Estruturas Isostáticas e Hiperestáticas - Método dos Deslocamentos

ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS E HIPERESTÁTICAS Estruturas Hiperestáticas Método dos deslocamentos Prof Dr Vinnicius Dordenoni Pizzol Estruturas Hiperestáticas A maioria das estruturas utilizadas na prática é hiperestática ou estaticamente indeterminada As estruturas hiperestáticas podem ser analisadas através de dois métodos clássicos da Análise Estrutural Método das Forças Método dos Deslocamentos Ou ainda por um método aproximado conhecido como Processo de Cross Conceito Estruturas Hiperestáticas Solução de uma estrutura hiperestática Na solução de uma estrutura hiperestática é necessário considerar os três grupos de condições básicas da Análise Estrutural considerados na seguinte ordem 1 condições de equilíbrio 2 condições impostas pelas leis constitutivas dos materiais que compõem a estrutura 3 condições de compatibilidade continuidade interna e compatibilidade com os vínculos externos As incógnitas são forças cujos deslocamentos associados recuperam as condições de compatibilidade Método das forças x Método dos deslocamentos As incógnitas são deslocamentos cujas forças associadas recuperam as condições de equilíbrio Método das forças Método dos deslocamentos Neste método determinamse inicialmente os deslocamentos e indiretamente a partir destes os esforços as incógnitas são os deslocamentos No caso de estruturas reticuladas que são formadas por barras ligadas por pontos nodais denominados nós o número de incógnitas será o número de deslocamentos nodais ou o número total de graus de liberdade GL de todos os nós da estrutura Método dos deslocamentos Conceito O método dos deslocamentos pode ser aplicado quer as estruturas isostáticas quer a hiperestáticas sendo especialmente útil na análise das segundas nomeadamente quando o grau de indeterminação estático é elevado Este método é melhor adaptável à programação automática que o método das forças porque neste todos deslocamentos são restringidos ao contrário do que acontece no método das forças em que apenas algumas liberações são introduzidas para se obter a estrutura isostática Método dos deslocamentos Apoios fictícios são adicionados à estrutura para impedir prender as deslocabilidades D1 D2 e D3 Indeterminação cinemática é o número de restrições vínculos necessárias para eliminar os deslocamentos dos nós da estrutura O grau de indeterminação cinemática é a soma dos graus de liberdade GL rotações e translações independentes de todos os nós da estrutura inclusive os apoios não é mais do que o número de graus de liberdade da estrutura Referese a um sistema de deslocamentos dos nós que é independente se cada deslocamento puder variar arbitrariamente e independentemente de todos os outros Método dos deslocamentos Grau 3 D1 D2 e D3 ou Grau 2 D1 e D2 se desprezada a deformação axial Somar uma série de soluções básicas chamadas de casos básicos que satisfazem as condições de compatibilidade mas que não satisfazem as condições de equilíbrio da estrutura original para na superposição restabelecer as condições de equilíbrio Objetivo Cada caso básico satisfaz isoladamente as condições de compatibilidade continuidade interna e compatibilidade com respeito aos vínculos externos da estrutura Entretanto os casos básicos não satisfazem as condições de equilíbrio da estrutura original pois são necessários forças e momentos adicionais para manter o equilíbrio As condições de equilíbrio da estrutura ficam restabelecidas quando se superpõem todas as soluções básicas Método dos deslocamentos Procedimento 1 O método consiste em inicialmente fixar a estrutura introduzindose vínculos fictícios tornando a estrutura cinematicamente determinada 2 Consideramse as cargas aplicadas nas barras e calculamse os esforços causados pelas cargas para a estrutura fixa sistema principal 3 Impõemse em seguida os deslocamentos nos nós e calculamse os esforços decorrentes destes na estrutura 4 Por superposição de efeitos calculamse os esforços totais que devem estar em equilíbrio com as forças externas aplicadas nos nós 5 Chegase a um sistema de equações de equilíbrio de forças em torno dos nós da estrutura Método dos deslocamentos Roteiro A figura mostra a configuração deformada de um pórtico plano formada pela superposição de configurações deformadas elementares cada uma associada a um determinado efeito que é isolado Deslocabilidades e Sistema Hipergeométrico Deslocabilidades e Sistema Hipergeométrico A configuração deformada elementar do caso 0 sistema principal isola o efeito da solicitação externa carregamento sendo que essa configuração deformada é tal que os nós extremidades das barras da estrutura apresentam deslocamentos e rotações nulos A configuração deformada nesse caso corresponde à situação de engastamento perfeito da viga barra horizontal devida à carga uniformemente distribuída aplicada As demais configurações deformadas mostradas na Figura anterior dos casos 1 a 7 correspondem a imposições de deslocamentos e rotações nodais isolados isto é cada caso apresenta uma configuração deformada elementar em que somente uma componente de deslocamento ou rotação nodal tem um valor não nulo Deslocabilidade São as componentes de deslocamentos e rotações nodais que estão livres isto é que devem ser conhecidas para determinar a configuração deformada de uma estrutura D1 e D4 são deslocamentos horizontais dos nós superiores D2 e D5 são deslocamentos verticais dos nós superiores D3 e D6 são rotações dos nós superiores e D7 é a rotação do nó inferior direito As demais componentes de deslocamentos e rotação não são deslocabilidades livres pois são restritas por apoios Grau de Hipergeometria Somatório de deslocabilidades Grau de Hipergeometria Somatório de deslocabilidades Engastamento Perfeito e Deslocamento Unitário MOMENTOS E REAÇÕES NAS EXTREMIDADES DEVIDO A CARGAS MOMENTOS E REAÇÕES NAS EXTREMIDADES DEVIDO A DESLOCAMENTOS 1 Identificar as deslocabilidades 2 Definir o sistema hipergeométrico bloqueando as deslocabilidades 3 Calcular os fatores de carga dos nós β 4 Calcular as rigidezes dos nós K 5 Aplicar a condição de equilíbrio dos nós 6 Superposição de efeitos para o cálculo dos esforços 7 Cálculo das reações de apoio Cálculo e análise das demais forças reações nos apoios e esforços internos utilizando as equações da estática equilíbrio ou R R0 R1 D1 R2 D2 R reações de apoio simplificação aplicável a todos os efeitos da estrutura e original incluindo seus esforços internos Exemplo 1 Considere a viga contínua mostrada na figura a seguir O valor da rigidez à flexão da viga é EI 12 x 104 kNm² O valor da carga uniformemente distribuída é q 12 kNm Calcule as reações de apoio Solução MOMENTOS E REAÇÕES NAS EXTREMIDADES DEVIDO A CARGAS Carregamentos X Condições de Contorno MA RA MB RA q L MA qL212 MB qL212 RA RB qL2 MA qL28 MB qL28 RA 58 q L RB 38 q L RA 38 q L RB 58 q L MA PL8 MB PL8 RA RB P2 MA 3PL16 MB 3PL16 RA 1116 P RB 516 P RA 516 P RB 1116 P MA Pab2 L2 MB Pa2 b L2 RA Pb L MA MB L RB P RA MA Pab 2L2 L b MB Pab 2L2 L a RA Pb L MA L RB P RA RA P RB RB Pa L MB L MOMENTOS E REAÇÕES NAS EXTREMIDADES DEVIDO A DESLOCAMENTOS MA RA MB MA 2EI L θ MB 4EI L θ RA RB 6EI L2 θ MA 4EI L θ MB 2EI L θ RA RB 6EI L2 θ MA 3EI L θ MB 3EI L θ RA RB 3EI L2 θ RA RB 3EI L2 θ 3º Sistema principal SP Solicitação externa carregamento isolada no SH Viga AB Solução Caso 0 Esforços causados pelas cargas para a estrutura fixa Solução Caso 0 Viga BC MB0 q l2 12 MB0 12 62 12 MA0 36 kNm MC0 q l2 12 MC0 12 62 12 MC0 36 kNm VB0 VC0 q l 2 VB0 VC0 12 6 2 VB0 VC0 36 kN Solução Caso 0 Viga CD MC0 q l2 12 MC0 12 22 12 MC0 40 kNm MD0 q l2 12 MD0 12 22 12 MC0 40 kNm VC0 VD0 q l 2 VC0 VD0 12 2 2 VC0 VD0 12 kN Fatores de carga Solução Fatores de carga Número do problema Número do vínculo fictício MOMENTOS E REAÇÕES NAS EXTREMIDADES DEVIDO A CARGAS MOMENTOS E REAÇÕES NAS EXTREMIDADES DEVIDO A DESLOCAMENTOS MA 2EI L θ MB 4EI L θ RA RB 6EI L2 θ MA 4EI L θ MB 2EI L θ RA RB 6EI L2 θ MA 3EI L θ RA RB 3EI L2 θ MB 3EI L θ RA RB 3EI L2 θ 4º Sistema 1 Deslocabilidade D1 isolada no SH Viga AB Solução Caso 1 Imposição de deslocamentos nos nós e cálculo dos esforços decorrentes destes na estrutura MOMENTOS E REAÇÕES NAS EXTREMIDADES DEVIDO A CARGAS Carregamentos X Condições de Contorno q MA qL212 MB qL212 RA RB qL2 MA qL28 RB 38 q L RA 58 q L MB qL28 RA 38 q L RB 58 q L MA PL8 MB PL8 RA RB P2 MA 3PL16 RA 1116 P RB 516 P MB 3PL16 RA 516 P RB 1116 P MA Pab2L2 MB Pa2bL2 RA PbL MAMBL RB P RA MA Pab2L2 L b RA PbL MAL RB P RA MB Pab2L2 L a RA P RB RB PaL MBL MOMENTOS E REAÇÕES NAS EXTREMIDADES DEVIDO A DESLOCAMENTOS MA 2EIL θ MB 4EIL θ RA RB 6EIL2 θ MA 4EIL θ MB 2EIL θ RA RB 6EIL2 θ MA 3EIL θ RA RB 3EIL2 θ MB 3EIL θ RA RB 3EIL2 θ Solução Caso 1 Viga BC MB1 4EIL MB1 4EI6 MB1 2EI3 MC1 2EIL MC1 2EI6 MC1 EI3 VB1 VC1 6EIL2 VB1 VC1 6EI62 VB1 VC1 EI8 MA 4EIL θ MB 2EIL θ RA RB 6EIL2 θ Solução Caso 1 Viga CD MC1 0 MD1 0 VC1 VD1 0 Rigidez Solução Número do problema Número do vínculo fictício Rigidez da barra Onde Sistema 2 Deslocabilidade D2 isolada no SH Viga AB Solução Caso 2 Imposição de deslocamentos nos nós e cálculo dos esforços decorrentes destes na estrutura MOMENTOS E REAÇÕES NAS EXTREMIDADES DEVIDO A CARGAS Carregamentos X Condições de Contorno MA R A MB RA RB MA RA RB RA RB MB q L MA qL212 MB qL212 RA RB qL2 MA qL2 8 MA qL2 8 RB 38 q L RB 38 q L RA 58 q L RA 38 q L RB 58 q L MB qL28 MB qL28 MA PL8 MB PL8 RA RB P2 MA 3PL16 MB 3PL16 RA 1116 P RB 516 P RA 516 P RB 1116 P MA Pab2L2 MB Pa2 b L2 RA PbL MAMBL RB P RA MA Pab2L2 L b MB Pab2L2 L a RA PbL MA L RB P RA RA P RB RB PaL MB L MOMENTOS E REAÇÕES NAS EXTREMIDADES DEVIDO A DESLOCAMENTOS MA MB RA RB MA 2EIL θ MB 4EIL θ RA RB 6EIL2 θ Solução Caso 2 Viga BC MB2 2EIL MB2 2EI6 MB2 EI3 MC2 4EIL MC2 4EI6 MC2 2EI3 VB2 VC2 6EIL2 VB2 VC2 6EI62 VB2 VC2 EI6 MA 2EIL θ MB 4EIL θ RA RB 6EIL2 θ MOMENTOS E REAÇÕES NAS EXTREMIDADES DEVIDO A CARGAS Carregamentos X Condições de Contorno MA RA MB RA RB MA RA RB RA RB MB q L MA qL212 MB qL212 RA RB qL2 MA qL2 8 MA qL2 8 RB 38 q L RB 38 q L RA 58 q L RA 38 q L RB 58 q L MB qL28 MB qL28 MA PL8 MB PL8 RA RB P2 MA 3PL16 MB 3PL16 RA 1116 P RB 516 P RA 516 P RB 1116 P MA Pab2L2 MB Pa2 b L2 RA PbL MAMBL RB P RA MA Pab2L2 L b MB Pab2L2 L a RA PbL MA L RB P RA RA P RB RB PaL MB L MOMENTOS E REAÇÕES NAS EXTREMIDADES DEVIDO A DESLOCAMENTOS MA MB RA RB MA 2EIL θ MB 4EIL θ RA RB 6EIL2 θ MA 4EIL θ MB 2EIL θ RA RB 6EIL2 θ MA 3EIL θ RA RB 3EIL2 θ MB 3EIL θ RA RB 3EIL2 θ Solução Caso 2 Viga CD MC² 4EIL MC² 4EI2 MC² 2EI MD² 2EIL MD² 2EI2 MD² EI VC² VD² 6EIL² VC¹ VD¹ 6EI2² VC¹ VD¹ 3EI2 Rigidez Solução Número do problema Número do vínculo fictício Rigidez da barra Onde Solução 5º Sistema de equações de equilíbrio de forças em torno dos nós da estrutura 6º Reações de apoio Solução Onde Solução Onde EI 12 x 10⁴ VB VB⁰ VB¹ D₁ VB² D₂ VB VB 24 36 3EI8 EI6 1231 10³ 0 EI6 1154 10³ VB 65386 kN VC VC⁰ VC¹ D₁ VC² D₂ VC VC 36 12 EI6 0 1231 10³ EI6 3EI2 1154 10³ VC 68926 kN VD VD⁰ VD¹ D₁ VD² D₂ VD VD 12 0 1231 10³ 3EI2 1154 10³ VD 8772 kN Solução Onde EI 12 x 10⁴ MA MA⁰ MA¹ D₁ MA² D₂ MA MA 16 EI2 1231 10³ 0 1154 10³ MA 8614 kNm MD MD⁰ MD¹ D₁ MD² D₂ MD MD 4 0 1231 10³ EI 1154 10³ MD 9848 kNm Exemplo 2 Considere a viga contínua mostrada na figura a seguir Adotar valor da rigidez à flexão da viga EI constante Calcule as reações de apoio Solução MOMENTOS E REAÇÕES NAS EXTREMIDADES DEVIDO A CARGAS Carregamentos X Condições de Contorno q MAqL212 MBqL212 RARBqL2 MAqL28 RA58 qL RB38 qL MBqL28 RA38 qL RB58 qL MAPL8 MBPL8 RARBP2 MA3PL16 RA1116 P RB516 P MB3PL16 RA516 P RB1116 P MAPab2L2 MBPa2 bL2 RAPbL MA MB L RBPRA MAPab2L2 Lb RAPbL MA L RBPRA MBPab2L2 La RAPRB RBPaL MB L MOMENTOS E REAÇÕES NAS EXTREMIDADES DEVIDO A DESLOCAMENTOS MA2EIL θ MB4EIL θ RARB6EIL2 θ MA4EIL θ MB2EIL θ RARB6EIL2 θ MA3EIL θ RARB3EIL2 θ MB3EIL θ RARB3EIL2 θ 3º Sistema principal SP Solicitação externa carregamento isolada no SH Viga AB Solução Caso 0 Esforços causados pelas cargas para a estrutura fixa MOMENTOS E REAÇÕES NAS EXTREMIDADES DEVIDO A CARGAS Carregamentos X Condições de Contorno q MAqL212 MBqL212 RARBqL2 MAqL28 RA58 qL RB38 qL MBqL28 RA38 qL RB58 qL MAPL8 MBPL8 RARBP2 MA3PL16 RA1116 P RB516 P MB3PL16 RA516 P RB1116 P MAPab2L2 MBPa2 bL2 RAPbL MA MB L RBPRA MAPab2L2 Lb RAPbL MA L RBPRA MBPab2L2 La RAPRB RBPaL MB L MOMENTOS E REAÇÕES NAS EXTREMIDADES DEVIDO A DESLOCAMENTOS MA2EIL θ MB4EIL θ RARB6EIL2 θ MA4EIL θ MB2EIL θ RARB6EIL2 θ MA3EIL θ RARB3EIL2 θ MB3EIL θ RARB3EIL2 θ Solução Caso 0 Viga BC MB0 ql212 MB0 1254212 MA0 2916 kNm MC0 ql212 MC0 1254212 MC0 2916 kNm VB0 VC0 ql2 VB0 VC0 12542 VB0 VC0 324 kN MOMENTOS E REAÇÕES NAS EXTREMIDADES DEVIDO A CARGAS Carregamentos X Condições de Contorno MA q qL212 MB qL212 RARBqL2 RA58 qL RB38 qL MB qL28 RA38 qL RB58 qL P MA PL8 MB PL8 RARBP2 MA 3PL16 MB 3PL16 RA1116 P RB516 P RA516 P RB1116 P P a b L MA Pab2L2 MB Pa2 bL2 RAPbL MAMBL RBPRA MA Pab2L2 Lb MB Pab2L2 La RAPbL MAL RBPRA RAPRB RBPaL MBL MOMENTOS E REAÇÕES NAS EXTREMIDADES DEVIDO A DESLOCAMENTOS MA 2EIL θ MB 4EIL θ RA RB 6EIL2 θ MA 4EIL θ MB 2EIL θ RA RB 6EIL2 θ MA 3EIL θ RA RB 3EIL2 θ MB 3EIL θ RA RB 3EIL2 θ Solução Caso 0 Viga CD MC0 ql28 MC0 1242212 MC0 2646 kNm MD0 0 VC0 5ql8 VC0 512428 VC0 315 kN VD0 3ql8 VD0 312428 VD0 189 kN Fatores de carga Solução Fatores de carga Número do problema Número do vínculo fictício MOMENTOS E REAÇÕES NAS EXTREMIDADES DEVIDO A CARGAS Carregamentos X Condições de Contorno MA q qL212 MB qL212 RARBqL2 RA58 qL RB38 qL MB qL28 RA38 qL RB58 qL P MA PL8 MB PL8 RARBP2 MA 3PL16 MB 3PL16 RA1116 P RB516 P RA516 P RB1116 P P a b L MA Pab2L2 MB Pa2 bL2 RAPbL MAMBL RBPRA MA Pab2L2 Lb MB Pab2L2 La RAPbL MAL RBPRA RAPRB RBPaL MBL MOMENTOS E REAÇÕES NAS EXTREMIDADES DEVIDO A DESLOCAMENTOS MA 2EIL θ MB 4EIL θ RA RB 6EIL2 θ MA 4EIL θ MB 2EIL θ RA RB 6EIL2 θ MA 3EIL θ RA RB 3EIL2 θ MB 3EIL θ RA RB 3EIL2 θ 4º Sistema 1 Deslocabilidade D1 isolada no SH Viga AB Solução Caso 1 Imposição de deslocamentos nos nós e cálculo dos esforços decorrentes destes na estrutura MOMENTOS E REAÇÕES NAS EXTREMIDADES DEVIDO A CARGAS Carregamentos X Condições de Contorno MA MB MA MB MA MB q MA qL212 MB qL212 MA qL28 MB qL28 RA RB qL2 RA 58 q L RB 38 q L RA 38 q L RB 58 q L p MA pL8 MB pL8 MA 3PL16 MB 3PL16 RA RB P2 RA 1116 P RB 516 P RA 516 P RB 1116 P p MA Pab2L2 MB Pa2 bL2 MA Pab2L2 L b MB Pab2L2 L a RA PbL MAMBL RB P RA RA PbL MAL RB P RA RA P RB RB PaL MBL MOMENTOS E REAÇÕES NAS EXTREMIDADES DEVIDO A DESLOCAMENTOS MA 2EIL θ MB 4EIL θ MA 4EIL θ MB 2EIL θ MA 3EIL θ MB 3EIL θ RA RB 6EIL2 θ RA RB 6EIL2 θ RA RB 3EIL2 θ RA RB 3EIL2 θ Solução Caso 1 Viga BC MB1 4EIL MB1 4EI54 MB1 0741 EI MC1 2EIL MC1 2EI54 MC1 037 EI VB1 VC1 6EIL2 VB1 VC1 6EI542 VB1 VC1 021 EI MA 4EIL θ MB 2EIL θ RA RB 6EIL2 θ Solução Caso 1 Viga CD MC1 0 MD1 0 VC1 VD1 0 Rigidez Solução Número do problema Número do vínculo fictício Rigidez da barra Onde Sistema 2 Deslocabilidade D2 isolada no SH Viga AB Solução Caso 2 Imposição de deslocamentos nos nós e cálculo dos esforços decorrentes destes na estrutura MOMENTOS E REAÇÕES NAS EXTREMIDADES DEVIDO A CARGAS Carregamentos X Condições de Contorno M Aq qL212 M B qL212 R A R B qL2 M A qL28 M B qL28 R A 58 q L R B 38 q L R A 38 q L R B 58 q L M A pL8 M B pL8 R A R B p2 M A 3pL16 M B 3pL16 R A 1116 p R B 516 p R A 516 p R B 1116 p M A Pab2L2 M B Pa2 bL2 R A PbL M AM BL R B P R A M A Pab2L2 L b M B Pab2L2 L a R A PbL M AL R B P R A R A P R B R B PaL M BL MOMENTOS E REAÇÕES NAS EXTREMIDADES DEVIDO A DESLOCAMENTOS M A 2EIL θ M B 4EIL θ R A R B 6EIL2 θ M A 4EIL θ M B 2EIL θ R A R B 6EIL2 θ M A 3EIL θ R A R B 3EIL2 θ M B 3EIL θ R A R B 3EIL2 θ Solução Caso 2 Viga BC MB2 2EIL MB2 2EI54 MB2 037 EI MC2 4EIL MC2 4EI54 MC2 074 EI VB2 VC2 6EIL2 VB2 VC2 6EI542 VB2 VC2 021 EI MOMENTOS E REAÇÕES NAS EXTREMIDADES DEVIDO A CARGAS Carregamentos X Condições de Contorno M Aq qL212 M B qL212 R A R B qL2 M A qL28 M B qL28 R A 58 q L R B 38 q L R A 38 q L R B 58 q L M A pL8 M B pL8 R A R B p2 M A 3pL16 M B 3pL16 R A 1116 p R B 516 p R A 516 p R B 1116 p M A Pab2L2 M B Pa2 bL2 R A PbL M AM BL R B P R A M A Pab2L2 L b M B Pab2L2 L a R A PbL M AL R B P R A R A P R B R B PaL M BL MOMENTOS E REAÇÕES NAS EXTREMIDADES DEVIDO A DESLOCAMENTOS M A 2EIL θ M B 4EIL θ R A R B 6EIL2 θ M A 4EIL θ M B 2EIL θ R A R B 6EIL2 θ M A 3EIL θ R A R B 3EIL2 θ M B 3EIL θ R A R B 3EIL2 θ Solução Caso 2 Viga CD MC2 3EI L MC2 3EI 42 MC2 071EI VC2 VD2 3EI L2 VC1 VD1 3EI 422 VC1 VD1 017EI Rigidez Solução Número do problema Número do vínculo fictício Rigidez da barra Onde Solução 5º Sistema de equações de equilíbrio de forças em torno dos nós da estrutura 6º Reações de apoio Solução Onde Solução Onde EI cte VB VB0 VB1 D1 VB2 D2 VB VB 36 324 013EI 021EI 37 EI 0 021EI 092 EI VB 6889 kN VC VC0 VC1 D1 VC2 D2 VC VC 324 315 021EI 0 37 EI 021EI 017EI 092 EI VC 63086 kN VD VD0 VD1 D1 VD2 D2 VD VD 189 0 37 EI 017EI 092 EI VD 1874 kN vinniciuspizzolprofunibhbr Dúvidas