável custo final da fundação Qual é o custo esperado da fundação Resolução Vamos trabalhar com 2 eventos 𝐴 ocorrência de alteração em cada intervalo de 5 metros 𝑁 não ocorrência de alteração Note que 𝑁 𝐴𝑐 é o evento complementar de 𝐴 Como 𝑃𝐴 010 𝑃𝑁 1 𝑃𝐴 090 Como o problema envolve o estudo de ocorrência de alteração em três etapas início 5 𝑚 e 10 𝑚 vamos organizálo num diagrama de árvore de probabilidades Evento Probabilidade 010 A AAA 0103 0001 010 A 090 N AAN 0102 090 0009 010 A 010 A ANA 0102 090 0009 090 N 090 N ANN 010 0902 0081 010 A NAA 0102 090 0009 090 010 A 090 N NAN 010 0902 0081 N 010 A NNA 010 0902 0081 090 N 090 N NNN 0903 0729 Esse valor pode ser útil na elaboração de futuros orçamentos 15 Resumindo temos Número de alterações 0 1 2 3 Custo 100 150 200 250 Probabilidade 0729 0243 0027 0001 A distribuição de probabilidades da variável 𝐶 custo final da obra de fundação pode ser apresentada como 𝑐𝑖 100 150 200 250 𝑃𝐶 𝑐𝑖 0729 0243 0027 0001 O custo esperado custo médio da obra de fundação é igual a 𝐸𝐶 𝑖 𝑐𝑖𝑃𝐶 𝑐𝑖 1000729 2500001 115 UPCs 16 EXERCÍCIOS 1 Sejam A e B dois eventos em um espaço amostralcom 𝑃𝐴 02 𝑃𝐵 𝑝 𝑃𝐴 𝐵 05 e 𝑃𝐴 𝐵 01 Determine o valor de 𝑝 2Uma moeda é viciada de modo que a probabilidade de sair cara é 4 vezes maior que a de sair coroa Para dois lançamentos indepen dentes dessa moeda determinar a O espaço amostral do experimento bA probabilidade de sair somente uma cara nos dois lançamentos c A probabilidade de sair pelo menos uma cara nos dois lançamen tos dA probabilidade de sair dois resultados iguais nos dois lançamen tos 17 3 Em uma região a probabilidade de chuva em um dia qualquer de primavera é 010 Um meteorologista da rádio local acerta suas pre visões em 80 dos dias em que chove e em 90 dos dias em que não chove 𝐷𝑖𝑐𝑎 diagrama de árvore Evento Probabilidade 𝐶 𝐴 Acerta A Chove C Erra E 𝐶 𝐸 Acerta A 𝑁 𝐴 Não choveN Erra E 𝑁 𝐸 Pedese a Qual é a probabilidade de o meteorologista acertar uma previsão em um dia qualquer de primavera E de errar b Qual é a probabilidade de ter sido um dia de chuva sabendose que a previsão feita pelo meteorologista se confirmou 4 Historicamente sabese que um grande time paulista tem proba bilidade 055 de vitória em jogos do segundo turno do Campeonato Brasileiro realizados aos sábados Se este time atuar 4 vezes aos sá bados com a mesma escalação Pedese a A distribuição de probabilidades da va V número de vitórias aos sábados Calcular 𝐸𝑉 e 𝐷𝑃𝑉 b Calcule a probabilidade de que o time vença 𝑖 todas as partidas 𝑖𝑖 mais de duas partidas e 𝑖𝑖𝑖 no máximo uma partida 6 ALGUNS MODELOS PROBABILÍSTICOS PARA VARIÁVEIS ALEA TÓRIAS DISCRETAS Algumas variáveis aleatórias adaptamse muito bem a diversos pro blemas práticos e justificam um estudo mais detalhado de suas fun ções de probabilidades 61 O MODELO BINOMIAL Antes de apresentar o modelo binomial precisamos definir os ensa ios de Bernoulli Ensaios de Bernoulli são aqueles com somente dois resultados pos síveis sucesso e fracasso com 𝑃sucesso 𝑝 e 𝑃fracasso 1 𝑝 𝑞 Teorema 61 A probabilidade de ocorrência de 𝑘 sucessos em 𝑛 re petições independentes de um experimento de Bernoulli com 𝑝 𝑃sucesso é dada por 𝑘 𝑃𝑋 𝑘 𝑛 𝑝𝑘1 𝑝𝑛𝑘 para 𝑘 0 1 2 𝑛 𝑛 𝑛 onde 𝑘 𝑘𝑛𝑘 Podese provar que 𝐸𝑋 𝑛𝑝 e 𝑣𝑎𝑟𝑋 𝑛𝑝1𝑝 𝑛𝑝𝑞 Este modelo pode ser usado em estudos em que queremos calcular a probabilidade de se obter 𝑘 sucessos em 𝑛 repetições independen tes de um ensaio de Bernoulli em que a probabilidade de ocorrer um sucesso é constante e igual a 𝑝 Exemplo 62 Em uma baia encontramos 6 leitões Sabese que nes ta época do ano a probabilidade de um leitão estar doente é 040 e que a doença não é contagiosa Estamos interessados em estudar o número de leitões doentes na baia Resolução X número de leitões doentes e 𝑃leitão doente 𝑝 040 𝑋 𝐵𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑎𝑙𝑛6 𝑝040 A probabilidade de encontrarmos 𝑘 0 1 2 4 leitões doentes é calculada por 𝑘 𝑃𝑋 𝑘 6 040𝑘0606𝑘 para 𝑘 0 1 6 0 6 Por exemplo 𝑃X 0 04000606 0047 Calculando todas as probabilidades para 𝑘 0 1 6 construímos a seguinte tabela Distribuição de probabilidades da va 𝑋 𝐵𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑎𝑙6 040 𝑥 0 1 2 3 4 5 6 𝑃𝑋 𝑥 0047 0187 0311 0276 0138 0037 0004 Com base nesta distribuição podemos obter 𝐸𝑋 6040 240 leitões doentes 𝑣𝑎𝑟𝑋 6040060 144 leitões2 𝐷𝑃𝑋 144 12 leitões doentes Histograma da distribuição de probabilidades do número de leitões doentes A probabilidade de encontrarmos mais de 3 leitões doentes nesta baia é 𝑃𝑋 3 0138 0037 0004 0179 A probabilidade de encontrarmos até um leitão doente nesta baia é 𝑃𝑋 1 0047 0187 0234 04 03 02 01 0 0 1 2 3 4 5 6 Probabilidade Número de leitões doentes 62 O MODELO DE POISSON A distribuição de Poisson ou distribuição dos eventos raros é empre gada em problemas nos quais contamos o número de eventos de cer to tipo que ocorrem num intervalo de tempo de área ou de volume especificado Exemplos Número de carros que passam por um guichê do pedágio em in tervalos de 15 minutos Número de carros que atravessam um cruzamento por minuto Número de visitas que um bovino faz ao bebedouro por hora Número de alunos ativos em uma sala de aula virtual em interva los de 20 minutos 𝑒𝑡𝑐 Teorema Se uma va discreta X tem distribuição de Poisson com pa râmetro 0 então 𝑃X 𝑘 𝑒𝜆 𝜆𝑘 𝑘 para 𝑘 0 1 2 Podese provar que 𝐸X 𝑣𝑎𝑟X ou seja se os dados têmdis tribuição de Poisson os valores da média e da variância são iguais Exemplo 63 Uma região foi dividida em 20 quadrantes de 100m2e em cada quadrante foi contado o número de palmeiras Juçara pal mito resultando em Palmeirasquadrante 0 1 2 3 4 5 6 Frequência 3 6 5 4 1 0 1 Será que a distribuição de Poisson serve para explicar a distribuição das palmeiras Juçara nesta região Para usar a distribuição de Poisson precisamos conhecer o número médio de palmeirasquadrante Como não conhecemos seu valor vamos estimalo a partir dos dados obtidos 031661 38 19 palmeirasquadrante 20 20 A função de probabilidades da variável X pode ser escrita como 𝑒1919𝑘 𝑘 𝑃X 𝑘 para 𝑘 0 1 2 Usando esta fórmula podemos calcular por exemplo 𝑃𝑋 3 𝑒19193 3 01710 Distribuição de probabilidades do número de palmeirasquadrante 𝑘 0 1 2 3 4 5 6 de 6 PX𝑘 01496 02842 02700 01710 00812 00309 00098 00033 Para verificar a qualidade do ajuste podemos comparar os valores das frequências observadas e estimadas pelo modelo de Poisson em que 𝑓𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑑𝑎 20𝑃𝑋 𝑘 para 𝑘 0 1 2 3 Plantas 0 1 2 3 4 5 6 de 6 𝑓𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑑𝑎 3 6 5 4 1 0 1 0 𝑓𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑑𝑎 30 57 54 34 16 06 02 01 Comparando os valores observados e estimados notase um bom ajuste do modelo de Poisson aos dados Este modelo serve para explicar bem a distribuição de palmeiras Juçara na região O histograma seguinte serve para confirmar essa afirmação Histograma do número de palmeiras Juçara na região 7 6 5 4 3 2 1 0 0 1 2 3 4 5 Palmeirasquadrante 6 6 Frequência Observada Estimada Existem outros modelos probabilísticos para variáveis discretas como o modelo uniforme hipergeométrico geométrico 𝑒𝑡𝑐 Para mais detalhes consulte Magalhães MN Lima ACP Noções de Probabilidade e Estatística São Paulo EDUSP 2008 Cap 3 Montgomery DC Runger GC Estatística aplicada e probabilidade para engenheiros Rio de Janeiro LTC Editora 2012 Cap 3 e 4 EXERCÍCIOS 1 Um veterinário está estudando o índice de natalidade em suínos sujeitos à inseminação artificial Para tal coletou informações sobre o número de filhotes nascidos vivos em cada uma das 100 insemina ções realizadas com o mesmo reprodutor Os resultados são apre sentados a seguir Número 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Freqobs 1 6 7 23 26 21 12 3 1 0 Um estatístico afirmou que a variável 𝑁 número de filhotes nasci dos vivos poder ser estudada por um modelo binomial com parâme tros 𝑛 10 e 𝑝 𝑃𝑉𝑖𝑣𝑜 050 Com base nessas informações pedese a Calcule as probabilidades 𝑃𝑋 𝑘 para 𝑘 0 1 10 e o núme ro esperado de nascidos vivos em 100 inseminações b Compare as frequências observadas e as estimadas pelo modelo binomial e comente se a afirmação do estatístico é plausível 2 A aplicação de fundo anticorrosivo em chapas de aço de 1 m2 é fei ta mecanicamente e pode produzir defeitos pequenas bolhas na pintura Admitese que 𝑋 número de defeitos em uma chapa de aço tem distribuição de Poisson de média 1 defeitom2 Uma chapa é sorteada para ser inspecionada Qual é a probabilidade de encontrarmos nesta chapa a pelo menos um defeito b no máximo 2 defeitos c de 2 a 4 defeitos d mais de 3defeitos 7 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS Uma variável aleatória contínua é uma função que pode assumir in finitos valores num intervalo de números reais Associaremos a cada subintervalo do seu domínio uma probabilida de usando uma função densidade de probabilidade fdp Definição 1 Uma função 𝑓𝑥 definida para 𝑥𝑎 𝑏 é chamada de função densidade de probabilidade fdp se satisfaz as seguintes condições a 𝑓𝑥 é positiva para todo 𝑥 𝑎 𝑏 𝑏 b 𝑎 𝑓𝑥𝑑𝑥 1 ou seja a área sob a curva representativa de 𝑓𝑥 entre as abscissas 𝑎 e 𝑏 é igual a um Observe que a A função 𝑓𝑥 não define uma probabilidade b O que define uma probabilidade é o valor da integral de 𝑓𝑥 no in tervalo 𝑥1 𝑥2 por exemplo que coincide com a área da região sob a curva de 𝑓𝑥 o eixo das abscissas e os limites de integração c Para calcular a probabilidade da va X assumir valores entre 𝑥1 e 𝑥2 com 𝑥1 𝑥2 precisamos resolver 𝑃𝑥 X 𝑥 𝑥2𝑓𝑥𝑑𝑥 1 2 𝑥1 d 𝑃𝑋 𝑘 0 porque 𝑘 𝑓𝑥𝑑𝑥 𝐹𝑥𝑘 𝐹𝑘 𝐹𝑘 0 𝑘 𝑘 e Definimos a função distribuição acumulada da variável contínua 𝑋 com fdp 𝑓𝑥 por 𝐹𝑥 𝑃𝑋 𝑥 𝑓𝑧𝑑𝑧 𝑥 f Se X é uma va contínua definida no intervalo 𝑎 𝑏 e 𝑓𝑥 é sua fdpdefinimos 𝑏 𝐸X 𝑥 𝑓𝑥𝑑𝑥 𝑏 𝑣𝑎𝑟X 𝑥 𝐸𝑋2𝑓𝑥 𝑑𝑥 𝑎 𝑎 Exemplo 1 Dada a função 𝑓𝑥 2𝑥 𝑥0 1 pedese 𝑖 Verificar se 𝑓𝑥 é uma função densidade deprobabilidade 𝑓𝑥 é positiva para 𝑥0 1 0 0 1 2𝑥 𝑑𝑥 𝑥21 1 𝑖𝑖 Calcular 𝑃0 𝑋 05 e 𝑃02 𝑋 07 0 𝑃0 𝑋 05 𝑥205 025 02 𝑃02 𝑋 07 𝑥207 049 004 045 A seguir conheceremos os modelos Exponencial e Normal que são úteis e usados em diversas áreas de pesquisa Em cada caso precisaremos conhecer sua fdp seu gráfico sua média e variância e saber calcular probabilidades 8 ALGUNS MODELOS PROBABILÍSTICOS PARA V A CONTÍNUA 81 DISTRIBUIÇÃO UNIFORME É a distribuição de probabilidades de va contínuas mais simples sua fdp é constante e a probabilidade 𝑃𝑥1 𝑋 𝑥2 é proporcional ao tamanho do intervalo Definição 81 Dizemos que a va contínua 𝑋 tem distribuição unifor me no intervalo real 𝑎 𝑏 se a sua fdp for dadapor 1 𝑓𝑥 𝑏𝑎 Podese provar que 𝐹𝑥 𝑥 𝑏 para todo 𝑥 𝑎 𝑏 𝐸𝑋 𝑎𝑏 2 e 𝑏𝑎2 𝑣𝑎𝑟𝑋 12 Exemplo 1 Se 𝑋𝑈010 calcular 𝑃1 𝑋 3 e 𝑃2 𝑋 4 Para calcular as proba bilidades vamos usar a função de distribuição acumulada 𝐹𝑥 𝑥𝑎 𝑥0 𝑥 𝑏𝑎 100 10 10 10 𝑃1 𝑋 3 𝐹3 𝐹1 3 1 03 01 02 𝑃2 𝑋 4 𝐹4 𝐹2 4 2 04 02 02 10 10 Note que as probabilidades são iguais porque os intervalos de cál culo de ambas as probabilidades são iguais 82 A DISTRIBUIÇÃOEXPONENCIAL É usada para descrever o tempo de ocorrência de um evento Exem plo o tempo de vida de uma bateria de celular o tempo exigido para um técnico executar certa tarefa o tempo de chegada de um carro a um posto de pedágio 𝑒𝑡𝑐 Definição 82 Dizemos que a va contínua X definida para valores positivos tem distribuição 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 de parâmetro 0 se a sua fdp é dada por 𝑓𝑥 𝑒𝑥𝜆 1 1 𝜆 𝜆 𝑒𝑥𝑝𝑥𝜆 Podese provar que 𝐸𝑋 𝜆 e 𝑣𝑎𝑟𝑋𝜆2 f x 00 12 10 08 06 04 02 00 05 10 15 20 25 30 35 40 X Figura 81 Função densidade de probabilidade de 𝑋 𝑒𝑥𝑝 1 Noteque 𝑃0 𝑋 1 𝑃1 𝑋 2 𝑃2 𝑋 3 ou seja as probabilidades de ocorrência de 𝑋 em intervalos de mesmo tamanho serão menores quanto mais distantes da origem estiverem os seus limites Para calcular probabilidades de uma variável com distribuição expo nencial usamos a sua função distribuição acumulada 𝐹𝑥 𝑃𝑋 𝑥 1 𝑒𝑥𝜆 Exemplo Calcular a probabilidade da variável 𝑋 𝑒𝑥𝑝 𝜆 assumir um valor entre 𝑥1 e 𝑥2 𝑃𝑥1 𝑋 𝑥2 𝐹𝑥2 𝐹𝑥1 1 𝑒𝑥2𝜆 1 𝑒𝑥1𝜆 𝑒𝑥1𝜆 𝑒𝑥2𝜆 Exemplo 2 O tempo de carga em horas de um determinado tipo de bateria de celular é uma va T contínua com distribuição exponencial de média 50h Calcular a probabilidade de que o tempo de carga desta bateria dure entre 50 e 60 horas de uso 1 Resolução Se T 𝑒𝑥𝑝50 𝑓𝑡 50 𝑒𝑡50 𝐹𝑡 1 𝑒𝑡50 para qualquer 𝑡 0 Então 𝑃50 T 60 60 1 𝑒𝑡50 𝑑𝑡 𝐹60 𝐹50 50 50 𝑒5050 𝑒6050 𝑒1 𝑒12 03679 03012 00667 A chance de a carga desta bateria de celular durar entre 50 e 60 horas é de apenas 00667 83 O MODELO NORMAL ou deGauss A distribuição normal foi introduzida pelo matemático Abraham de Moivre 1733 e é uma das distribuições probabilísticas mais impor tantes da Estatística pois é usada para descrever inúmeros fenôme nos físicos biológicos e financeiros 𝑓𝑥 1 𝜎2 2 𝜎 Definição 83 Dizemos que a variável contínua X tem distribuição normal com parâmetros e 𝜎2 se a sua fdp é dada por 2 𝑒𝑥𝑝 1𝑥𝜇 para 𝑥 Podese provar que 𝐸X e 𝜎2 𝑣𝑎𝑟X Figura 83 Distribuição normal com média 𝜇 18 e variância 𝜎2 004 Características interessantes do gráfico da distribuição normal Tem a forma de um sino Tem uma assíntota horizontal 𝑓𝑥 0 É simétrico em relação ao pon to de abscissa 𝑥 𝜇 Como a curva é simétrica 𝑃𝑋 𝜇 𝑃𝑋 𝜇 05 𝑥 𝜇 é a abscissado ponto de máximo absoluto dafunção e coincide com a mediana da distribuição Os pontos de abscissas 𝑥1 𝜇 𝜎 e 𝑥2 𝜇 𝜎 são pontos de inflexão da função 𝑎 Médias diferentes e mesmo desvio padrão 𝑏 Desvios padrões diferentes e mesma média Figura 84 Distribuição normal com diferentes médias e variâncias Cálculo de probabilidades 𝑥2 Calcular 𝑃𝑥1 X 𝑥2 𝑥1 𝑓𝑥𝑑𝑥 é muitodifícil 𝑍 Para facilitar o cálculo de probabilidades precisamos usar a variá vel normal padronizada ou reduzida 𝑋𝜇 𝜎 que tem distribuição 𝑁0 1 Exemplo Para calcular 𝑃𝑥1 𝑋 𝑥2 devemos padronizar os li mites de integração e usar a Tábua 1 para calcular a probabilidade 𝑃𝑥1 𝑋 𝑥2 𝑃𝑧1 𝑍 𝑧2 Exemplo 4 Assumindo que o peso de frangos ao abate tem distribui ção normal de média 180 kg e desvio padrão igual a 014 kg calcular a probabilidade de encontrar um frango com peso 𝑎 superior a 180kg 𝑐 inferior a 170 kg 𝑒 superior a 210kg 𝑏 inferior a 190 kg 𝑑 entre 180 e 200kg 𝑓 entre 160 e 170kg a 𝑃𝑋 180 𝑃 𝑋180 180180 014 014 𝑃𝑍 0 050 014 b 𝑃𝑋 190 𝑃 𝑍 190180 𝑃𝑍 071 050 02611 07611 014 c 𝑃𝑋 170 𝑃 𝑍 170180 𝑃𝑍 071 050 02611 02389 d 𝑃180 𝑋 200 𝑃0 𝑍 143 04236 e 𝑃𝑋 210 𝑃𝑍 214 050 04838 00162 f 𝑃160 𝑋 170 𝑃143 𝑍 071 04236 02611 01625 Exemplo 5 Admitindo que a altura dos alunos de Estatística tem dis tribuição normal com média 𝜇 167𝑚 e desvio padrão 𝜎 008𝑚 calcule as seguintes probabilidades 𝑎 𝑃𝑋 167 𝑑 𝑃𝑋 150 𝑏 𝑃𝑋 180 𝑐 𝑃160 𝑋 175 𝑒 𝑃𝑋 185 84 APROXIMAÇÃO DA DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL PELA NORMAL Podemos usar a distribuição normal que é associada a variáveis con tínuas para calcular valores aproximados para as probabilidades da distribuição binomial que está associada a variáveis aleatórias dis cretas Exemplo 6 Uma moeda é lançada 10 vezes Seja X número de caras então a probabilidade exata de ocorrerem 7 caras ou mais é 𝑃𝑋 7 𝑃𝑋 7 𝑃𝑋 8 𝑃𝑋 9 𝑃𝑋 10 0 117 0044 0010 0001 0172 Podemos aproximar a distribuição da va X por uma distribuiçãonor mal de média 𝜇 𝑛𝑝 1005 5 e variância 𝜎2 𝑛𝑝1𝑝 100505 25 ou seja vamos usar a nova variável W 𝑁5 25 e calcular a proba bilidade 𝑃𝑋 7 𝑃𝑊 65 𝑃𝑍 0949 01711 que é um valor bem próximo da probabilidade exata calculada com a distribuição binomial 𝑘 PX 𝑘 0 0001 1 0010 2 0044 3 0117 4 0205 5 0246 6 0205 7 0117 8 0044 9 0010 10 0001 Figura 85 Aproximação da 𝐵𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑎𝑙10 05 pela 𝑁05 25 Observações importantes A aproximação de probabilidades da distribuição binomial pela distribuição normal será tanto melhor quanto maior for o valor de 𝑛 e mais próximo de 05 for o valor de 𝑝 𝑃𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑠𝑜 Quando o valor de 𝑛 for grande 𝑛 e o valor de 𝑝 for muito pequeno 𝑝 0 podemos obter melhores aproximações para probabilidades de uma 𝐵𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑎𝑙𝑛 𝑝 utilizando uma distribuição Poisson 𝑛𝑝