Transformada de Laplace e Sistemas de Controle Dinâmico

Sistema de Controle Dinâmico e Moderno Sistema de Controle Dinâmico e Moderno Transformada de Laplace Controle A transformada de Laplace é a base de quase todas as ferramentas de análise e projeto para sistemas lineares de controle Suas propriedades permitem transformar sistemas dinâmicos representados por equações diferenciais ordinárias em equações algébricas de fácil solução e manipulação O projeto de controladores realizados no domínio s permite que as diversas relações dinâmicas presentes num processo sejam fragmentação em funções de transferência e tratadas como subpartes do problema Os resultados porém para terem interpretação física e poderem ser implementados precisam ser convertidos de volta ao domínio do tempo transformação inversa de Laplace Sistema de Controle Dinâmico e Moderno Transformada de Laplace Controle Sistema de Controle Dinâmico e Moderno Transformada de Laplace Tabela Sistema de Controle Dinâmico e Moderno Transformada de Laplace Tabela Sistema de Controle Dinâmico e Moderno 𝑣𝑅 𝑡 𝑅 𝑖𝑡 𝑉𝑅 𝑠 𝑅 𝐼𝑠 𝑣𝐶 𝑡 1 𝐶 𝑡 𝑖 𝑡 𝑑𝑡 𝑉𝑐 𝑠 𝐼 𝑠 𝐶𝑠 𝑣𝐶 0 𝑠 𝑣𝐿 𝑡 𝐿 𝑑𝑖𝑡 𝑑𝑡 𝑉𝐿 𝑠 𝐿𝑠𝐼 𝑠 𝑖 0 Transformada Inversa de Laplace 3j 5j Sistema de Controle Dinâmico e Moderno A equação diferencial para a carga 𝑞𝑡 em um capacitor em um circuito RC série é dada por 𝑅 𝑑 𝑑𝑡 𝑞 𝑡 1 𝐶 𝑞 𝑡 𝐸𝑡 Onde R é a resistência C é a capacitância e Et é a força eletromotriz 𝑖 𝑡 𝑑𝑞𝑡 𝑑𝑡 Transformada Inversa de Laplace Sistema de Controle Dinâmico e Moderno Exemplo 1 Use a transformada de Laplace para determinar a carga no capacitor em série RC se q 0 0 R 25Ω C 008 F e E t é dada pelo gráfico Obs Use a propriedade ℒ1 𝑒𝑎𝑠𝐹𝑠 𝑓 𝑡 𝑎 𝑢𝑡 𝑎 25 𝑑 𝑑𝑡 𝑞 𝑡 1 008 𝑞 𝑡 5𝑢𝑡 3 Transformada Inversa de Laplace Sistema de Controle Dinâmico e Moderno 25 𝑑 𝑑𝑡 𝑞 𝑡 1 008 𝑞 𝑡 5𝑢𝑡 3 1 𝑑 𝑑𝑡 𝑞 𝑡 5 𝑞 𝑡 2 𝑢𝑡 3 𝑠1 𝑄 𝑠 𝑞 0 5 𝑄 𝑠 𝑒3𝑠 2 𝑠 𝑠 𝑄 𝑠 5 𝑄 𝑠 2 𝑒3𝑠 𝑠 Transformada Inversa de Laplace Sistema de Controle Dinâmico e Moderno 𝑠 𝑄 𝑠 5 𝑄 𝑠 2 𝑒3𝑠 𝑠 𝑄 𝑠 𝑠 5 2 𝑒3𝑠 𝑠 𝑄 𝑠 1 𝑠 5 2 𝑒3𝑠 𝑠 𝑞 𝑡 Transformada Inversa de Laplace Sistema de Controle Dinâmico e Moderno 𝑄 𝑠 2 1 𝑠 5 𝑒3𝑠 𝑠 2 1 𝑠 5 𝑒3𝑠 𝑠 𝐴 𝑠 5 𝐵 𝑠 2 𝐴𝑠 𝐵𝑠 5 𝑠 5 𝑠 2 𝐴𝑠 𝐵𝑠 5𝐵 𝐴 𝐵 0 5𝐵 2 𝐵 04 𝐴 𝐵 04 Transformada Inversa de Laplace Sistema de Controle Dinâmico e Moderno 𝑄 𝑠 04 𝑠 5 04 𝑠 𝑄 𝑠 04 1 𝑠 5 04 1 𝑠 𝑞 𝑡 04 𝑒5𝑡 041 𝑞 𝑡 04 𝑒5𝑡 1 𝒒 𝒕 𝟎 𝟒 𝟏 𝒆𝟓𝒕 𝒊 𝒕 𝒅𝒒𝒕 𝒅𝒕 𝟎 𝟒 𝟎 𝒆𝟓𝒕 𝟓 𝟐 𝒆𝟓𝒕 Transformada Inversa de Laplace Sistema de Controle Dinâmico e Moderno Transformada Inversa de Laplace Devido o deslocamento de 3 para a direita 𝑒3𝑠 𝒒 𝒕 𝟎 𝟒 𝟏 𝒆𝟓 𝒕𝟑 𝒖𝒕 𝟑 𝒊 𝒕 𝒅𝒒𝒕 𝒅𝒕 𝟎 𝟒 𝟎 𝒆𝟓𝒕𝟑 𝟓 𝟐 𝒆𝟓 𝒕𝟑 𝒖𝒕 𝟑 Sistema de Controle Dinâmico e Moderno Exercício 1 Um capacitor 001 F está em série com um resistor de 100 Ω e com uma tensão de 100 V Sabendo que em t0 a carga é nula use as transformadas de Laplace para determinar a corrente num tempo qualquer Transformada Inversa de Laplace 100 V Sistema de Controle Dinâmico e Moderno Transformada Inversa de Laplace 100 V 100 𝑑 𝑑𝑡 𝑞 𝑡 1 001 𝑞 𝑡 100 𝒅 𝒅𝒕 𝒒 𝒕 𝒒 𝒕 𝟏 𝑠1 𝑄 𝑠 1 𝑞 0 𝑄 𝑠 1 𝑠 𝑠 𝑄 𝑠 𝑄 𝑠 1 𝑠 𝑄 𝑠 𝑠 1 1 𝑠 𝑄 𝑠 1 𝑠 1 1 𝑠 Sistema de Controle Dinâmico e Moderno Transformada Inversa de Laplace 100 V 𝑄 𝑠 1 𝑠 1 1 𝑠 1 𝑠 1 1 𝑠 𝐴 𝑠 1 𝐵 𝑠 1 𝐴𝑠 𝐵𝑠 1 𝑠 1 𝑠 1 𝐴𝑠 𝐵𝑠 𝐵 𝐴 𝐵 0 𝐵 1 𝐴 𝐵 1 Sistema de Controle Dinâmico e Moderno Transformada Inversa de Laplace 100 V 𝑄 𝑠 1 𝑠 1 1 𝑠 𝑄 𝑠 1 𝑠 1 1 𝑠 𝑞 𝑡 𝑒𝑡 1 𝑖 𝑡 𝑒𝑡 1 0 𝑖 𝑡 𝑒𝑡 Sistema de Controle Dinâmico e Moderno Transformada Inversa de Laplace 100 V 𝑄 𝑠 1 𝑠 1 1 𝑠 𝑄 𝑠 1 𝑠 1 1 𝑠 𝑞 𝑡 𝑒𝑡 1 𝑖 𝑡 𝑒𝑡 1 0 𝑖 𝑡 𝑒𝑡 Sistema de Controle Dinâmico e Moderno Exercício 2 Um capacitor 056 F está em série com um resistor de 120 Ω e com uma tensão de 12 𝑒3𝑡 V Sabendo que em t0 a carga é nula use as transformadas de Laplace para determinar a corrente num tempo qualquer Transformada Inversa de Laplace 12 𝑒3𝑡 V 120 Ω 056 𝐹 𝑅 𝑑 𝑑𝑡 𝑞 𝑡 1 𝐶 𝑞 𝑡 𝐸𝑡 𝑖 𝑡 𝑑𝑞𝑡 𝑑𝑡 Sistema de Controle Dinâmico e Moderno DÚVIDAS Sistema de Controle Dinâmico e Moderno