Conceitos e Aplicações da Função de Transferência em Sistemas de Controle Dinâmico

Sistema de Controle Dinâmico e Moderno Sistema de Controle Dinâmico e Moderno Função de Transferência A função de transferência de um sistema linear invariante no tempo é definida como sendo a razão entre a transformada de Laplace da saída Ys e a transformada de Laplace da entrada Xs de um dado sistema quando as condições iniciais são nulas H 𝑠 𝑌𝑠 𝑋𝑠 Hs é a função de transferência Ys a transformada de Laplace do sinal de saída e Xs a transformada de Laplace do sinal de entrada Sistema de Controle Dinâmico e Moderno Função de Transferência A aplicabilidade do conceito de Função de transferência é limitada a sistemas de equações diferenciais lineares invariantes no tempo LIT LIT são sistemas cujos parâmetros não são alterados com o tempo Nesses sistemas se a entrada for atrasada em T segundos a saída também será A FT de um sistema é um modelo matemático que constitui um método operacional para expressar a equação diferencial que relaciona a variável da saída à variável de entrada A FT é uma propriedade inerente ao sistema independentemente da magnitude e da natureza da função de entrada ou de excitação Inclui as unidades necessárias para relacionar a entrada à saída entretanto não fornece nenhuma informação relativa à estrutura física do sistema As FTs de diversos sistemas fisicamente diferentes podem ser idênticas Sistema de Controle Dinâmico e Moderno Função de Transferência Se FT de um sistema for conhecida a saída ou a resposta poderá ser estudada para várias entradas visando ao entendimento da natureza do sistema Se a FT de um sistema não for conhecida ela pode ser determinada experimentalmente com o auxílio de entradas conhecidas e do estudo das respectivas respostas do sistema Uma vez determinada a FT ela irá fornecer uma descrição completa das características dinâmicas do sistema independentemente de sua descrição física Sistema de Controle Dinâmico e Moderno Transformada de Laplace Sistema de Controle Dinâmico e Moderno Transformada de Laplace Sistema de Controle Dinâmico e Moderno 𝑣𝑅 𝑡 𝑅 𝑖𝑡 𝑉𝑅 𝑠 𝑅 𝐼𝑠 𝑣𝐶 𝑡 1 𝐶 න 𝑡 𝑖 𝑡 𝑑𝑡 𝑉𝑐 𝑠 𝐼 𝑠 𝐶𝑠 𝑣𝐶 0 𝑠 𝑣𝐿 𝑡 𝐿 𝑑𝑖𝑡 𝑑𝑡 𝑉𝐿 𝑠 𝐿𝑠𝐼 𝑠 𝑖 0 Transformada Inversa de Laplace Sistema de Controle Dinâmico e Moderno Exemplo 1 Para o circuito abaixo implementar a função de transferência 𝐻 𝑠 𝑉2𝑠 𝑉1𝑠 3𝑠 𝑠2 2𝑠 4 considere 𝑅 1𝑘Ω Sistema de Controle Dinâmico e Moderno Exemplo 1 𝐻 𝑠 𝑉2𝑠 𝑉1𝑠 3𝑠 𝑠2 2𝑠 4 𝑉2 𝑠 𝑠𝐿 1 𝐶𝑠 𝑠𝐿 1 𝐶𝑠 𝐿𝑠 𝐶𝑠 𝐿𝐶𝑠2 1 𝐶𝑠 𝐿𝑠 𝐶𝑠 𝐶𝑠 𝐿𝐶𝑠2 1 𝐿𝑠 𝐿𝐶𝑠2 1 𝑉1 𝑠 𝑅 𝐿𝑠 𝐿𝐶𝑠2 1 𝐻 𝑠 𝐿𝑠 𝐿𝐶𝑠2 1 𝑅 𝐿𝑠 𝐿𝐶𝑠2 1 sL 1 𝐶𝑠 Sistema de Controle Dinâmico e Moderno Exemplo 1 𝐻 𝑠 𝐿𝑠 𝐿𝐶𝑠2 1 𝑅 𝐿𝑠 𝐿𝐶𝑠2 1 𝐿𝑠 𝐿𝐶𝑠2 1 𝑅 𝐿𝐶𝑠21 𝐿𝑠 𝐿𝐶𝑠21 𝐿𝑠 𝐿𝐶𝑠2 1 𝐿𝐶𝑠21 𝑅 𝐿𝐶𝑠21 𝐿𝑠 𝐻 𝑠 𝐿𝑠 𝑅 𝐿𝐶𝑠21 𝐿𝑠 𝐿𝑠 𝑅𝐿𝐶𝑠2 𝑅 𝐿𝑠 𝐻 𝑠 3𝑠 1 4 𝑠22𝑠 4 1 4 𝐿𝑠 𝑅𝐿𝐶𝑠2 𝐿𝑠 𝑅 𝐻 𝑠 075 𝑠 025𝑠205𝑠 1 𝐿𝑠 1𝐿𝐶𝑠2 𝐿𝑠 1 Sistema de Controle Dinâmico e Moderno Exemplo 1 𝐿 𝐶 025 𝐿 05 𝐻 𝐶 05 𝐹 Sistema de Controle Dinâmico e Moderno Exemplo 2 Para o circuito abaixo determine a função de transferência 𝐻 𝑠 𝑉0𝑠 𝑉𝑖𝑠 𝐻 𝑠 1 106𝑠 100 106 𝑠 100 108 𝑠 106 𝑠 102 𝑠 108 106 𝑠 102 108 102104 𝑠 106 𝑠 104 ℎ 𝑡 106 𝑒104𝑡 𝑢𝑡 Sistema de Controle Dinâmico e Moderno Diagrama de Blocos Um sistema de controle pode ser constituído por certo número de componentes Para mostrar as funções desempenhadas por cada componente costumase usar uma representação pictórica representação por imagemgráfica chamada diagrama de blocos Ao contrário de uma representação matemática abstrata o diagrama tem a vantagem de indicar mais realisticamente os fluxos de sinal do sistema real e tratase de um método potente para a análise de sistemas YOUNKIN 2003 Resumindo Um diagrama de blocos de um sistema é a representação gráfica das funções desempenhadas por cada componente e do fluxo de sinais entre eles Sistema de Controle Dinâmico e Moderno Diagrama de Blocos objetivos Conhecer os elementos de um diagrama de blocos Interpretar um diagrama de blocos Identificar a presença de realimentação em sistemas de controle Compreender o efeito da realimentação na função de transferência de malha fechada Sistema de Controle Dinâmico e Moderno Diagrama em Blocos objetivos Bloco operacional ou dinâmico representa a função de transferência que multiplicada pela variável de entrada fornece uma variável de saída Sistema de Controle Dinâmico e Moderno Diagrama em Blocos objetivos Somador a variável de saída do somador é a soma algébrica de suas variáveis de entrada Sistema de Controle Dinâmico e Moderno Diagrama em Blocos objetivos Ramificação Sistema de Controle Dinâmico e Moderno Diagrama em Blocos simplificação Blocos em série correspondem a um bloco único e sua FT é o produto das funções de transferência dos blocos que o compõe Sistema de Controle Dinâmico e Moderno Diagrama em Blocos simplificação Blocos em paralelo correspondem a um bloco único e sua FT é a soma das funções de transferência dos blocos que o compõe Sistema de Controle Dinâmico e Moderno Diagrama em Blocos realimentação Redução de uma alimentação Sistema de Controle Dinâmico e Moderno Diagrama em Blocos realimentação Redução de uma alimentação Sistema de Controle Dinâmico e Moderno Diagrama em Blocos Álgebra de blocos 1 Movendo um bloco antes do ponto de derivação Sistema de Controle Dinâmico e Moderno Diagrama em Blocos Álgebra de blocos 2 Movendo um bloco para depois do ponto de derivação Sistema de Controle Dinâmico e Moderno Diagrama em Blocos Álgebra de blocos 3 Movendo um bloco para depois do ponto de soma Sistema de Controle Dinâmico e Moderno Diagrama em Blocos Álgebra de blocos 4 Movendo um bloco para antes do ponto de soma Sistema de Controle Dinâmico e Moderno Resumindo Diagrama em Blocos Muitos sistemas complexos são compostos de diversos subsistemas que interagem entre sim apenas por meio de suas entradas e saídas Um diagrama em blocos é uma representação gráfica de um sistema composto pelos seguintes elementos 1 Blocos Subsistemas 2 Sinais 3 Junções de soma 4 Pontos de ramificação Sistema de Controle Dinâmico e Moderno Resumindo Diagrama em Blocos Sistema de Controle Dinâmico e Moderno Resumindo Associação de blocos Cascata Sistema de Controle Dinâmico e Moderno Resumindo Associação de blocos Paralelo Sistema de Controle Dinâmico e Moderno Resumindo Associação de blocos Realimentação Sistema de Controle Dinâmico e Moderno Exemplo 3 Obtenha a função de transferência Ω𝑠 𝑉𝑜𝑠 Ω𝑠 𝑉𝑜𝑠 𝐺1 𝐺2 𝐺3 1 𝐺1 𝐺2 𝐺3 𝐺4 𝑉0 𝑠 Ω 𝑠 𝐺1 𝐺2 𝐺3 1 𝐺1 𝐺2 𝐺3 𝐺4 Sistema de Controle Dinâmico e Moderno Exemplo 4 Obtenha a função de transferência 𝑉2𝑠 𝑉1𝑠 𝐺1 1 𝐺1 𝐻1 𝐴 𝐺2 1 𝐺2 𝐻2 𝐵 Sistema de Controle Dinâmico e Moderno Exemplo 5 Obtenha a função de transferência 𝑌𝑠 𝑈𝑠 Sistema de Controle Dinâmico e Moderno Exemplo 5 1 𝑠 1 1 𝑠 05 1 𝑠 𝑠 05 𝑠 1 𝑠 05 Sistema de Controle Dinâmico e Moderno Exemplo 5 1 𝑠 5 1 𝑠 05 1 𝑠 5 𝑠 05 1 𝑠 05 Sistema de Controle Dinâmico e Moderno Exemplo 5 1 𝑠 5 𝑠 05 1 1 𝑠 5 𝑠 05 15 𝑠 1 𝑠 5 𝑠 05 𝑠 5 𝑠 05 15𝑠 𝑠 5 𝑠 05 1 𝑠 5 𝑠 05 15𝑠 1 𝑠2 55𝑠 25 15𝑠 1 𝑠2 7𝑠 25 1 𝑠 5 𝑠 05 Sistema de Controle Dinâmico e Moderno Exemplo 5 1 𝑠2 7𝑠 25 1 1 𝑠2 7𝑠 25 1 1 𝑠2 7𝑠 25 𝑠2 7𝑠 25 1 𝑠2 7𝑠 25 1 𝑠2 7𝑠 15 1 𝑠2 7𝑠 25 Sistema de Controle Dinâmico e Moderno Exemplo 5 𝒀𝒔 𝑼𝒔 𝟏 𝒔𝟐 𝟕𝒔 𝟏 𝟓 1 𝑠2 7𝑠 15 Sistema de Controle Dinâmico e Moderno Exercício 1 De acordo com o circuito abaixo encontre o circuito no domínio de Laplace e a função transferência condições iniciais iguais a zero 𝑹 𝟐𝟎𝟎𝛀 𝑪 𝟎 𝟐𝒎𝑭 Resposta Sistema de Controle Dinâmico e Moderno Exercício 2 Obtenha a função de transferência 𝐶𝑠 𝑅𝑠 Resposta Sistema de Controle Dinâmico e Moderno DÚVIDAS Sistema de Controle Dinâmico e Moderno