Estruturas Isostáticas e Hiperestáticas: Análise de Grelhas

ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS E HIPERESTÁTICAS Prof Dr Vinnicius Dordenoni Pizzol INTRODUÇÃO Nesta aula identificaremos e estudaremos as grelhas Calcular as reações de apoio destas além de desenhar os diagramas solicitantes das grelhas planas As grelhas são constituídas por estruturas lineares vigas situadas em m mesmo plano formando uma malha que recebe solicitações não coplanares As barras se interceptam e trabalham em conjunto para resistir às ações atuantes que são predominantemente perpendiculares ao seu plano 2 INTRODUÇÃO Visando a utilização de vigas nos pavimentos de maneira a obter maiores distâncias entre apoios as mesmas são lançadas em um sistema reticulado plano denominado grelha Esse sistema é gerado pelo cruzamento rígido entre as vigas no plano do pavimento Os reticulados podem ser ortogonais ou diagonais com relação às vigas periféricas e a disposição diagonal apresenta melhor comportamento porém é de difícil execução Para que sejam consideradas grelha quando feita em concreto armado ou protendido as vigas devem ter espaçamento maior que 110 m entre eixos A grelha é uma estrutura que distribui a carga concentrada aplicada em uma das vigas para todos os elementos da estrutura de tal forma que nenhuma viga trabalhe sozinha quando solicitada 3 INTRODUÇÃO O modelo grelha permite a avaliação do comportamento de um piso isto é do conjunto formado pelas vigas e lajes de um pavimento perante a atuação de ações verticais Os pilares são simulados por apoios Cada nó da grelha possui 3 graus de liberdade possibilitando a obtenção dos deslocamentos e esforços força cortante momento fletor e torsor em cada extremidade de um elemento 5 6 Modelo de grelha utilizado na análise de lajes nervuradas 7 Modelo de grelha utilizado na análise fundação com viga baldrame Viga baldrame é um elemento estrutural de concreto armado que tem a função de transferir a carga dos elementos construtivos para a fundação GRELHAS 8 Grelha é uma estrutura plana submetida a um carregamento perpendicular a seu plano Já sabemos que um sistema de forças em equilíbrio no espaço obedece as seis equações fundamentais da estática Σ Fx 0 Σ Fy 0 Σ Fz 0 Σ Mx 0 Σ My 0 Σ Mz 0 Admitamos um caso particular de um sistema de forças no espaço paralelas entre si Permanecerão válidas como equações de equilíbrio apenas as três restantes isto é Σ Fz 0 Σ Mx 0 Σ My 0 9 GRELHAS Definições Observando o funcionamento de uma grelha podemos afirmar que suas barras em uma seção genérica qualquer podem estar sujeitas a três esforços simples Esforço Cortante Q Momento Fletor M e Momento Torsor Mt que devem ser calculados e expressos sob a forma de um diagrama 1 O Esforço Cortante é soma de todas as cargas que atuam perpendiculares a eixo da barra em estudo 2 O Momento Fletor é a soma de todos os momentos que provocam o giro da seção em torno de um eixo contido pela seção transversal da barra em estudo 3 O Momento Torsor é o momento que provoca o giro da seção em torno do seu eixo longitudinal 10 11 Quanto a hiperasticidade uma grelha pode ser hipoestática isostática e hiperestática GRELHAS POSSIBILIDADES Admitindose o plano XY como sendo o plano da grelha as cargas terão toda a direção Z Neste caso as equações de equilíbrio serão FZ 0 Somatório das forças em Z igual a 0 MX 0 Somatório dos momentos em torno do eixo x MY 0 Somatório dos momentos em torno do eixo y 12 EXEMPLO SOLUÇÃO Isostática 3 reações a calcular Hiperestática 3 apoios sem rótulas e grelhas engastada com apoios Hipostática 3 apoios e grelha com 3 apoios colineares 13 Para calcular as reações de apoio na grelha faremos o somatório dos momentos em função das forças e de suas distâncias em relação ao eixo considerado Após calcularmos as reações de apoio o próximo passo será determinarmos os esforços solicitantes numa seção genérica S da grelha e traçar seus respectivos diagramas Três tipos de esforços podem atuar na seção S esforço cortante Q momento fletor MF e momento torçor MT RESOLUÇÃO DE GRELHAS Nos problemas envolvendo grelhas aplicase a regra da mão direita para obtenção do sentido do momento Palma da mão direcionada para o ponto de giro Ponta dos dedos na direção e sentido da força Polegar indica a direção e sentido do momento 14 Regra da mão direita Força Momento Ponto de giro M A representação dos vetores é realizada da seguinte forma 15 Representação dos vetores 16 Exercício 1 Calcule as reações de apoio na grelha ilustrada a seguir Representação da estrutura em planta 17 Exercício 1 Solução 50 kN 20 kNm 10 kN 2 m 2 m 1 m 4 m D B A C Vetor saindo do plano Vetor entrando no plano Cálculo das reações de apoio 18 Exercício 1 Solução 50 kN 20 kNm 10 kN 2 m 2 m 1 m 4 m D B A C 19 Exercício 2 Calcule as reações de apoio na grelha ilustrada a seguir Cálculo das reações de apoio 20 Exercício 2 Solução 1 m 21 Exercício 3 Calcule as reações de apoio na grelha ilustrada a seguir Representação da estrutura em planta Exercício 3 Solução Vetor saindo do plano Vetor entrando no plano 10 kNm 15 kN 3 m 3 m 4 m C D A 2 m B 20 kN F 30 kNm Cálculo das reações de apoio 23 Exercício 3 Solução 10 kNm 15 kN 3 m 3 m 4 m C D A 2 m B 20 kN F 30 kNm 24 Exercício 4 Calcule as reações de apoio na grelha ilustrada a seguir Exercício 5 Exercício 6 27 EXEMPLO SOLUÇÃO Perspectiva Planta 28 EXEMPLO SOLUÇÃO Cálculo das reações de apoio Para determinar os valores de VA VB e VF serão feitos momentos em relação a algumas barra Barra AB incógnita VF Barra CD incógnitas VF e VA Barra EF incógnitas VA e VB Barra GH incógnitas VA e VB 29 EXEMPLO SOLUÇÃO Começaremos aplicando o momento em relação à barra AB 30 EXEMPLO SOLUÇÃO Aplicandose o momento em relação à barra CD VA VB VF 128 282 VB 635 128 VB 363 kN 32 EXEMPLO DEC Corte da barra AB entre A e S1 33 EXEMPLO DEC Segue parte do DEC da grelha Observe O patamar de 282 kN O degrau de 5kN 282 5 232 kN A reação VB 363 kN 232 363 595kN 34 EXEMPLO DEC Análise do esforço cortante na barra CD Carga distribuída logo o DEC é uma função linear A carga concentrada equivalente é de 20 x 60 120kN Na extremidade C coincidente com B o valor é de 595 kN Ao final de CD temse 595 120 605 kN 35 EXEMPLO DEC Segue parte do DEC da grelha Observe Na extremidade C o valor de 595 kN coincidente com o valor encontrado para B A variação linear do DEC O valor em D de 605kN 36 EXEMPLO DEC A barra EF não tem carregamento Esforço cortante em E coincidente com o de D com valor de 605 kN DEC em EF é constante VF é igual a 635 kN Em F temse 605 635 3kN 37 EXEMPLO DEC Segue parte do DEC da grelha Observe Na extremidade E o valor de 605 kN coincidente com o valor encontrado para D DEC é constante O valor de VF é 635 kN Cortante em F será 605 635 3 kN 38 EXEMPLO DEC Esforço cortante em G coincidente com o de F com valor de 3 kN DEC é constante até a carga concentrada Na carga concentrada um degrau de 3 kN A partir da carga concentrada 33 0kN EXEMPLO DEC 282 5 232 595 363 605 635 3 3 40 EXEMPLO DMT MTAB 20x6x3 3x7 635 x 6 0 MTAB 0 MTCD 5x4 282x5 0 MTCD 121kNm MTEF 3 x 1 0 MTEF 3 kNm Momentos torçores 41 EXEMPLO DMT Diagrama do momento torçor da grelha 42 EXEMPLO DMF MA 0 MS1 282 0 MS1 282 kNm Momentos fletores MB 5x4 282x50 MB 121 kNm MC 20x6x3 635x6 3x7 0 MC 0 43 EXEMPLO DMF MD 3 x 1 3 kNm ME 635 x 2 3 x 2 121 kNm Momentos fletores MF 0 MG 3 x 1 3 kNm MS2 0 MH 0 44 EXEMPLO DMF Diagrama do momemto fletor da grelha Havia a possibilidade de montar o DMF a partir das áreas dos DEC